11.2: Líneas de banda

Ver Figura (11.1.2). El campo eléctrico solo tiene un componente x, si se descuidan los efectos de borde, y en la primera aproximación este componente es independiente de la posición a lo largo del ancho de la banda, es decir, E _x es independiente de y. De manera similar, el campo magnético tiene solo una componente y y esta es independiente de x e y. De la ecuación de Maxwell

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{E}})=-\frac{\partial \vec{\text{B}}}{\partial \text{t}}=-\mu_{0} \frac{\partial \vec{\text{H}}}{\partial \text{t}}\nonumber \]

uno tiene

\[\frac{\partial \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{z}}=-\mu_{0} \frac{\partial \text{H}_{\text{y}}}{\partial \text{t}}. \label{11.1}\]

De la ecuación de Maxwell

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\frac{\partial \vec{\text{D}}}{\partial \text{t}}=\epsilon_{0} \frac{\partial \vec{\text{E}}}{\partial \text{t}}\nonumber \]

uno encuentra

\[-\frac{\partial \text{H}_{\text{y}}}{\partial \text{z}}=\epsilon_{0} \frac{\partial \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{t}}. \label{11.2}\]

Las ecuaciones (\ ref {11.1}) y (\ ref {11.2}) se pueden combinar para obtener

\ [\ begin {align}
&\ left (\ frac {\ parcial^ {2}\ texto {E} _ {\ texto {x}}} {\ parcial\ texto {z} ^ {2}}\ derecha) =-\ mu_ {0}\ izquierda (\ frac {\ parcial^ {2}\ texto {H} _ _ {\ texto {y}}} {\ parcial\ texto {z}\ parcial\ texto {t}}\ derecha) =\ epsilon_ {0}\ mu_ {0}\ izquierda (\ frac {\ parcial^ {2}\ texto {E} _ {\ texto {x}}} {\ parcial\ texto {t} ^ {2}}\ derecha),\ etiqueta { 11.3}\\
&\ izquierda (\ frac {\ parcial^ {2}\ texto {H} _ {\ texto {y}}} {\ parcial\ texto {z} ^ {2}}\ derecha) =-\ epsilon_ {0}\ izquierda (\ frac {\ parcial^ {2}\ texto {E} _ _ {\ texto {x}}} {\ parcial\ texto {z}\ parcial\ texto {t}}\ derecha) =\ epsilon_ {0}\ mu_ {0}\ izquierda (\ frac {\ parcial^ {2}\ texto {H} _ {\ texto {y}}} {\ parcial\ texto {t} ^ {2}}\ derecha). \ nonumber
\ end {align}\]

La primera de las ecuaciones (\ ref {11.3}) puede ser satisfecha por cualquier función de la forma

\[\text{E}_{\text{x}}(\text{z}, \text{t})=\text{F}(\text{z}-\text{ct})+\text{G}(\text{z}+\text{ct}), \label{11.4}\]

donde\(\text{c}=1 / \sqrt{\epsilon_{0} \mu_{0}}\) esta la velocidad de la luz. Esta afirmación se puede verificar realizando las diferenciaciones de Ecuaciones (\ ref {11.3}):

\[\frac{\partial \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{z}}=\frac{\partial \text{F}}{\partial \text{z}}+\frac{\partial \text{G}}{\partial \text{z}}, \quad \frac{\partial \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{t}}=-\text{c} \frac{\partial \text{F}}{\partial \text{z}}+\text{c} \frac{\partial \text{G}}{\partial \text{z}} \nonumber \]

y

\[\frac{\partial^{2} \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{z}^{2}}=\frac{\partial^{2} \text{F}}{\partial \text{z}^{2}}+\frac{\partial^{2} \text{G}}{\partial \text{z}^{2}}, \quad \frac{\partial^{2} \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{t}^{2}}=\text{c}^{2} \frac{\partial^{2} \text{F}}{\partial \text{z}^{2}}+\text{c}^{2} \frac{\partial^{2} \text{G}}{\partial \text{z}^{2}}. \nonumber\]

Por lo tanto, efectivamente uno encuentra que

\[\frac{\partial^{2} \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{z}^{2}}=\frac{1}{\text{c}^{2}} \frac{\partial^{2} \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{t}^{2}}=\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{t}^{2}}, \nonumber \]

para cualquier función arbitraria F, G! Esto significa que los pulsos que tienen cualquier variación de tiempo pueden transmitirse a lo largo de la línea sin distorsión. En el mundo real los pulsos sí se distorsionan como consecuencia de pérdidas dependientes de frecuencia en la línea, pero por el momento solo tenemos que ver con sistemas ideales que están compuestos por conductores perfectos y dieléctricos sin pérdidas y tales sistemas ideales transmiten pulsos sin atenuación y sin distorsión. El campo eléctrico E _x = F (z − ct) corresponde a un pulso que se propaga a lo largo de la línea de banda en la dirección z positiva con la velocidad de la luz c. El campo magnético asociado a este pulso de campo eléctrico se puede obtener de la Ecuación (\ ref {11.1}) o (\ ref {11.2}):

\[\frac{\partial \text{H}_{\text{y}}}{\partial \text{z}}=-\epsilon_{0} \frac{\partial \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{t}}=\epsilon_{0} \text{c} \frac{\partial \text{F}}{\partial \text{z}}, \nonumber \]

por lo tanto

\[\text{H}_{\text{y}}=\epsilon_{0} \text{c} \text{F}(\text{z}-\text{ct})=\frac{1}{\text{Z}_{0}} \text{F}(\text{z}-\text{ct}). \nonumber\]

Es decir, H _y = E _x /Z ₀, donde Z ₀ = 1/ (c\(\epsilon_{0}\)) =377 Ohmios, la impedancia del espacio libre.

El campo eléctrico E _x = G (z + ct) corresponde a un pulso que se propaga en la dirección z negativa con la velocidad de la luz c. El pulso de campo magnético correspondiente viene dado por

\[\frac{\partial \text{H}_{\text{y}}}{\partial \text{z}}=-\epsilon_{0} \frac{\partial \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{t}}=-\epsilon_{0} \text{c} \frac{\partial \text{G}}{\partial \text{z}}, \nonumber \]

o

\[\text{H}_{\text{y}}=-\epsilon_{0} \text{c} \text{G}(\text{z}+\text{ct})=-\text{E}_{\text{x}} / \text{Z}_{0}. \nonumber \]

Tenga en cuenta que el signo del componente de campo magnético es opuesto para los pulsos de propagación hacia adelante y hacia atrás.

Figura\(\PageIndex{3}\): Sección transversal a través de un cable coaxial. El campo eléctrico tiene una componente radial, E _r, y el campo magnético tiene solo el componente H _θ independiente del ángulo θ.

Por lo general, es más conveniente describir los pulsos en una línea de banda o en un cable coaxial en términos de voltajes y corrientes en lugar de en términos de campos eléctricos y magnéticos. La diferencia de potencial entre los dos planos conductores en la línea de banda es V = E _x d, donde d es la separación entre los planos, Figura (11.1.2). Por otro lado, las corrientes superficiales deben fluir sobre los planos metálicos perfectamente conductores para reducir los campos magnéticos y eléctricos a cero dentro del metal. Esta densidad de corriente superficial se puede calcular mediante la aplicación del Teorema de Stoke a la ecuación de Maxwell

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\vec{\text{J}}_{f}+\frac{\partial \vec{\text{D}}}{\partial \text{t}} \nonumber \]

para un pequeño bucle que abarca la superficie metálica, como se muestra en la Figura (11.2.4).

Figura\(\PageIndex{4}\): Representación esquemática de una línea de banda para ilustrar la relación entre el campo eléctrico, E _x y la diferencia de potencial entre los dos conductores, e ilustrar la conexión entre el campo magnético, H y _y la densidad de corriente superficial. La diferencia de potencial es V=E ₀ d, y el conductor inferior es positivo con respecto al conductor superior para los campos mostrados en la figura. El conductor inferior lleva una corriente total I=J _z W=H ₀ w Amps.

En el límite como el área del bucle, dA, se contrae a cero el término\(\vec D\) /t no da nada para que

\[\int \int_{A r e a} \text{d} \text{S} \operatorname{curl}(\vec{\text{H}}) \cdot \hat{u}_{n}=\oint_{C} \vec{\text{H}} \cdot \vec{\text{d} \vec{\text{L}}}=\text{J}_{2} \text{d} \text{L}, \nonumber \]

donde _Jz es la densidad de corriente superficial y\(\hat{u}_{n}\) es un vector unitario perpendicular a dA. Por lo tanto

\[\text{H}_{0} \text{dL}=\text{J}_{\text{z}} \text{dL} \nonumber \]

para que

\[\text{J}_{\text{z}}=\text{H}_{0}. \nonumber\]

Esta densidad de corriente fluye a lo largo de +z en el conductor inferior. La corriente total transportada por el conductor inferior es simplemente proporcional al ancho de la región activa en la línea de banda:

\[\text{I}=\text{J}_{\text{z}} \text{w}=\text{H}_{0} \text{w} \quad \text { Amps. }. \nonumber \]

La diferencia de potencial entre los dos conductores es

\[\text{V}=\text{E}_{0} \text{d} \quad \text { Volts }, \nonumber \]

y el plano inferior es positivo con respecto al plano superior para los campos mostrados en la figura.

La impedancia característica de la línea, Z ₀ = V/I Ohmios, viene dada por

\[\text{Z}_{0}=\frac{\text{E}_{0} \text{d}}{\text{H}_{0} \text{w}}=\frac{\text{d}}{\text{w}} \sqrt{\mu_{0} / \epsilon_{0}}, \label{11.5}\]

porque para una onda de propagación hacia adelante

\[\text{H}_{0}=\epsilon_{0} \text{c} \text{E}_{0}=\sqrt{\epsilon_{0} / \mu_{0}} \text{E}_{0}. \nonumber \]

Los conductores en una práctica línea de banda suelen estar separados por un material dieléctrico no magnético y no conductor caracterizado por una permeabilidad magnética µ ₀ y una constante dieléctrica\(\epsilon\). Las ecuaciones anteriores siguen siendo aplicables a tal línea de banda siempre que se puedan descuidar las pérdidas dieléctricas: uno solo tiene que reemplazarse\(\epsilon_{0}\) por\(\epsilon\).

En términos de diferencia de potencial y corriente, el panorama que emerge es el que se ilustra en la Figura (11.2.5). Un pulso de voltaje de forma arbitraria se propaga a lo largo de la línea con una velocidad v que está determinada por las propiedades del espaciador dieléctrico (aquí se supone que no tiene pérdidas). Para un material separador no magnético que tiene una constante dieléctrica,\(\epsilon\) esta velocidad viene dada por

\[\text{v}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu_{0}}}. \label{11.6}\]

El pulso de voltaje va acompañado de un pulso de corriente de la misma forma que el pulso de voltaje. El factor de escala entre corriente y voltaje es la impedancia característica de la línea. La impedancia característica depende de la geometría de la línea de banda: para el plano de la línea de banda de la Figura (11.2.4) está dada por

\[\text{Z}_{0}=\frac{\text{d}}{\text{w}} \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\epsilon}}=\frac{\text{d}}{\text{w}} \frac{1}{\epsilon \text{v}}. \label{11.7}\]

Figura\(\PageIndex{5}\): Impulsos de voltaje y corriente en una línea de transmisión.

Para un pulso de avance

\[\text{V}=+\text{Z}_{0} \text{I}, \label{11.8}\]

y para un pulso que se mueve hacia atrás

\[ \text{V}=-\text{Z}_{0} \text{I},\label{11.9}\]

donde V es la diferencia de potencial en Voltios e I es la corriente en la línea de transmisión en Amperios.

Las ecuaciones de Maxwell, (\ ref {11.3}), se pueden reescribir en términos de la diferencia de potencial, V, y la corriente en la línea, I. Dado que E _x es proporcional a V la primera de las ecuaciones (\ ref {11.3}) se convierte

\[\frac{\partial^{2} \text{V}}{\partial \text{z}^{2}}=\frac{1}{\text{v}^{2}} \frac{\partial^{2} \text{V}}{\partial \text{t}^{2}}. \label{11.10}\]

Del mismo modo, dado que H _y es proporcional a la corriente I, la segunda de las ecuaciones (11.3) se convierte

\[\frac{\partial^{2} I}{\partial z^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} I}{\partial t^{2}}. \label{11.11}\]

Estas ecuaciones de líneas telegráficas fueron derivadas por Lord Kelvin en 1855 (esto fue antes de que se descubrieran las ecuaciones de Maxwell) al tratar la línea de transmisión como una serie repetitiva de inductancias derivadas por condensadores. Ver Teoría Electromagnética de J.A.Stratton, McGraw-Hill, Nueva York, 1941, sección 9.20, Figura (103); para una línea sin pérdidas R=0 y G=∞.