11.3: Cables Coaxiales

Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para el problema de un cable coaxial, Figura (11.2.3). Las ecuaciones relevantes de Maxwell se convierten en

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{E}})=-\mu_{0} \frac{\partial \vec{\text{H}}}{\partial \text{t}}, \nonumber\]

y

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\epsilon \frac{\partial \vec{\text{E}}}{\partial \text{t}}, \nonumber \]

donde\(\epsilon\) es un número real para una línea sin pérdidas. Busque soluciones de estas ecuaciones en las que, por analogía con una línea de banda curvada alrededor de sí misma, el campo eléctrico tiene solo una componente radial, E _r, que es independiente del ángulo, y el campo magnético tiene solo un componente angularmente independiente H _θ:

\ [\ begin {align}
&\ frac {\ parcial\ texto {E} _ _ {\ texto {r}}} {\ parcial\ texto {z}} =-\ mu_ {0}\ frac {\ parcial\ texto {H} _ _ {\ theta}} {\ parcial\ texto {t}},\ etiqueta {11.12}\\
&\ frac {\ parcial\ texto {H} {\ theta}} {\ parcial\ texto {z}} =-\ épsilon\ frac {\ parcial\ texto {E} _ _ {\ texto {r}}} {\ parcial\ texto {t}}.
\ end {align}\]

Además, tome E _z = 0 porque los componentes tangenciales del campo eléctrico deben ser cero en las paredes perfectamente conductoras del cable coaxial. Pero si E _z = 0 se deduce de las ecuaciones de Maxwell que

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})_{z}=0=\frac{1}{\text{r}} \frac{\partial}{\partial \text{r}}\left(\text{rH}_{\theta}\right). \nonumber \]

Esto implica que

\[\text{H}_{\theta}=\frac{\text{a}(\text{z}, \text{t})}{\text{r}}, \label{11.13}\]

donde a (z, t) es una función del tiempo y de la posición a lo largo del cable. Del mismo modo, de div (\(\vec E\)) = 0 uno tiene

\[\frac{1}{\text{r}} \frac{\partial}{\partial \text{r}}\left(\text{rE}_{\text{r}}\right)=0, \nonumber\]

y esto queda satisfecho por

\[\text{E}_{\text{r}}=\frac{\text{b}(\text{z}, \text{t})}{\text{r}}. \label{11.14}\]

Al combinar las Ecuaciones Maxwell (\ ref {11.12}) los campos eléctricos y magnéticos, las Ecuaciones (\ ref {11.13}) y (\ ref {11.14}), deben satisfacer

\ [\ begin {align}
&\ frac {\ parcial^ {2}\ texto {E} _ {\ texto {r}}} {\ parcial\ texto {z} ^ {2}} =-\ mu_ {0}\ frac {\ parcial^ {2}\ texto {H} _ _ {\ theta}} {\ parcial\ texto {z}\ parcial\ texto {t} =\ épsilon\ mu_ {0}\ frac {\ parcial^ {2}\ texto {E} _ {\ texto {r}}} {\ parcial\ texto {t} ^ {2}},\ label {11.15}\\
&\ frac {\ parcial ^ {2}\ texto {H} _ {\ theta}} {\ parcial\ texto {z} ^ {2}} =-\ épsilon\ frac {\ parcial^ {2}\ texto {E} _ _ {\ texto {r}}} {\ parcial\ texto {z}\ parcial\ texto {t}} =\ épsilon\ mu_ {0}\ frac {\ parcial ^ {2}\ texto {H} _ _ {\ theta}} {\ parcial\ texto {t} ^ {2}}.
\ end {align}\]

Éstas tienen la misma forma que las ecuaciones de franjas (11.2.3). De estas ecuaciones, y de los requisitos (\ ref {11.13}) y (\ ref {11.14}), se deduce que se puede escribir la solución general para el campo eléctrico

\[\text{E}_{\text{r}}(\text{z}, \text{t})=\frac{\text{F}(\text{z}-\text{vt})}{\text{r}}+\frac{\text{G}(\text{z}+\text{vt})}{\text{r}}, \label{11.16}\]

donde F (u) y G (u) son funciones arbitrarias de sus argumentos, y donde

\[\text{v}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu_{0}}}. \nonumber \]

La solución general correspondiente para el campo magnético es

\[\text{H}_{\theta}(\text{z}, \text{t})=\epsilon \text{v}\left(\frac{\text{F}(\text{z}-\text{vt})}{\text{r}}-\frac{\text{G}(\text{z}+\text{vt})}{\text{r}}\right). \label{11.17}\]

Los campos eléctricos y magnéticos anteriores satisfacen las ecuaciones de onda (\ ref {11.15}), satisfacen Ecuaciones (\ ref {11.12}), y tienen la forma requerida por las Ecuaciones (\ ref {11.13} y\ ref {11.14}).

En lugar de la intensidad del campo eléctrico, el estado del campo eléctrico en el cable se puede especificar por la diferencia de potencial entre los conductores interno y externo:

\[\text{V}=\int_{\text{R}_{1}}^{\text{R}_{2}} \text{E}_{\text{r}} \text{dr}=\text{F}(\text{z}-\text{vt}) \int_{\text{R}_{1}}^{\text{R}_{2}} \frac{\text{d} \text{r}}{\text{r}}=\text{F}(\text{z}-\text{vt}) \ln \left(\frac{\text{R}_{2}}{\text{R}_{1}}\right) \nonumber\]

para una onda que se propaga hacia adelante. Tenga en cuenta que el conductor interno es positivo con respecto al conductor externo. La corriente correspondiente en el conductor interno viene dada por

\[\text{I}=\text{J}_{\text{z}}\left(2 \pi \text{R}_{1}\right)=\text{H}_{\theta}\left(\text{R}_{1}\right)\left(2 \pi \text{R}_{1}\right)=\epsilon \text{v}\left(2 \pi \text{R}_{1}\right) \frac{\text{F}(\text{z}-\text{vt})}{\text{R}_{1}}, \nonumber\]

para que

\[\text{I}=2 \pi \epsilon \text{v} \text{F}(\text{z}-\text{vt}). \nonumber\]

La corriente fluye hacia +z para la corriente en el conductor interno; la corriente fluye hacia menos z en el conductor externo. Es decir, en el conductor externo

\[\text{I}=-2 \pi \text{R}_{2} \text{H}_{\theta}\left(\text{R}_{2}\right)=-2 \pi \epsilon \text{v} \text{F}(\text{z}-\text{vt}). \nonumber\]

de manera que el flujo de corriente neta a través de una sección del cable sea cero. La impedancia característica del cable viene dada por

\[\text{Z}_{0}=\frac{\text{V}}{\text{I}}=\frac{1}{2 \pi \epsilon \text{v}} \ln \left(\frac{\text{R}_{2}}{\text{R}_{1}}\right)\nonumber\]

o

\[\text{Z}_{0}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\epsilon}} \ln \left(\frac{\text{R}_{2}}{\text{R}_{1}}\right). \label{11.18}\]

La diferencia de potencial, V, es proporcional al campo eléctrico, E _r, y la corriente, I, es proporcional al campo magnético, H _θ, por lo tanto de Ecuaciones (\ ref {11.15}) el voltaje y la corriente satisfacen las ecuaciones de onda

\ [\ begin {align}
&\ frac {\ parcial^ {2}\ text {V}} {\ parcial\ texto {z} ^ {2}} =\ frac {1} {\ texto {v} ^ {2}}\ frac {\ parcial^ {2}\ texto {V}} {\ parcial\ texto {t} ^ {2}},\ etiqueta {11.19}\\
&\ frac {\ parcial^ {2} I} {\ parcial z^ {2}} =\ frac {1} {v^ {2}}\ frac {\ parcial^ {2} I} {\ parcial t^ {2}},
\ end { alinear}\]

donde v ² = 1/ (\(\epsilon\)µ ₀). Para un pulso de propagación directa que tiene la forma

\[V(z, t)=F(z-v t) \nonumber\]

el pulso de corriente correspondiente se describe por

\[\text{I}(\text{z}, \text{t})=\frac{1}{\text{Z}_{0}} \text{F}(\text{z}-\text{vt})=\frac{\text{V}(\text{z}, \text{t})}{\text{Z}_{0}}, \label{11.20}\]

donde la impedancia característica para un cable coaxial viene dada por la Ecuación (11.18). Para un pulso potencial de propagación hacia atrás de la forma

\[\text{V}(\text{z}, \text{t})=\text{G}(\text{z}+\text{vt}) \nonumber \]

el pulso de corriente correspondiente se describe por

\[\text{I}(\text{z}, \text{t})=-\frac{1}{\text{Z}_{0}} \text{V}(\text{z}, \text{t})=-\frac{\text{G}(\text{z}+\text{vt})}{\text{Z}_{0}}. \label{11.21}\]

En las ecuaciones anteriores F (z-vt) y G (z+vt) son funciones arbitrarias de sus argumentos.