11.6: Señales sinusoidales en una línea terminada
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Dejar que se utilice una línea de transmisión que tenga una impedancia característica Z 0 para conectar un generador de señal sinusoidal a una carga, ZL, como se muestra en la Figura (11.6.12). En notación fasor se puede escribir el voltaje del generador
\[ \mathrm{V}_{\mathrm{G}}(\mathrm{t})=\mathrm{V}_{0} \exp [i \omega \mathrm{t}]; \label{11.32}\]
esto corresponde a una variación en tiempo real cos ωt. Se ha utilizado un signo positivo en el fasor exponencial de acuerdo con la convención de ingeniería habitual para la descripción de los circuitos de corriente alterna. La diferencia de potencial en cualquier punto a lo largo de la línea consistirá en una onda de propagación hacia adelante más una onda de propagación hacia atrás debido a una reflexión de la carga. Recordemos que las ondas actuales y potenciales deben ser funciones de (z-vt) y (z+vt) para satisfacer las ecuaciones de Maxwell (11.3.8). La onda de voltaje de propagación directa
por lo tanto, debe tener la forma
\[\mathrm{V}_{\mathrm{f}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{a} \exp \left(-i \frac{\omega}{\mathrm{v}}[\mathrm{z}-\mathrm{vt}]\right)=\mathrm{a} \exp\left(-i \frac{\omega \mathrm{z}}{\mathrm{v}}\right) \exp (i \omega \mathrm{t}) , \nonumber \]
y la onda reflejada debe tener la forma
\[\mathrm{V}_{\mathrm{r}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{b} \exp \left(i \frac{\omega}{\mathrm{v}}[\mathrm{z}+\mathrm{vt}]\right)=\mathrm{b} \exp \left(i \frac{\omega \mathrm{Z}}{\mathrm{v}}\right) \exp (i \omega \mathrm{t}) , \nonumber \]
donde a, b son constantes que deben determinarse a partir del potencial generador y a partir de las condiciones límite a la carga, es decir Z L = V/I. Es costumbre escribir k = ω/v, donde ω = 2\(\pi\) f y donde v es la velocidad de un pulso en el cable. La diferencia de potencial en cualquier punto a lo largo de la línea viene dada por
\[\mathrm{V}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=(\operatorname{aexp}(-i \mathrm{kz})+\mathrm{b} \exp (+i \mathrm{kz})) \exp (+i \omega \mathrm{t}) , \label{11.33}\]
y la corriente viene dada por
\[\mathrm{I}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\left(\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{Z}_{0}}\right) \exp (-i \mathrm{kz})-\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{Z}_{0}}\right) \exp (+i \mathrm{kz})\right) \exp (+i \omega \mathrm{t}) . \label{11.34}\]
La expresión (\ ref {11.34}) para la corriente se desprende de la Ecuación (\ ref {11.33}) para el voltaje combinado con las impedancias características de la línea de transmisión para ondas de propagación hacia adelante y hacia atrás, Ecuaciones (11.2.8) y (11.2.9). En el generador, que se supone que está ubicado en z=0, uno tiene
\[ \mathrm{V}_{0}=\mathrm{a}+\mathrm{b}. \nonumber \]
En la carga, que se supone que está en z=L, uno tiene
\[ \mathrm{V} / \mathrm{I}=\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}, \nonumber \]
o
\[\left(\frac{\operatorname{aexp}(-i \mathrm{kL})+\mathrm{b} \exp (+i \mathrm{kL})}{\mathrm{a} \exp (-i \mathrm{kL})-\mathrm{b} \exp (+i \mathrm{kL})}\right)=\left(\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}\right) . \nonumber \]
Las dos ecuaciones anteriores se pueden resolver para dar
\ [\ begin {align}
a &=\ frac {\ izquierda (\ frac {z_ {L}} {Z_ {0}} +1\ derecha) V_ {0}} {\ izquierda (\ izquierda (\ frac {z_ {L}} {Z_ {0}} +1\ derecha) +\ izquierda (\ frac {z_ {L}} {Z_ {0} -1\ derecha)\ exp (-2 i k L)\ derecha)}\ nonumber\\
b &=\ frac {\ izquierda (\ frac {Z_ {L}} {Z_ {0}} -1\ derecha) V_ {0}\ exp (-2 i k L)} {\ izquierda (\ izquierda (\ frac {Z_ {L}} {Z_ {0}} +1\ derecha) +\ izquierda (\ frac {Z_ {L}} {Z_ {0}} -1\ derecha)\ exp (-2 i k L)\ derecha)}. \ label {10.35}
\ end {align}\]
La impedancia vista por el generador se puede obtener a partir de la tensión y la corriente en z=0:
\[ \mathrm{Z}_{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{V}(\mathrm{z}=0)}{\mathrm{I}(\mathrm{z}=0)}=\frac{\mathrm{V}_{0}}{[\mathrm{a}-\mathrm{b}]} \mathrm{Z}_{0}, \nonumber \]
o
\[ \frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{G}}}{\mathrm{Z}_{0}}=\frac{\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}+1\right)+\left(\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}-1\right) \exp (-2 i \mathrm{kL})}{\left(\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}+1\right)-\left(\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}-1\right) \exp (-2 i \mathrm{kL})\right)}. \nonumber \]
O bien, introduciendo la impedancia reducida z G = Z L /Z 0 y la nueva variable\(\Gamma\), donde
\[\Gamma=\left(\frac{\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}-1}{\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}+1}\right)=\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{L}}-1}{\mathrm{z}_{\mathrm{L}}+1}\right) , \label{11.36}\]
uno encuentra
\[ \mathrm{z}_{\mathrm{G}}=\left(\frac{1+\Gamma \exp (-2 i \mathrm{kL})}{1-\Gamma \exp (-2 i \mathrm{kL})}\right)=\left(\frac{\exp (+i \mathrm{kL})+\Gamma \exp (-i \mathrm{kL})}{\exp (+i \mathrm{kL})-\Gamma \exp (-i \mathrm{kL})}\right). \label{11.37}\]
En el desarrollo anterior se ha asumido que el cable es sin pérdidas.
La expresión para la carga en el generador, Ecuación (\ ref {11.37}), es bastante complicada pero debería quedar claro que la impedancia vista desde el generador puede ser bastante diferente de la impedancia de carga especialmente si la longitud del cable, L, es comparable a, o mayor que, la longitud de onda del perturbación en el cable, λ, donde
\[ \mathrm{k}=\frac{2 \pi}{\lambda}=\omega / \mathrm{v}. \nonumber \]
Algunos ejemplos concretos pueden ayudar a formar una imagen de cómo se puede usar un cable para transformar una impedancia de carga.
11.6.1 Caso (1). Un cable cortocircuitado.
Para este caso Z L = 0 y\(\Gamma\) = -1 de la Ecuación (\ ref {11.36}) para que
En primer lugar, observe que la impedancia tal como se ve desde el generador no es en general igual a cero: de hecho, cuando la longitud del cable es tal que kL=\(\pi\) /2, 3\(\pi\) /2, 5\(\pi\) /2, etc. ¡el generador parece estar conectado a un circuito abierto! Si se toman en cuenta las pérdidas de cable (ver abajo), la carga en el generador será finita en estas longitudes pero grande en comparación con la impedancia característica siempre que la línea no sea demasiado larga. La condición kL=\(\pi\) /2 corresponde a un cable que tiene un cuarto de longitud de onda, L=λ/4. En segundo lugar, si la impedancia vista desde el generador no es cero (es decir, L no es un múltiplo de media longitud de onda) o infinita (L un múltiplo impar de un cuarto de longitud de onda) parece ser una reactancia pura si el cable no tiene pérdidas. Esto tiene sentido ya que un cable sin pérdidas y una carga sin pérdidas no pueden absorber ninguna energía del generador. Por ejemplo, si kL=\(\pi\) /4, L=λ/8, la impedancia en el generador es Z G = +iZ 0, y por lo tanto el generador busca una carga puramente inductiva.
11.6.2 Caso (2). Un cable abierto.
Para este caso ZL = ∞ y por lo tanto\(\Gamma\) = +1 de la Ecuación (\ ref {11.36}). La impedancia reducida en los terminales del generador viene dada por
\[\mathrm{z}_{\mathrm{G}}=\frac{1+\exp (-2 i \mathrm{kL})}{1-\exp (-2 i \mathrm{kL})}=-i \cot \mathrm{kL} . \nonumber \]
La carga del generador parece ser un circuito abierto si la longitud del cable es un múltiplo de media longitud de onda. Un cable cuya longitud es un múltiplo impar de un cuarto de longitud de onda presenta un cortocircuito al generador. Para otras longitudes de cable el generador parecería estar conectado a un condensador o un inductor de acuerdo a si cot kL era positivo o negativo.
11.6.3 Caso (3). El Cable es Terminado por la Impedancia Característica.
Para este caso\(\Gamma\) = 0 de la Ecuación (\ ref {11.36}) y por lo tanto la impedancia en el generador es z G = 1, o Z G = Z 0. La carga a través del generador es independiente de la longitud del cable.
11.6.4 Caso (4). Una Carga Pura Inductiva.
Que el inductor sea tal que Z L = iLΩ sea igual en magnitud a la impedancia característica, Z 0. Entonces z L = Z L /Z 0 y por lo tanto
\[\Gamma=\frac{i-1}{i+1}=+i . \nonumber \]
La carga normalizada en el generador, de la Ecuación (\ ref {11.37}), es
\[\mathrm{z}_{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{G}}}{\mathrm{Z}_{0}}=\left(\frac{1+\sin 2 \mathrm{kL}+i \cos 2 \mathrm{kL}}{1-\sin 2 \mathrm{kL}-i \cos 2 \mathrm{kL}}\right). \nonumber\]
En el límite como k L →\(\pi\) /4 (L→ λ/8) el generador parece estar conectado a un circuito abierto. Sin embargo, para una línea de cuarto de longitud de onda, kL =\(\pi\) /2, la carga del generador parece deberse a una capacitancia pura tal que 1/Cω = Z 0. Para KL=3\(\pi\) /4, L = 3λ/8, el generador busca un cortocircuito. Finalmente para un cable de media longitud de onda el generador ve una reactancia inductiva tal que Lω = Z 0. A medida que la longitud del cable se incrementa más, se repite todo el ciclo.
11.6.5 Caso (5). Una Carga Pura Capacitiva.
Que el condensador sea tal que Z L = −i/CΩ tenga la magnitud de la impedancia característica, Z 0. Para este caso z L = Z L /Z 0 = −i, y
\[ \Gamma=\frac{z_{L}-1}{z_{L}+1}=-i. \nonumber\]
La impedancia normalizada vista por el generador viene dada por
\[\mathrm{z}_{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{G}}}{\mathrm{Z}_{0}}=\left(\frac{1-\sin 2 \mathrm{kL}-i \cos 2 \mathrm{kL}}{1+\sin 2 \mathrm{kL}+i \cos 2 \mathrm{kL}}\right) . \nonumber \]
Este caso es muy similar al del cable terminado por un inductor. Para kL=\(\pi\) /4, L=λ/8, el generador se cortocircuita porque z G = 0. Para una línea de cuarto de longitud de onda, kL=\(\pi\) /2, el generador busca una inductancia pura, z G = +i. Para kL=3\(\pi\) /4, L=3λ/8, uno encuentra que z G → ∞ para que el generador parezca estar buscando en un circuito abierto. Finalmente, para una línea de media longitud de onda, kL=\(\pi\), se obtiene el mismo efecto que si la carga estuviera conectada directamente a través del generador. Todo el ciclo se repite a medida que aumenta la longitud del cable.
11.6.6 Resumen
A partir de los ejemplos anteriores se pueden extraer las siguientes conclusiones:
- Un cable actúa como un transformador de impedancia.
- Un cable sin pérdidas cuya longitud es un número integral de medias longitudes de onda largas efectivamente coloca la carga directamente a través de los terminales del generador, es decir, Z G = Z L.
- Un cable sin pérdidas cuya longitud es un múltiplo impar de un cuarto de longitud de onda actúa como un inversor de impedancia. Para este caso exp (−2ikL) = −1 para que de la Ecuación (\ ref {11.37})
\[\mathrm{z}_{\mathrm{G}}=\frac{1-\Gamma}{1+\Gamma} \equiv 1 / \mathrm{z}_{\mathrm{L}} . \nonumber \]
La fórmula para la impedancia en los terminales del generador en términos de la impedancia de carga y la longitud del cable que conecta la carga al generador, Ecuación (\ ref {11.37}), es muy complicada. Se han desarrollado métodos gráficos para determinar la carga en el generador dada la impedancia de carga, ZL y las características de la línea de transmisión. Un método muy común se basa en el uso de un gráfico de Smith: se describe en detalle en el libro” Medidas de microondas” de E.L.Ginzton, McGraw-Hill, Nueva York, 1957; sección 4.9. La necesidad de una técnica gráfica se ha vuelto mucho menos apremiante ahora que las computadoras digitales se han vuelto fácilmente disponibles.