12.2: Modos de orden superior

Los modos de guía de ondas discutidos anteriormente son muy simples porque presumieron que no hubo variación espacial de los campos a lo largo de la dirección y. Existen soluciones de guía de ondas de las ecuaciones de Maxwell que implican variaciones espaciales a lo largo de los tres ejes: estos modos de orden superior corresponden a la propagación coordinada de ondas planas cuyos vectores de onda forman un ángulo oblicuo con el eje guía para que se reflejen repetidamente desde las cuatro paredes. Estos modos se dividen naturalmente en dos clases:

1. Modos Eléctricos Transversales (TE);
2. Modos Magnéticos Transversales (TM).

Un modo eléctrico transversal es aquel en el que no hay componente del campo eléctrico paralelo a la dirección de propagación. Un modo magnético transversal es aquel en el que no hay componente del campo magnético paralelo a la dirección de propagación. Para ambas clases de modos se busca soluciones de ecuaciones de Maxwell que corresponden a ondas que se desplazan por la guía de ondas; es decir, se requiere que todos los componentes de campo sean proporcionales al fasor

\[\exp \left(i\left[\mathrm{k}_{\mathrm{g}} \mathrm{z}-\omega \mathrm{t}\right]\right). \nonumber\]

Además, es conveniente en este punto cambiar la descripción del sistema de coordenadas onda-guía para que el origen se ubique en una esquina de la tubería rectangular hueca como se muestra en la Figura (12.2.4): en el nuevo sistema las paredes de la guía están formadas por la intersección de los planos x=0, a e y=0, b. Para una variación de tiempo de la forma exp (−iωt), las ecuaciones de Maxwell se convierten en

\ [\ begin {align}
\ nombreoperador {curl} (\ overrightarrow {\ mathrm {E}}) &=i\ omega\ mu_ {0}\ overrightarrow {\ mathrm {H}},\ label {12.23}\\
\ nombreoperador {curl} (\ overrightarrow {\ mathrm {H}}) &=-i\ omega\ epsilon\ overrightarrow {\ mathrm {E}}. \ nonumber
\ end {align}\]

La divergencia de cualquier rizo es cero, y por lo tanto los campos eléctricos y magnéticos satisfacen las condiciones

\ [\ begin {align}
&d i v (\ overrightarrow {\ mathrm {E}}) =0,\ label {12.24}\\
&\ nombreoperador {div} (\ overrightarrow {\ mathrm {H}}) =0. \ nonumber
\ end {align}\]

Tenga en cuenta que las ecuaciones para\(\vec E\) y\(\vec H\) son muy similares. Esta simetría entre las ecuaciones para\(\vec E\) y se\(\vec H\) puede explotar para generar un segundo conjunto de soluciones a las ecuaciones de Maxwell a partir de un conjunto primario de campos que satisfacen las ecuaciones de Maxwell. Esto funciona de la siguiente manera: supongamos que uno ha encontrado los campos\(\vec E_{1}\) y\(\vec H_{1}\) que satisfacen Ecuaciones (\ ref {12.23}). Ahora considere un segundo conjunto de campos

\ [\ begin {align}
\ overrightarrow {\ mathrm {E}} _ {2} &=\ mathrm {Z}\ overrightarrow {\ mathrm {H}} _ {1},\ label {12.25}\
\ overrightarrow {\ mathrm {H}} _ {2} &=-\ overrightarrow {\ mathrm {E} _ {1}/\ mathrm {Z}. \ nonumber
\ end {align}\]

donde\(\mathrm{Z}=\sqrt{\mu_{0} / \epsilon}\) es la impedancia de onda para un medio caracterizado por una permeabilidad µ ₀ y una constante dieléctrica\(\epsilon\). Sustituya estos nuevos campos en Ecuaciones (\ ref {12.23}) para obtener

\[\operatorname{curl}\left(\overrightarrow{\mathrm{E}}_{2}\right)=i \omega \mu_{0} \overrightarrow{\mathrm{H}}_{2} . \nonumber\]

Figura\(\PageIndex{4}\): Una guía de ondas rectangular formada por paredes conductoras en x=0, x=a, y=0 e y=b El material sin pérdidas dentro de la guía se caracteriza por una constante\(\epsilon\) dieléctrica real y una permeabilidad µ ₀.

Tras la sustitución (\ ref {12.25}) esto se convierte

\[\operatorname{curl}\left(\overrightarrow{\mathrm{H}}_{1}\right)=-\frac{i \omega \mu_{0}}{\mathrm{Z}^{2}} \overrightarrow{\mathrm{E}}_{1}=-i \omega \epsilon \overrightarrow{\mathrm{E}}_{1}, \nonumber \]

y esto por hipótesis satisface las ecuaciones de Maxwell (\ ref {12.23}). Del mismo modo, desde (\ ref {12.23}) se tiene

\[\operatorname{curl}\left(\overrightarrow{\mathrm{H}}_{2}\right)=-i \omega \epsilon \overrightarrow{\mathrm{E}}_{2}. \nonumber\]

Tras la sustitución de Ecuaciones (\ ref {12.25}) se encuentra

\[\operatorname{curl}\left(\overrightarrow{\mathrm{E}}_{1}\right)=i \omega \mu_{0} \overrightarrow{\mathrm{H}}_{1}, \nonumber\]

para que los nuevos campos,\(\vec E_{2}\) y\(\vec H_{2}\) satisfagan ambas Ecuaciones (\ ref {12.23}). Claramente las ecuaciones (\ ref {12.24}) están satisfechas ya que\(\vec E_{2}\) y\(\vec H_{2}\) son proporcionales a\(\vec E_{1}\) y\(\vec H_{1}\). De ello se deduce que la prescripción de Ecuación (\ ref {12.25}) puede ser utilizada para generar un segundo conjunto diferente de soluciones para las ecuaciones de Maxwell a partir de un conjunto primario de soluciones. Este procedimiento a menudo se puede utilizar para evitar una gran cantidad de tedio computacional.

12.2.1 Modos TM.

Para continuar con el problema de la guía de onda rectangular es conveniente usar el potencial vectorial\(\vec A\), y el potencial escalar, V, donde

\ [\ begin {align}
&\ overrightarrow {\ mathrm {H}} =\ nombreoperador {curl} (\ overrightarrow {\ mathrm {A}}),\ label {12.26}\\
&\ overrightarrow {\ mathrm {E}} =-\ nombreoperador {grad} (\ mathrm {V}) -\ mu_ {0}\ frac {\ parcial\ overrightarrow {\ mathrm {A}}} {\ parcial\ mathrm {t}}. \ nonumber
\ end {align}\]

La elección

\[\mathrm{A}_{\mathrm{z}}=\mathrm{A}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \exp \left(i\left[\mathrm{k}_{\mathrm{g}} \mathrm{z}-\omega \mathrm{t}\right]\right), \label{12.27}\]

más A _x = A _y = 0 garantizará que el componente z del campo magnético,\(\vec H\), es cero: en otras palabras, esta elección del potencial vectorial generará solo modos TM, y

\ [\ begin {alineado}
&\ mathrm {H} _ {\ mathrm {x}} =\ frac {\ parcial\ mathrm {A} _ {\ mathrm {z}}} {\ parcial\ mathrm {y}}\\
&\ mathrm {H} _ {\ mathrm {y}} =-\ frac {\ parcial\ mathrm {A} _ {\ mathrm {z}}} {\ parcial\ mathrm {x}}
\ final {alineado}\]

Para una dependencia del tiempo exp (−iωt), y usando (\ ref {12.26}) en las ecuaciones de Maxwell (\ ref {12.23}), se encuentra

\[\operatorname{curlcurl}(\overrightarrow{\mathrm{A}})=\epsilon_{\mathrm{r}}\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)^{2} \overrightarrow{\mathrm{A}}+i \omega \epsilon \operatorname{grad}(\mathrm{V}). \nonumber\]

Pero en las coordenadas cartesianas

\[\operatorname{curlcurl}(\overrightarrow{\mathrm{A}})=-\nabla^{2} \overrightarrow{\mathrm{A}}+\operatorname{graddiv}(\overrightarrow{\mathrm{A}}), \nonumber\]

para que

\[\nabla^{2} \overrightarrow{\mathrm{A}}+\epsilon_{\mathrm{r}}\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)^{2} \overrightarrow{\mathrm{A}}=\operatorname{grad}(\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{A}})-i \omega \epsilon \mathrm{V}). \nonumber\]

Como se explica en el Capítulo (7), se puede establecer

\[i \omega \epsilon \mathrm{V}=\operatorname{div}(\overrightarrow{\mathrm{A}}), \nonumber\]

para que para este problema donde no hay cargas de manejo o corrientes uno encuentra

\[\nabla^{2} \overrightarrow{\mathrm{A}}+\epsilon_{\mathrm{r}}\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)^{2} \overrightarrow{\mathrm{A}}=0. \nonumber\]

En particular, si\(\vec A\) tiene solo un componente z se encuentra

\ [\ begin {align}
&\ nabla^ {2}\ mathrm {A} _ {\ mathrm {z}} +\ epsilon_ {\ mathrm {r}}\ left (\ frac {\ omega} {\ mathrm {c}}\ derecha) ^ {2}\ mathrm {A} _ {\ mathrm {z}} =0,\ label {12.28}\\
&a n d\ nonúmero\\
&i\ omega\ épsilon\ mathrm {V} =\ frac {\ parcial\ mathrm {A} _ {\ mathrm {z}}} {\ parcial \ mathrm {z}}. \ nonumber
\ end {align}\]

Requerimos soluciones que se propaguen a lo largo de z: es decir, soluciones que sean proporcionales a exp (ik _g z). Así escribe

\[\mathrm{A}_{\mathrm{z}}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{A}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \exp \left(i\left[\mathrm{k}_{\mathrm{g}} \mathrm{z}-\omega \mathrm{t}\right]\right), \nonumber\]

para los cuales A (x, y) debe satisfacer

\[\frac{\partial^{2} \mathrm{A}}{\partial \mathrm{x}^{2}}+\frac{\partial^{2} \mathrm{A}}{\partial \mathrm{Y}^{2}}-\mathrm{k}_{\mathrm{g}}^{2} \mathrm{A}+\epsilon_{\mathrm{r}}\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)^{2} \mathrm{A}=0. \label{12.29}\]

Esta ecuación es resuelta por productos de senos y cosenos:

\[\mathrm{A}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\text { constant }(\sin (\mathrm{px}) \text { or } \cos (\mathrm{px}))(\sin (\mathrm{qy}) \text { or } \cos (\mathrm{qy})), \nonumber\]

donde

\[\mathrm{p}^{2}+\mathrm{q}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{g}}^{2}=\epsilon_{\mathrm{r}}\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)^{2}. \label{12.30}\]

La combinación particular de senos y cosenos requerida debe elegirse de manera que\(\vec H\) satisfaga la condición límite que el componente normal de\(\vec H\) desaparece en las paredes de guía de ondas. Usando los componentes del campo magnético calculados a partir de la Ecuación (\ ref {12.26}) y el sistema de coordenadas de la Figura (12.2.4), se puede concluir fácilmente que requerimos

\[\mathrm{A}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{A}_{0} \sin \left(\frac{\mathrm{m} \pi \mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right) \sin \left(\frac{\mathrm{n} \pi \mathrm{y}}{\mathrm{b}}\right), \label{12.31}\]

para que

\ [\ begin {align}
\ mathrm {H} _ {\ mathrm {x}} &=\ frac {\ parcial\ mathrm {A}} {\ parcial\ mathrm {y}} =\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi} {\ mathrm {b}}\ derecha)\ mathrm {A} _ {0}\ sin\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ cos\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi\ mathrm {y}} {\ mathrm {b}}\ derecha),\ label {12.32}\\
\ mathrm {H} _ {\ mathrm {y}} &=-\ frac {\ parcial\ mathrm {A}} {\ parcial\ mathrm {x}} =-\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ mathrm {A} _ {0}\ cos\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ sin\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi\ mathrm {y}} {\ mathrm {b}}\ derecha),\ nonumber
\ fin {alinear}\]

donde m, n son números enteros, y la ecuación (\ ref {12.30}) se convierte

\[\left(\frac{m \pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n \pi}{b}\right)^{2}+k_{g}^{2}=\epsilon_{r}\left(\frac{\omega}{c}\right)^{2}. \label{12.33}\]

Observe que A _z =0 en las paredes de la guía de ondas. E _z es proporcional a _Az de manera que si _Az =0 en las paredes de la guía entonces el componente tangencial E _z también desaparecerá en las paredes de la guía de ondas como lo requieren las condiciones de contorno en los componentes tangenciales de E.

Los componentes del campo eléctrico se pueden calcular más fácilmente a partir de la segunda de Ecuaciones (\ ref {12.23}),

\ [\ begin {aligned}
\ operatorname {curl} (\ overrightarrow {\ mathrm {H}}) =-i\ épsilon\ omega\ overrightarrow {\ mathrm {E}}. \\
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {x}} =\ frac {-i} {\ épsilon\ omega}\ izquierda (\ frac {\ parcial\ mathrm {H} _ {\ mathrm {y}}} {\ parcial\ mathrm {z}}\ derecha),\\
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {y}} =\ frac {+i} {\ épsilon\ omega}\ izquierda (\ frac {\ parcial\ mathrm {H} _ {\ mathrm {x}}} {\ parcial\ mathrm {z}}\ derecha),\\
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {z}} =\ frac {i} {\ epsilon\ omega}\ izquierda [\ frac {\ parcial\ mathrm {H} _ {\ mathrm {y}}} {\ parcial\ mathrm {x}} -\ frac {\ parcial\ mathrm {H} _ _ {\ mathrm {x}} {\ parcial\ mathrm {y}} derecha].
\ end {alineado}\]

Los componentes resultantes del campo eléctrico son (dejando caer el factor exp (i [k _g z − ωt])):

\ [\ begin {align}
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {x}} &=-\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ izquierda (\ frac {\ mathrm {k} _ {\ mathrm {g}}} {\ épsilon\ omega}\ derecha)\ mathrm {A} _ 0}\ cos\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ sin\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi\ mathrm {y}} {\ mathrm {b}}\ derecha),\ label {12.34}\\
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {y}} &=-\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi} {\ mathrm {b}}\ derecha)\ izquierda (\ frac {\ mathrm {k} _ {\ mathrm {g}}} {\ epsilon\ omega}\ derecha)\ mathrm {A} _ {0}\ sin\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ cos\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi\ mathrm {y}} {\ mathrm {b}}\ derecha),\ nonumber\\
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {z}} &=\ left (\ frac {i} {\ epsilon\ omega}\ derecha)\ izquierda [\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi} {\ mathrm {a}}\ derecha) ^ {2} +\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi}\ mathrm {b}}\ derecha) ^ {2}\ derecha]\ mathrm {A} _ {0}\ sin\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ sin\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n} \ pi\ mathrm {y}} {\ mathrm {b}}\ derecho). \ nonumber
\ end {align}\]

Observe que estos componentes del campo eléctrico satisfacen el requisito de que los componentes tangenciales de E deben desaparecer en las paredes de la guía de ondas. Los componentes de campo Ecuaciones (\ ref {12.32}) y (\ ref {12.34}) corresponden al modo TM _mn.

Para una onda propagadora el valor de\(\mathrm{k}_{\mathrm{g}}^{2}\) calculado a partir de (\ ref {12.33}) debe ser positivo. Esto introduce una frecuencia de corte, ω _m, tal que k _g =0. Esta frecuencia de corte viene dada por

\[\epsilon_{\mathrm{r}}\left(\frac{\omega_{m}}{\mathrm{c}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{m} \pi}{\mathrm{a}}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{n} \pi}{\mathrm{b}}\right)^{2}. \label{12.35}\]

Para dimensiones interiores dadas de la guía de ondas hay un límite inferior a la frecuencia para la cual un modo particular puede propagarse a lo largo de la guía de ondas. Por ejemplo, una popular guía de ondas en banda X tiene dimensiones interiores a= 2.286 cm y b= 1.016 cm. Para esta guía el modo TM ₁₁ se puede propagar solo para frecuencias mayores a 16.15 GHz si\(\epsilon_{r}\) = 1. No hay modos de TM correspondientes a m=0 o n=0 ya que los campos son cero si m=0 o si n=0 porque A (x, y) =0 de la Ecuación (\ ref {12.31}). Por lo tanto, la frecuencia de TM más baja que se puede propagar por la guía anterior es de 16.15 GHz.

Los modos de TM no propagantes existen para frecuencias menores que la frecuencia de corte. Si ω < ω _m entonces k _g calculado a partir de (\ ref {12.30}) es negativo. Esto quiere decir que kg es un número puramente imaginario, k _g = iβ decir. El fasor exp (i [k _g z − ωt]) se convierte en exp (−βz) exp (−iωt) correspondiente a una perturbación que decae a una pequeña amplitud a lo largo de una distancia z ∼ (1/β).

12.2.2 Modos TE.

Existe otro grupo de modos para los que E _z = 0; estos son los modos TE. Usando las ecuaciones de relaciones de simetría (\ ref {12.25}) y los campos magnéticos (\ ref {12.32}) se podría adivinar que los campos eléctricos del modo TE deberían ser dados por (se suprime el factor exp (i [k _g z − ωt]))

\ [\ begin {alineado}
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {x}} =\ mathrm {Z}\ left (\ frac {\ mathrm {n}\ pi} {\ mathrm {b}}\ derecha)\ mathrm {A} _ {0}\ sin\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ cos\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi\ mathrm {y}} {\ mathrm {b}}\ derecha),\\
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {y}} =-\ mathrm {Z}\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ mathrm {A} _ {0}\ cos\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ sin\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi\ mathrm {y} {\ mathrm {b}}\ derecha).
\ end {alineado}\]

Estos campos eléctricos satisfacen las ecuaciones de Maxwell pero no satisfacen la condición límite de que los componentes tangenciales de\(\vec E\) deben desvanecerse en las paredes de guía de ondas: es decir. E _x =0 a y=0, b y E _y =0 a x=0, a (ver Figura (12.2.4)). Sin embargo, las siguientes ecuaciones para los componentes del campo eléctrico satisfacen las condiciones de límite requeridas:

\ [\ begin {alineado}
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {x}} =\ mathrm {E} _ {1}\ cos\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ sin\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi\ mathrm {y}} {mathrm {b}}\ derecha),\\
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {y}} =\ mathrm {E} _ _ {2}\ sin\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ cos\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi\ mathrm {y}} {\ mathrm {b}}\ derecha),\\
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {z}} =0.
\ end {alineado}\]

Estos componentes de campo desaparecen en las paredes de guía de olas. El campo eléctrico también debe satisfacer la ecuación de Maxwell div (\(\vec E\)) = 0. Esta condición requiere

\[\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{x}}}{\partial \mathrm{x}}+\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{y}}}{\mathrm{y}}=0. \nonumber\]

De ello se deduce que

\[\left(\frac{m \pi}{a}\right) E_{1}=-\left(\frac{n \pi}{b}\right) E_{2}. \nonumber\]

Usando esta relación entre _E1 y _E2, los componentes del campo eléctrico correspondientes a los modos TE en una guía de ondas rectangular tienen la forma:

\ [\ begin {align}
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {x}} =\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi} {\ mathrm {b}}\ derecha)\ mathrm {E} _ _ {0}\ cos\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}} derecha)\ sin\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi\ mathrm {y}} {\ mathrm {b}}\ derecha),\ label {12.36}\\
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {y}} =-\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ mathrm {E} _ {0}\ sin\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ cos\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi\ mathrm {y}} {\ mathrm {b}}\ derecha),\ nonumber\\
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {z}} =0,\ nonumber\ end {align}\]

donde E ₀ es una constante, y el factor exp (i [k _g z − ωt]) ha sido nuevamente suprimido. Los componentes del campo magnético correspondientes a las Ecuaciones (\ ref {12.36}) se pueden calcular a partir de la ley de Faraday: iωµ0\(\vec H\) = curl (\(\vec E\)). Los componentes de campo resultantes son

\ [\ begin {align}
\ mathrm {H} _ {\ mathrm {x}} &=\ frac {+i} {\ omega\ mu_ {0}}\ frac {\ parcial\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {y}}} {\ parcial\ mathrm {z}}\ etiqueta {12.37}\
&=\ frac {\ mathrm {k} {\ mathrm {g}}} {\ omega\ mu_ {0}}\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ mathrm {E} _ _ {0}\ sin\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ cos\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi\ mathrm {y}} {\ mathrm {b}}\ derecha),\ nonumber\
\ mathrm {H} _ {\ mathrm {y}} &=\ frac {-i} {\ omega\ mu_ {0}}\ frac {\ parcial\ mathrm {E} _ {\ mathrm {x}}} {\ parcial\ mathrm {z}}\ nonumber\\
&=\ frac {\ mathrm {k} _ _ {\ mathrm {g }}} {\ omega\ mu_ {0}}\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi} {\ mathrm {b}}\ derecha)\ mathrm {E} _ _ {0}\ cos\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ sin\ izquierda (\ frac {x}}\ mathrm {n}\ pi\ mathrm {y}} {\ mathrm {b}}\ derecha),\ nonumber\
\\ mathrm {H} _ {\ mathrm {z}} &=\ frac {-i} {\ omega\ mu_ {0}}\ izquierda (\ frac {\ parcial\ mathrm {E} _ {\ mathrm {y}}} {\ parcial\ mathrm {x}} -\ frac {\ parcial\ mathrm {E} _ {\ mathrm {x}}} {\ parcial\ mathrm {y}}\ derecha)\ nonumber\\
&=\ frac {i} {\ omega\ mu_ {0}}\ mathrm {E} _ _ {0}\ izquierda [\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi} {\ mathrm {a}}\ derecha) ^ {2} +\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi} {\ mathrm {b}}\ derecha) ^ {2}\ derecha]\ cos\ izquierda (\ frac {\ mathrm {m}\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ cos\ izquierda (\ frac {\ mathrm {n}\ pi\ mathrm {y}} {\ mathrm {b}}\ derecha). \ nonumber
\ end {align}\]

Eqns. (\ ref {12.36}) y (\ ref {12.37}) satisfacen las ecuaciones de Maxwell y también las condiciones de límite que los componentes tangenciales\(\vec E\) y los componentes normales de\(\vec H\) desaparecen en las paredes de guía de onda. El modo TE ₁₀ discutido en la sección (12.1) corresponde a m=1, n=0: para este modo E _x = 0 y H _y = 0. Haciendo referencia al sistema de coordenadas de la Figura (12.2.4), los componentes de campo para el modo TE ₁₀ son:

\ [\ begin {align}
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {y}} &=\ mathrm {A}\ sin\ izquierda (\ frac {\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ exp\ izquierda (i\ left [\ mathrm {k} _ _ {\ mathrm {g}}\ mathrm {z} -\ omega\ mathrm rm {t}\ derecha]\ derecha),\ label {12.38}\
\ mathrm {H} _ {\ mathrm {x}} &=-\ frac {\ mathrm {k} _ {\ mathrm {g}}} {\ omega\ mu_ { 0}}\ mathrm {A}\ sin\ izquierda (\ frac {\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ exp\ izquierda (i\ izquierda [\ mathrm {k} _ {\ mathrm {g}}\ mathrm {z} -\ omega\ mathrm {t}\ derecha]\ derecha),\ nonumber\
\ mathrm {H} _ {\ mathrm {z}} &=-\ frac {i} {\ omega\ mu_ {0}}\ left (\ frac {\ pi} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ mathrm {A}\ cos\ izquierda (\ frac {\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ exp\ izquierda (i\ izquierda [\ mathrm {k} _ {\ mathrm {g}}\ mathrm {z} -\ omega\ mathrm {t}\ derecha]\ derecha),\ nonumber\ end {align}\]

donde A es una constante y

\[\mathrm{k}_{\mathrm{g}}^{2}=\epsilon_{\mathrm{r}}\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)^{2}-\left(\frac{\pi}{\mathrm{a}}\right)^{2}. \label{12.39}\]

La frecuencia de corte para este modo, correspondiente a k _g =0, viene dada por

\[\epsilon_{\mathrm{r}}\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)^{2}=\left(\frac{\pi}{\mathrm{a}}\right)^{2}. \nonumber\]

Para la popular guía de ondas de banda X utilizada anteriormente con fines ilustrativos, uno tiene a=2.286 cm y b=1.016 cm. Para esta guía, y\(\epsilon_{r}\) = 1, el corte de

Tabla\(\PageIndex{1}\): Frecuencias de corte para los modos eléctricos transversales más bajos (TE) y los modos magnéticos transversales más bajos (TM) en guías de onda de banda X (guías de latón RG52/U o WR90). Las dimensiones internas de las guías de onda de banda X son a= 0.900 pulgadas = 2.286 cm, y b= 0.400 pulgadas = 1.016 cm. Las dimensiones externas de la guía son 1.00 x 0.50 pulgadas. Las frecuencias de corte se calcularon para\(\epsilon_{r}\) = 1 usando\(\left(\frac{\omega_{m n}}{\mathrm{c}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{m} \pi}{\mathrm{a}}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{n} \pi}{\mathrm{b}}\right)^{2}\).

la frecuencia para el modo TE ₁₀ es de 6.56 GHz. Las frecuencias de corte para varios modos en esta guía de ondas de banda X se enumeran en la Tabla (12.2.1). Observe que solo un modo, el modo TE ₁₀, se puede propagar a lo largo de esta guía de ondas para frecuencias entre 6.6 y 13.1 GHz.