12.5: Guías de onda circulares

Los detalles son diferentes, pero los modos sostenidos por una guía de ondas circular tienen mucho en común con los modos rectangulares de guía de ondas. Pueden, por ejemplo, clasificarse como modos eléctricos transversales (modos TE) en los que no hay componente de campo eléctrico a lo largo del eje guía, o como modos magnéticos transversales (modos TM) en los que no hay componente del campo magnético a lo largo del eje guía.

12.5.1 Modos TM.

Un potencial vectorial cuyos componentes transversales son cero pero para el cual A _z no es cero generará modos magnéticos transversales porque _Hz es necesariamente cero ya que curl (\(\vec A\)) tiene un componente z cero. A _z debe satisfacer la ecuación de onda (12.2.6) para que los campos generados por A _z satisfagan las ecuaciones de Maxwell:

\[\nabla^{2} \mathrm{A}_{\mathrm{z}}+\epsilon_{\mathrm{r}}\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)^{2} \mathrm{A}_{\mathrm{z}}=0. \label{12.56}\]

Es conveniente utilizar co-rdinatos polares cilíndricos (r, θ, z) debido a la simetría cilíndrica que implica la forma de una guía de ondas cilíndrica. Para una onda que viaja a lo largo de la dirección z, se puede escribir

\[\mathrm{A}_{\mathrm{z}}=\mathrm{A}(\mathrm{r}, \theta) \exp \left(i\left[\mathrm{k}_{\mathrm{g}} \mathrm{z}-\omega \mathrm{t}\right]\right). \nonumber\]

A partir de ahora\(\exp (i[k_gz − ωt])\) se entenderá el factor y no se escribirá explícitamente. Usando coordenadas polares cilíndricas La ecuación (\ ref {12.56}) se convierte

\[\frac{1}{\mathrm{r}} \frac{\partial}{\partial \mathrm{r}}\left(\mathrm{r} \frac{\partial \mathrm{A}}{\partial \mathrm{r}}\right)+\frac{1}{\mathrm{r}^{2}} \frac{\partial^{2} \mathrm{A}}{\partial \theta^{2}}+\left[\epsilon_{\mathrm{r}}\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)^{2}-\mathrm{k}_{\mathrm{g}}^{2}\right] \mathrm{A}=0. \nonumber\]

o ajuste

\[ \mathrm{k}_{\mathrm{c}}^{2}=\epsilon_{\mathrm{r}}\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)^{2}-\mathrm{k}_{\mathrm{g}}^{2}, \label{12.57}\]

y multiplicando por r ²

\[\mathrm{r} \frac{\partial}{\partial \mathrm{r}}\left(\mathrm{r} \frac{\partial \mathrm{A}}{\partial \mathrm{r}}\right)+\frac{\partial^{2} \mathrm{A}}{\partial \theta^{2}}+\mathrm{k}_{\mathrm{c}}^{2} \mathrm{r}^{2} \mathrm{A}=0. \label{12.58}\]

Ahora vamos a escribir la amplitud\(A(r,θ)\) como el producto de una función F (r) que depende únicamente del radio r y de la función cos (mθ), donde m es un entero. La constante m debe ser un entero así que\(A(r,θ)\) será de valor único en ángulo: es decir. A (r,0) debe ser igual a A (r,2\(\pi\) m). El uso de la función cos (mθ) es arbitrario. También podríamos usar sin (mθ) o una función de la forma\(f(θ) = a \cos (mθ) + b \sin (mθ)\), donde\(a\) y\(b\) son constantes. Todas estas opciones tienen en común que d ² f/dθ ² = −m ² f. Las diversas opciones de a, b simplemente equivalen a una elección de la orientación del patrón de modo de guía de ondas con respecto al eje θ = 0.

La ecuación para la función radial,\(F(r)\), se convierte

\[\mathrm{r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dr}}\left(\mathrm{r} \frac{\mathrm{d} \mathrm{F}}{\mathrm{dr}}\right)+\left(\mathrm{k}_{\mathrm{c}}^{2} \mathrm{r}^{2}-\mathrm{m}^{2}\right) \mathrm{F}=0. \label{12.59}\]

Esta ecuación para F (r) se puede poner en la forma estándar de la ecuación de Bessel mediante la introducción de un cambio de variable:

\[\mathrm{x}=\mathrm{k}_{\mathrm{c}} \mathrm{r}, \label{12.60}\]

entonces la Ecuación (\ ref {12.59}) se convierte

\[\mathrm{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x} \frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{dx}}\right)+\left(\mathrm{x}^{2}-\mathrm{m}^{2}\right) \mathrm{F}=0. \nonumber\]

Las soluciones de esta ecuación que permanecen finitas en r=0 son

\[\mathrm{F}(\mathrm{x})=\mathrm{J}_{\mathrm{m}}(\mathrm{x}), \nonumber\]

donde J _m (x) son las funciones de Bessel de orden entero porque m es un entero. Ver” Schaum's Outline Series, Mathematical Handbook” de Murray R. Spiegel, McGraw-Hill, Nueva York, 1968, Capítulo 24. La forma requerida del potencial vectorial es

\[\mathrm{A}(\mathrm{r}, \theta)=\mathrm{A}_{0} \mathrm{J}_{\mathrm{m}}\left(\mathrm{k}_{\mathrm{c}} \mathrm{r}\right) \cos (\mathrm{m} \theta), \label{12.61}\]

donde A ₀ es una constante, y k _c viene dada por la Ecuación (\ ref {12.57}).

Los componentes del campo magnético se obtienen de\(\vec H\) = curl (\(\vec A\)):

\ [\ begin {align}
\ mathrm {H} _ {\ mathrm {r}} &=\ frac {1} {\ mathrm {r}}\ izquierda (\ frac {\ parcial\ mathrm {A} _ {\ mathrm {z}}} {\ parcial\ theta}\ derecha) =\ frac {-\ mathrm {m}} {\ mathrm {r}\ mathrm {A} _ {0}\ mathrm {J} _ {\ mathrm {m}}\ izquierda (\ mathrm {k} _ _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {r}\ derecha)\ sin (\ mathrm {m}\ theta),\ label {12.62}\\
\ mathrm {H} _ {\ theta} &=-\ izquierda (\ frac {\ parcial\ mathrm {A} _ {\ mathrm {z}}} {\ parcial\ mathrm {r}}\ derecha) =-\ mathrm {k} _ _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {A} _ {0}\ mathrm {J} _ _ {\ mathrm {m}}\ left (\ mathrm {k} _ _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {r}\ derecha)\ cos (\ mathrm {m}\ theta),\ nonumber\
\ mathrm {H} _ _ {\ mathrm {z}} &=0,\ nonumber
\ end {align}\]

(todos estos se multiplican por el factor exp (i [k _g z − ωt]), por supuesto). La notación\(\dot{\mathrm{J}}_{\mathrm{m}}(\mathrm{x})\) significa la derivada de la función de Bessel con respecto al argumento x.

Los componentes del campo eléctrico se pueden calcular a partir de\(\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{H}})=-i \omega \epsilon \overrightarrow{\mathrm{E}}\):

\ [\ begin {align}
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {r}} &=\ frac {-i} {\ epsilon\ omega}\ izquierda (\ frac {\ parcial\ mathrm {H} _ {\ theta}} {\ parcial\ mathrm {z}}\ derecha) =-\ frac {\ mathrm {k} _ _ {\ mathrm {g}} {\ épsilon\ omega}\ mathrm {k} _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {A} _ {0}\ punto {\ mathrm {J}} _ {\ mathrm {m}}\ left (\ mathrm {k} _ _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {r} \ derecha)\ cos (\ mathrm {m}\ theta),\ label {12.63}\
\ mathrm {E} _ {\ theta} &=\ frac {i} {\ épsilon\ omega}\ izquierda (\ frac {\ parcial\ mathrm {H} _ _ {\ mathrm {r}}} {\ parcial\ mathrm z {}}\ derecha) =\ frac {\ mathrm {k} _ {\ mathrm {g}}} {\ epsilon\ omega}\ frac {\ mathrm {m}\ mathrm {A} _ {0}} {\ mathrm {r}}\ mathrm {J} _ _ {\ mathrm {m}}\ left (\ mathrm {k} _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {r}\ derecha)\ sin (\ mathrm {m}\ theta),\ nonumber\\
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {z}} &=\ frac {i} {\ epsilon\ omega}\ frac {1} {\ mathrm {r}}\ izquierda (\ frac {\ parcial} {\ parcial\ mathrm {r}}\ izquierda (\ mathrm {r}\ mathrm {H} _ {\ theta}\ derecha) -\ frac {\ parcial\ mathrm {H} _ {\ mathrm {r}}} {\ parcial\ theta}\ derecha)\ nonumber\\
&=\ frac {-i} {\ epsilon\ omega}\ frac {\ mathrm {A} _ {0}} {\ mathrm {r} ^ {2}}\ left (\ mathrm {k} _ _ {\ mathrm {c}} ^ {2}\ mathrm {r} ^ {2}\ ddot {\ mathrm {J} _ {\ mathrm {m}} +\ mathrm {k} _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {r}\ punto {\ mathrm {J}} _ {\ mathrm {m}} -\ mathrm {m} ^ {2}\ mathrm {J} _ _ {\ mathrm {m}}\ derecha)\ cos (\ mathrm {m}\ theta). \ nonumber
\ end {align}\]

La expresión para E _z puede simplificarse porque J _m (k _c r) debe satisfacer la ecuación diferencial (\ ref {12.59}), por lo tanto

\[\left(\mathrm{k}_{\mathrm{c}}^{2} \mathrm{r}^{2} \ddot{\mathrm{J}}_{\mathrm{m}}+\mathrm{k}_{\mathrm{c}} \mathrm{r} \dot{\mathrm{J}}_{\mathrm{m}}+\mathrm{k}_{\mathrm{c}}^{2} \mathrm{r}^{2} \mathrm{J}_{\mathrm{m}}-\mathrm{m}^{2} \mathrm{J}_{\mathrm{m}}\right)=0. \nonumber\]

El uso de esta expresión E _z se convierte

\[\mathrm{E}_{\mathrm{z}}=i \frac{\mathrm{k}_{\mathrm{c}}^{2}}{\epsilon \omega} \mathrm{A}_{0} \mathrm{J}_{\mathrm{m}}\left(\mathrm{k}_{\mathrm{c}} \mathrm{r}\right) \cos (\mathrm{m} \theta). \label{12.64}\]

Los campos de Ecuaciones (\ ref {12.62}) y (\ ref {12.63}) satisfacen las ecuaciones de Maxwell. También deben satisfacer las condiciones de contorno E _θ =0, E _z =0 y H _r =0 en las paredes de la guía de ondas. Deje que el radio interior de la guía de ondas sea R metros. Las condiciones límite se pueden cumplir si J _m (k _c R) =0. Esta condición fija los valores permitidos para k _c y, por lo tanto, fija k _g a través de la ecuación (\ ref {12.57})

\[\mathrm{k}_{\mathrm{g}}^{2}=\epsilon_{\mathrm{r}}\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)^{2}-\mathrm{k}_{\mathrm{c}}^{2}. \label{12.65}\]

En el cuadro (12.5.2) se enumeran las cuatro raíces más bajas de la ecuación J _m (x) =0 para las funciones de Bessel con m=0,1,2 y 3. Estas raíces determinan el vector onda, k _g. En particular, determinan la frecuencia mínima para la que la energía se puede propagar por la guía de ondas. Las frecuencias de corte corresponden a k _g =0, y están dadas por

\[\frac{\omega}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{c}}}{\sqrt{\epsilon_{\mathrm{r}}}}. \label{12.66}\]

Para tomar un ejemplo concreto, supongamos que R=1cm =0.01m. El modo TM más bajo corresponde a m=0 y a la primera raíz de la función J ₀ de Bessel: esto se llama el modo TM ₀₁. Para este caso

\ [\ begin {align}
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {r}} &=-\ frac {\ mathrm {k} _ {\ mathrm {g}}} {\ epsilon\ omega}\ mathrm {k} _ _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {A} _ {0}\ punto {\ mathrm {J} _ {0} izquierda\ (\ mathrm {k} _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {r}\ derecha),\ label {12.67}\\
\ mathrm {E} _ _ {\ theta} &=0,\ nonumber\\
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {z}} &=i\ frac {\ mathrm {k} _ {\ mathrm {c}} ^ {2}} {\ epsilon\ omega}\ mathrm {A} _ {0}\ mathrm {J} _ {0}\ left (\ mathrm {k} _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {r}\ derecha),\ nonumber\\
\ mathrm {H} _ {\ mathrm {r}} &=0,\ nonumber\\
\ mathrm {H} _ {\ theta} &=-\ mathrm {k} _ _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {A} _ {0}\ punto {\ mathrm {J}} _ {0}\ izquierda (\ mathrm {k} _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {r}\ derecha),\ nonumber\
\ mathrm {H} _ _ {\ mathrm {z}} &=0,\ nonumber
\ end {align}\]

Aquí k _c = 2.4048/R = 240.48 por metro. Esto corresponde a una frecuencia de corte de 11.48 GHz para\(\epsilon_{r}\) =1. El patrón de modo TM ₀₁ se muestra en la Figura (12.5.12 (b)).

Cuadro\(\PageIndex{2}\): Los valores de x correspondientes a las raíces de las ecuaciones J _m (x) =0 y\(\dot{\mathrm{J}}_{\mathrm{m}}(\mathrm{x})=0\) para las primeras cuatro funciones de Bessel.

Figura\(\PageIndex{12}\): Distribuciones de campo eléctrico y magnético para los modos TE ₀₁ y TM ₀₁ en una guía de ondas circular. Las líneas discontinuas representan el campo magnético, las líneas completas el campo eléctrico.

12.5.2 Modos TE.

Usando las relaciones de simetría (12.2.3) se pueden anotar los componentes del campo eléctrico correspondientes a los modos eléctricos transversales directamente desde Ecuaciones (\ ref {12.62}):

\ [\ begin {align}
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {r}} &=\ frac {\ mathrm {me} _ {0}} {\ mathrm {r}}\ mathrm {J} _ {\ mathrm {m}}\ left (\ mathrm {k} _ _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {r}\ derecha)\ sin (\ mathrm {c}}\ mathrm {r}\ derecha)\ sin (\ mathrm {c}}\ mathrm {r} rm {m}\ theta),
\ label {12.68}\\\ mathrm {E} _ {\ theta} &=\ mathrm {k} _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {E} _ {0}\ mathrm {J} _ _ {\ mathrm {m}}\ izquierda (\ mathrm {k} _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {r}\ derecha)\ cos (\ mathrm {m}\ theta),\ nonumber\\
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {z}} &=0,\ nonumber
\ end {align}\]

donde, como antes,

\[\mathrm{k}_{\mathrm{c}}^{2}=\epsilon_{\mathrm{r}}\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)^{2}-\mathrm{k}_{\mathrm{g}}^{2}. \nonumber\]

Los componentes del campo magnético se pueden calcular a partir de\(\operatorname{curl}(\overrightarrow{\mathrm{E}})=i \omega \mu_{0} \overrightarrow{\mathrm{H}}\):

\ [\ begin {align}
\ mathrm {H} _ {\ mathrm {r}} &=\ frac {i} {\ omega\ mu_ {0}}\ frac {\ parcial\ mathrm {E} _ _ {\ theta}} {\ parcial\ mathrm {z}} =-\ frac {\ mathrm {k} _ _ {\ mathrm {g}}\ mathrm {k} _ {\ mathrm {c}}} {\ omega\ mu_ {0}}\ mathrm {E} _ {0}\ punto {\ mathrm {J}} _ {\ mathrm {m}}\ left (\ mathrm {k} _ _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {r}\ derecha)\ cos (\ mathrm {m}\ theta),\ label {12.69}\
\ mathrm {H} _ {\ theta} &=\ frac {-i} {\ omega\ mu_ {0}}\ frac {\ parcial\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {r}}} {\ parcial\ mathrm {z}} =\ frac {\ mathrm {k} _ mathrm {g}}} {\ omega\ mu_ {0}}\ frac {\ mathrm {m}\ mathrm {E} _ {0}} {\ mathrm {r}}\ mathrm {J} _ _ {\ mathrm {m}}\ left (\ mathrm {k} _ _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {r}\ derecha)\ sin (\ mathrm {m}\ theta),\ nonumber\\
\ mathrm {H} _ {\ mathrm {z}} &=\ frac {-i} {\ omega\ mu_ {0}\ mathrm {r}}\ left [\ frac {\ parcial} {\ parcial\ mathrm {r}}\ izquierda (\ mathrm {r}\ mathrm {E} _ {\ theta}\ derecha) -\ frac {\ parcial\ mathrm {E} _ {\ mathrm {r}}} {\ parcial\ theta}\ derecha]\ nonumber\\
&=\ frac {i\ mathrm {k} _ {\ mathrm {c}} ^ {2}} {\ omega\ mu_ {0}}\ mathrm {E} _ {0} _ {0}\ mathrm {J} _ {\ mathrm {m}}\ left (\ mathrm {k} _ _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {r}\ derecha)\ cos (\ mathrm {k} _ {\ mathrm {c}}\ mathrm {r}\ derecha)\ cos (\ rm {m}\ theta). \ nonumber
\ end {align}\]

En Ecuaciones (\ ref {12.69}) se ha suprimido el factor exp (i [k _g z − ωt]). La forma simple para H _z se ha obtenido utilizando el hecho de que J _m (k _c r) debe satisfacer la Ecuación (\ ref {12.59}), la ecuación diferencial para la función radial F (r). Para satisfacer las condiciones límite E _θ =0 y H _r =0 en las paredes de guía de ondas k _c R se deben establecer igual a una de las raíces de la ecuación\(\dot{\mathrm{J}}_{\mathrm{m}}\left(\mathrm{k}_{\mathrm{c}} \mathrm{r}\right)=0\), donde R es el radio interno de la guía de ondas. Las cuatro raíces más bajas de se\(\dot{\mathrm{J}}_{\mathrm{m}}(\mathrm{x})=0\) han enumerado en la Tabla (12.5.2) para las cuatro primeras funciones de Bessel. La frecuencia de corte más baja ocurre para la primera raíz de\(\dot{J}_{1}(x)\): este modo se llama el modo TE ₁₁. La frecuencia de corte para el modo TE ₁₁ es de 8.79 GHz para\(\epsilon_{r}\) =1 y R= 1cm. Compare esto con la frecuencia de corte para el modo TM ₀₁, 11.48 GHz. Por lo tanto, en el intervalo de frecuencia de 8.79 a 11.48 GHz una tubería circular llena de aire que tiene un radio interno de R=1cm puede soportar solo un solo modo, el modo TE ₁₁. El patrón de modo TE ₁₁ se muestra en la Figura (12.5.13).

Figura\(\PageIndex{13}\): Líneas de campo eléctrico para el modo TE ₁₁ en una guía de ondas cilíndrica. Las líneas de campo eléctrico deben ser normales a las paredes en R=R, donde R es el radio interno de la guía de ondas. Las líneas de campo magnético son ortogonales a las líneas de campo eléctrico, y H _r =0 a r=R.

El modo TE ₀₁ es de particular interés; el patrón de modo se muestra en la Figura (12.5.12 (a)). Este modo es muy útil para la construcción de cavidades de alta Q de frecuencia variable. La longitud de la cavidad puede ser alterada por medio de un pistón deslizante. No es necesario fluir corrientes a través del hueco entre el pistón y las paredes del cilindro para el modo TE ₀₁: las líneas de corriente en la cara del pistón son similares a las líneas de campo eléctrico mostradas en la Figura (12.5.12 (a)) y son círculos concéntricos. Incluso si el pistón no hace un buen contacto eléctrico con las paredes de la cavidad, las líneas de campo en el modo TE ₀₁ permanecen inalteradas por cualquier pequeño espacio entre el pistón y las paredes del cilindro. Este modo se utiliza a menudo para construir medidores de frecuencia de microondas.

Los modos de guía de ondas se discuten en detalle en el libro” Electron Spin Resonance” de Charles P. Poole, 2cd Edition, John Wiley and Sons, Nueva York, 1983.