12.4: Pérdidas de energía en las paredes de la guía de ondas

Cuando un metal se expone a un campo magnético variable en el tiempo, se inducen corrientes parásitas que fluyen para proteger el interior del metal del campo magnético. Deje que la intensidad del campo magnético en la superficie metálica sea H ₀, y deje que el campo se oriente a lo largo de la dirección y. El campo magnético decae hacia el interior del metal, Capítulo (10), sección (10.4), según la fórmula

\[\mathrm{H}_{\mathrm{y}}(\xi)=\mathrm{H}_{0} \exp (i[\mathrm{k} \xi-\omega \mathrm{t}]), \nonumber\]

donde mide la distancia en el metal a lo largo de la normal a la superficie; se supone que la superficie metálica se encuentra en el plano y-z. El vector de onda, k, viene dado por

\[\mathrm{k}=\sqrt{\frac{\omega \sigma \mu_{0}}{2}}(1+i). \nonumber\]

El campo eléctrico que genera las corrientes de blindaje en el metal es ortogonal al campo magnético y paralelo a la superficie metálica:

\[\mathrm{E}_{\mathrm{z}}(\xi)=\left(\frac{i \mathrm{k}}{\sigma}\right) \mathrm{H}_{0} \exp (i[\mathrm{k} \xi-\omega \mathrm{t}]). \nonumber\]

El vector Poynting en la superficie metálica se dirige hacia el metal; su promedio de tiempo viene dado por

\[<\mathrm{S}_{\xi}>=\frac{\left|\mathrm{H}_{0}\right|^{2}}{2} \sqrt{\frac{\omega \mu_{0}}{2 \sigma}} \quad W a t t s / m^{2}. \label{12.46}\]

Esta energía se convierte en calor en la pared metálica. Este calor Joule debe, por supuesto, ser suministrado por las microondas que se propagan a lo largo de la guía, y resulta en una disminución gradual de la intensidad de la señal. La resistividad del latón es típicamente ρ = 8×10 ⁻⁸ Ohm-metros correspondiente a σ = 1/ρ = 1.25×10 ⁷ por Ohm-m a temperatura ambiente. La tasa de pérdida de energía a una pared de guía de ondas de latón a temperatura ambiente y para una frecuencia de 10 GHz es

\[<\mathrm{S}_{\xi}>=0.028\left|\mathrm{H}_{0}\right|^{2} \quad \text { Watts } / m^{2}. \label{12.47}\]

Dado que se pierde energía en las paredes de la guía de ondas, la energía promedio que se mueve hacia abajo de la guía debe disminuir con la distancia, y por lo tanto la amplitud de la onda debe disminuir. Para el modo TE ₁₀ uno tiene (usando el sistema de coordenadas de la Figura (12.2.4))

\ [\ begin {align}
\ mathrm {H} _ {\ mathrm {z}} &=\ mathrm {H} _ {0}\ cos\ left (\ frac {\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ exp (i [\ mathrm {kg}\ mathrm {z} -\ omega\ mathrm {t}]),\ etiqueta {12.48}\\
\ mathrm {H} _ {\ mathrm {x}} &=-i\ left (\ frac {\ mathrm {k} _ _ {\ mathrm {g}}} {\ pi/\ mathrm {a}}\ derecha)\ mathrm {H} _ {0}\ sin\ izquierda (\ frac {\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ exp (i [\ mathrm {kg}\ mathrm {z} -\ omega\ mathrm {t}]),\ nonumber\
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {y}} &=i\ left (\ frac\ omega\ mu_ {0}} {\ pi/\ mathrm {a}}\ derecha)\ mathrm {H} _ {0}\ sin\ izquierda (\ frac {\ pi\ mathrm {x}} {\ mathrm {a}}\ derecha)\ exp (i [\ mathrm {kg}\ mathrm {z} -\ omega\ mathrm {t}]). \ nonumber
\ end {align}\]

La tasa promedio a la que se transporta la energía más allá de una sección transversal de guía de ondas se puede calcular\(<\mathrm{S}_{\mathrm{z}}>=(1 / 2) \operatorname{Real}\left(-\mathrm{E}_{\mathrm{y}} \mathrm{H}_{\mathrm{x}}^{*}\right)\) y esta debe integrarse sobre el área de la guía:

\[P_{z}=\frac{d E}{d t}=\left(\frac{a b}{4}\right) \frac{\omega \mu_{0} k_{g}}{(\pi / a)^{2}} H_{0}^{2} \quad W a t t s. \label{12.49}\]

Apliquemos estas ideas para calcular la velocidad a la que una señal de microondas que se propaga en una guía de ondas de banda X de latón decae con la distancia. La pérdida de energía por segundo por unidad de longitud de guía debido a las pérdidas de corrientes parásitas en los lados estrechos de la guía viene dada por

\[\frac{\mathrm{d}<\mathrm{P}_{1}>}{\mathrm{d} \mathrm{z}}=(2 \mathrm{b}) \mathrm{H}_{0}^{2}(0.028) \quad \text { Watts }; \label{12.50}\]

estas pérdidas se deben al componente _Hz cuya amplitud en las paredes es H ₀. El factor dos surge porque hay contribuciones de dos muros; el factor 0.028 proviene de la Ecuación (\ ref {12.47}). La contribución de las pérdidas de energía en los lados anchos de la guía de ondas es más complicada ya que hay dos componentes de campo magnético H _x y _Hz, y ambos componentes deben promediarse sobre la dependencia espacial x:

\[\frac{\mathrm{d}<\mathrm{P}_{2}>}{\mathrm{d} \mathrm{z}}=(2 \mathrm{a})\left(\frac{\mathrm{H}_{0}^{2}}{2}\right)\left[1+\left(\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{g}}}{\pi / \mathrm{a}}\right)^{2}\right](0.028) \text { Watts. }. \label{12.51}\]

Así, la potencia que pasa por la sección transversal de guía debe disminuir en la distancia dz en una cantidad que viene dada por la suma de Ecuaciones (\ ref {12.50}) y (\ ref {12.51}):

\[\mathrm{d} \mathrm{P}=(0.028) \mathrm{H}_{0}^{2}\left[2 \mathrm{b}+\mathrm{a}\left(1+\left(\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{g}}}{\pi / \mathrm{a}}\right)^{2}\right)\right] \mathrm{d} \mathrm{z}. \label{12.52}\]

Diferenciando la Ecuación (\ ref {12.49}) se obtiene

\[\mathrm{d} \mathrm{P}=\left(\frac{\mathrm{ab}}{2}\right)\left(\frac{\omega \mu_{0} \mathrm{k}_{\mathrm{g}}}{(\pi / \mathrm{a})^{2}}\right) \mathrm{H}_{0}\left(\frac{\mathrm{d} \mathrm{H}_{0}}{\mathrm{d} \mathrm{z}}\right) \mathrm{d} \mathrm{z}. \label{12.53}\]

Ecuación de Ecuaciones (\ ref {12.52}) y (\ ref {12.53}) da una ecuación para la tasa de cambio de la amplitud de onda, H ₀, con la distancia

\[\frac{\mathrm{d} \mathrm{H}_{0}}{\mathrm{d} \mathrm{z}}=-\mathrm{H}_{0}\left(\frac{0.056(\pi / \mathrm{a})^{2}}{\omega \mu_{0} \mathrm{k}_{\mathrm{g}}}\right)\left[\frac{2}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{b}}\left(1+\left(\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{g}}}{\pi / \mathrm{a}}\right)^{2}\right)\right]. \nonumber\]

Esto se puede reescribir en el formulario

\[\frac{\mathrm{d} \mathrm{H}_{0}}{\mathrm{d} \mathrm{z}}=-\gamma \mathrm{H}_{0}, \label{12.54}\]

donde para la guía de ondas de banda X (a=2.29 cm, b=1.02 cm) y para una frecuencia de 10 GHz kg = 158 m ⁻¹ y γ = 2.67 × 10 ⁻² por metro. La ecuación (\ ref {12.54}) implica que la amplitud de una onda que se propaga a lo largo de una guía de ondas cae exponencialmente

\[\mathrm{H}_{0}=\mathrm{A} \exp (-\gamma \mathrm{z}); \label{12.55}\]

la amplitud disminuye 1/e después de haber recorrido una distancia de z= 1/γ metros. Esta distancia es de 37,5 metros para la guía de ondas de banda X a 10 GHz.