13.3: Capítulo 3

Problema (3.1)

Se desea construir un condensador de 100 pF utilizando un espaciador mylar de 10 ^-4 m. de espesor, ε _r = 3.0, colocado entre dos placas metálicas. ¿Qué tan grande se requiere un área para los electrodos metálicos?

Respuesta (3.1)

\(C=\frac{A E_{r} \varepsilon_{0}}{D}=\frac{3 A}{10^{-4}} \left(8.84 \times 10^{-12}\right) \ \text { Farads }=10^{-10} \ \text {Farads; }\)

\(A=3.77 \times 10^{-4} \ \text{m}^{2}=3.8 \ \text{cm}^{2}\),

es decir, uno requiere electrodos aprox. 2x2 cm cuadrados.

Problema (3.2)

Una pequeña gota de aceite se caracteriza por una constante dieléctrica relativa ε _r = 1.5 y una densidad de 800 kg/m ³; su radio es R= 10 ^-4 m, se coloca entre placas condensadoras que son paralelas y que están separadas por 1 cm. La gota de aceite está sin carga. Se coloca una diferencia de potencial de 100 voltios a través de las placas del condensador. La constante dieléctrica relativa del aire puede tomarse para ser ε _r = 1.00.

a) Estimar el momento dipolar inducido en la caída por el campo eléctrico.

b) ¿Qué tan grande se requeriría un gradiente de campo para suspender la caída en el campo gravitacional?

Respuesta (3.2)

(a) La función potencial fuera de la gota tiene la forma

\[V_{2}=-E_{0} r \cos \theta+\frac{b \cos \theta}{r^{2}}\nonumber;\]

La función potencial dentro de la gota tiene la forma

\[\text{V}_{1}=-\text{a} \operatorname{rcos} \theta\nonumber.\]

A r= R, estos potenciales deben satisfacer las dos condiciones límite

1) La función potencial debe ser continua;

y (2) El componente normal de D debe ser continuo.

Estas condiciones de contorno requieren

\[a+\frac{b}{R^{3}}=E_{0}\nonumber\]

\[a-\frac{2}{\varepsilon_{r}} \frac{b}{R^{3}}=\frac{E_{0}}{\varepsilon_{r}}\nonumber.\]

Estas ecuaciones tienen las soluciones

\(a=\left(\frac{3 E_{0}}{\varepsilon_{r}+2}\right) \quad \quad b=\left(\frac{\varepsilon_{r}-1}{\varepsilon_{r}+2}\right) R^{3} E_{0}\)

Por lo tanto, el momento dipolo en la esfera viene dado por

\[\text{p}_{\text{z}}=4 \pi \varepsilon_{0} \text{R}^{3}\left(\frac{\varepsilon_{\text{r}}-1}{\varepsilon_{\text{r}}+2}\right) \text{E}_{0}\nonumber\]

Para el presente caso

\[p_{z}=\left(\frac{10^{-12}}{9 \times 10^{9}}\right)\left(\frac{0.5}{3.5}\right)\left(\frac{100}{10^{-2}}\right)=1.59 \times 10^{-19} \ \text {Coulomb-meters. }\nonumber\]

(b) La fuerza gravitacional sobre la gota es

\[F_{g}=m g=\frac{4 \pi R^{3}}{3} (800)(9.8)=3.28 \times 10^{-8} \text {Newtons. }\nonumber\]

Para suspender la caída uno requeriría

\[p_{z} \frac{d E_{z}}{d z}=3.28 \times 10^{-8} \text{N}\nonumber.\]

Esto implica un gradiente de campo de ¡\(\mathbf{\frac{d E_{z}}{d z}=2.07 \times 10^{11} \text { Volts/meter. }}\)Este es un gradiente de campo enorme!

Problema (3.3)

Este problema se refiere al cálculo de la constante dieléctrica para un material compuesto por una red de átomos cada uno de los cuales lleva un momento dipolo eléctrico permanente que es libre de rotar. El cálculo sigue el artículo de L.Onsager, J.Amer.Chem.Soc. 58 ,1486-1493 (1936). Según el modelo Onsager, cada dipolo eléctrico, de fuerza p, se ubica en el centro de una esfera de radio R: dentro de la esfera la constante dieléctrica relativa es 1, fuera de la esfera la constante dieléctrica relativa es ε _r. Se supone que el agujero esférico representa el volumen del átomo que lleva el dipolo. El campo eléctrico promedio en el material alejado del dipolo bajo examen es uniforme, tiene el valor E, y se dirige a lo largo de z.

(a) Calcular el campo en la cavidad en ausencia del momento dipolar; que este campo sea E _c.

(b) Calcular el campo dentro de la cavidad para el caso en que el dipolo esté presente en la cavidad pero la intensidad de campo promedio aplicada sea cero, es decir, E=0. Dejar que el campo en la cavidad debido a la presencia del dipolo sea el campo de reacción R. Observe que el campo de reacción siempre es paralelo a la dirección del dipolo. El campo fuera de la cavidad es un campo dipolar; ¿cuál es el momento dipolar efectivo correspondiente?

(c) El campo total en la cavidad debido tanto a la presencia del dipolo como por el campo aplicado E se puede obtener por superposición. El resultado es la suma vectorial del campo de cavidad, E _c, y el campo de reacción, R. Sin embargo, R no ejerce ningún par sobre el dipolo porque es paralelo con él. La energía potencial del dipolo eléctrico debido a la presencia del campo de la cavidad viene dada por

\[\text{U}_{\text{d}}=-\mathbf{p} \cdot \mathbf{E}_{\text{C}}=-\text{p} \text{E}_{\text{C}} \operatorname{Cos} \theta\nonumber\]

Si pE _c es pequeño comparado con kT se puede demostrar, usando mecánica estadística estándar, que el valor promedio de Cosθ por agitación térmica es

\[<\cos \theta>=\left(\frac{\text{pE}_{\text{C}}}{3 \text{kT}}\right)\nonumber\]

Utilice este resultado para calcular el valor medio de la polarización por unidad de volumen. Deje que la densidad numérica de dipolos sea N por m ³.

d) Utilizar los resultados de la parte (c) para mostrar que la constante dieléctrica del medio está relacionada con el momento dipolar atómico individual, p, a través de la expresión

\[\varepsilon_{\text{r}}-1=\left(\frac{\varepsilon_{\text{r}}}{1+2 \varepsilon_{\text{r}}}\right)\left(\frac{\text{Np}^{2}}{\varepsilon_{0} \text{kT}}\right)\nonumber\]

Esta relación puede utilizarse para deducir el momento dipolar de las moléculas polares a partir de los valores medidos de la constante dieléctrica estática.

(e) Un determinado material contiene una densidad de moléculas\(\text{N}=\frac{1}{3} \times 10^{29}\) por metro ³, y cada molécula lleva un momento dipolar eléctrico\(p=\frac{1}{2} x 10^{-29}\) Coulomb-metros. Calcular la constante dieléctrica relativa, ε _r, a 300K.

Respuesta (3.3)

a) El Campo de la Cavidad.

Fuera de la cavidad\(\text{V}_{2}=-\operatorname{Ercos} \theta+\frac{\text{b} \cos \theta}{\text{r}^{2}}\)

Dentro de la cavidad\(V_{1}=-E_{C} r \cos \theta\)

A R=R: V ₁ = V ₂

\[\varepsilon_{0} \frac{\partial V_{1}}{\partial r}=\varepsilon \frac{\partial V_{2}}{\partial r}\nonumber,\]

a partir de la cual\(\mathbf{E}_{\text{c}}=\frac{3 \varepsilon_{\text{r}} \text{E}}{\left(2 \varepsilon_{\text{r}}+1\right)}\).

b) El Campo de Reacción.

Fuera de la cavidad la función potencial es la de un dipolo; para esta parte del problema no hay campo externo, así que eso\(\text{V}_{2}=\frac{\text{b} \cos \theta}{\text{r}^{2}}\).

Dentro de la cavidad la función potencial, V ₁, debe incluir el campo dipolo singular debido al dipolo puntual más un campo de reacción debido a la polarización del medio:

\[V_{1}=\frac{p}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\cos \theta}{r^{2}}+\operatorname{arcos} \theta\nonumber\]

A R=R: V ₁ = V ₂

\[\varepsilon_{0} \frac{\partial V_{1}}{\partial r}=\varepsilon \frac{\partial V_{2}}{\partial r}\nonumber\]

a partir de la cual

\[\text{V}_{1}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\text{p} \cos \theta}{\text{r}^{2}}-\frac{2 \text{p}}{4 \pi \varepsilon_{0} \text{R}^{3}}\left(\frac{\varepsilon_{\text{r}}-1}{2 \varepsilon_{\text{r}}+1}\right) \text{r} \cos \theta\nonumber\]

y

\[\text{V}_{2}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{3 \varepsilon_{\text{r} \text{p}}}{2 \varepsilon_{\text{r}}+1}\right) \frac{\cos \theta}{\text{r}^{2}}\nonumber\]

De estas expresiones se obtiene

\[|\mathbf{R}|=\frac{2 p}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}}\left(\frac{\varepsilon_{\mathbf{r}}-1}{2 \varepsilon_{\mathbf{r}}+1}\right)\nonumber\]

y el momento dipolar efectivo para la región externa a la cavidad viene dado por

\[p^{*}=\frac{3 \varepsilon_{r}^{2} p}{\left(2 \varepsilon_{r}+1\right)}\nonumber,\]

donde\(\text{V}_{2}=\frac{\text{p}^{*}}{4 \pi \varepsilon_{\text{r}} \varepsilon_{0}} \frac{\cos \theta}{\text{r}^{2}}\).

c) La polarización media por unidad de volumen es paralela al campo y viene dada por

\[P=N p<\cos \theta>\nonumber\]

En consecuencia,

\[P=\frac{N p^{2}}{3 k T}\left(\frac{3 \varepsilon_{r}}{2 \varepsilon_{r}+1}\right) E=\frac{N p^{2}}{k T}\left(\frac{\varepsilon_{r}}{2 \varepsilon_{x}+1}\right) E \ \text { coulombs } / m^{2}\nonumber\]

d) D = εE = ε0E + P,

o (ε _r -1) E = P/ε ₀.

Por lo tanto

\[\left(\varepsilon_{\text{r}}-1\right)=\frac{\text{Np}^{2}}{\varepsilon_{0} \text{kT}}\left(\frac{\varepsilon_{\text{r}}}{2 \varepsilon_{\text{r}}+1}\right)\nonumber,\]

o

\[\frac{\text{Np}^{2}}{\varepsilon_{0} \text{kT}}=\frac{\left(\varepsilon_{\text{r}}-1\right)\left(2 \varepsilon_{\text{r}}+1\right)}{\varepsilon_{\text{r}}}\nonumber\]

(e)\[\frac{\text{Np}^{2}}{\varepsilon_{0} \text{kT}}=\frac{(1 / 3)\left(10^{29}\right)(1 / 4)\left(10^{-29}\right)\left(10^{-29}\right)}{\left(8.84 \times 10^{-12}\right)\left(1.38 \times 10^{-23}\right)(300)}=22.8\nonumber\]

A partir de esto\(\varepsilon_{\text{r}}^{2}-11.9 \varepsilon_{\text{r}}-(1 / 2)=0\)

y

\(\varepsilon_{r}=11.93\)

Problema (3.4)

El radio del sol es de 6.98x10 ⁵ km. y su temperatura superficial es de 6000°C, correspondiente a una energía kT= 0.34 electrón Voltios. Tratar al sol como una esfera conductora aislada en el espacio y calcular la carga positiva neta requerida para producir un potencial de 0.34 Voltios relativo al potencial cero en el infinito.

Respuesta (3.4)

En la superficie de una esfera conductora el potencial viene dado por

\(\text{V}=\frac{\text{Q}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{\text{R}}\)

Por lo tanto, Q= (4\(\pi\) ε ₀) (0.34) (6.98x10 ⁸) = 2.64x10 ^-2 Coulombs. Esta es una cantidad sorprendentemente pequeña de carga. Corresponde a un déficit de 1.65x10 ¹⁷ electrones.

Problema (3.5)

Un condensador está construido con dos cilindros metálicos concéntricos. El radio relevante del electrodo interno es a, el radio relevante del electrodo externo es b. El espacio entre los electrodos se llena de aire para lo cual ε _r = 1.00.

a) ¿Cuál es la capacitancia por unidad de longitud de este dispositivo?

(b) El condensador anterior, cuya longitud es L= 10 cm, se coloca en posición vertical en un plato de aceite, ε _r = 3.00, de manera que el espacio entre los electrodos cilíndricos se llena de aceite hasta una profundidad de 5 cm. ¿Cuál es la capacitancia de esta configuración si los radios son a= 5 cm y b= 6 cm?

(c) El condensador de la parte (b) se carga a una diferencia de potencial de 1000 Voltios. ¿Qué tan alto subirá el aceite entre los electrodos del condensador si la densidad del aceite es de 800 kg/m ³?

Respuesta (3.5)

(a) Dejar que la carga en el electrodo interno sea Q culombios/metro, que en el electrodo externo -Q culombios/metro. El campo es radial, así que de la ley de Gauss

2\(\pi\) r E _r = Q/ε ₀,

y

\(E_{r}=\frac{Q}{2 \pi \varepsilon_{0} r}\).

La diferencia de potencial entre los electrodos es

\[\Delta \text{V}=\int_{\text{a}}^{\text{b}} \text{E}_{\text{r}} \text{dr}=\frac{\text{Q}}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln (\text{b} / \text{a})\nonumber\]

Pero Q= C∆V, por lo tanto

\[c=\frac{2 \pi \varepsilon_{0}}{\ln (b / a)} \text { Farads/meter. }\nonumber\]

(b) Si se coloca aceite entre los electrodos, la capacitancia por unidad de longitud se convierte en

_Aceite C = ε _r C Farads/metro.

Para un sistema que tiene una longitud de L= 5cm= 0.05 metros la capacitancia es

\[c=\frac{\left(2 \pi \varepsilon_{0}\right)(0.05)}{\ln (6 / 5)}=15.2 \times 10^{-12} \ \text{F}=15.2 \ \text{pF}\nonumber\]

La parte llena de aceite tiene una capacitancia que es 3 veces este valor: _aceite C = 45.7 pF. La capacitancia total es la suma de las cifras anteriores:

\[\text{C}_{\text {tot }}=\text{C}_{\text{oil}}+\text{C}=60.9 \text{pF}\nonumber\]

(c) La energía de campo electrostático por unidad de longitud del condensador viene dada por

\[\text{U}_{\text{E}}=\int_{\text{a}}^{\text{b}}(2 \pi \text{rdr}) \varepsilon_{\text{r}} \varepsilon_{0} \frac{\text{E}^{2}}{2}\nonumber,\]

dónde\(E=\frac{Q}{2 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}}\) y\(\Delta \text{V}=\frac{\text{Q}}{2 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon_{\text{r}}} \ln (\text{b} / \text{a})\).

Es decir\(E=\frac{\Delta V}{\ln (b / a)} \frac{1}{r}\), para que

\[\text{U}_{\text{E}}=\pi \varepsilon_{0} \varepsilon_{\text{r}} \int_{\text{a}}^{\text{b}} \operatorname{rdr} \frac{(\Delta \text{V})^{2}}{(\ln (\text{b} / \text{a}))^{2}} \frac{1}{\text{r}^{2}}=\frac{\pi \varepsilon_{0} \varepsilon_{\text{r}}(\Delta \text{V})^{2}}{\ln (\text{b} / \text{a})}\nonumber\]

Si el nivel de aceite entre los electrodos del condensador aumenta en dz, el aumento en la energía de campo electrostático vendrá dado por

\[\text{d} \text{U}_{\text{E}}=\frac{\pi \varepsilon_{0}\left(\varepsilon_{\text{r}}-1\right)(\Delta \text{V})^{2}}{\ln (\text{b} / \text{a})} \text{d} \text{z}\nonumber\]

ya que una rebanada dz de espesor de aire (ε _r =1) es reemplazada por aceite (ε _r = 3.0). Pero este cambio de energía debe ser igual al trabajo realizado por las fuerzas electrostáticas: Fdz= dU _E, de manera que

\[\text{F}=\frac{\pi \varepsilon_{0}\left(\varepsilon_{\text{r}}-1\right)(\Delta \text{V})^{2}}{\ln (\text{b} / \text{a})} \ \text { Newtons }\nonumber.\]

Esta fuerza apoyará una columna de petróleo cuya altura es de H metros, donde

\[\text{F}=\pi\left(\text{b}^{2}-\text{a}^{2}\right) \text{H} \rho \text{g}\nonumber\]

Para nuestro problema F =\(\pi\) (1.1x10 ^-3) (800) (9.8) H,

o F = 27.09H Newtons

Por lo tanto\(\mathbf{H=1.12 \times 10^{-5} \text {meters }=11.2 \mu \text{m}}\).

Problema (3.6)

Un electrón se localiza a una distancia d frente a la interfaz plana con un material caracterizado por una constante dieléctrica relativa ε _r = 3.00.

(a) Calcular la fuerza sobre el electrón.

b) ¿Cuánto trabajo se debe hacer sobre el electrón para llevarlo del infinito a una distancia a= 10 ^-10 m de la superficie?

Respuesta (3.6)

(a) En el vacío en la interfaz

\[V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{Q}{r}+\frac{Q^{\prime}}{r}\right)\nonumber\]

y

\(\text{D}_{\text{n}} \sim\left(\text{Q}-\text{Q}^{\prime}\right)\).

En la losa en la interfaz

\[V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{\varepsilon_{r}} \frac{Q^{\prime \prime}}{r}\nonumber\]

y

\[\text{D}_{\text{n}} \sim Q^{\prime \prime}\nonumber.\]

Por lo tanto\(Q-Q^{\prime}=Q^{\prime \prime}\)

\[Q+Q^{\prime}=\frac{Q^{\prime \prime}}{\varepsilon_{r}}\nonumber,\]

para que

\[Q^{\prime \prime}=\frac{2 \varepsilon_{\text{r}} Q}{\left(\varepsilon_{\text{r}}+1\right)}\nonumber\]

y

\[Q^{\prime}=Q\left(\frac{1-\varepsilon_{r}}{1+\varepsilon_{r}}\right)\nonumber.\]

Para el presente problema Q"= 3Q/2 y Q'= -Q/2.

La fuerza sobre la carga Q viene dada por (z se mide hacia la interfaz)

\[\text{F}_{\text{z}}=\text{Q}\left(\frac{\text{Q} / 2}{4 \pi \varepsilon_{0}(2 \text{d})^{2}}\right)=\frac{\text{Q}^{2}}{32 \pi \varepsilon_{0} \text{d}^{2}}\nonumber.\]

Esta es una fuerza atractiva.

(b) El electrón será atraído por la interfaz, en consecuencia el trabajo realizado para sacarlo del infinito es negativo. La energía de unión viene dada por

\[U=-\int_{-\infty}^{-a} F_{z} d z=\frac{Q^{2}}{32 \pi \varepsilon_{0} a}\nonumber,\]

o

\[\text{U}=\frac{\left((1.6)^{2} \times 10^{-38}\right)\left(9 \times 10^{9}\right)}{\left(8 \times 10^{-10}\right)}=\mathbf{2.88 \times 10^{-19} \text {Joules }= 1.8 eV}\nonumber\]

Problema (3.7)

(W.Shockley, J.Appl.Phys.9 ,635 (1938)).

Un condensador se fabrica utilizando cilindros concéntricos conductores con un vacío en el espacio entre los electrodos. Los radios de las superficies relevantes son a, b donde b>a. Colocar una carga q en la posición r entre los electrodos. ¿Cuál es la carga inducida en cada uno de los electrodos?

La solución de este problema está relacionada con el cálculo del espectro de ruido en tubos de vacío. La corriente a través de dicho tubo es transportada por cargas discretas, electrones, y a medida que cada electrón deja un electrodo induce un pico de corriente característico en un circuito externo. La variación de tiempo del pulso de corriente depende del tiempo de tránsito de electrones. La transformada de Fourier de la variación de tiempo del pulso de corriente da el espectro de ruido.

Pista para la solución.

(1) Utilice la linealidad entre carga y voltaje para escribir tres ecuaciones que involucren coeficientes de capacitancia generalizados (ver Ecuaciones (10.111)). Se puede pensar que la carga de prueba q está ubicada en un electrodo esférico muy pequeño.

(2) Construir dos experimentos de pensamiento:

(a) Poner una carga Q en el electrodo interno (#1), una carga -Q en el electrodo externo (#2) que está conectado a tierra, y no poner carga en la esfera diminuta (electrodo #3); es decir, Q ₁ = Q, Q ₂ = -Q y Q ₃ = 0. Los potenciales correspondientes son V ₁, que se puede calcular, V ₂ = 0 (electrodo conectado a tierra), y V ₃ que también se puede calcular asumiendo que el electrodo 3 es tan pequeño que produce una perturbación insignificante del campo entre los electrodos.

(b) Poner V ₁ = V ₂ = 0 y dejar que la carga en el electrodo #3 sea q.

Los resultados de estos dos experimentos permiten deducir que la carga inducida en el electrodo interno viene dada por

\[Q_{1}=-q \frac{\ln (b / r)}{\ln (b / a)}\nonumber.\]

De igual manera, se puede demostrar eso\(Q_{2}=-q \frac{\ln (r / a)}{\ln (b / a)}\). Así Q ₁ + Q ₂ = -q correspondiente a conservación de carga.

Respuesta (3.7)

Poner una carga Q en el electrodo interno y conectar a tierra el electrodo externo para que V ₂ =0. En el espacio entre los electrodos el potencial viene dado por

\[V(r)=\frac{Q}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln (b / r)\nonumber,\]

correspondiente al campo eléctrico\(E_{r}=\frac{Q}{2 \pi \varepsilon_{0}}\). El potencial en la posición del electrodo sin carga #3 es solo V (r). Uno tiene

\[Q_{1}=Q, \quad V_{1}=\frac{Q}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln (b / a)\nonumber;\]

\[Q_{2}=-Q, \quad V_{2}=0\nonumber;\]

\[Q_{3}=0, \quad V_{3}=\frac{Q}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln (b / r)\nonumber.\]

Pero

\[\begin{aligned} Q_{1}&=C_{11} V_{1}+C_{12} V_{2}+C_{13} V_{3} \\ Q_{2}&=C_{12} V_{1}+C_{22} V_{2}+C_{23} V_{3} \\ Q_{3}&=C_{13} V_{1}+C_{23} V_{2}+C_{33} V_{3} \end{aligned}\nonumber\]

Por lo tanto

\[Q=C_{11} \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln (b / a)+C_{13} \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln (b / r) \quad \quad \quad \quad (1) \nonumber\]

\[-Q=C_{12} \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln (b / a)+C_{23} \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln (b / r)\quad \quad \quad \quad (2)\nonumber\]

\[0=C_{13} \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln (\text{b} / \text{a})+\text{C}_{33} \frac{\text{Q}}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln (\text{b} / \text{r})\quad \quad \quad \quad (3).\nonumber\]

De (3)\(\frac{C_{13}}{C_{33}}=-\frac{\ln (b / r)}{\ln (b / a)}\).

Ahora vamos a V ₁ =0, V ₂ =0, y Q ₃ =q.

q = C ₃₃ V ₃ y Q ₁ = C ₁₃ V ₃,

a partir de la cual

\[\mathbf{Q_{1}=\left(\frac{c_{13}}{c_{33}}\right) q=-q \frac{\ln (b / r)}{\ln (b / a)}}\nonumber.\]

Cuando r=b Q ₁ =0 como debería; no se induce carga en el electrodo interno, pero hay una carga -q inducida en el electrodo externo. Cuando r=a se induce la carga completa -q en el electrodo interno. La carga inducida -q se transfiere del electrodo externo al interno a través del circuito externo durante el tiempo requerido para que la carga q se mueva de un electrodo a otro.

Problema (3.8)

Dejar que se construya un condensador lleno de aire (ε _r = 1.00) de dos placas metálicas de forma cuadrada de longitud L en un lado separado por un espacio D. Los bordes de las dos placas son paralelos. Ahora dejemos que una de las placas se rote ligeramente alrededor de uno de sus bordes para que los dos electrodos formen un ángulo θ uno con respecto al otro; a lo largo de un borde el espaciado es D y a lo largo del otro borde el espaciamiento es D+Lθ. Estimar la capacitancia de este condensador acuñado. Esto se puede hacer equiparando\(\frac{\text{CV}^{2}}{2}\) con la energía\(\frac{\varepsilon_{0}}{2} \int E^{2} d \tau\) del campo electrostático y haciendo una suposición plausible sobre la distribución del campo eléctrico entre los conductores acuñados. La energía de campo electrostático es un extremo (un mínimo) para la distribución correcta del campo y por lo tanto su valor es insensible a pequeñas desviaciones del campo de su distribución correcta.

Yo asumí que

\[\text{E}_{\theta}=\frac{\text{V}}{(\text{R}+\text{x}) \theta}\nonumber,\]

donde Rθ= D, y donde V es la diferencia de potencial entre los electrodos. Esta suposición hace que E sea perpendicular a las superficies de los electrodos y conserva una diferencia de potencial constante entre las placas ya que x va de 0, correspondiente a un borde de las placas, a x=L correspondiente al otro borde. Desafortunadamente, div E no es cero por lo que su función potencial no satisface la ecuación de LaPlace. Sin embargo, este cálculo dará un límite superior para el cambio de capacitancia con ángulo de cuña.

Respuesta (3.8)

Sea x la distancia desde el borde estrecho de la cuña entre los dos conductores. En cualquier punto x se puede usar el elemento de volumen

\[d \tau=L(R+x) \theta d x\nonumber;\]

esta expresión se basa en un sistema de coordenadas cilíndricas en el que el eje z se encuentra en el vértice de la cuña. Si

\[\text{E}_{\theta}=\frac{\text{V}}{(\text{R}+\text{x}) \theta}\nonumber,\]

entonces la energía de campo viene dada por (descuidando los efectos de borde)

\[\text{U}_{\text{E}}=\text{L} \int_{0}^{\text{L}}\left(\frac{\varepsilon_{0} \text{E}^{2}}{2}\right)(\text{R}+\text{x}) \theta \text{d} \text{x}=\frac{\varepsilon_{0} \text{LV}^{2}}{2 \theta} \int_{0}^{\text{L}} \frac{\text{d} \text{x}}{(\text{R}+\text{x})}\nonumber,\]

o

\[\text{U}_{\text{E}}=\frac{\varepsilon_{0} \text{LV}^{2}}{2 \theta} \int_{\text{R}}^{\text{R}+\text{L}} \frac{\text{d} \text{u}}{\text{u}}=\frac{\varepsilon_{0} \text{LV}^{2}}{2 \theta} \ln \left(1+\frac{\text{L}}{\text{R}}\right)\nonumber,\]

a partir de la cual\(\mathbf{c \cong \frac{\varepsilon_{0} L}{\theta} \ln \left(1+\frac{L}{R}\right)} \).

Si\(\frac{L}{R}<<1\), (ángulo de cuña pequeño), esto da

\[\text{C}=\text{C}_{0}=\frac{\varepsilon_{0} \text{L}^{2}}{\text{R} \theta}=\frac{\varepsilon_{0} \text{L}^{2}}{\text{D}}\nonumber,\]

la expresión correcta para un condensador de placa paralela. A partir de\(\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\dots\) la expansión, la corrección al valor de placa paralela C ₀ viene dada por

\[\text{C} \cong \text{C}_{0}\left(1-\frac{\text{L}}{2 \text{R}}\right)=\text{C}_{0}\left(1-\frac{\text{L} \theta}{2 \text{D}}\right)\nonumber.\]

El efecto de inclinar las placas es reducir la capacitancia en una cantidad correspondiente al aumento promedio en el espaciamiento entre las placas.