13.4: Capítulo 4

Problema (4.1)

Una corriente I amperios fluye en el conductor interno de una línea coaxial infinitamente larga y regresa a través del conductor externo. El radio del conductor interno es a, y b y c son los radios interno y externo del conductor externo (ver el boceto). La densidad de corriente es uniforme en los dos conductores. Calcular la densidad de flujo magnético en todas las regiones. La densidad de magnetización se puede establecer igual a cero en todas partes.

Respuesta (4.1)

Este problema exhibe simetría cilíndrica por lo que es ideal para una aplicación del teorema de Stokes. Deje que z sea la dirección a lo largo del cable. Entonces solo hay un componente Az del potencial vectorial\(\left(\mathbf{A}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \oint_{C} \frac{d \mathbf{L}}{r}\right)\). Además, por simetría A _z no puede depender del ángulo θ, ni puede depender de z (cable infinito).

* A _z = A _z (r).

En coordenadas cilíndricas

\(\operatorname{curl} \mathbf{A}=\frac{1}{r}\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{u}}_{r} & r \hat{\mathbf{u}}_{\theta} & \hat{\mathbf{u}}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_{r} & r A_{\theta} & A_{z} \end{array}\right|\), * B tiene solo un componente θ

\(\text{B}_{\theta}=-\frac{\partial \text{A}_{z}}{\partial \text{r}}\).

Pero como no hay magnetización ni dependencia del tiempo

Curl B = µ _o J _f

\(\therefore \int_{\text {surface }} \operatorname{curl} \mathbf{B} \cdot \mathbf{d s}=\mu_{0} \int_{\text {surface }} \mathbf{J}_{f}\cdot \mathbf{d s}\)

o

\(\oint_{C} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{L}=\mu_{0} \int_{\text {surface }} \mathbf{J}_{f} \cdot \mathbf{d s}\)

Aplica esto a un círculo de radio r:

Caso (1)\(r \leq a \quad J_{f}=\frac{I}{\pi a^{2}}\)

\(\therefore 2 \pi r B_{\theta}=\mu_{0}\left(\frac{I}{\pi a^{2}}\right)\left(\pi r^{2}\right)=\mu_{0} I\left(\frac{r}{a}\right)^{2}\)

\(\therefore \quad B_{\theta}=\left(\frac{\mu_{0} I}{2 \pi a^{2}}\right) r\)

Entonces, cuando r = 0 B _θ = 0

cuando r = a\(\text{B}_{\theta}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi a}\).

Caso (2) a ≤ r ≤ b

En este caso\(\int_{\text {surface }} \mathbf{J}_{f} \cdot \mathbf{ds} \equiv \text{I}\)

* 2\(\pi\) r B _θ = µ _o I

\(\text{B}_{\theta}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}\)

Cuando r=a\( B_{\theta}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi a}\)

Cuando r=b\( B_{\theta}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi b}\)

Caso (3) b ≤ R ≤ c

En el conductor exterior

\(\left|J_{f}\right|=\frac{I}{\pi\left(c^{2}-b^{2}\right)}\)

y el flujo de corriente es negativo. Por lo tanto esta vez uno tiene

\(2 \pi r B_{\theta}=\mu_{0}\left[I-\frac{I \pi\left(r^{2}-b^{2}\right)}{\pi\left(c^{2}-b^{2}\right)}\right]\)

\(B_{\theta}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}\left[1-\left(\frac{r^{2}-b^{2}}{c^{2}-b^{2}}\right)\right]\)

Entonces cuando r = b\(\text{B}_{\theta}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi \text{b}}\)

Cuando r = c B _θ = 0

Caso (4) R ≥ C

Aquí 2\(\pi\) rB _θ = µ _o (I - I) ≡ 0 B _θ = 0.

No hay campo fuera de este cable coaxial. Observe que el componente tangencial de B es continuo a través de los límites.

Problema (4.2)

Dos bobinas coaxiales idénticas, cada una de N vueltas y radio a, están separadas por una distancia d como se muestra en el boceto. Una corriente fluye a través de cada bobina para que los campos de las dos bobinas se sumen en el origen.

(a) Calcular B _z en el origen

(b) Demostrar que\(\frac{d B z}{d z}=0\) a z = 0.

(c) Encontrar d tal que\(\frac{d^{2} B_{z}}{d z^{2}}=0\) en z = 0.

Tal configuración es el sistema más simple para generar un campo magnético uniforme. Se le conoce como pareja Helmholtz.

Respuesta (4.2)

El campo de una sola bobina a lo largo de su eje es

\[B_{z}=\frac{\mu_{0} N I}{2} \frac{a^{2}}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}\nonumber\]

donde z se mide desde el centro de la bobina. Para el par de bobinas anterior

\[\text{B}_{\text{z}}=\frac{\mu_{\text{o}} \text{NIa}^{2}}{2}\left\{\frac{1}{\left[\left(z-\frac{\text{d}}{2}\right)^{2}+\text{a}^{2}\right]^{3 / 2}}+\frac{1}{\left[\left(z+\frac{\text{d}}{2}\right)^{2}+\text{a}^{2}\right]^{3 / 2}}\right\}\nonumber\]

(a) A z = 0\(\text{B}_{\text{z}}=\mu_{\text{0}} \text{NI} \left(\frac{\text{a}^{2}}{\left[\frac{\text{d}^{2}}{4}+\text{a}^{2}\right] 3 / 2}\right)\)

b)\[\frac{d B_{z}}{d z} \propto \frac{-3\left(z-\frac{d}{2}\right)}{\left[\left(z-\frac{d}{2}\right)^{2}+a^{2}\right] 5 / 2}-\frac{3\left(z+\frac{d}{2}\right)}{\left[\left(z+\frac{d}{2}\right)^{2}+a^{2}\right] 5 / 2}\nonumber\]

Así, a z = 0\(\frac{d B_{z}}{d z}=0\).

c)\[\frac{d^{2} B_{z}}{d z^{2}} \propto \frac{-3}{\left[\left(z-\frac{d}{2}\right)^{2}+a^{2}\right]^{5 / 2}}-\frac{3}{\left[\left(z+\frac{d}{2}\right)^{2}+a^{2}\right] 5 / 2}+\frac{15\left(z-\frac{d}{2}\right)^{2}}{\left[\left(z-\frac{d}{2}\right)^{2}+a^{2}\right]^{7 / 2}}+\frac{15\left(z+\frac{d}{2}\right)^{2}}{\left[\left(z+\frac{d}{2}\right)^{2}+a^{2}\right]^{7 / 2}}\nonumber\]

a z = 0

\[\begin{array}{c} \frac{d^{2} B_{z}}{d z^{2}} \propto \frac{-3\left(\frac{d^{2}}{4}+a^{2}\right)-3\left(\frac{d^{2}}{4}+a^{2}\right)+15\left(\frac{d^{2}}{4}\right)+15\left(\frac{d^{2}}{4}\right)}{\left[\frac{d^{2}}{4}+a^{2}\right]^{7 / 2}} \\ \propto 6 d^{2}-6 a^{2}=6\left(d^{2}-a^{2}\right) \end{array}\nonumber\]

Entonces\(\frac{d^{2} B_{z}}{d z^{2}}=0\) si d = a.

Así, para un par Helmholtz d = a.

La intensidad del campo magnético en el centro del par Helmholtz viene dada por

\(B_{z}(0)=\frac{\mu_{0} N I}{a} \left(\frac{4}{5}\right)^{3 / 2}=0.716 \frac{\mu_{0} N I}{a}\).

Problema (4.3)

Un solenoide mide 1 metro de largo y lleva 10 ⁴ vueltas de alambre. El radio promedio de la bobina es de 0.1 metros. La bobina lleva una corriente de 10 Ampères.

(a) Calcular el campo en el centro del solenoide.

(b) Si el alambre de la bobina tiene un área de sección transversal de 10 ^-6 metros ² calcular la resistencia de la bobina. R = ρL/a y para cobre ρ = 2 x 10 ^-8 ohmios metros.

c) ¿Cuánta potencia se requiere para producir el campo magnético de la parte (a)?

Este cálculo explica por qué se utilizan imanes de núcleo de hierro para generar campos de ~ 1 Tesla.

Respuesta (4.3)

\[\text{B}_{\text{z}}(\text{z})=\frac{\mu_{\text{o}} \text{NI}}{2}\left\{\frac{(\text{z}+\text{L} / 2)}{\sqrt{\text{R}^{2}+\left(\text{z}+\frac{\text{L}}{2}\right)^{2}}}-\frac{(\text{z}-\text{L} / 2)}{\sqrt{\text{R}^{2}+\left(\text{z}-\frac{\text{L}}{2}\right)^{2}}}\right\}\nonumber\]

N es el número de vueltas/m, L la longitud de la bobina.

A z = 0\(\text{B}_{\text{z}}(\text{o})=\frac{\mu_{\text{o}} \text{NI}}{2} \frac{\text{L}}{\sqrt{\text{R}^{2}+(\text{L} / 2)^{2}}}\)

Aquí N = 10 ⁴ /m, I = 10 amperios\(\frac{L}{2}=\frac{1}{2} m\), y R = 0.1 m

(a)\(\therefore B_{z}(0)=\frac{\left(2 \pi \times 10^{-2}\right)}{\sqrt{.01+.25}}=0.123 \text { Tesla }\) es decir ~ 10 ¡³ x campo terrestre!

(b) L = (2\(\pi\) R) (10 ⁴) = 6.283 x 10 ³ m ∴ R = 125.7 Ohmios

(c) Para 10 Amperios uno requeriría 1257 Voltios y una potencia = VI = 12,570 Watts!! = 12.57 KWatts!

Problema (4.4)

Un bucle cuadrado de alambre de 1 cm en un lado lleva una corriente de 2 Ampères.

a) Estimar la magnitud del campo magnético en el eje del bucle de corriente y a 1 metro de su centro. El bucle puede tratarse como un dipolo puntual.

b) Estimar la magnitud y dirección del campo magnético a un metro del centro del bucle pero en un punto en el plano del bucle.

Respuesta (4.4)

El momento magnético del bucle es M _o = IA = (2) (10 ^-4) Amp m ².

Ahora\(\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left[\frac{3(\mathbf{m} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}}{r^{5}}-\frac{\mathbf{m}}{r^{3}}\right]\)

(a) Sobre el eje del dipolo m\(\cdot\) r = M _o r

Entonces\(B_{z}=\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\right) \left(\frac{2 M_{0}}{r^{3}}\right)=4 \times 10^{-11} \text {Tesla }\)

(El campo de la tierra es de ~ 10 ^-4 Tesla así que esto es muy débil).

(b) En el plano ecuatorial m\(\cdot\) r = 0

\(\therefore B_{z}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M_{0}}{r^{3}}=-2 \times 10^{-11} \text {Tesla }\)

Dirigido opuesto al momento dipolar.

Problema (4.5).

Calcular el campo magnético a lo largo del eje z de una bobina cuadrada que transporta una corriente de I Amps (ver el boceto).

Cada lado de la plaza tiene 2L metros de largo.

Respuesta (4.5).

A lo largo del eje de la bobina solo habrá un zcomponent de campo magnético por simetría. Para obtener el campo total sólo es necesario calcular el componente z del campo generado por un lado de la bobina y luego multiplicar por cuatro. Considera el lado derecho.

Let\(d \mathbf{L}=d y \hat{\mathbf{u}}_{y} \quad \text { at } \quad(L, Y)\)

La posición del elemento de longitud, d L, se especifica por r donde\(\mathbf{r}=\text{L} \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\text{y} \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}\). La posición del punto de observación a lo largo del eje z se especifica por\(\mathbf{R}=z \hat{\mathbf{u}}_{z}\).

Por lo tanto,

\((\mathbf{R}-\mathbf{r})=-L \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}-\text{y} \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}+\text{z} \hat{\mathbf{u}}_{\text{z}}\)

y

\(|\mathbf{R}-\mathbf{r}|=\sqrt{L^{2}+y^{2}+z^{2}}\).

De la ley de Biot-Savard se obtiene

\[d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} I \frac{\text{d} \mathbf{L} \times(\mathbf{R}-\mathbf{r})}{|\mathbf{R}-\mathbf{r}|^{3}}\nonumber;\]

de la cual

\[\text{d} \text{B}_{\text{z}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \text{I} \frac{\text{L} \text{d} \text{y}}{\left(\text{L}^{2}+\text{y}^{2}+\text{z}^{2}\right)^{3 / 2}}\nonumber,\]

y

\[B_{z}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} I \frac{2 L^{2}}{\left(z^{2}+L^{2}\right) \sqrt{z^{2}+2 L^{2}}}\nonumber.\]

Esto debe multiplicarse por 4x porque la bobina tiene cuatro lados:

\[\text{B}_{\text{z}}(\text{z})=\frac{2 \mu_{0} \text{I}}{\pi} \frac{\text{L}^{2}}{\left(\text{z}^{2}+\text{L}^{2}\right) \sqrt{\text{z}^{2}+2 \text{L}^{2}}}\nonumber.\]

En z=0\(\text{B}_{\text{z}}(0)=\frac{2 \sqrt{2}}{\pi} \frac{\mu_{0} I}{2 \text{L}}=0.9003 \frac{\mu_{0} I}{2 \text{L}}\)

Este valor se puede comparar con\(B_{z}(0)=\frac{\mu_{0} I}{2 R}\) para una bobina circular.

Problema (4.6).

a) ¿A qué distancia deben montarse dos bobinas cuadradas para obtener un campo magnético lo más homogéneo posible? Ver el boceto.

(Uno quiere\(\frac{d^{2} B_{z}}{d z^{2}}=0\) en el centro del sistema de bobinas. Con un poco de pensamiento uno puede convencerse de que en z=0 la cantidad\(\frac{d^{2} B_{z}}{d z^{2}}\) es exactamente la misma para cada bobina, de modo que el trabajo de diferenciación se puede reducir en un factor dos.)

(b) ¿A qué distancia a lo largo del eje z se desviará el campo en menos de 1% del campo en el centro del sistema de bobinas si L= 1 metro?

Tales bobinas cuadradas suelen ser más convenientes de construir que las bobinas circulares si el campo magnético de la tierra se va a cancelar en un gran volumen.

Respuesta (4.6)

(a) A partir de los resultados de Problema (3.5) se puede escribir

\(\mathrm{B}_{\mathrm{z}}(\mathrm{z})=\frac{2 \mu_{0} \mathrm{I\ L^2}}{\pi}\left(\Psi_{1}+\Psi_{2}\right)\), donde

\(\Psi_{1}=\frac{1}{\left((z+d)^{2}+L^{2}\right)\left((z+d)^{2}+2 L^{2}\right)^{1 / 2}}\),

y\(\psi_2=\frac{1}{\left((z-d)^{2}+L^{2}\right)\left((z-d)^{2}+2 L^{2}\right)^{1 / 2}}\).

\(\frac{d \psi_{1}}{d z}=\frac{-(z+d)\left(3(z+d)^{2}+5 L^{2}\right)}{\left((z+d)^{2}+L^{2}\right)^{2}\left((z+d)^{2}+2 L^{2}\right)^{3 / 2}}\), y

\(\frac{d \Psi_{2}}{d z}=\frac{-(z-d)\left(3(z-d)^{2}+5 L^{2}\right)}{\left((z-d)^{2}+L^{2}\right)^{2}\left((z-d)^{2}+2 L^{2}\right)^{3 / 2}}\).

Tenga en cuenta que en z=0\(\frac{d}{d z}\left(\psi_{1}+\psi_{2}\right) \equiv 0\); el gradiente de campo desaparece por simetría.

\(\frac{d^{2} \Psi_{1}}{d z^{2}}=\frac{N}{D}\), donde

\ [\ begin {alineado}
N=-&\ izquierda (9 (z+d) 2+5 L^ {2}\ derecha)\ izquierda ((z+d) ^ {2} +L^ {2}\ derecha)\ izquierda ((z+d) ^ {2} +2 L^ {2}\ derecha)\\
&+\ izquierda (12 (z+d) ^ {4} +20 L^ {2} (z+d) ^ {2}\ derecha)\ izquierda ((z+d) ^ {2} +2 L^ {2}\ derecha)\\
&+\ izquierda (9 (z+d) ^ {4} +15 L^ {2} (z+d) ^ {2}\ derecha)\ izquierda ((z+d) ^ {2} +L^ {2}\ derecha)
\ end {alineado}\ nonumber\]

y

\[D=\left((z+d)^{2}+L^{2}\right)^{3}\left((z+d)^{2}+2 L^{2}\right)^{5 / 2}\nonumber.\]

A para\(z=0 \frac{d^{2} \psi_{1}}{d z^{2}}=\frac{d^{2} \psi_{2}}{d z^{2}}\) que para una uniformidad óptima requerimos que el numerador en la segunda derivada desaparezca en z=0. Esta condición da

\(\eta^{6}+3 \eta^{4}+\left(\frac{11}{6}\right) \eta^{2}-\left(\frac{5}{6}\right)=0\)(1)

donde\(\eta=(d / L)\). La solución es\(\frac{d}{L}=0.5445057\) (ver la figura a continuación). Las bobinas deben colocarse separadas 2d= 1.0890L.

b) La forma más sencilla de examinar la homogeneidad es trazar la función de campo:

\[\text{B}_{z}(\zeta)=\frac{2 \mu_{0} I}{\pi \text{L}}\left(\frac{1}{\left((\zeta+\eta)^{2}+1\right) \sqrt{(\zeta+\eta)^{2}+2}}+\frac{1}{\left((\zeta-\eta)^{2}+1\right) \sqrt{(\zeta-\eta)^{2}+2}}\right)\nonumber,\]

donde = (z/L) y donde\(\eta\) = (d/L) = 0.5445057. En el centro del sistema de bobinas

\(\text{B}_{\text{z}}(0)=\frac{2 \mu_{0} I}{\pi \text{L}}(1.017958) \text { Teslas. }\)

De esta gráfica se encuentra que el campo ha disminuido 1% cuando\(\left(\frac{z}{L}\right)=0.344\). Esto significa que el campo varía en menos de 1% sobre una región central cuya longitud es de 0.688L. Resulta que el campo es homogéneo dentro de 1% dentro de un volumen cuyo diámetro es 0.688L: es decir, dentro de la esfera cuyo diámetro es ~68 cm si L=1 metro.

Problema (4.7)

Considere un bucle cuadrado de alambre que se encuentra en el plano XY como se muestra en el boceto. El bucle lleva una corriente de I amperios y se centra en el origen.

(a) Demostrar que la contribución al potencial vectorial en un punto P (X, Y, Z) del lado (1) tiene solo un componente y y que este componente viene dado por

\[\text{A}_{\text{Y} 1}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \ln \left(\frac{\text{Y}-(\text{a} / 2)-\sqrt{(\text{X}-\text{a} / 2)^{2}+(\text{Y}-\text{a} / 2)^{2}+\text{Z}^{2}}}{\text{Y}+(\text{a} / 2)-\sqrt{(\text{X}-\text{a} / 2)^{2}+(\text{Y}+\text{a} / 2)^{2}+\text{Z}^{2}}}\right)\nonumber.\]

b) Demostrar que la contribución al potencial vectorial en un punto P (X, Y, Z) del lado (3) tiene solo un componente y y que este componente viene dado por

\[\text{A}_{\text{Y} 3}=-\frac{\mu_{0} \text{I}}{4 \pi} \ln \left(\frac{\text{Y}-(\text{a} / 2)-\sqrt{(\text{X}+\text{a} / 2)^{2}+(\text{Y}-\text{a} / 2)^{2}+\text{Z}^{2}}}{\text{Y}+(\text{a} / 2)-\sqrt{(\text{X}+\text{a} / 2)^{2}+(\text{Y}+\text{a} / 2)^{2}+\text{Z}^{2}}}\right)\nonumber.\]

(c) Demostrar que la contribución al potencial vectorial en un punto P (X, Y, Z) del lado (2) tiene solo un componente x y que este componente viene dado por

\[\text{A}_{\text{X} 2}=-\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \ln \left(\frac{\text{X}-(\text{a} / 2)-\sqrt{(\text{X}-\text{a} / 2)^{2}+(\text{Y}-\text{a} / 2)^{2}+\text{Z}^{2}}}{\text{X}+(\text{a} / 2)-\sqrt{(\text{X}+\text{a} / 2)^{2}+(\text{Y}-\text{a} / 2)^{2}+\text{Z}^{2}}}\right)\nonumber.\]

(d) Mostrar que la contribución al potencial vectorial en un punto P (X, Y, Z) del lado (4) tiene solo un componente x y que este componente viene dado por

\[\text{A}_{\text{X} 4}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \ln \left(\frac{\text{X}-(\text{a} / 2)-\sqrt{(\text{X}-\text{a} / 2)^{2}+(\text{Y}+\text{a} / 2)^{2}+\text{Z}^{2}}}{\text{X}+(\text{a} / 2)-\sqrt{(\text{X}+\text{a} / 2)^{2}+(\text{Y}+\text{a} / 2)^{2}+\text{Z}^{2}}}\right)\nonumber.\]

e) Consideremos ahora el punto P (X,0, Z) que se especifica por el vector\(\mathbf{R}=\text{X} \hat{\mathbf{u}}_{\mathbf{X}}+\text{Z} \hat{\mathbf{u}}_{\mathbf{z}}\). Demostrar que

A _x = 0,

\[\text{A}_{\text{y}}=\frac{\mu_{0} \text{I}}{4 \pi} \ln ((\frac{1+\frac{a}{2 \sqrt{(x-a / 2)^{2}+\frac{a^{2}}{4}+z^{2}}}}{1-\frac{a}{2 \sqrt{(X-a / 2)^{2}+\frac{a^{2}}{4}+Z^{2}}}})(\frac{1-\frac{a}{2 \sqrt{(x+a / 2)^{2}+\frac{a^{2}}{4}+z^{2}}}}{1+\frac{a}{2 \sqrt{(x+a / 2)^{2}+\frac{a^{2}}{4}+z^{2}}}}))\nonumber.\]

En el límite como A/R→0, donde\(\text{R}=\sqrt{\text{X}^{2}+\text{Z}^{2}}\), la expresión para A _y se puede mostrar para ir al límite

\[\text{A}_{\text{y}}=\frac{\mu_{0} \operatorname{Ia}^{2}}{4 \pi}\left(\frac{\text{X}}{\text{R}^{3}}\right)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\frac{\text{m}_{\text{z}} \text{x}}{\text{R}^{3}}\right)\nonumber,\]

donde m _z = Ia ² Amp-metros ². Este es solo el componente x de la expresión\(\mathbf{A}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{m} \times \mathbf{R}}{R^{3}}\), el potencial del vector dipolo.

Respuesta (4.7)

Mostraremos el cálculo para el lado (1). El procedimiento para los otros tres lados es muy similar. Para lado (1) el elemento de longitud viene dado por

\(\text{d} \mathbf{L}=\text{d} \text{y} \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}\).

Este elemento se encuentra en\(\mathbf{r}=\frac{a}{2} \hat{\mathbf{u}}_{x}+y \hat{\mathbf{u}}_{y}\). El punto de observación se localiza en\(\mathbf{R}=\text{X} \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\text{Y} \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}+\text{z} \hat{\mathbf{u}}_{\text{z}}\), por lo tanto

\[\mathbf{R}-\mathbf{r}=\left(\text{X}-\frac{\text{a}}{2}\right) \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+(\text{Y}-\text{y}) \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}+\text{Z} \hat{\mathbf{u}}_{\text{z}}\nonumber.\]

La longitud de esta línea viene dada por

\[|\mathbf{R}-\mathbf{r}|=\sqrt{\left(X-\frac{a}{2}\right)^{2}+(Y-Y)^{2}+Z^{2}}\nonumber.\]

La contribución al potencial vectorial en P tiene solo un componente y porque el elemento actual tiene solo un componente y:

\[\text{d} \text{A}_{\text{y}}=\frac{\mu_{0} \text{I}}{4 \pi} \frac{\text{d} \text{y}}{\sqrt{\left(\text{X}-\frac{\text{a}}{2}\right)^{2}+(\text{Y}-\text{y})^{2}+\text{Z}^{2}}}, \quad \text { and }\nonumber\]

\[\text{A}_{\text{y}}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \int_{-\text{a} / 2}^{\text{a} / 2} \frac{\text{d} \text{y}}{\sqrt{\left(\text{X}-\frac{\text{a}}{2}\right)^{2}+(\text{Y}-\text{y})^{2}+\text{Z}^{2}}}\nonumber.\]

Esta es una integral estándar; se puede escribir

\[\text{A}_{\text{Y} 1}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \ln \left(\frac{\text{Y}-(\text{a} / 2)-\sqrt{(\text{X}-\text{a} / 2)^{2}+(\text{Y}-\text{a} / 2)^{2}+\text{Z}^{2}}}{\text{Y}+(\text{a} / 2)-\sqrt{(\text{X}-\text{a} / 2)^{2}+(\text{Y}+\text{a} / 2)^{2}+\text{Z}^{2}}}\right)\nonumber.\]

(e) La expansión para A _y en el límite de (A/r) →0 se puede llevar a cabo de la siguiente manera: (es conveniente utilizar la notación

\[\sqrt{(x-a / 2)^{2}+\frac{a^{2}}{4}+z^{2}}=\sqrt{x^{2}+z^{2}-a x+\frac{a^{2}}{2}}=R_{-}\nonumber,\]

y

\[\sqrt{(x+a / 2)^{2}+\frac{a^{2}}{4}+z^{2}}=\sqrt{x^{2}+z^{2}+a x+\frac{a^{2}}{2}}=R_{+}\nonumber.\]

\[\ln \left(\frac{\left(1+\frac{a}{2 R_{-}}\right)\left(1-\frac{a}{2 R_{+}}\right)}{\left(1-\frac{a}{2 R_{-}}\right)\left(1+\frac{a}{2 R_{+}}\right)}\right)=\ln \left(1+\frac{a}{2 R_{-}}\right)+\ln \left(1-\frac{a}{2 R_{+}}\right)-\ln \left(1-\frac{a}{2 R_{-}}\right)-\ln \left(1+\frac{a}{2 R_{+}}\right)\nonumber.\]

Ampliar al primer pedido en pequeñas cantidades:

\(\cong \frac{a}{R_{-}}-\frac{a}{R_{+}}\),

ya que (A/r _-) y (A/r ₊) son muy pequeñas. Por fin se puede escribir

\[\left(a / R_{-}\right)=\frac{a}{R}\left(1-\frac{a X}{R^{2}}+\frac{a^{2}}{2 R^{2}}\right)^{-1 / 2} \cong \frac{a}{R}\left(1+\frac{a X}{2 R^{2}}-\frac{a^{2}}{4 R^{2}}\right)\nonumber,\]

\[\left(a / R_{+}\right)=\frac{a}{R}\left(1+\frac{a X}{R^{2}}+\frac{a^{2}}{2 R^{2}}\right)^{-1 / 2} \cong \frac{a}{R}\left(1-\frac{a X}{2 R^{2}}-\frac{a^{2}}{4 R^{2}}\right)\nonumber,\]

donde\(\text{R}=\sqrt{\text{X}^{2}+\text{Z}^{2}}\).

De esto se deduce que al primer pedido en pequeñas cantidades

\[\text{A}_{\text{Y}}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{\text{a}^{2} \text{X}}{\text{R}^{3}}\nonumber.\]

Problema (4.8)

Un solenoide cilíndrico corto tiene un radio de R= 5x10 ^-2 metros y una longitud de L= 5x10 ^-2 metros. Se enrolla con N= 8x10 ⁴ vueltas/metro, y los devanados llevan una corriente de I= 10 Amps.

(a) ¿Cuál es el campo magnético en el centro del solenoide?

(b) ¿Cuál es la intensidad del campo magnético en el eje del solenoide pero en la cara final (z=L/2)?

Respuesta (4.8)

El campo magnético a lo largo del eje de un solenoide corto viene dado por (z se mide desde el centro del solenoide)

\[\text{B}_{\text{z}}(\text{z})=\frac{\mu_{0} \text{NI}}{2}\left(\frac{(\text{z}+\text{L} / 2)}{\sqrt{(\text{z}+\text{L} / 2)^{2}+\text{R}^{2}}}+\frac{(\text{L} / 2-\text{z})}{\sqrt{(\text{z}-\text{L} / 2)^{2}+\text{R}^{2}}}\right)\nonumber.\]

(a) En z=0\(B_{z}(0)=\frac{\mu_{0} N I}{2} \frac{L}{\sqrt{(L / 2)^{2}+R^{2}}}\)

Por este problema\(\frac{\mu_{0} \text{NI}}{2}=0.503 \text { Teslas. }\).

Por lo tanto B _z (0) = 0.450 Teslas.

(b) A z= L/2= 2.5x10 ^-2 metros:

\[\text{B}_{\text{z}}(\text{L} / 2)=\frac{\mu_{0} \text{NI}}{2}\left(\frac{\text{L}}{\sqrt{\text{L}^{2}+\text{R}^{2}}}\right)=0.707\left(\frac{\mu_{0} \text{NI}}{2}\right)=0.356 \text { Teslas }\nonumber.\]

Problema (4.9)

Un disco cilíndrico corto tiene un radio de R= 5x10 ^-2 metros y una longitud de L= 5x10 ^-2 metros. Se magnetiza uniformemente; la densidad de magnetización es paralela al eje del disco, al eje z, y la magnetización tiene el valor M ₀ = 0.955x10 ⁶ Amps/metro.

a) ¿Cuál es el campo magnético en el centro del disco?

(b) ¿Cuál es la intensidad del campo magnético en el eje del disco pero en la cara final (z=L/2)?

Respuesta (4.9)

La distribución del campo magnético generado por un disco magnetizado uniformemente es la misma que la generada por los devanados de un solenoide corto. El campo magnético a lo largo del eje de un solenoide corto viene dado por

\[\text{B}_{\text{z}}(\text{z})=\frac{\mu_{0} \text{NI}}{2}\left(\frac{(\text{z}+\text{L} / 2)}{\sqrt{(\text{z}+\text{L} / 2)^{2}+\text{R}^{2}}}+\frac{(\text{L} / 2-\text{z})}{\sqrt{(\text{z}-\text{L} / 2)^{2}+\text{R}^{2}}}\right)\nonumber.\]

Sólo es necesario sustituir el producto NI en esta fórmula por la magnetización M ₀.

(a) En z=0\(\text{B}_{\text{z}}(0)=\frac{\mu_{0} \text{M}_{0}}{2} \frac{\text{L}}{\sqrt{(\text{L} / 2)^{2}+\text{R}^{2}}}\).

Por este problema\(\frac{\mu_{0} M_{0}}{2}=0.600 \text { Teslas. }\)

Por lo tanto B _z (0) = 0.537 Teslas.

(b) A z= L/2= 2.5x10 ^-2 metros:

\[\text{B}_{\text{z}}(\text{L} / 2)=\frac{\mu_{0} \text{M}_{0}}{2}\left(\frac{\text{L}}{\sqrt{\text{L}^{2}+\text{R}^{2}}}\right)=0.707\left(\frac{\mu_{0} \text{M}_{0}}{2}\right)=0.424 \text { Teslas }\nonumber.\]

Problema (4.10).

Dada una esfera que está polarizada uniformemente a lo largo de la dirección z, es decir, M _z = M _o Amps/metro.

a) ¿Qué es H dentro de la esfera?

b) ¿Qué es B dentro de la esfera?

c) ¿Cuál es el valor de _Bz en el eje de la esfera pero justo fuera de la superficie de la esfera?

d) ¿Cuál es el valor de H justo fuera del ecuador de la esfera?

(e) Una estrella de neutrones es típicamente un objeto de 10 ⁴ metros de diámetro que tiene la densidad de la materia nuclear (~ 10 ²¹ kg/m ³). El campo magnético máximo en su superficie se estima en 10 ⁸ Tesla. ¿Cuál es su densidad promedio de magnetización, M _o?

(f) Un neutrón tiene una masa de 1.68 x 10 ^-27 kg. De (e) ¿cuál es el momento magnético promedio de un neutrón en una estrella de neutrones?

Respuesta (4.10).

a) El factor de desmagnetización para una esfera es 1/3. Por lo tanto\(\text{H}_{\text{z}}=-\frac{\text{M}_{\text{0}}}{3}\).

b)\(\text{B}_{\text{z}}=\mu_{\text{0}}\left(\text{H}_{\text{z}}+\text{M}_{\text{z}}\right)=\frac{2}{3} \mu_{\text{0}} \text{M}_{\text{0}}\).

(c) De div B = 0 El componente normal de B debe ser continuo\(\therefore \text{B}_{\text{z}}=\frac{2}{3} \mu_{\text{0}} \text{M}_{\text{0}}\).

(d) A partir del rizo H =0 (no hay corrientes) el componente tangencial de H debe ser continuo a través de la superficie de la esfera. De ello se deduce que\(\text{H}_{\text{z}}=-\frac{\text{M}_{0}}{3}\) Amps/metro en el ecuador justo afuera de la esfera. Por el hecho de que M no tiene componente normal a la superficie de la esfera en el ecuador se deduce que el componente normal de H debe ser continuo a través de la superficie de la esfera en su ecuador y por lo tanto H tiene solo un componente z justo fuera de la esfera en el ecuador. También en el ecuador justo afuera de la esfera\(B_{z}=-\frac{\mu_{0} M_{0}}{3}\). El componente tangencial de B es discontinuo.

e)\(\frac{2}{3} \mu_{0} M_{0}=10^{8} \text { Teslas. }\)

\(\therefore M_{0}=1.19 \times 10^{14} Amps/m (i.e. Large!!)\)

f) El número de neutrones/m ³ =\(=\frac{10^{21}}{1.68 \times 10^{-27}}=5.95 \quad \text{x} \quad 10^{47}\)

\(\therefore \quad\left\langle\mu_{N}\right\rangle=\frac{11.9 \times 1013}{5.95 \times 10^{47}}=2.0 \times 10^{-34} \quad \text { Amp } \text{m}^{2}\).

El momento magnético de neutrones es de 9.7 x 10 ^-27 Amp m ² de manera que en promedio solo se alinean 2 x 10 ^-8 de un neutrón.

Problema (4.11)

El material de una varilla hueca muy larga se magnetiza uniformemente como se muestra en el boceto. (Aunque se muestra que la varilla tiene una longitud finita en el boceto, se supone que es infinitamente larga).

(a) ¿Cuál es el valor del campo magnético B fuera de la varilla?

(b) ¿Cuál es el valor de los campos magnéticos H, B en la región hueca central donde M _z =0?

(c) ¿Cuáles son los valores de B, H en el material de la varilla donde la magnetización es M ₀?

Respuesta (4.11)

Por superposición, este problema puede reducirse al problema de los solenoides anidados. La discontinuidad de la superficie exterior en el componente tangencial de M es equivalente a un solenoide para el cual NI= M ₀. Esta hoja actual produce un campo B ₁ = µ ₀ M ₀. La discontinuidad de la superficie interna en el componente tangencial de M es equivalente a un solenoide para el cual NI= - M ₀.

(a) Fuera de la varilla los campos B, H son ambos cero.

(b) En la región hueca los campos debidos a las dos hojas actuales se cancelan de manera que B = H = 0.

(c) En la región entre las dos hojas actuales el campo B es el debido a la hoja de corriente exterior; B _z = µ ₀ M ₀. Pero por definición, B _z = µ ₀ (H ₀ + M ₀), y por lo tanto H _z =0. Así H = 0 en todas partes porque no hay corrientes reales y no hay densidad de carga magnética para generar un campo H.

Problema (4.12)

Una varilla infinitamente larga se magnetiza uniformemente excepto por una cavidad en forma de disco que se muestra sombreada en la figura. Dentro de la cavidad la magnetización es cero. ¿Cuál es la intensidad del campo magnético en el centro de la cavidad?

Respuesta (4.12)

Este problema se puede trabajar como la superposición de una varilla uniformemente magnetizada, infinitamente larga más un disco uniformemente magnetizado, pero para el disco M _z = - M ₀. Para la varilla uniforme B _z = µ ₀ M ₀. A lo largo del eje del disco

\[\text{B}_{\text{z}}(\text{z})=-\frac{\mu_{0} \text{M}_{0}}{2}\left(\frac{(\text{z}+\text{d} / 2)}{\sqrt{(\text{z}+\text{d} / 2)^{2}+\text{R}^{2}}}+\frac{(\text{d} / 2-\text{z})}{\sqrt{(\text{z}-\text{d} / 2)^{2}+\text{R}^{2}}}\right)\nonumber,\]

y en z=0

\[\text{B}_{\text{z}}(0)=-\frac{\mu_{0} \text{M}_{0}}{2} \frac{\text{d}}{\sqrt{(\text{d} / 2)^{2}+\text{R}^{2}}}\nonumber.\]

El campo total en el centro del disco será

\[\text{B}_{\text{z}}(0)=\mu_{0} \text{M}_{0}\left(1-\frac{\text{d}}{2 \sqrt{(\text{d} / 2)^{2}+\text{R}^{2}}}\right)\nonumber.\]

En el límite (D/r) →0 el campo en el centro de la cavidad es solo B ₀ = µ ₀ M ₀.

Problema (4.13)

Un elipsoide uniformemente magnetizado posee componentes de magnetización

\ (\ begin {array} {l}
\ texto {M} _ {\ texto {X}} =2\ veces 10^ {5}\ texto {AMPs/metro,}\
\ texto {M} _ _ {\ texto {Y}} =2\ veces 10^ {5}\ texto {Amps/metro}\
\ texto {M} _ _ {\ texto {Z}} =4\ veces 10^ {5 {}\ text {AMPs/metro}
\ end {array}\)

cuando se refiere a los ejes principales del elipsoide. Los coeficientes de desmagnetización para el elipsoide son

\ (\ begin {array} {l}
\ text {N} _ {\ text {X}} =0.2,\\
\ text {N} _ _ {\ text {Y}} =0.3
\ end {array}.\)

(a) Calcular los componentes de H dentro del elipsoide.

(b) Calcular los componentes de B dentro del elipsoide.

(c) Calcular el ángulo entre B y M.

Respuesta (4.13)

Los coeficientes de desmagnetización obedecen a la regla de suma

\(\text{N}_{\text{x}}+\text{N}_{\text{y}}+\text{N}_{\text{z}}=1\).

Por este problema

\(\begin{array}{l} \text{N}_{\text{x}}=0.20, \\ \text{N}_{\text{Y}}=0.30 ,\\ \text{N}_{\text{z}}=0.50. \end{array}\)

a)\(\begin{array}{l} \text{H}_{\text{X}}=-\text{N}_{\text{X}} \quad \quad \text{M}_{\text{X}}=-0.40 \times 10^{5} \text { Amps/meter. } \\ \text{H}_{\text{Y}}=-\text{N}_{\text{Y}} \quad \quad \text{M}_{\text{Y}}=-0.60 \times 10^{5} \text { Amps/meter. } \\ \text{H}_{\text{Z}}=-\text{N}_{\text{Z}} \quad \quad \text{M}_{\text{Z}}=-2.00 \times 10^{5} \text { Amps/meter. } \end{array}\)

b)\(\mathbf{B}=\boldsymbol{\mu}_{0}(\mathbf{H}+\mathbf{M})\), por lo tanto

\ (\ begin {array} {l}
\ texto {B} _ {\ texto {X}} =\ mu_ {0}\ izquierda (\ texto {H} _ _ {\ texto {X}} +\ texto {M} _ {\ texto {X}}\ derecha) =0.201\ texto {Teslas.}\
\ texto {B} _ _ {\ texto {Y}} =\ mu_ {0}\ izquierda (\ texto {H} _ _ {\ texto {Y}} +\ texto {M} _ {\ texto {Y}}\ derecha) =0.176\ texto {Teslas.}\
\ texto {B} _ _ {\ texto {z}} =\ mu_ {0}\ left (\ texto {H} _ {\ texto {Z}} +\ texto {M} _ {\ texto {Z}}\ derecha) =0.251\ texto {Teslas.}
\ end {array}\)

c)\(\mathbf{B} \cdot \mathbf{M}=|\mathbf{B}||\mathbf{M}| \quad \cos \theta\);

\(|\mathbf{M}|=4.899 \times 10^{5} \text { Amps/meter }\),

\(|\mathbf{B}|=0.367\ Teslas,\)

\(\cos \theta=\frac{M_{x} B_{x}+M_{y} B_{y}+M_{z} B_{z}}{|\mathbf{M}||\mathbf{B}|}=\frac{1.758}{(4.899)(.3667)}=0.9786\).

Entonces θ = 11.9°.

Problema (4.14)

Un disco muy grande cuyo radio es infinito se magnetiza a lo largo de su normal como se muestra en la figura.

(a) ¿Qué es H en el disco?

(b) ¿Qué es H fuera del disco?

(c) ¿Qué es B dentro de la losa?

d) Se corta una cavidad esférica del material del disco. Utilice el principio de superposición para calcular el campo magnético B en la cavidad.

Respuesta (4.14)

(a) El factor de desmagnetización para la dirección a lo largo de la normal del disco es N _z = 1. Por lo tanto H _z = - M _o.

(b) Fuera del disco el campo es cero por analogía con el problema electrostático equivalente, es decir, dos hojas de carga infinitas

(c) B _z = µ _o (H _z + M _z) ≡ 0.

d) Dentro de una esfera uniformemente polarizada\(B_{z}=\frac{2}{3} \mu_{0} M_{0}\). Por lo tanto en la cavidad uno debe tener\(\text{B}_{\text{z}}=-\frac{2}{3} \mu_{\text{0}} \text{M}_{\text{0}}\) para que la suma de los dos campos dé cero cuando la esfera se ponga en el agujero.

Problema (4.15)

Un cilindro muy largo de material magnético tiene un radio R. El eje del cilindro se encuentra a lo largo del eje z. La magnetización depende de la distancia desde el eje del cilindro:

\[\text{M}_{\text{z}}=\text{M}_{\text{0}}(\text{r} / \text{R}) \quad \text { Amps / meter. }\nonumber\]

(a) Calcular la densidad de corriente efectiva curl M tanto dentro como fuera del cilindro.

(b) Obsérvese que existe una densidad efectiva de corriente superficial en la superficie del cilindro debido a la discontinuidad en el componente tangencial de la magnetización. Calcular esta densidad de corriente superficial, J _s.

(c) Calcular la dependencia radial del campo magnético en el cilindro.

Respuesta (4.15)

\[\operatorname{curl} \mathbf{M}=\frac{1}{r}\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{u}}_{r} & r \hat{\mathbf{u}}_{\theta} & \hat{\mathbf{u}}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \text{M}_{z} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} 0 \\ -\frac{\partial M_{z}}{\partial r} \\ 0 \end{array}\right|\nonumber,\]

(No hay dependencia angular o z).

(a), es\(\text{J}_{\theta}=-\frac{\partial \text{M}_{\text{z}}}{\partial \text{r}}=-\text{M}_{\text{0}} / \text{R}\) decir, independiente de la posición.

(b) En la superficie exterior hay una discontinuidad en el componente tangencial de M. Utilice el teorema de Stokes para obtener la densidad efectiva de corriente superficial:

J _b = rizo M

\[\therefore \quad \int_{\text {surface }} \mathbf{J}_{b}\cdot \mathbf{d s}=\int_{\text {surface }} \operatorname{curl} \mathbf{M} \cdot \mathbf{d s}=\oint_{C} \mathbf{M} \cdot \text{d} \mathbf{L}\nonumber\]

Aplica esto al bucle que se muestra a continuación:

Corriente a través del bucle\(\int \mathbf{J}_{\text{b}} \cdot \mathbf{d s}=J_{\text{s}} \text{L}\)

J _s es la densidad efectiva de corriente superficial.

\(\oint_{C} \mathbf{M} \cdot \text{d} \mathbf{L}=\text{M}_{\text{0}} \text{L}\)

\(\therefore \quad J_{S} L=M_{0} L\)

o J _s = M _o Amps/m.

(c) Calcular el campo a lo largo del eje del cilindro. Por simetría solo hay un componente z que es independiente de z. La densidad de corriente efectiva uniforme\(-\frac{\text{M}_{0}}{\text{R}}\), puede tratarse como un problema de solenoide anidado para calcular el campo magnético a lo largo del eje del cilindro.

La fuerza efectiva de la lámina actual es\(\text{NI}=-\left(\frac{\text{M}_{\text{0}}}{\text{R}}\right) \text{dr} \quad \text{Amps} / \text{m}\).

Esto produce la contribución del campo del solenoide\(\text{dB}_{\text{z}}=-\mu_{\text{0}}\left(\frac{\text{M}_{\text{0}}}{\text{R}}\right) \text{dr}\).

Integrar de r = 0 a r = R: B _z = - µ _o M _o Tesla. Sin embargo, esto es simplemente cancelado por la hoja de corriente superficial que produce B _z = µ _o M _o Tesla.

∝ En el eje B _z ≡ 0.

Ahora usa curl B = µ _o curl M

o\(\oint_{C} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{L}=\mu_{0} \quad \int_{C} \mathbf{M} \cdot \mathbf{d} \mathbf{L}\) e integrar alrededor del bucle que se muestra en la figura:

de donde B _z = µ _o M _z

B _z (r) = µ _o M _o (r/R)

y H _z ≡ 0 en todas partes.

Problema (4.16)

Se forma un imán permanente en forma de una rosa-tuerca que tiene un radio interno a metros y un radio exterior de b metros (ver la figura). La densidad de magnetización tiene los componentes M _r =0, M _θ = M ₀, M _z =0 en coordenadas polares cilíndricas, donde M ₀ es constante.

(a) Calcular el campo H en todas partes.

(Answ: div M =0 en todas partes, y no hay corrientes libres. Por lo tanto no hay fuentes para H y consecuentemente H =0 en todas partes.)

(b) Supongamos que en el anillo se abre un hueco d metros de ancho como se muestra en la figura. Calcular el campo B en el centro del hueco.

(Answ:\(\text{B}_{0}=\mu_{0} \text{M}_{0}\left(1-\frac{\text{d}}{\sqrt{4(\text{b}-\text{a})^{2}+\text{d}^{2}}}\right) \text { Teslas. }\))

Respuesta (4.16)

Una densidad de carga magnética uniforme aparecerá en las caras del corte debido a la discontinuidad en M. La densidad de carga superficial en la cara izquierda es +M ₀ /m ²; la densidad de carga superficial en la cara derecha es -M ₀ /m ². Estas distribuciones de carga producen un campo en el centro de brecha dado por

\[\text{H}_{0}=\frac{\text{M}_{0} \text{d}}{4} \int_{0}^{\text{R}} 2 \text{rdr} \frac{1}{\left(r^{2}+(d / 2)^{2}\right)^{3 / 2}}\nonumber\]

donde R= (b-a) /2.

\[\text{H}_{0}=\text{M}_{0} \quad\left(1-\frac{\text{d}}{\sqrt{(\text{b}-\text{a})^{2}+\text{d}^{2}}}\right)\nonumber,\]

B ₀ = µ _{0 H 0} dirigido a lo largo de M ₀, es decir, a lo largo de -x en la figura anterior. Este problema también se puede resolver tratando el tapón magnetizado retirado del hueco como un solenoide corto: para un solenoide corto de radio R= (b-a) /2 y de longitud d el campo en su centro viene dado por

\[B_{x}=-\frac{\mu_{0} M_{0}}{2} \frac{d}{\sqrt{\left(R^{2}+(d / 2)^{2}\right)}}\nonumber.\]

Este campo más el campo gap,\(B_{x}^{G}\), debe ser igual al campo en el anillo sin espacios, - µ _{0 M 0}, por superposición. Por lo tanto

\[B_{x}^{G}=-\mu_{0} M_{0}\left(1-\frac{d / 2}{\sqrt{(d / 2)^{2}+R^{2}}}\right)=-\mu_{0} M_{0}\left(1-\frac{d}{\sqrt{d^{2}+(b-a)^{2}}}\right)\nonumber,\]

la misma respuesta que la anterior.