13.9: Capítulo 9

Problema (9.1).

Una onda plana se polariza con su vector eléctrico a lo largo de z. La onda se propaga a lo largo del eje y. El campo eléctrico viene dado por

\[\begin{equation}\text{E}_{2}(\text{y}, \text{t})=\text{E}_{0} \text{e}^{\text{i}(\text{ky}-\omega \text{t})} \quad \text { Volts/meter. }\end{equation}\nonumber\]

Esta onda se propaga en vacío; su amplitud es E _o = 5V/m y su longitud de onda es de 0.10 metros.

1. ¿Cuál es la frecuencia de la onda?
2. ¿Qué tan grande es el campo magnético asociado a esta onda y en qué dirección está orientada?
3. ¿Cuál es la tasa promedio a la que la energía es transportada por esta ola (por metro cuadrado)?
4. Esta onda se encuentra con un electrón. ¿A qué velocidad elimina el electrón la energía de la onda?
5. La onda se propaga a través de un gas electrónico cuya densidad es de 10 ¹⁵ por centímetro cúbico. Si cada electrón actúa como un centro de dispersión independiente, estime la distancia que recorrerá la onda antes de que su amplitud se haya reducido a (1/e) de su valor inicial.

Respuesta (9.1).

a) ω = ck en el espacio libre

\(\therefore f=\frac{c}{\lambda}=3 \times 10^{9} \text{Hz}=3 \text{GHz}\)

b) B es a lo largo de x:

\(\begin{equation}\text{B}_{\text{x}}=\frac{\text{E}_{\text{O}}}{\text{c}} \text{e}^{\text{i}(\text{k} \text{y}-\omega \text{t})}\end{equation}\)

\( \therefore \text{H}_{\text{X}}=\frac{\text{E}_{\text{O}}}{\text{c} \mu_{\text{O}}} e^{\text{i}(\text{ky}-\omega \text{t})}=\text{H}_{\text{O}} \text{e}^{\text{i}(\text{ky}-\omega t)}\)

\(\begin{equation}\therefore \text{H}_{0}=\frac{\text{E}_{0}}{\text{c} \mu_{0}}=\frac{5}{\left(3 \times 10^{8}\right)\left(4 \pi \times 10^{-7}\right)}=\frac{5}{120 \pi}=\frac{5}{377}\end{equation} \)

\(\text{H}_{0}=13.26 \times 10^{-3} \mathbf{Amps/meter}\).

c)\(S_{Y}=E_{z} H_{X}=(5)\left(13.3 \times 10^{-3}\right) \cos ^{2}(k y-\omega t)\)

\( \left\langle S_{Y}\right\rangle=\left(\frac{1}{2}\right)(5)(13.3) \times 10^{-3} \text {Watts } / m^{2}=\mathbf{33.16 \times 10^{-3}}\)Vatios/m ².

d) Para el electrón\(\text{ma}=-|e| \text{E}_{0} \text{e}^{-\text{i} \omega \text{t}} \)

\[\therefore a=-\frac{|e|}{m} E_{0} e^{-i \omega t} \nonumber\]

La energía dispersa por una carga acelerada e integrada en todos los ángulos viene dada por

\(\frac{d W}{d t}=\left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\right) \frac{|e|^{2}}{c^{3}} a^{2}\)

Promedio de tiempo:\(\left\langle\frac{d W}{d t}\right\rangle=\left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\right) \frac{e^{4}}{m^{2} c^{3}} E_{0}^{2}\)

o\( \left\langle\frac{d W}{d t}\right\rangle=0.88 \times 10^{-31} E_{0}^{2}\) desde entonces\(\frac{e^{4}}{m^{2} c^{4}}=9.80 \times 10^{-50} \).

E _o = 5 V/m inicialmente así que en este caso

\[\mathbf{\left\langle\frac{d W}{d t}\right\rangle=22.05 \times 10^{-31} \text {Watts. }}\nonumber \]

e) Ahora\( \frac{d W}{d t}=\alpha E_{0}^{2}\) por 1 electrón.

Hay 10 ¹⁵ electrones/cc = 10 ²¹ electrones/m ³ = N. Considera una sección de la ola que tiene un área de 1 m ² y observa el cambio de energía al atravesar una distancia dy:

El cambio energético en dy es

\[\Delta \text{W}=-\left(\alpha \text{E}^{2}\right)(\text{N} \text{dy})=-\text{N} \alpha \text{dy} \text{E}^{2}\nonumber\]

Pero el vector Poynting viene dado por (promedio de tiempo)

\(<S>=\frac{E^{2}}{2 c \mu}=\frac{E^{2}}{240 \pi}\)

\(\therefore \quad<S>\quad(y+d y)-\langle S(y)\rangle=-N \alpha E^{2} \quad d y\)

o\(\text{d} \text{y} \frac{<\text{d} S>}{\text{d} \text{y}}=-\text{N} \alpha \text{E}^{2} \quad \text{d} \text{y}\)

o\(\frac{<d S>}{d y}=-N \alpha E^{2}\).

Pero\(\langle S\rangle=\frac{E^{2}}{240 \pi}\)

\(\frac{d<S>}{d y}=\frac{E}{120 \pi} \frac{d E}{d y}\)

\(\therefore \frac{E}{120 \pi} \frac{d E}{d y}=-N \alpha E^{2}\)

o\(\frac{d E}{d y}=-N \alpha(120 \pi) E=-377 \text{N} \alpha E\)

dónde\(\alpha=0.88 \times 10^{-31} \frac{\text { Watts }}{V^{2}}\) y\(\text{N}=10^{21} \text { electrons } / \text{m}^{3}\).

\(\therefore \text{E}=\text{E}_{\text{O}} \text{e}^{-\text{y} / \text{L}}\)

donde\(1 / L=(377)(N) \quad \alpha=0.33 \times 10^{-7} \text{m}^{-1}\)

o L = 3.01 x 10 ⁷ metros = 3.01 x 10 ⁴ km.

Por lo que la ola puede recorrer ~ 30,000 km antes de que su amplitud haya bajado a e ^-1 de su valor inicial.

Problema (9.2).

Una onda plana se propaga a través del espacio vacío con un evector de ondas dado por

\[\mathbf{k}=6.283 \frac{\left(\hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}\right)}{\sqrt{2}} \quad \text { per meter. }\nonumber\]

El vector eléctrico tiene una fuerza de\(\frac{1}{10}\) Voltios/metro.

1. Calcular la frecuencia y longitud de onda de esta radiación.
2. Qué tan grande es el campo magnético B asociado a esta onda.
3. A qué tasa media se está transportando la energía por esta ola (vatios/metro ²).
4. ¿Cuál es la energía eléctrica promedio almacenada en la ola? (Julios/m ³)
5. ¿Cuál es la energía magnética promedio almacenada en la onda? (Julios/m ³).

Respuesta (9.2).

Supongamos que la onda está polarizada con E a lo largo de z - esto asegurará que K·e = 0. Entonces

\[\text{E}_{\text{z}}=\text{E}_{\text{O}} \text{e}^{\text{i}\left(\text{k}_{\text{x}} \text{x}+\text{k}_{\text{y}} \text{y}\right)} \cdot \text{e}^{-\text{i} \omega \text{t}}\nonumber\]

donde\( k_{x}=\frac{2 \pi}{\sqrt{2}}\) y\( k_{Y}=\frac{2 \pi}{\sqrt{2}}\) metros ^-1.

Pero\(\operatorname{curl} \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial \text{t}}=\text{i} \omega \mathbf{B}\)

\ (\ nombreoperador {rizo}\ mathbf {E} =\ izquierda|\ begin {array} {ccc}
\ hat {\ mathbf {u}} _ {\ text {x}} &\ hat {\ mathbf {u}} _ {\ text {y}} &\ hat {\ mathbf {u}} _ {\ text {z}}
\\ frac {\ parcial}\ parcial\ texto {x}} &\ frac {\ parcial} {\ parcial\ texto {y}} &\ frac {\ parcial} {\ parcial\ texto {z}}\\
0 & 0 &\ texto {E} _ _ {\ texto {z}}
\ end {array}\ derecha|=\ izquierda|\ begin {array} {c}
\ frac {\ parcial\ texto {E} _ _ {\ texto {z}}} {\ parcial\ texto {y}}\
-\ frac {\ parcial\ texto {E} _ _ {\ texto {z}}} {\ parcial\ texto {x}}\\
0
\ end {array}\ derecha|\)

\(\therefore i \omega B_{x}=i k_{y} E_{z}\)o\(\text{B}_{\text{X}}=\left(\frac{\text{k}_{\text{Y}}}{\omega}\right) \text{E}_{\text{Z}}\)

\(\text{i} \omega \text{B}_{\text{y}}=-\text{i} \text{k}_{\text{X}} \text{E}_{\text{z}}\)\(\text{B}_{\text{Y}}=-\left(\frac{\text{k}_{\text{X}}}{\omega}\right) \quad \text{E}_{\text{z}}\)

Ahora,\(\frac{\omega}{c}=2 \pi \) de 25 m = 3 x 10 ⁸ Hz, es decir, 300 MHz

y\(\lambda\) = 1 metro.

\(\text{H}_{\text{x}}=\frac{\text{B}_{\text{X}}}{\text{\mu}_{\text{O}}}=\frac{\text{E}_{\text{O}}}{\text{C} \mu_{\text{O}} \sqrt{2}} \text{e}^{\text{i}\left(\text{k}_{\text{X}} \text{x}+\text{k}_{\text{Y}} \text{Y}-\omega \text{t}\right)}\)

\(\text{H}_{\text{Y}}=\frac{\text{B}_{\text{Y}}}{\mu_{\text{O}}}=-\frac{\text{E}_{\text{O}}}{\text{C} \mu_{\text{O}} \sqrt{2}} e^{\text{i}\left(\text{k}_{\text{X}} \text{x}+\text{k}_{\text{Y}} \text{Y}-\omega \text{t}\right)}\)

donde cµ _o = (3 x 10 ⁸) (4\(\pi\) x 10 ^-7) = 120\(\pi\) = 377 Ohmios. El vector de Poynting es S = E x H y se dirige a lo largo de k, ya que E y H son perpendiculares

\[|\mathbf{E} \times \mathbf{H}|=\frac{E_{0}^{2}}{C \mu_{0}} \cos ^{2}\left(k_{X} \mathbf{x}+k_{Y Y}-\omega t\right)\nonumber\]

Promedio de tiempo\(<S>=\frac{E_{0}^{2}}{2 c \mu_{0}}=\frac{.01}{(2)(377)}=\mathbf{1.326 \times 10^{-5} \text {Watts } / \mathbf{m}^{2}}\)

Amplitud\(|\mathbf{B}|=\sqrt{B_{x}^{2}+B_{y}^{2}}=\frac{E_{0}}{C}=\frac{10^{-1}}{3 \times 10^{8}}=\mathbf{3.333 \times 10^{-10} \mathbf{Tesla}}\)

Amplitud\(|\mathbf{H}|=\frac{|\mathbf{B}|}{\mu_{0}}=\frac{10^{-1}}{377}=\mathbf{2.652 \times 10^{-4} \mathbf{Amps } / \mathbf{m}}\).

d) La densidad de energía almacenada en el campo eléctrico viene dada por

\[w_{E}=\frac{\varepsilon_{0} E^{2}}{2}\nonumber\]

\[\text{w}_{\text{E}}=\frac{\varepsilon_{\text{o}} \text{E}_{\text{O}}^{2}}{2} \cos ^{2}\left(\text{k}_{\text{x}} \text{x}+\text{k}_{\text{y} \text{Y}}-\omega \text{t}\right)\nonumber\]

\[\therefore \operatorname{Avg}<w_{E}>=\frac{\varepsilon_{0} E_{0}^{2}}{4}=\frac{E_{0}^{2}}{(4)(36 \pi)\left(10^{9}\right)}\nonumber\]

\[\mathbf{=2.21 \times 10^{-14} \text {Joules } / \text{m}^{3}}.\nonumber\]

e) La energía promedio almacenada en el campo magnético viene dada por

\[<w_{B}>=\frac{\left|B_{0}\right|^{2}}{4 \mu_{0}}=\frac{\varepsilon_{0}}{4} E_{0}^{2}=\mathbf{2.21 \times 10^{-14} \text {Joules } / \mathbf{m}^{3}}\nonumber\]

Problema (9.3).

El campo eléctrico de una onda electromagnética

\[\mathbf{E}=\text{E}_{0} \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}} \cos \left[10^{8} \pi\left(\text{t}-\frac{\text{z}}{\text{c}}\right)+\theta\right] \quad \text{V} / \text{m}\nonumber\]

es la suma de

\[\mathbf{E}_{1}=0.03 \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}} \sin 10^{8} \pi\left(\text{t}-\frac{\text{z}}{\text{c}}\right) \quad \text{V} / \text{m}\nonumber\]

y\(\mathbf{E}_{2}=0.04 \hat{\mathbf{u}}_{x} \cos \left[10^{8} \pi\left(t-\frac{z}{c}\right)-\frac{\pi}{3}\right] \quad V / m \)

Encuentra E _o y θ.

Respuesta (9.3).

El campo eléctrico se puede escribir

\(E_{x}=E_{0} \cos \theta \cos 10^{8} \pi\left(t-\frac{z}{c}\right)-E_{0} \sin \theta \sin 10^{8} \pi\left(t-\frac{z}{c}\right)\)

También\(\text{E}_{1 \text{x}}=0.03\left[\sin 10^{8} \pi\left(\text{t}-\frac{\text{z}}{\text{c}}\right)\right]\)

y\(E_{2 x}=0.04\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \cos 10^{8} \pi\left(t-\frac{z}{c}\right)\right.+\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \sin 10^{8} \pi\left(t-\frac{z}{c}\right)\)

\(\therefore E_{1 x}+E_{2 x}=0.02 \cos 10^{8} \pi\left(t-\frac{z}{c}\right)+0.0646 \sin 10^{8} \pi\left(t-\frac{z}{c}\right)\)

∝ comparar con lo anterior. E _o cos θ = 0.02

-E _o sin θ = 0.06464

\(\therefore \tan \theta=-\frac{0.06464}{0.02}=-3.232\)\(\therefore \theta=\mathbf{-72.81^{\circ}=-1.271 \pi}\).

y\(E_{0}=\frac{0.02}{\cos \theta}=\mathbf{0.06766 \quad v / m}\).

Problema (9.4).

Un dispositivo óptico llamado placa\(\lambda\) /2 (placa de media onda) se caracteriza por dos ejes que pueden etiquetarse x e y. La velocidad de una onda plana polarizada a lo largo de y es diferente de la velocidad de una onda plana polarizada a lo largo de x. El espesor de la placa es tal que se introduce un desplazamiento de\(\pi\) fase de entre ondas polarizadas a lo largo de x y a lo largo de y Considerar un haz de luz polarizado plano incidente tal que el vector eléctrico forma un ángulo\(\phi\) con el eje x. Demostrar que el plano de polarización del haz de salida se girará a través de 2\(\phi\). Este mecanismo se utiliza en experimentos para realizar ajustes finos al plano de polarización.

(Pista: Descomponer el vector de campo eléctrico de la onda plana incidente en la suma de dos ondas planas; una teniendo el vector eléctrico polarizado a lo largo de x, E _x = E ₀ cos\(\phi\), la otra teniendo el vector eléctrico polarizado a lo largo de y, E _y = E ₀ sin\(\phi\)).

Respuesta (9.4).

Esto se puede escribir como la suma de dos ondas planas:

E _x = E _o cos (kz-wt) cos\(\phi\) = E _o cos\(\phi\) cosωt (a z=0)

E _y = E _o cos (kz-wt) sin\(\phi\) = E _o sin\(\phi\) cosωt (a z=0).

Si el eje y es lento entonces las ondas de salida tendrán la forma

\[E_{x}=E_{0} \cos \phi \cos \left(k_{x} d-\omega t\right)\nonumber\]

\[\text{E}_{\text{y}}=\text{E}_{\text{O}} \sin \phi \cos \left(\text{k}_{\text{y}} \text{d}-\omega \text{t}\right).\nonumber\]

Sin embargo,\(\text{v}_{\text{x}}=\frac{\text{c}}{\text{n}_{\text{x}}}\) y\(\text{V}_{\text{Y}}=\frac{\text{c}}{\text{n}_{\text{Y}}}\), donde n _x, n _y son los índices de refracción para la propagación de la luz a lo largo de los ejes x e y. Uno tiene ω = v _x k _x y ω = v _y k _y de manera que si y es un eje lento k _y > k _x.

por lo tanto E _y = E ₀ sin\(\phi\) cos (k _x d-ωt+\(\pi\)),

o E _y = - E _o sin\(\phi\) cos (k _x d-ωt).

Pero E _x = E ₀ cos\(\phi\) cos (k _x d-ωt), por lo que estos componentes del campo eléctrico corresponden a una onda plana en la que la dirección de polarización se ha girado a través de 2\(\phi\) (en sentido horario). Un argumento similar también da 2 en el sentido de\(\phi\) las agujas del reloj si x es el eje lento: la fase de la onda resultante simplemente se desplaza 180°.

Problema (9.5).

Una placa de cuarto de onda es similar a la placa de media onda de problema (9.4) excepto que el grosor se ajusta de manera que en su paso a través de la placa la luz polarizada paralela con un eje principal se desplaza en\(\pi\) /2 en fase respecto a la luz polarizada con su vector eléctrico paralelo con el otro eje. (Ver el boceto).

Deje que la luz incida sobre la placa\(\frac{\lambda}{4}\) - que está polarizada para que su vector eléctrico forme un ángulo\(\phi\) con el eje rápido. Demuestre que la luz transmitida será polarizada elípticamente. ¿Para qué ángulo\(\phi\) se polarizará circularmente la luz transmitida?

Respuesta (9.5).

A z = 0 E _x = E _o cos\(\phi\) cosωt

E _y = E _o sin\(\phi\) cosωt,

Luz incidente polarizada en plano.

En la salida donde z = d

\ [\ comenzar {alineado}
\ texto {E} _ {\ texto {X}} &=\ texto {E} _ {\ texto {O}}\ cos\ phi\ cos\ cos\ phi\ cos\ izquierda (\ texto {k} _ {\ texto {X}}\ texto {d} -\ omega\ texto {t}\ derecha)
\\ texto {E} _ _ {\ texto {Y}} &=\ texto {E}} _ {\ texto {O}}\ sin\ phi\ cos\ izquierda (\ texto {k} _ {\ texto {Y}}\ texto {d} -\ omega\ texto {t}\ derecha)\\
&=\ texto {E} _ {0}\ sin\ phi\ cos\ izquierda (\ texto {k} _ {\ texto {X}}\ texto {d} -\ omega\ texto {t} +\ frac {\ pi} {2}\ derecha)
\ end {alineado}\ nonumber\]

ya que y es el eje lento para el cual k _y > k _x. Esto se desprende de las relaciones\(\omega=v_{\text{X}} \text{k}_{\text{X}}=\left(\frac{\text{c}}{\text{n}_{\text{X}}}\right) \text{k}_{\text{X}}\) y\(\omega=\text{v}_{\text{y}} \text{k}_{\text{y}}=\left(\frac{\text{c}}{\text{n}_{\text{Y}}}\right) \text{k}_{\text{Y}}\), es decir. \(k_{Y}=\left(\frac{n_{Y}}{n_{X}}\right)\).

Así\(\text{E}_{\text{Y}}=-\text{E}_{\text{O}} \sin \phi \sin \left(\text{k}_{\text{x}} \text{d}-\omega \text{t}\right)\).

Estos componentes se pueden escribir

\[\begin{array}{l} \text{E}_{\text{X}}=\text{E}_{0} \cos \phi \cos \left(\omega \text{t}-\text{k}_{\text{X}} \text{d}\right) \\ \text{E}_{\text{Y}}=\text{E}_{0} \sin \phi \sin \left(\omega \text{t}-\text{k}_{\text{X}} \text{d}\right) \end{array}. \nonumber\]

\(\begin{array}{l|c|l} \left(\omega t-k_{x} d\right) & E_{x} & E_{Y} \\ 0 & \text { E}_0 \cos \phi & 0 \\ \pi / 2 & 0 & +E_{0} \sin \phi \\ \pi / 4 & \frac{E_{0} \cos \phi}{\sqrt{2}} & +\frac{E_{0}}{\sqrt{2}} \sin \phi \\ \pi & -E_{0} \cos \phi & 0 \\ \frac{3 \pi}{2}& 0 & -E_{0} \sin \phi \\ -\pi / 4 & \frac{E_{0} \cos \phi}{\sqrt{2}} & -\frac{E_{0}}{\sqrt{2}} \sin \phi \\ \end{array}\)

La luz se polarizará circularmente para\(\phi\) =\(\pi\) /4.

Problema (9.6).

Una partícula cargada se mueve en una órbita circular de radio b metros centrada en el origen y tendida en el plano x-y. Las coordenadas de la partícula pueden ser descritas por las relaciones

\[x = b\cos ωt\nonumber\]

\[y = b\sin ωt \nonumber\]

donde ω= 2\(\pi\) f = 3x10 ¹⁵ radianes/segundo. El movimiento es equivalente a la superposición de dos dipolos puntuales

\[p_{x}=p_{0} \cos \omega t=Q b \cos \omega t\nonumber\]

\[\text{p}_{\text{Y}}=\text{p}_{0} \sin \omega \text{t}=\text{Qb} \sin \omega \text{t}\nonumber\]

donde p ₀ = 10 ^-30 culombios-metros.

1. Un observador se localiza en x=0, y=0, z=1 metro. ¿Cómo variará el campo eléctrico en el observador en el tiempo? ¿Qué intensidad de radiación se observará?
2. Un observador se ubica en x=0, y=0.707, z=0.707 metros. ¿Cómo variará el campo eléctrico en el observador en el tiempo? ¿Qué intensidad de radiación se observará?
3. Un observador se ubica en x=0, y=1, z=0 metros. ¿Cómo variará el campo eléctrico en el observador en el tiempo? ¿Qué intensidad de radiación se observará?

Respuesta (9.6).

(a) El observador se encuentra en ángulo recto con ambos dipolos. Los campos de radiación están dados por (R=1 metro, Sinθ=1)

\[\text{E}_{\text{X}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} \text{p}_{0} \cos (\omega \text{t}-\text{R} / \text{c})\nonumber\]

\[\text{E}_{\text{Y}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} \text{p}_{0} \sin (\omega \text{t}-\text{R} / \text{c})\nonumber\]

El campo eléctrico está polarizado circularmente a la derecha. La intensidad de la radiación solo estará dada por

\[S_{z}=\frac{E_{0}^{2}}{Z_{0}}=\frac{1}{Z_{0}}\left(\frac{p_{0}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\right)^{2}\left(\frac{\omega}{c}\right)^{4}, \nonumber\]

independiente del tiempo porque\(\cos ^{2}(\omega[t-R / c])+\sin ^{2}(\omega[t-R / c])=1\). Z ₀ = 377 Ohmios, así S _z = 2.149x10 ^-15 Vatios/m ². Observe que la intensidad no fluctúa con el tiempo para una onda polarizada circularmente.

b) Para el observador en (0,0.707,0.707) los campos eléctricos serán dados por

\[\text{E}_{\text{X}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} \text{p}_{0} \cos (\omega[\text{t}-\text{R} / \text{c}])\nonumber\]

\[\text{E}_{\theta}=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} \text{p}_{0} \frac{\sin (\omega[\text{t}-\text{R} / \text{c}])}{\sqrt{2}}\nonumber\]

Por lo tanto

\[\text{E}_{\text{Y}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} \text{p}_{0} \frac{\sin (\omega[\text{t}-\text{R} / \text{c}])}{2}\nonumber\]

\[\text{E}_{\text{Z}}=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} \text{p}_{0} \frac{\sin (\omega[\text{t}-\text{R} / \text{c}])}{2}.\nonumber\]

Este campo eléctrico corresponde a la radiación polarizada elípticamente de la derecha.

En un sistema de coordenadas girado para que el nuevo eje Z apunte a lo largo de la línea que une al observador con el origen se tiene

\[\text{E}_{\text{X}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} \text{p}_{0} \cos (\omega[\text{t}-\text{R} / \text{c}])\nonumber\]

y

\[\text{E}_{\eta}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} \text{p}_{0} \frac{\sin (\omega[\text{t}-\text{R} / \text{c}])}{\sqrt{2}}.\nonumber\]

La intensidad promedio en el tiempo viene dada por

\[<S>=\frac{E_{X}^{2}}{2 Z_{0}}+\frac{E_{\eta}^{2}}{2 Z_{0}},\nonumber\]

donde Z ₀ = 377 Ohmios, y E _X, E _η son las amplitudes del campo eléctrico. En este caso\(\text{E}_{\eta}=\text{E}_{\text{X}} / \sqrt{2}\), para que

\[<S>=\left(\frac{3}{4}\right)\left(2.15 \times 10^{-15}\right)=1.611 \times 10^{-15} \text {Watts } / \text{m}^{2}.\nonumber\]

(c) Un observador en (0,1,0) ve un campo de radiación debido enteramente al dipolo orientado a lo largo del eje x. El campo eléctrico será polarizado linealmente y

\[\text{E}_{\text{x}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} \text{p}_{0} \cos (\omega \text{t}-\text{R} / \text{c}). \nonumber\]

La intensidad correspondiente será apenas la mitad de la intensidad medida por el observador en el eje z:

\[\langle S\rangle=1.074 \times 10^{-15} \text {Watts } / \text{m}^{2}.\nonumber\]

Problema (9.7).

Considera la suma de 5 fasores:

\[S=e^{i \phi}+e^{2 i \phi}+e^{3 i \phi}+e^{4 i \phi}+e^{5 i \phi}.\nonumber\]

Esta es la suma de 5 ondas: el desplazamiento de fase entre cada par de ondas es\(\phi\).

1. Calcular la suma para\(\phi\) = 0
2. Calcular la suma para\(\phi=\frac{\pi}{10}\)
3. Calcular la suma para\(\phi\) =\(\pi\) /5
4. Calcular la suma para\(\phi=\frac{2 \pi}{5}\)
5. Hacer un boceto de S en función de\(\phi\).

Una construcción gráfica es útil para sumar fasores. Observe que uno tiene que ver con una serie geométrica.

Respuesta (9.7).

(a) S = 5.0

b)\(S=e^{i \phi}\left(1+e^{i \phi}+e^{2 i \phi}+e^{3 i \phi}+e^{4 i \phi}\right)\)

\(=e^{i \phi \frac{\left(e^{5 i \phi}-1\right)}{\left(e^{i \phi}-1\right)}}\)

S = 2.657 + 3.657i

|S| = 4.520

Ángulo = 54.00˚

c)\(\phi=\frac{\pi}{5}=36^{\circ}\)

S = -1.00 + 3.078i

Ángulo = 108.00˚

|S| = 3.236

d)\(\phi=\frac{2 \pi}{5}=72^{\circ}\)

S = 0

(e) (i) Cuando\(\phi\) es un múltiplo de 2\(\pi\) S = 5.0

(ii) La suma es una progresión geométrica

\ (\ begin {alineado}
S &=e^ {i\ phi}\ izquierda (1+e^ {i\ phi} +e^ {2 i\ phi} +e^ {3 i\ phi} +e^ {4 i\ phi}\ derecha)\\
&=e^ {i\ phi\ frac {\ izquierda (e^ {5 i\ phi} -1\ derecha)} {\ izquierda (e^ {i\ phi} -1\ derecha)}}
\ final {alineado}\)

\(|S|^{2}=S S^{\star}=\frac{1-\cos 5 \phi}{1-\cos \phi}\)

Observe que para N fasores

\[|S|^{2}=\frac{1-\cos N \phi}{1-\cos \phi}\nonumber\]

Entonces cuando\(\phi\) = 0 o 2\(\pi\) |S| ² = N ².

Estos picos altos caen a cero cuando N\(\phi\) = 2\(\pi\) o\(\phi=\frac{2 \pi}{\text{N}}\) y |S| ² = 0 para múltiplos de\(\frac{2 \pi}{\text{N}}\).

Hay picos en\(\phi=(\text { odd integer } \geq 3) \times \frac{\pi}{N}=(g)\left(\frac{\pi}{N}\right)\).

Sin embargo\(\cos \left(\frac{g \pi}{N}\right) \simeq 1-\frac{g^{2} \pi^{2}}{2 N^{2}}\)

\(\therefore|\text{S}|^{2} \cong \frac{4 \text{N}^{2}}{\text{g}^{2} \pi^{2}} \sim\left(\frac{.41}{\text{g}^{2}}\right) \text{N}^{2}\), por lo que estos picos subsidiarios caen como .045, .0162, etc. y |S| ² cae rápidamente con el ángulo de fase.

Problema (9.8).

Ocho átomos están ubicados en las esquinas de un cubo cuyos lados son largos. Una esquina del cubo se encuentra en el origen de las coordenadas, y los lados del cubo son paralelos a los ejes de coordenadas. La polarizabilidad de cada átomo es\(\alpha\), es decir, en presencia de un campo eléctrico el átomo desarrolla un momento dipolar dado por p=\(\alpha\) E. Dejar que un incidente de espacio libre avión onda de la forma

\[\text{E}_{\text{z}}=\text{E}_{0} \text{e}^{\text{i}(\text{kx}-\omega \text{t})}\nonumber\]

caen en el grupo de 8 átomos, donde k= 2\(\pi\) /a.

(a) Escribir una expresión para el campo eléctrico que sería medida por un observador cuyas coordenadas polares esféricas son (R, θ,\(\phi\)). Tu respuesta debe ser en la forma de la amplitud del campo eléctrico generada por un átomo en el origen multiplicado por el factor de estructura, S.

(b) Evaluar explícitamente el factor de estructura para este problema para un observador confinado al plano x-y (θ=\(\pi\) /2). Hacer una gráfica del cuadrado absoluto del factor de estructura en función del ángulo\(\phi\) (una cantidad proporcional a la intensidad de la radiación dispersa).

Respuesta (9.8).

El componente de campo eléctrico E _θ en la posición del observador debido al átomo en r _m viene dado por

\[\text{E}_{\text{m}}=\frac{-\sin \theta}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} \frac{\alpha_{\text{E}_{0}}}{\text{R}} e^{-\text{i} \omega(\text{t}-\text{R} / \text{c})} e^{\text{i}\left[\left(\mathbf{k}_{\text{i}}-\mathbf{k}_{\text{f}}\right) \cdot \mathbf{r}_{\text{m}}\right]} \nonumber\]

donde

\[\mathbf{k}_{\text{i}}=\frac{\omega}{\text{c}} \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}=\frac{2 \pi}{\text{a}} \hat{\mathbf{u}}_{\text{X}}, \nonumber\]

y

\[\mathbf{k}_{\text{f}}=\frac{\omega}{\text{c}} \hat{\mathbf{u}}_{\text{T}}\nonumber.\]

Pero\(\hat{\mathbf{u}}_{r}=\sin \theta \cos \phi \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\sin \theta \sin \phi \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}+\cos \theta \hat{\mathbf{u}}_{z}\),

para que

\[\left(\mathbf{k}_{\text{i}}-\mathbf{k}_{\text{f}}\right)=\frac{\omega}{\text{c}}\left((1-\sin \theta \cos \phi) \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}-\sin \theta \sin \phi \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}-\cos \theta \hat{\mathbf{u}}_{\text{z}}\right)\nonumber\]

o

\(\left(\mathbf{k}_{\text{i}}-\mathbf{k}_{\text{f}}\right)=\frac{2 \pi}{\text{a}}\left((1-\operatorname{Sin} \theta \cos \phi) \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}-\sin \theta \sin \phi \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}-\cos \theta \hat{\mathbf{u}}_{\text{z}}\right)\).

La amplitud total del campo eléctrico medida por el observador es la suma de los campos dispersos por cada átomo; será proporcional al factor de estructura

\[S=\sum_{m=1}^{8} e^{i\left(\mathbf{k}_{1}-\mathbf{k}_{f}\right) \cdot \mathbf{r}_{m}}\nonumber\]

donde

\[\begin{array}{c} \mathbf{r}_{1}=0 \\ \mathbf{r}_{2}=\text{a} \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}} \\ \mathbf{r}_{3}=\text{a} \left(\hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}\right) \\ \mathbf{r}_{4}=\text{a} \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}} \\ \mathbf{r}_{5}=\text{a}\left(\hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\hat{\mathbf{u}}_{\text{z}}\right) \\ \mathbf{r}_{6}=\text{a}\left(\hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}+\hat{\mathbf{u}}_{z}\right) \\ \mathbf{r}_{7}=\text{a}\left(\hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}+\hat{\mathbf{u}}_{z}\right) \\ \mathbf{r}_{8}=\text{a}\left(\hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}+\hat{\mathbf{u}}_{\text{z}}\right). \end{array}\nonumber\]

\(S=1+e^{i \frac{a \omega}{c}(1-\sin \theta \cos \phi)}+e^{i \frac{a \omega}{c}}(1-\sin \theta \cos \phi-\sin \theta \sin \phi)+e^{-i \frac{a \omega}{c}(\sin \theta \sin \phi)}+e^{i \frac{a \omega}{c}}(1-\sin \theta \cos \phi-\cos \theta)\)

\(+e^{i \frac{a \omega}{c}}(1-\sin \theta \cos \phi-\sin \theta \sin \phi-\cos \theta)+e^{-i \frac{a \omega}{c}}(\sin \theta \sin \phi+\cos \theta)+e^{-i \frac{a \omega}{c} \cos \theta}.\)

Para el caso θ=\(\pi\) /2 el factor de estructura se convierte

\(S=2\left(1+e^{-i \frac{\omega a \sin \phi}{C}}+e^{i \frac{\omega a(1-\operatorname{Cos} \phi)}{C}}+e^{i \frac{\omega a(1-\cos \phi-\sin \phi)}{c}}\right)\).

Pero\(k=\frac{\omega}{c}=\frac{2 \pi}{a}\); por lo tanto\(\frac{\omega a}{c}=2 \pi\), y

\(S=2\left(1+e^{-2 \pi i \operatorname{Sin} \phi}+e^{2 \pi i(1-\cos \phi)}+e^{2 \pi i(1-\cos \phi-\sin \phi)}\right)\).

Un poco de álgebra tediosa (¡no hay ganancia sin dolor!) se puede utilizar para poner el cuadrado absoluto de S en la forma

\(\text{SS}^{\star}=16(1+\cos (2 \pi \sin \phi)+\cos (2 \pi \cos \phi)+\cos (2 \pi \sin \phi) \cos (2 \pi \cos \phi))\).

Una gráfica polar de la cantidad SS* muestra la manera en que la intensidad varía con el ángulo para un observador en el plano x-y. En esta parcela\(\phi\) se traza SS*Sin contra SS*cos\(\phi\).

Problema (9.9).

Una onda plana cuyo campo eléctrico viene dado por

\[\text{E}_{\text{z}}=\text{E}_{\text{O}} \text{e}^{\text{i}(\text{kx}-\omega \text{t})}\nonumber\]

es incidente sobre 5 átomos de hidrógeno que están espaciados una distancia a = 1.5 x 10 ^-10 metros a lo largo del eje y como se muestra en el boceto. La frecuencia asociada al campo eléctrico es de 10 a ¹⁸ Hz.

Un observador en el plano x-y se encuentra muy lejos en una posición especificada por el ángulo θ que se muestra en el boceto.

a) Calcular el factor de estructura para la radiación dispersa.

(b) Hacer un boceto de la variación angular de la intensidad medida por P como θ oscila entre 0 y\(\pi\) /2.

Respuesta (9.9).

La amplitud del campo eléctrico en R debido a un solo átomo es independiente de θ y el campo eléctrico se polariza a lo largo de z, sin embargo, los campos de los 5 átomos interfieren porque para el tiempo fijo de observación, la fase de cada onda se desplaza. El factor de estructura viene dado por

\[S=1+e^{-i q \cdot r}_{1}+e^{-i q \cdot r}_{2}+---+e^{-i q \cdot r_{5}}\nonumber\]

donde\(\mathbf{q}=\left(\mathbf{k}_{\text{f}}-\mathbf{k}_{\text{i}}\right)\).

En este problema

\ (\ begin {array} {l}
\ mathbf {k} _ _ {\ text {i}} =\ frac {\ omega} {\ text {c}}\ hat {\ mathbf {u}} _ {\ texto {x}}\
\ mathbf {k} _ _ {\ texto {f}} =\ frac {\ omega} {\ texto {c}}\ left [cos\ theta\ hat {\ mathbf {u}} _ {\ text {x}} +\ sin\ theta\ hat {\ mathbf {u}} _ {\ text {y}}\ derecha]
\ end {array}\)

\(\therefore \text{q}=\frac{\omega}{\text{c}}\left[(\cos \theta-1) \hat{\text{u}}_{\text{x}}+\sin \theta \hat{\text{u}}_{\text{y}}\right]\).

Las posiciones atómicas están dadas por

\[\mathbf{r}_{n}=n \text { a } \hat{\mathbf{u}}_{y}\nonumber\]

\[\therefore \quad \mathbf{q} \cdot \mathbf{r}_{n}=n \frac{a \omega}{c} \sin \theta=n \phi.\nonumber\]

Así\(S=1+e^{-i \phi}+e^{-2 i \phi}+e^{i \phi}+e^{2 i \phi}\)

(el primer término corresponde a n = 0),

o\(S=1+2 \cos \phi+2 \cos 2 \phi\),

o\(S=1+2 \cos \left(\frac{a \omega}{c} \sin \theta\right)+2 \cos \left(\frac{2 a \omega}{c} \sin \theta\right)\)

En este problema\(\frac{\omega}{c}=\frac{2 \pi}{3} \times 10^{10}\) y\(a=\frac{3}{2} \times 10^{-10} \text{m}\).

\(\therefore \frac{a \omega}{c}=\pi\)y

\(S=1+2 \cos (\pi \sin \theta)+2 \cos (2 \pi \sin \theta)\)

(Ver la figura a continuación).

La intensidad medida en P es proporcional a |S| ², o a S ² en este caso ya que S es real. Observe el fuerte patrón de dispersión hacia adelante (vea la figura a continuación).

Problema (9.10).

Esto es una repetición del problema anterior pero los centros de dispersión no están igualmente espaciados. Una onda de avión es incidente desde la izquierda\(\text{E}_{\text{z}}=\text{E}_{\text{O}} \text{e}^{\text{i}(\text{kx}-\omega \text{t})}\)

Los átomos están en:

\ (\ begin {array} {ll}
\ mathbf {r} _ {1} =0 &\\
\ mathbf {r} _ {2} =\ frac {8 a} {7}\ hat {\ mathbf {u}} _ {\ text {y}} &\ mathbf {r} _ {3} =\ left (\ frac {16\ texto {a}} {7}\ derecha)\ sombrero {\ mathbf {u}} _ {\ texto {y}}\
\ mathbf {r} _ {4} =-\ izquierda (\ frac {4\ texto {a}} {7}\ derecha)\ sombrero {\ mathbf {u}} _ {\ texto {y}} & amp;\ mathbf {r} _ {5} =-\ izquierda (\ frac {12\ texto {a}} {7}\ derecha)\ hat {\ mathbf {u}} _ {\ text {y}}.
\ end {array}\)

Se trata de un espaciado más o menos aleatorio que conserva un espaciado promedio de a.

Calcular la dependencia del ángulo θ de la intensidad de la radiación dispersa la cual se observaría en un punto distante P. a = 1.5 x 10 ^-10 m y ω = 2\(\pi\) x 10 ¹⁸ rad. /seg.

Respuesta (9.10).

\(\mathbf{k}_{i}=\frac{\omega}{\text{c}} \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}\)

\(\mathbf{k}_{\text{f}}=\frac{\omega}{\text{c}}\left[\cos \theta \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\sin \theta \hat{\mathbf{u}}_{\text{Y}}\right]\)

\(\therefore \mathbf{q}=\left(\mathbf{k}_{\text{f}}-\mathbf{k}_{\text{i}}\right)=\frac{\omega}{\text{C}}\left[(\cos \theta-1) \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\sin \theta \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}\right]\)

\(\therefore \mathbf{q} \cdot \mathbf{r}_{1}=0 \quad\quad \quad \mathbf{q} \cdot \mathbf{r}_{2}=\frac{8}{7}\left(\frac{a \omega}{c}\right) \quad \sin \theta\)

\(\mathbf{q} \cdot \mathbf{r}_{3}=\left(\frac{16}{7}\right) \left(\frac{a \omega}{c}\right) \sin \theta\)

\(\mathbf{q} \cdot \mathbf{r}_{4}=-\left(\frac{4}{7}\right)\left(\frac{a \omega}{c}\right) \sin \theta\)

\(\mathbf{q} \cdot \mathbf{r}_{5}=-\left(\frac{12}{7}\right)\left(\frac{\text{a} \omega}{\text{c}}\right) \sin \theta\)

\(\frac{\omega}{c}=\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\left(10^{10}\right) \quad \quad \quad \quad a=\frac{3}{2} \times 10^{-10} \quad \quad \quad \therefore \frac{a \omega}{c}=\pi\)

\(S=1+e^{-i} 8 \pi \sin \theta / 7+e^{-i} 16 \pi \sin \theta / 7+e^{i} 4 \pi \sin \theta / 7+e^{i} 12 \pi \sin \theta / 7\)

\(S=\left[1+\cos \left[\left(\frac{8 \pi}{7}\right) \sin \theta\right]+\cos \left[\left(\frac{16 \pi}{7}\right) \sin \theta\right]+\cos \left[\left(\frac{4 \pi}{7}\right) \sin \theta\right]\right.\left.+\cos \left[\left(\frac{12 \pi}{7}\right) \sin \theta\right)\right]\)

\(+i \left[-\sin \left[\left(\frac{8 \pi}{7}\right) \sin \theta\right]-\sin \left[\left(\frac{16 \pi}{7}\right) \sin \theta\right]+\sin \left[\frac{4 \pi}{7} \sin \theta\right]\right.+\sin \left[\left(\frac{12 \pi}{7}\right) \sin \theta\right]\)

El factor de estructura puede escribirse S = a + ib, entonces la intensidad requerida es proporcional a

|S| ² = SS* = a ² + b ²

El resultado del cálculo se muestra en las cifras. El pico principal en θ = 0 persiste porque todas las señales permanecen en fase sin importar dónde se encuentren los dispersores a lo largo del eje y. El efecto principal del espaciado irregular es reducir la estructura en las “alas”, es decir, las oscilaciones en ángulos mayores a 30˚.

Problema (9.11).

Cuatro centros de dispersión están dispuestos en la rejilla que se muestra arriba. Una onda de avión es incidente desde la izquierda:

\(\text{E}_{\text{z}}=\text{E}_{\text{O}} \text{e}^{\text{i}(\text{kx}-\omega \text{t})}\)

donde ω = 2\(\pi\) x 10 ¹⁸ rad/seg. El parámetro\(a=\frac{3}{2} \times 10^{-10} \text{m}\) y\(\frac{a \omega}{c}=\pi\). Calcular la dependencia de la intensidad dispersa en el ángulo de observación θ cuando el observador está muy lejos (R >> a).

Respuesta (9.11).

El factor de estructura viene dado por\(S=\sum_{n} \exp \left(-i \mathbf{q} \cdot \mathbf{r}_{n}\right)\)

donde q = k _f - k _i

En este caso\(\mathbf{q}=\frac{\omega}{c}\left[(\cos \theta-1) \hat{\mathbf{u}}_{x}+\sin \theta \hat{\mathbf{u}}_{y}\right]\)

\(\therefore S=e^{-i \frac{\omega a}{C}}[(\cos \theta-1)+\sin \theta]+e^{-i \frac{\omega a}{c}}[(\cos \theta-1)-\sin \theta]+e^{-i \frac{\omega a}{a}}[-(\cos \theta-1)+\sin \theta]+e^{+i \frac{\omega a}{c}}[(\cos \theta-1)+\sin \theta]\)

o para\(\frac{a \omega}{c}=\pi\)

\(S=2 \cos \pi[\cos \theta+\sin \theta-1]+2 \cos \pi[\cos \theta-\sin \theta-1]\).

Esto es real por la simetría en torno al origen. S ² se grafica en la siguiente figura.