13.12: Capítulo- 12

Problema (12.1).

La potencia de microondas de 1 Watt a una frecuencia de 24 GHz se transmite a través de una pieza de guía de ondas rectangular cuyas dimensiones internas son de 1 cm x 0.5 cm. Deje que el eje z quede paralelo al eje de la guía de ondas, y deje que las microondas se propaguen en la dirección +z. Utilice ε= ε ₀ y µ= µ ₀.

(a) Escribir expresiones para los campos eléctrico y magnético en la guía de ondas si la variación de tiempo es e ^-iωt.

(b) Calcular las amplitudes de los componentes del campo eléctrico y magnético.

(c) Calcular la densidad de energía promediada en el tiempo contenida en los campos.

d) ¿Con qué velocidad se transporta la densidad de energía anterior a lo largo de la guía de ondas?

(e) Demostrar que el vector de campo magnético gira con el tiempo en puntos que están parcialmente a lo largo de la anchura de la guía de ondas. Mostrar que para los puntos cercanos a x=a/4 la rotación es en sentido horario cuando se ve desde un punto en el eje y más y mirando hacia el plano x-z, mientras que la rortación es en sentido antihorario cerca de x=3a/4.

Respuesta (12.1).

(a) Para una frecuencia F= 24 GHz, ω= 2\(\pi\) F= 1.508 x 10 ¹¹ radianes/seg. Para el modo TE ₁₀ (todos los demás modos son de corte)

\[\mathbf{E}_{\mathbf{y}}=\mathbf{E}_{0} \ \textbf{sin} \left(\frac{\pi \mathbf{x}}{\mathbf{a}}\right) \mathbf{e}^{\mathbf{i}\left(\mathbf{k}_{\mathbf{g}} \mathbf{z}-\omega \mathbf{t}\right)}\nonumber,\]

donde las paredes de la guía de ondas están en x=0, a y en y=0, b: no hay variación espacial a lo largo de la dimensión estrecha de la guía. Los componentes de campo deben satisfacer la ecuación de onda: en particular,

\[\nabla^{2} E_{y}=\varepsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}}, \nonumber\]

de la cual

\[\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}+k_{g}^{2}=\left(\frac{\omega}{c}\right)^{2}.\nonumber\]

Para el presente caso,\(\frac{\pi}{a}=314.2 \ \mathrm{m}^{-1}\)

\[\frac{\omega}{c}=502.7 \ \mathrm{m}^{-1}\nonumber\]

para que

\[k_{g}=392.4 \ \mathrm{m}^{-1}.\nonumber\]

De curl E = iωµ ₀ H, usando el hecho de que E tiene solo un componente y, se encuentra

\[\mathbf{ {H}_{ {x}}=-\left(\frac{ {k}_{ {g}}}{\omega \mu_{0}}\right) sin \left(\frac{\pi {x}}{ {a}}\right) {E}_{0} {e}^{ {i}\left( {k}_{ {g}} {z}-\omega t\right)},} \nonumber\]

y\(\mathrm{i} \omega \mu_{0} \mathrm{H}_{\mathrm{z}}=\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{y}}}{\partial \mathrm{x}}=\left(\frac{\pi}{\mathrm{a}}\right) \mathrm{E}_{0} \cos \left(\frac{\pi \mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{k}_{\mathrm{g}} \mathrm{z}-\omega \mathrm{t}\right)},\)

o

\[\mathbf{H_{z}=\frac{-i \pi}{\mu_{0} a} E_{0} \ \text{cos} \left(\frac{\pi x}{a}\right) e^{i\left(k_{g} z-\omega t\right)}}.\nonumber\]

Tenga en cuenta que\(E_{y}=-Z_{g} H_{x}\) donde\(\mathrm{Z}_{\mathrm{g}}=-\left(\frac{\omega}{\mathrm{ck}_{\mathrm{g}}}\right) \mathrm{Z}_{0}\), y Z ₀ = µ ₀ c= 377 Ohmios.

b)\[\mathrm{S}_{\mathrm{z}}=-\mathrm{E}_{\mathrm{y}} \mathrm{H}_{\mathrm{x}} \text { Watts } / \mathrm{m}^{2}.\nonumber\]

\[<S_{z}>=-\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(E_{y} H_{x}^{\star}\right)=\frac{1}{2} \frac{\left|E_{0}\right|^{2}}{\left|Z_{g}\right|} \sin ^{2}\left(\frac{\pi{x}}{a}\right).\nonumber\]

El promedio a lo largo de la guía viene dado por

\[<<S_{z}>>=\frac{1}{4} \frac{\left|E_{0}\right|^{2}}{\left(\frac{\omega}{c k_{g}}\right) Z_{0}},\nonumber\]

donde E ₀ es la amplitud del campo eléctrico. Ahora\(Z_g=\mathrm{Z}\left(\frac{\omega}{\mathrm{ck}_{\mathrm{g}}}\right)=482.9 \text { Ohms }\), y <<S _z >>ab= 1 Watt, por lo tanto\(<< S_{z}>> = 2 \times 10^{4} \text { Watts } / m^{2}\),

de manera que E ₀ = 6216 Voltios/metro, o 31.1 Voltios a través de la dimensión estrecha de la guía de ondas. El componente x de la amplitud del campo magnético es\(\mathbf{\left|H_{x}\right|=12.87 \ \text { Amps } / m}\). La amplitud del componente de campo magnético longitudinal es |H ₀ |= 10.31 Amps/m.

c) La densidad de energía promediada en el tiempo contenida en los campos viene dada por

\[<W>=<\varepsilon_{0} E_{Y}^{2} / 2>+<\mu_{0} H_{x}^{2} / 2>+<\mu_{0} H_{z}^{2} / 2>, \nonumber\]

o

\[<W>=\frac{\varepsilon_{0} E_{0}^{2} \sin ^{2}(\pi \times / a)}{4}+\frac{1}{4 \mu_{0}}\left(\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{g}}^{2}}{\omega^{2}} \mathrm{E}_{0}^{2} \sin ^{2}(\pi \mathrm{x} / \mathrm{a})+\frac{\pi^{2}}{\mathrm{a}^{2} \omega^{2}} \mathrm{E}_{0}^{2} \cos ^{2}(\pi \mathrm{x} / \mathrm{a})\right).\nonumber\]

Promediado sobre la sección transversal de la guía, esta expresión da

\[<<\mathrm{W}>>=\varepsilon_{0} \frac{\mathrm{E}_{0}^{2}}{4} \ \text { Joules } / \mathrm{m}^{3}=85.4 \times 10^{-6} \ \mathrm{J} / \mathrm{m}^{3}.\nonumber\]

d) La velocidad del grupo es la velocidad de transporte de energía por la guía;

\[<<S_{z}>>=V_{g}<< W>>.\nonumber\]

De ello se deduce que

\[V_{g}=c \frac{k_{q}}{(\omega / c)}=0.781 c=\mathbf{2.34 \times 10^{8} \ {m} / \text { sec. }}\nonumber\]

La velocidad del grupo también viene dada por\(\mathrm{V}_{\mathrm{g}}=\frac{\partial \omega}{\partial \mathrm{k}_{\mathrm{g}}}\).

(e) Cerca de x=a/4\(\mathrm{H}_{\mathrm{x}}=\frac{-\mathrm{k}_{\mathrm{g}}}{\mu_{0} \omega} \frac{\mathrm{E}_{0}}{\sqrt{2}} e^{-\mathrm{i} \omega \mathrm{t}}\)

\[\mathrm{H}_{\mathrm{z}}=\frac{\pi}{\mathrm{a} \mu_{0} \omega} \frac{\mathrm{E}_{0}}{\sqrt{2}} e^{-(\mathrm{i} \omega \mathrm{t}-\pi / 2)}, \nonumber\]

por lo tanto\(\mathrm{H}_{\mathrm{x}}=\frac{-\mathrm{k}_{\mathrm{q}}}{\mu_{0} \omega} \frac{\mathrm{E}_{0}}{\sqrt{2}} \cos \omega \mathrm{t}\), si,

entonces

\[\mathrm{H}_{\mathrm{z}}=-\frac{\pi}{\mathrm{a} \mu_{0} \omega} \frac{\mathrm{E}_{0}}{\sqrt{2}} \sin \omega t.\nonumber\]

Estas expresiones describen una onda polarizada elípticamente (polarizada casi circularmente porque\(\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{q}}}{(\pi / \mathrm{a})}=1.25\) gira en la dirección de z a -x, es decir, en el sentido de las agujas del reloj mirando de +y hacia el plano x-z.

Del mismo modo, cerca de x=3a/4\(\mathrm{H}_{\mathrm{x}}=-\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{g}}}{\mu_{0} \omega} \frac{\mathrm{E}_{0}}{\sqrt{2}} \cos \omega \mathrm{t}\), y

\(\mathrm{H}_{\mathrm{z}}=\frac{\pi}{\mathrm{a} \mu_{0} \omega} \frac{\mathrm{E}_{0}}{\sqrt{2}} \quad \sin \omega \mathrm{t}\),

correspondiente a una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj mirando desde +y hacia el plano xz.

Problema (12.2).

Se intenta propagar una señal de microondas de 10 GHz a lo largo de una guía de ondas rectangular llena de aire cuyas dimensiones internas son de 1 cm x 0.50 cm. Use ε ₀ y µ ₀ para la constante dieléctrica y la permeabilidad.

a) Escribir expresiones para los campos eléctricos y magnéticos asociados con el modo TE ₁₀ no propagante.

b) ¿A qué distancia se atenúa 1/e la amplitud de los campos de microondas?

(c) Calcular el componente z del vector Poynting y mostrar que corresponde a un flujo periódico de energía a través de la sección de guía de ondas cuyo promedio de tiempo es cero.

Respuesta (12.2).

(a) F= 10 GHz ω= 6.28 x 10 ¹⁰ rad. /seg. \(\frac{\omega}{c}=2.094 \times 10^{2} \mathrm{m}^{-1}\).

\(\frac{\pi}{a}=3.141 \times 10^{2} \mathrm{m}^{-1}\).

Para el modo TE ₁₀\(\mathrm{k}_{\mathrm{g}}^{2}+\left(\frac{\pi}{\mathrm{a}}\right)^{2}=\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)^{2}\),

de la cual\(k_{g}^{2}=-5.4831 \times 10^{4}\), y k _g = ±i 2.342 x 10 ² m ^-1,

un número imaginario puro. Dejar k _g = i\(\alpha\).

\[E_{y}=E_{0} \sin \left(\frac{\pi x}{a}\right) e^{-\alpha z} e^{-i \omega t}\nonumber\]

\[\mathrm{H}_{\mathrm{x}}=-\frac{\mathrm{i} \alpha}{\omega \mu_{0}} \mathrm{E}_{0} \sin \left(\frac{\pi \mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right) e^{-\alpha \mathrm{z}} e^{-\mathrm{i} \omega t}\nonumber\]

\[\mathrm{H}_{\mathrm{z}}=-\mathrm{i}\left(\frac{\pi}{\mathrm{a} \omega \mu_{0}}\right) \mathrm{E}_{0} \cos \left(\frac{\pi \mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right) e^{-\alpha \mathrm{z}} e^{-\mathrm{i} \omega t}.\nonumber\]

b) La longitud de atenuación es\(\frac{1}{\alpha}=\frac{10^{-2}}{2.34}=4.27 \times 10^{-3} \ \text {meters }\), o

\[1 / \alpha=4.27 \ \mathrm{mm}.\nonumber\]

(c) S _z = - E _y H _x, donde para este problema

\[E_{y}=E_{0} \sin \left(\frac{\pi x}{a}\right) e^{-\alpha z} \cos \omega t,\nonumber\]

y

\[\mathrm{H}_{\mathrm{x}}=-\left(\frac{\alpha}{\omega \mu_{0}}\right) \mathrm{E}_{0} \sin \left(\frac{\pi \mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right) e^{-\alpha \mathrm{z}} \sin \omega \mathrm{t}.\nonumber\]

Por lo tanto,\(\mathrm{S}_{\mathrm{z}}=-\mathrm{E}_{\mathrm{y}} \mathrm{H}_{\mathrm{x}}=\frac{\alpha}{\omega \mu_{0}} \mathrm{E}_{0}^{2} \sin ^{2}\left(\frac{\pi \mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right) \mathrm{e}^{-2 \alpha \mathrm{z}} \sin \omega \mathrm{t} \cos \omega \mathrm{t}\)

o \({S}_{\mathbf{z}}=1.483 \times 10^{-3} \mathrm{E}_{0}^{2} \sin ^{2}\left(\frac{\pi \mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right) \mathrm{e}^{-2 \alpha \mathrm{z}} \sin 2 \omega \mathrm{t}\)

ya que\(\sin \omega t \cos \omega t=\frac{1}{2} \sin 2 \omega t\).

Problema (12.3).

(a) Diseñar una cavidad rectangular llena de aire para operar a 24 GHz en el modo TE ₁₀₃. La cavidad se va a construir a partir de una longitud de guía de ondas rectangular cuyas dimensiones internas son de 1 x 0.50 cm. Use ε ₀ y µ ₀ para la constante dieléctrica y la permeabilidad.

(b) Escribir expresiones para los campos de la cavidad al momento de la resonancia.

Respuesta (12.3).

(a) A 24 GHz ω= 1.508 x 10 ¹¹ rad. /seg\(\frac{\omega}{c}=502.7 \ \mathrm{m}^{-1}\).

Para el modo TE ₁₀, el número de onda guía se puede calcular a partir de

\[k_{g}^{2}=\left(\frac{\omega}{c}\right)^{2}-\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\nonumber\]

donde a= 0.01 m es la dimensión amplia de la guía:

\[\mathrm{k}_{\mathrm{g}}=3.925 \times 10^{2} \ \mathrm{m}^{-1}.\nonumber\]

La longitud de onda guía es\(\lambda_{\mathrm{g}}=2 \pi / \mathrm{k}_{\mathrm{g}}=1.60 \times 10^{-2} \ \mathrm{m}=1.60 \ \mathrm{cm}\). La longitud de la cavidad debe ser\(\mathrm{L}=\frac{3 \lambda_{\mathrm{g}}}{2}\) para el modo TE ₁₀₃;

\[\bf{{L}=2.40 \times 10^{-2} \ {m}=2.40 \ {cm}.}\nonumber\]

b) Para la onda de propagación hacia adelante y un modo TE ₁₀

\[\mathrm{E}_{\mathrm{y}}=\mathrm{E}_{0} \sin \left(\frac{\pi \mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right) e^{\mathrm{i} \mathrm{k}_{\mathrm{g}} \mathrm{z}} e^{-\mathrm{i} \omega \mathrm{t}},\nonumber\]

Para la onda que se propaga hacia atrás

\[E_{y}=E_{0} \sin \left(\frac{\pi x}{a}\right) e^{-i k_{g} z} e^{-i \omega t}.\nonumber\]

En la cavidad se debe establecer una onda estacionaria a lo largo de z que tiene nodos en z=0 y at\(z=L=\frac{3 \lambda_{q}}{2}\); i.e.

\[E_{y}=E_{0} \sin \left(\frac{\pi x}{a}\right) \sin \left(\frac{n \pi z}{L}\right) \cos \omega t \nonumber.\]

A partir de este campo eléctrico se pueden calcular los otros componentes del campo utilizando\(\operatorname{curl} \mathbf{E}=-\mu_{0} \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial \mathrm{t}}\). Para el modo TE ₁₀, el campo eléctrico tiene un solo componente, E _y

\[\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{y}}}{\partial \mathrm{z}}=\mu_{0} \frac{\partial \mathrm{H}_{\mathrm{x}}}{\partial \mathrm{t}} \quad \quad \quad \quad (1) \nonumber\]

\[\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{y}}}{\partial \mathrm{x}}=-\mu_{0} \frac{\partial \mathrm{H}_{\mathrm{z}}}{\partial \mathrm{t}} \quad \quad \quad \quad (2)\nonumber\]

Desde (1)

\[\mathrm{H}_{\mathrm{x}}=\left(\frac{1}{\mu_{0} \omega}\right)\left(\frac{\mathrm{n} \pi}{\mathrm{L}}\right) \mathrm{E}_{0} \sin \left(\frac{\pi \mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right) \cos \left(\frac{\mathrm{n} \pi \mathrm{z}}{\mathrm{L}}\right) \sin \omega t\nonumber\]

Desde (2)

\[\mathrm{H}_{\mathrm{z}}=-\left(\frac{1}{\mu_{0} \omega}\right)\left(\frac{\pi}{\mathrm{a}}\right) \mathrm{E}_{0} \cos \left(\frac{\pi \mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right) \sin \left(\frac{\mathrm{n} \pi \mathrm{z}}{\mathrm{L}}\right) \text { sinwt }.\nonumber\]

Para resonancia k _g = 3λ/2 y por lo tanto L= 2.40 cm.

Problema (12.4).

Una guía de ondas rectangular se rellena con material caracterizado por una constante dieléctrica relativa ε _r = 9.00. Las dimensiones internas de la guía de ondas son a= 1 cm, b= 0.50 cm.

(a) ¿En qué intervalo de frecuencia soportaría esta guía solo el modo TE ₁₀?

(b) Calcular la densidad de energía promediada en el tiempo para el modo TE ₁₀, y promediar la expresión resultante sobre la sección transversal de la guía. Que la amplitud del campo eléctrico sea E _y = E ₀.

(c) Calcular el valor promediado en el tiempo del vector Poynting, y promediar la expresión resultante sobre la sección transversal de la guía. Que la amplitud del campo eléctrico sea E _y = E ₀.

(d) Una señal que tiene una potencia promedio de 1 Watt se transmite por la guía a una frecuencia de 7.5 GHz. Calcular (i) la longitud de onda a lo largo de la guía, λ _g; (ii) la relación de la longitud de onda guía a la longitud de onda del espacio libre para una onda plana de 7.5 GHz; (iii) la velocidad del grupo, es decir, la velocidad con la que la información puede transmitirse por la guía; (iv) la amplitud del campo eléctrico.

Respuesta (12.4).

(a) Para el modo TE ₁₀ los campos tienen la forma

\[\mathrm{E}_{\mathrm{y}}=\mathrm{E}_{0} \sin \left(\frac{\pi \mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{k}_{\mathrm{g}} \mathrm{z}-\omega \mathrm{t}\right)}, \nonumber\]

\[\mathrm{H}_{\mathrm{x}}=-\left(\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{g}}}{\omega \mu_{0}}\right) \mathrm{E}_{0} \sin \left(\frac{\pi \mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{k}_{\mathrm{g}} \mathrm{z}-\omega \mathrm{t}\right)}, \nonumber\]

\[\mathrm{H}_{\mathrm{z}}=-\left(\frac{\mathrm{i}}{\omega \mu_{0}}\right)\left(\frac{\pi}{\mathrm{a}}\right) \mathrm{E}_{0} \cos \left(\frac{\pi \mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{k}_{\mathrm{g}} \mathrm{z}-\omega \mathrm{t}\right)}, \nonumber\]

donde\(\omega^{2} \varepsilon \mu_{0}=k_{g}^{2}+\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\)

o\(\varepsilon_{r}\left(\frac{\omega}{c}\right)^{2}=k_{g}^{2}+\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\).

Si a= 1 cm = 0.01 m\(\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}=9.870 \times 10^{4} \ \mathrm{m}^{-2}\).

La frecuencia de corte corresponde a k _g = 0; i.e\(\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{a}}\). Al punto de corte\(\frac{\omega}{\mathrm{c}}=\frac{314 \cdot 2}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}}=104.7 \ \mathrm{m}^{-1}\),

o F = 5.00 GHz.

Para los modos de orden superior, el corte corresponde a la condición k _g = 0, de manera que

\[\varepsilon_{r}\left(\frac{\omega}{c}\right)^{2}=\left(\frac{m \pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n \pi}{b}\right)^{2}\nonumber,\]

dónde\(\frac{\pi}{a}=314.2 \ \mathrm{m}^{-1}\), y\(\frac{\pi}{b}=628.4 \ \mathrm{m}^{-1}\).

Para m=0 n=1 F ₀₁ = 10.00 GHz

m=1 n=1 F ₁₁ = 11.18 Ghz

m=1 n=2 F ₁₂ = 20.62 GHz

m=2 n=0 F ₂₀ = 10.00 GHz.

Esta guía de ondas solo soportará el modo TE ₁₀ para frecuencias en el intervalo de 5.00 a 10.00 GHz.

b) La densidad de energía promediada en el tiempo viene dada por

\[<W>=<\varepsilon E_{y}^{2} / 2>+<\mu_{0} H_{x}^{2} / 2>+<\mu_{0} H_{z}^{2} / 2>, \nonumber\]

\[< W>=\frac{\varepsilon_{r} \varepsilon_{0}}{4} E_{0}^{2} \sin ^{2}\left(\frac{\pi_{x}}{a}\right)++\frac{1}{4 \mu_{0} \omega^{2}} k_{g}^{2} E_{0}^{2} \sin ^{2}\left(\frac{\pi_{\mathrm{x}}}{a}\right)+\frac{1}{4 \mu_{0} \omega^{2}}\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2} E_{0}^{2} \cos ^{2}\left(\frac{\pi_{\mathrm{x}}}{a}\right).\nonumber\]

Tome el promedio espacial sobre la sección transversal de la guía de ondas:

\[<< W>>=\left(\varepsilon_{r}+\frac{1}{\omega^{2} \varepsilon_{0} \mu_{0}}\left(k_{g}^{2}+\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\right)\right) \frac{\varepsilon_{0} E_{0}^{2}}{8},\nonumber\]

\[\mathbf{<< W>>=\frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} \varepsilon_{0}}{4} \mathrm{E}_{0}^{2} \ \text{ Joules } / {m}^{3}}.\nonumber.\]

(c) S _z = - E _y H _x,

\[\left\langle\mathbf{S}_{\mathbf{z}}\right\rangle=\frac{\mathbf{k}_{\mathbf{g}}}{\mathbf{2} \omega \mu_{0}} \mathbf{E}_{0}^{2} \sin ^{2}\left(\frac{\pi \mathbf{x}}{\mathbf{a}}\right).\nonumber\]

El promedio sobre la coordenada x da

\[\mathbf{<< {S}_{ {z}}>>=\frac{ {k}_{ {g}}}{4 \omega \mu_{0}} {E}_{0}^{2} \quad \text { Watts } / {m}^{2}}.\nonumber\]

(d) La velocidad del grupo es tal que <<S _z >>= V _g < <W>>, por lo tanto

\[V_{g}=\frac{c}{\varepsilon_{r}}\left(\frac{k_{q}}{(\omega / c)}\right).\nonumber\]

A 7.5 GHz\(\mathrm{k}_{0}=\frac{\omega}{\mathrm{c}}=157.1 \ \mathrm{m}^{-1}\) y la longitud de onda del espacio libre es λ ₀ = 4.00 cm. El vector de onda de guía de ondas viene dado por

\[k_{g}^{2}=9 k_{0}^{2}-\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}=12.337 \times 10^{4}, \nonumber\]

y

\[\mathrm{k}_{\mathrm{g}}=3.513 \times 10^{2} \ \mathrm{m}^{-1}.\nonumber\]

A partir de esto, la longitud de onda guía es

(i)\(\mathbf{\lambda_{g}=\frac{2 \pi}{k_{g}}=1.788 \ {cm}},\), y

ii)\(\frac{\lambda_{g}}{\lambda_{0}}=0.447\)

iii)\(V_{g}=\frac{c}{9}\left(\frac{3.512}{1.571}\right)= \bf{0.745 \times 10^{8} \text { meters/sec }}.\)

iv)\(\left\langle\left\langle S_{z}\right\rangle\right\rangle=\frac{k_{q}}{4 \omega \mu_{0}} E_{0}^{2}=\frac{1}{a b}=2 \times 10^{4} \ \text { Watts } / m^{2}\).

A partir de esto\(\mathrm{E}_{0}^{2}=4 \frac{(\omega / \mathrm{c})}{\mathrm{k}_{\mathrm{g}}} (377)\left(2 \times 10^{4}\right)=1.349 \times 10^{7}\),

de manera que E ₀ = 3673 Voltios/m.

Problema (12.5).

Se desea construir una cavidad cilíndrica llena de aire que resuene a 10 GHz en el modo de rosquilla TE ₀₁ (este es un modo de pérdida muy baja que a menudo se usa para construir medidores de frecuencia). Si se elige el radio de la cavidad para que sea R= 2.50 cm, ¿cuánto tiempo debe hacerse la cavidad?

Respuesta (12.5).

Para el modo TE ₀₁, el componente tangencial del campo eléctrico, E _θ, es proporcional a la función de Bessel\(J_{0}^{\prime}\left(\mathrm{k}_{\mathrm{c}} \mathrm{r}\right)=-\mathrm{J}_{1}\left(\mathrm{k}_{\mathrm{c}} \mathrm{r}\right)\) donde

\[\mathrm{k}_{\mathrm{c}}^{2}=\varepsilon_{\mathrm{r}}\left(\frac{\omega}{\mathrm{c}}\right)^{2}-\mathrm{k}_{\mathrm{g}}^{2}, \nonumber\]

ver eqn. (10.90b).

El componente E _θ debe ser cero en la pared de la guía de ondas para que el componente tangencial del campo eléctrico sea cero:

\[J_{1}\left(k_{c} R\right)=0\nonumber\]

o\(\mathrm{k}_{\mathrm{c}} \mathrm{R}=3.8317\) para el modo más bajo.

Así\(k_{c}=\frac{3.832}{0.025}=153.3 \ \mathrm{m}^{-1}\).

Para una guía de ondas llena de aire ε _r = 1, así

\(k_{g}^{2}=2.0373 \times 10^{4} \ \mathrm{m}^{-2}\)ya que\(\frac{\omega}{\mathrm{c}}=209.44 \ \mathrm{m}^{-1}\) a 10 GHz. En consecuencia, k _g = 142.7 m ^-1 y la longitud de onda guía es\(\lambda_{\mathrm{g}}=\frac{2 \pi}{\mathrm{k}_{\mathrm{g}}}=4.40 \ \mathrm{cm}\). Pero E _θ debe desaparecer en las paredes finales de la cavidad y por lo tanto E _θ debe ser proporcional a\(\sin \left(\frac{\mathrm{n} \pi \mathrm{z}}{\mathrm{L}}\right)\). Así\(\mathrm{k}_{\mathrm{g}}=\frac{\mathrm{n} \pi}{\mathrm{L}}\) y la longitud de la cavidad debe ser un número integral de medias longitudes de onda largas. Una opción conveniente sería L= 4.40 cm.