13.11: Capítulo- 11

Problema (11.1).

Se construye una línea de banda a partir de una tira metálica de 1 mm de ancho (W= 1 mm) separada de un plano de tierra por una capa de óxido cuyo espesor, D, es de 20 µm. La constante dieléctrica relativa de la capa de óxido es ε _r = 8.00, y su permeabilidad relativa es µ _r = 1.00.

a) ¿Cuál es la velocidad de una onda electromagnética en esta línea?

(b) ¿Cuál es la impedancia característica de la línea de banda?

(c) Un pulso en la línea tiene 10 metros de largo y corresponde a una diferencia de potencial constante de 10 Voltios. ¿Cuánta energía se almacena en el pulso?

Respuesta (11.1).

(a)\(v^{2}=\frac{1}{\varepsilon \mu}=\frac{c^{2}}{\varepsilon_{r}}=\frac{c^{2}}{8}\); v= 1.06 x 10 ⁸ m/seg.

(b) En el material dieléctrico se encuentra el rizo E = iωµ ₀ H para una onda que tiene dependencia del tiempo\(e^{-i \omega t}\). Por lo tanto

\[\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{X}}}{\partial \mathrm{z}}=\mathrm{i} \omega \mu_{0} \mathrm{Hy}\nonumber,\]

y

\[\mathrm{E}_{\mathrm{x}}=\left(\frac{\omega \mu_{0}}{\mathrm{k}}\right) \mathrm{H}_{\mathrm{y}} \quad \quad \text { where } \mathrm{kv}=\omega.\nonumber\]

Así\(\frac{\mathrm{E}_{\mathrm{x}}}{\mathrm{H}_{\mathrm{y}}}=\mathrm{v} \mu_{0}=133.2 \ \mathrm{Ohms}.\)

En la línea de tira el potencial es V= E _x D, y la corriente viene dada por I= WH _y. De ello se deduce que la impedancia característica viene dada por

\[\mathrm{Z}_{0}=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{I}}=\frac{\mathrm{E}_{\mathrm{x}} \mathrm{D}}{\mathrm{H}_{\mathrm{y}} \mathrm{W}}=\left(\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{W}}\right)(133.2)=\bf{2.66 \text { ohms. }}\nonumber\]

c) El campo eléctrico en el aislador es\(\mathrm{E}_{\mathrm{X}}=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{D}}\), por lo que

\[ E_{x}=\frac{10}{20 \times 10^{-6}}=5 \times 10^{5} \text { Volts } / \mathrm{m}\nonumber.\]

\[\mathrm{H}_{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{E}_{\mathrm{X}}}{133 \cdot 2}=3.754 \times 10^{3} \ \mathrm{Amps} / \mathrm{m} \nonumber.\]

La densidad de energía almacenada en el campo eléctrico viene dada por

\[\mathrm{W}_{\mathrm{E}}=\frac{\varepsilon \mathrm{E}^{2}}{2}=\frac{\varepsilon_{\mathrm{r}}}{2} \varepsilon_{0} \mathrm{E}_{\mathrm{x}}^{2}=4 \varepsilon_{0} \mathrm{E}_{\mathrm{x}}^{2} \ \text { Joules } / \mathrm{m}^{3}.\nonumber\]

La densidad de energía almacenada en el campo magnético viene dada por

\[W_{B}=\frac{\mu H^{2}}{2}=\frac{\mu_{0} H_{Y}^{2}}{2} \ \text { Joules } / m^{3}.\nonumber\]

Pero\(\frac{E_{X}}{H_{Y}}=\frac{C}{\sqrt{8}} \mu_{0}\) o\(\mathrm{H}_{\mathrm{y}}=\frac{\sqrt{8}}{\mathrm{c} \mu_{0}} \mathrm{E}_{\mathrm{x}}\)

para que\(\mathrm{W}_{\mathrm{B}}=4 \varepsilon_{0} \mathrm{E}_{\mathrm{x}}^{2} \ \text { Joules } / \mathrm{m}^{3}\).

La densidad total de energía es\(\mathrm{W}=\mathrm{W}_{\mathrm{E}}+\mathrm{W}_{\mathrm{B}}=8 \varepsilon_{0} \mathrm{E}_{\mathrm{X}}^{2}\).

Entonces W= (8) (8.84 x 10 ^-12) (^{25x10 10}) = 17.86 Julios/m ³

El volumen que contiene esta densidad de energía viene dado por

\[\mathrm{Vol.}=(10)\left(10^{-3}\right)\left(20 \times 10^{-6}\right)=2 \times 10^{-7} \ \mathrm{m}^{3}.\nonumber\]

La energía total almacenada en el pulso es de 3.54 x 10 ^-6 Julios.

Problema (11.2).

El espacio entre los conductores en un cable coaxial está lleno de polietileno el cual tiene una constante dieléctrica relativa ε _r = 2.25. La impedancia característica del cable es de 50 Ohmios. Se utiliza un cable de 10 metros de longitud para conectar un generador de pulsos a una carga de R Ohmios. La amplitud del pulso incidente es V ₀.

a) ¿Cuál es la amplitud del pulso reflejado si el cable termina en 50 Ohmios?

(b) ¿Cuál es la amplitud del pulso reflejado si el cable termina en cero ohmios?

c) ¿Cuál es la amplitud del pulso reflejado si el cable es terminado por un circuito abierto?

d) ¿Cuál es la amplitud del pulso reflejado si el cable termina en 100 Ohmios?

e) ¿Cuál es la inductancia por metro de cable?

(f) ¿Cuál es la capacitancia por metro de cable?

Respuesta (11.2).

La velocidad de un pulso en el cable es\(v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{r}}}=\frac{2 c}{3}=2.0\times10^8\ m/sec\), y la impedancia característica es Z ₀ = 50 Ohmios. El coeficiente de reflexión viene dado por\(\frac{V_{R}}{V_{0}}=\frac{r-1}{r+1}\), donde\(r=\frac{R}{Z_{0}}\).

(a) R= 50 Ohmios, por lo tanto r=1 y V _R = 0.

(b) R= 0 Ohmios, por lo tanto r= 0 y V _R = - V ₀.

(c) R= ∞ Ohmios, por lo tanto r= ∞ y V _R = +V ₀.

(d) R= 100 Ohmios, por lo tanto r= 2 y \(\frac{\mathbf{V}_{R}}{V_{0}}=\frac{1}{3}\).

e)\(V^{2}=\frac{1}{L C}\) y de\(\mathrm{Z}_{0}=\sqrt{\mathrm{L} / \mathrm{C}}\) manera que

\[\mathrm{L} / \mathrm{C}=2500 \quad \text { and } \quad \mathrm{LC}=\frac{1}{4 \times 10^{16}}. \nonumber\]

En consecuencia,\(\mathrm{L}^{2}=\frac{2500}{4 \times 10^{16}}\) y \(\mathrm{L}=\frac{1}{4} \ \mu \mathrm{Henry} / \mathrm{m}\).

\[C=\frac{L}{2500}=\mathbf{100 \ {pF} /{m}}.\nonumber\]

Problema (11.3).

Un cable coaxial típico tiene una impedancia característica de 50 Ohmios (Z _o = 50 Ohmios). El material dieléctrico puede ser considerado como sin pérdidas y ε _r = 2.25. El cable está conectado a un generador de impulsos de 50 Ohm y está terminado por una resistencia R Ohms (ver la figura).

Un osciloscopio está conectado a través de AB: su impedancia es efectivamente infinita para que no perturbe la propagación de pulsos en la línea. La distancia entre AB y el final de la línea es de 40 metros. El generador emite un pulso rectangular cuya amplitud es de 5 Voltios y cuya duración en el tiempo es de 10 ^-7 segundos.

a) ¿Cuál es la velocidad de los pulsos en este cable?

(b) Dejar R = 0. Haga un boceto de la señal medida usando el osciloscopio a través de AB.

(c) Dejar R = 0. Haga un boceto de la señal medida usando el osciloscopio conectado a través de la resistencia, R.

(d) Dejar R = 50 Ohmios. Haga un boceto de la señal medida a través de AB.

(e) Dejar R = 50 Ohmios. Haga un boceto de la señal medida a través de la resistencia, R.

(f) Dejar R → ∞ (un circuito abierto). Haga un boceto de la señal medida a través de AB.

(g) Dejar R → ∞. Haga un boceto de la señal medida a través del extremo abierto del cable.

Respuesta (11.3).

(a) Para este cable ε _r = n ² = 9/4 por lo tanto n = 3/2. La velocidad de propagación\(\mathrm{v}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{n}}=2 \times 10^{8} \ \mathrm{m} / \mathrm{sec}.\)

(b) Cable cortocircuitado. En AB se ve el pulso original seguido del pulso reflejado después de un retardo de tiempo de 80/v = 4 x 10 ^-7 segundos (40 m fuera y 40 m atrás). El pulso reflejado se invierte.

El pulso reflejado es absorbido en el generador debido a que la impedancia del generador es Z _o = 50 Ohmios.

(c) Cable en cortocircuito. Nada se verá a través del corto al final del cable (R = 0).

(d) Cable terminado por Z _o = 50 Ohmios. Uno medirá solo el pulso inicial. No hay pulso reflejado.

(e) Cable terminado en 50 Ohmios. El voltaje a través de los 50 Ohmios solo se verá como el pulso incidente pero retrasado en 40/v = 2 x 10 ^-7 segundos.

f) Circuito abierto. En AB se verá el pulso original seguido 80/ (2 x 10 ⁸) = 4 x 10 ^-7 segs. más tarde por un pulso similar. El pulso reflejado será entonces absorbido en el generador.

Esta es una técnica estándar para generar un pulso retardado.

(g) En el extremo abierto del cable se medirá un solo pulso cuya amplitud es el doble de la del pulso original. (Una mide V _o + V _R). Habrá un retraso de tiempo de 2 x 10 ^-7 segundos.

Problema (11.4).

Un cierto cable coaxial se caracteriza por una velocidad de v= 2.00 x 10 ⁸ metros/seg., y tiene una impedancia característica de 50 Ohmios. El cable está terminado por un condensador C= 100 pF. A lo largo del cable se lanza un pulso rectangular de 10 metros de largo cuya amplitud es de 5 Voltios. Haz un boceto del pulso reflejado. Indique cuidadosamente las escalas de voltaje y tiempo; deje que el pulso reflejado llegue al observador en t=0. ¿Cuál es el voltaje máximo en el pulso reflejado?

Respuesta (11.4).

Un pulso de 10 m tiene una duración de tiempo de 5 x 10 ^-8 segundos. La constante de tiempo asociada con el condensador es CZ ₀ = 5 x 10 ^-9 segs., por lo tanto, el condensador se cargará completamente durante el tiempo que se le aplique el pulso.

(i) Inicialmente el condensador se comporta como un cortocircuito; el pulso reflejado tendrá una amplitud de -5 Voltios. Esta amplitud decae a +5 Voltios a medida que el condensador se carga completamente y parece un circuito abierto. Tenga en cuenta que cuando está completamente cargado el potencial a través del condensador es V ₀ +V _R = 10 Voltios.

(ii) Al final del pulso incidente el condensador, que ha sido cargado a +10 Voltios, deposita su carga de nuevo en la línea a una velocidad determinada por C y la impedancia característica, Z ₀.

Problema (11.5).

Un cierto cable coaxial se caracteriza por una velocidad de V= 2.00 x 10 ⁸ metros/seg., y tiene una impedancia característica de 50 Ohmios. El cable está terminado por un inductor L= 0.25 µH. A lo largo del cable se lanza un pulso rectangular de 10 metros de largo cuya amplitud es de 5 Voltios. Haz un boceto del pulso reflejado. Indique cuidadosamente las escalas de voltaje y tiempo; deje que el pulso reflejado llegue al observador en t=0. ¿Cuál es el voltaje máximo en el pulso reflejado?

Respuesta (11.5).

La duración de tiempo del pulso es de 5 x 10 ^-8 segs.= 50 nsecs., mientras que la constante de tiempo asociada con el inductor es\(\tau=\frac{L}{Z_{0}}=0.5 \times 10^{-8} \ \text {secs. }=5 \text { nsecs }\); así el inductor se cargará completamente de energía magnética durante el transcurso del pulso.

(i) En t=0 el inductor parece un circuito abierto porque resiste un cambio en la corriente que fluye a través de él. Por lo tanto, el pulso reflejado tendrá una amplitud de +5 Voltios, igual a la amplitud del pulso incidente. La amplitud reflejada disminuirá con una constante de tiempo a\(\tau=L / Z_{0}\) medida que la corriente a través del inductor alcance un valor de estado estacionario. Cuando la corriente se ha vuelto constante, el inductor parece un cortocircuito y la amplitud del pulso reflejado es -5 Voltios.

(ii) El valor de estado estacionario de la corriente a través del inductor es apenas el doble de la corriente en el pulso incidente, es decir,\(I_{0}=\frac{2 V_{0}}{Z_{0}}\) amperios, correspondiente a un cortocircuito. Al terminar el pulso, esta corriente colapsa para dar un voltaje inicial

\[V=L \frac{d I}{d t}=-\frac{L}{\tau} I_{0}=-Z_{0}\left(\frac{2 V_{0}}{Z_{0}}\right)=-2 V_{0}.\nonumber\]

Problema (11.6).

Un cierto cable coaxial se caracteriza por una velocidad de V= 2.00 x 10 ⁸ metros/seg., y tiene una impedancia característica de 50 Ohmios. Un trozo de este cable de 21 m de largo se utiliza para conectar un oscilador de 250 MHz a una impedancia de carga _ZL.

(a) ¿Qué impedancia de carga se presentará al generador si Z _L es una resistencia de 50 Ohm?

(b) ¿Qué impedancia de carga se presentará al generador si Z _L es un inductor de 1.00 µH?

(c) ¿Qué impedancia de carga se presentará al generador si Z _L es un condensador de 100 pF?

d) ¿Qué impedancia se presentará al generador en los tres casos anteriores si el cable coaxial tiene una longitud de 20.0 metros?

Respuesta (11.6).

A 250 MHz y para v= 2.00 x 10 ⁸ m/seg. la longitud de onda en el cable es\(\lambda=\frac{2 \times 10^{8}}{2.5 \times 10^{8}}=\frac{4}{5} \text { meters }\).

(a) Terminado por la impedancia característica. El generador mira a 50 Ohmios.

(b) A 250 MHz. la impedancia de un inductor de 1.0 µH viene dada por Z _L = iLΩ = 1571i Ohmios, ya que ω= 1.57 x 10 ⁹ radianes/seg. \(\frac{Z_{L}}{Z_{0}}=i 31.42\)

\[2 i k l=i \frac{4 \pi(21)}{\lambda}=105 \mathrm{i} \pi\nonumber\]

lo que equivale a un desplazamiento de fase de\(\pi\). Dado que la impedancia vista por el generador es

\[\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{G}}}{\mathrm{Z}_{0}}=\frac{1+\mathrm{b} / \mathrm{a}}{1-\mathrm{b} / \mathrm{a}}, \nonumber\]

donde

\[\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\left(\frac{\mathrm{z}-1}{\mathrm{z}+1}\right) \mathrm{e}^{-2 \mathrm{i} \mathrm{k} l},\nonumber\]

y

\[z=\frac{Z_{L}}{Z_{0}},\nonumber\]

uno encuentra\(\frac{b}{a}=\frac{1-i 31 \cdot 42}{1+i 31 \cdot 42}=-0.998-i 0.0636\).

\[\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{G}}}{\mathrm{Z}_{0}}=\frac{1+\mathrm{b} / \mathrm{a}}{1-\mathrm{b} / \mathrm{a}}=-\mathrm{i} 0.0319,\nonumber\]

o Z _G = -1.59i Ohmios. La carga aparece al generador como un condensador con C= 400 pF!

(c) La impedancia de carga es un condensador de 100 pF.

Para el condensador\(\mathrm{Z}_{\mathrm{c}}=\frac{-\mathrm{i}}{\mathrm{c} \omega}=-\mathrm{i} 6.366 \text { Ohms }\).

\[z=\frac{z_{L}}{z_{0}}=-i 0.1273\nonumber\]

Como antes e ^-2ikl = -1 para que

\[\mathrm{b} / \mathrm{a}=\frac{1-\mathrm{z}}{1+\mathrm{z}}=0.9681+\mathrm{i} 0.2505.\nonumber\]

\[\frac{Z_{G}}{Z_{0}}=\frac{1+b / a}{1-b / a}=i 7.855,\nonumber\]

a partir de la cual \({Z_G}={i} 392.8 \text { Ohms. }\).

La carga aparece al generador como un inductor de 0.25 µH.

(d) Un cable de 20 m contiene un número entero de longitudes de onda, por lo tanto, el generador analizará la impedancia de carga exactamente como si el cable tuviera longitud cero.

(a) Z _G = 50 Ohmios.

(b) Z _G = i1571 Ohmios (Inductivo).

(c) Z _G = -i6.37 Ohmios.

Problema (11.7).

Un cable coaxial se caracteriza por una impedancia característica de Z _o = 50 Ohmios y una velocidad de propagación de 2 x 10 ⁸ m/seg. Se utiliza para conectar una carga de 10 Ohm a un generador. Calcule la impedancia tal como se ve desde el generador para un cable que tenga las siguientes longitudes, L:

(a) L = λ/8

(b) L = λ/4

(c) L = 3λ/8

(d) L = λ/2

(e) Calcular la relación de onda estacionaria de voltaje, VSWR.

Respuesta (11.7).

Para una carga de Z _L = 10 uno tiene una impedancia normalizada\(Z_{L}=\frac{10}{50}=0.20\)

\[\therefore \Gamma=\frac{z_{L}-1}{z_{L}+1}=-\frac{0.80}{1.2}=-\frac{2}{3}=\frac{2}{3} e^{i \pi}\nonumber\]

a)\(\mathrm{L}=\frac{\lambda}{8} \quad \quad \therefore \mathrm{e}^{-2 \mathrm{ikL}} =\mathrm{e}^{-\mathrm{i} 4 \pi \mathrm{L} / \lambda}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \pi / 2}=-\mathrm{i}\)

\[\therefore \Gamma e^{-2 i k L}=\frac{2 i}{3}\nonumber\]

\[\therefore \mathrm{z}_{\mathrm{G}}=\frac{1+\Gamma \mathrm{e}^{-2 \mathrm{ikL}}}{1-\Gamma \mathrm{e}^{-2 \mathrm{ikL}}}=\frac{1+2 \mathrm{i} / 3}{1-2 \mathrm{i} / 3}=\frac{3+2 \mathrm{i}}{3-2 \mathrm{i}}=\frac{(3+2 i)(3+2 i)}{9+4}\nonumber\]

\[\therefore \quad Z_{G}=\frac{5+12 i}{13}=0.385+0.923 i\nonumber\]

\[\therefore Z_{G}=50 Z_{G}=\mathbf{19.23+46.15 \mathrm{i}} \text { Ohms }\nonumber\]

es decir, un componente inductivo grande

(b) L = λ/4 e ^-2ikL = ^{e-i4\(\pi\) L/λ} = e ^-i\(\pi\) = -1

\(\therefore \Gamma \mathrm{e}^{-2 \mathrm{ikL}}=2 / 3 \ (\mathrm{real})\)

\(\therefore Z_{G}=\frac{1+2 / 3}{1-2 / 3}=\frac{5 / 3}{1 / 3}=5\)

Z _G = 250 Ohmios (¡puramente reales y relativamente grandes!).

c)\(\mathrm{L}=\frac{3 \lambda}{8} \quad \mathrm{e}^{-2 \mathrm{i} \mathrm{k} \mathrm{L}}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} 4 \pi \mathrm{L} / \lambda}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi / 2}=+\mathrm{i}\)

\(\therefore \Gamma e^{-2 i k L}=-\frac{2 i}{3}\)

\[Z_{G}=\frac{1-2 i / 3}{1+2 i / 3}=\frac{3-2 i}{3+2 i}=\frac{(3-2 i)(3-2 i)}{9+4}=\frac{5-12 i}{13}\nonumber\]

∝ Z _G = 19.23 - 46.15i Ohmios

es decir, hay un gran componente capacitivo.

d)\(\mathrm{L}=\frac{\lambda}{2}\)\(\mathrm{e}^{-2 \mathrm{ikL}}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} 4 \pi \mathrm{L} / \lambda}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} 2 \pi}=+1\)

\(\therefore \Gamma e^{-2 i k L}=\Gamma=-2 / 3\)

\(Z_{G}=\frac{1-2 / 3}{1+2 / 3}=\frac{1}{5}=0.2\)

Z _G = 10 Ohmios.

Es decir, el generador mira directamente a la carga.

e) La relación de onda estacionaria viene dada por

\[\mathrm{VSWR}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}=\frac{1+2 / 3}{1-2 / 3}=5\nonumber\]

En una línea ranurada no habría cambio en la posición de |V _min | cuando la carga se intercambió por un corto.

Problema (11.8).

Dado un cable coaxial para el cual Z _o = 50 Ohmios y v = 2 x 10 ⁸ m/seg. Un trozo de este cable de longitud L metros se utiliza para conectar una impedancia de carga Z _L al generador: Z _L = (10 + 20i) Ohmios.

Calcular la impedancia vista por el generador para

a)\(L=\frac{\lambda}{16}\)

b)\(L=\frac{3 \lambda}{16}\)

c)\(\mathrm{L}=\frac{5 \lambda}{16}\)

d)\(\mathrm{L}=\frac{\lambda}{2}\)

(e) Calcular la relación de onda estacionaria de voltaje, VSWR.

Respuesta (11.8).

Z _L = (10 + 20i) Ohmios

\(Z_{L}=\left(\frac{1+2 i}{5}\right)\)

\[\Gamma=\frac{z_{L}-1}{z_{L}+1}=\frac{1+2 i-5}{1+2 i+5}=\frac{-4+2 i}{6+2 i}=\frac{-2+i}{3+i}\nonumber\]

\[\therefore \Gamma=\frac{(-2+i)(3-i)}{9+1}=\frac{-5+5 i}{10}=\frac{(-1+i)}{2}\nonumber\]

\[\therefore \Gamma=\frac{1}{\sqrt{2}} e^{3 \pi i / 4}\nonumber\]

Ahora e ^-2ikL = e ^{-i4\(\pi\) L/λ} ⟩ (a)\(\frac{\mathrm{L}}{\lambda}=\frac{1}{16}\)\(e^{-2 i k L}=e^{-\pi i / 4}\)

b)\(\frac{L}{\lambda}=\frac{3}{16}\)\(\mathrm{e}^{-2 \mathrm{ikL}}=\mathrm{e}^{-3 \pi \mathrm{i} / 4}\)

c)\(\frac{\mathrm{L}}{\lambda}=\frac{5}{16}\)\(\mathrm{e}^{-2 \mathrm{ikL}}=\mathrm{e}^{-5 \pi \mathrm{i} / 4}\)

d)\(\frac{\mathrm{L}}{\lambda}=\frac{1}{2}\)\(\mathrm{e}^{-2 \mathrm{ikL}}=\mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i}} \equiv+1\)

Entonces

a)\(\Gamma e^{-2 i k L}=\frac{1}{\sqrt{2}} e^{i \pi / 2}=\frac{i}{\sqrt{2}}\)

\[z_{G}=\frac{1+\Gamma e^{-2 i k L}}{1-\Gamma e^{-2 i k L}}=\frac{1+i / \sqrt{2}}{1-i / \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i}\nonumber\]

\[\therefore \quad z_{G}=\frac{(\sqrt{2}+i)(\sqrt{2}+i)}{3}=\frac{1+i 2 \sqrt{2}}{3}\nonumber\]

\[\therefore Z_{G}=50 z_{G}=(16.67+47.14\text { i) Ohms. }\nonumber\]

b)\(\Gamma \mathrm{e}^{-2 \mathrm{ikL}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \quad(\text { purely real })\)

\[\therefore \quad z_{G}=\frac{1+1 / \sqrt{2}}{1-1 / \sqrt{2}}=5.83\nonumber\]

Z _G = (5.83) (50) = 291.4 Ohmios (¡puramente real!).

c)\(\Gamma e^{-2 i k L}=\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-i \pi / 2}=-\frac{i}{\sqrt{2}}\)

\[z_{G}=\frac{1-i / \sqrt{2}}{1+i / \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-i}{\sqrt{2}+i}\nonumber\]

(El recíproco del caso a))

\(\therefore \quad z_{G}=\frac{1-i 2 \sqrt{2}}{3}\), y Z _G = (16.67 - 47.14 i) Ohmios,

y ahora la carga del generador tiene un componente capacitivo.

d)\(\Gamma \mathrm{e}^{-2 \mathrm{ikL}}=\Gamma\)\(z_{G}=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma} \equiv z_{L}\)

Z _G ≡ Z _L = (10 + 20i) Ohmios.

e)\(\mathrm{VSWR}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}=\frac{1+1 / \sqrt{2}}{1-1 / \sqrt{2}}=\bf{5.83}\)

Problema (11.9).

Se utiliza una pieza de cable coaxial de 50 ohmios de longitud L metros para conectar una carga a un generador. La impedancia de carga viene dada por

Z _L = (10 + 100 i) Ohmios

Calcular la impedancia vista por el generador para

(a) L/λ = 0.0732

(b) L/λ = 0.250

(c) L/λ = 0.3232

(d) L/λ = 0.5000

(e) Calcular la relación de onda estacionaria de voltaje, VSWR.

Respuesta (11.9).

\(z_{L}=\frac{1}{5}+2 i=\frac{1+10 i}{5}\)

\(\therefore \Gamma=\frac{z_{L}-1}{z_{L}+1}=\frac{-4 / 5+2 i}{6 / 5+2 i}=\frac{-2+5 i}{3+5 i}=\bf{0.924 e^{+0.921 i}}\).

a)\(\mathrm{e}^{-2 \mathrm{ikL}}=\mathrm{e}^{-0.92 \mathrm{i}}\)\(\therefore \quad \Gamma e^{-2 i k L}=0.923 \text { purely real }\)

\[\therefore z_{G}=\frac{1+\Gamma e^{-2 i k L}}{1-\Gamma e^{-2 i k L}}=\frac{1+.9235+i 0.00095}{1-.9235-i 0.00095}=(25.16-i0.34) \ \text{Ohms.}\nonumber\]

Z _G = (1257.8 + i 16.9) Ohmios. ¡Casi resistiva!

b)\(e^{-2 i k L}=e^{-i \pi}=-1\)\(\therefore \Gamma e^{-2 i k L}=\frac{2-5 i}{3+5 i}= -0.559 - 0.735i\)

\[\therefore z_{G}=\frac{(1-0.559)-0.735 i}{[1.559+0.735 i]}=\frac{(.441-.735 i)(1.559-.735 i)}{2.971}\nonumber\]

\(\therefore \quad z_{G}=\frac{0.148-1.47 i}{2.971}\)y Z _G = 2.48 - 24.75i Ohmios

Carga Capacitiva.

c)\(\frac{\mathrm{L}}{\lambda}=0.3232\)\(\mathrm{e}^{-2 \mathrm{ikL}}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} 4 \pi \mathrm{L} / \lambda=\mathrm{e}^{-4.06i}}\)

\[\therefore \Gamma e^{-2 i k L}=0.923 e^{-3.141 i}=0.923 e^{-i \pi}=-0.923 \quad(\text { real })\nonumber\]

\[\therefore z_{G}=\frac{1-.9235-i 0.00099}{1+.9235+i 0.00099}\nonumber\]

y Z _G = (1.987 - i 0.027) Ohmios.

Una carga pequeña, casi puramente real.

(d) Cuando\(\mathrm{L} / \lambda=\frac{1}{2}\) uno obtiene el mismo efecto que conectar la carga directamente a través del generador.

Z _G = Z _L = (10 + 100i) Ohmios.

e)\(\mathrm{VSWR}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}=\frac{1+.923}{1-.923}=\bf{25.16}\).

Problema (11.10).

Un cierto cable coaxial se caracteriza por una velocidad de V= 2.00 x 10 ⁸ metros/seg., y tiene una impedancia característica de 50 Ohmios. El parámetro de atenuación para el cable es\(\alpha\) = 0.02 por metro. Un trozo de este cable de 21 m de largo se utiliza para conectar un oscilador de 250 MHz a una carga que consiste en 100 pF shunted por una resistencia de 5.0 Ohmios. Calcular la carga en el generador.

Respuesta (11.10).

La impedancia del condensador es\(z_c=\frac{-i}{c \omega}=-i 6.366\) Ohmios. La impedancia de carga es ZC en paralelo con una resistencia de 5 ohmios;

\[\frac{1}{Z_{L}}=\frac{1}{5}+\frac{1}{Z_{C}}=0.20+i \frac{\pi}{20}\nonumber,\]

de manera que Z _L = 3.092 -i 2.429 Ohmios, y

\[z=\frac{z_{L}}{z_{0}}=0.0618-i 0.0486=0.0786\left\lfloor-38.15^{\circ}\right.\nonumber.\]

Tenemos

\[z=\frac{Z_{L}}{Z_{0}}=\frac{1+\frac{b}{a} e^{2 \alpha 1} e^{2 i k 1}}{1-\frac{b}{a} e^{2 \alpha 1} e^{2 i k 1}},\nonumber\]

dónde\(e^{2 i k 1}=-1\) y dónde\(e^{2 \alpha 1}=e^{21(.04)}=2.316\).

Vamos\(\Gamma=\frac{z-1}{z+1}=(-0.880-i 0.086)\)

y

\[\mathrm{b} / \mathrm{a}=\Gamma \exp (-2 \alpha l-2 \mathrm{ikl} )=(0.380+\mathrm{i} 0.037)\nonumber\]

La impedancia que ve el generador es\(\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{G}}}{\mathrm{Z}_{0}}=\frac{1+\mathrm{b} / \mathrm{a}}{1-\mathrm{b} / \mathrm{a}}\).

\[\frac{Z_{G}}{Z_{0}}=(2.213+i 0.192), \nonumber\]

por lo tanto Z _G = (110.7 + i 9.62) Ohmios.

Esto se puede comparar con una impedancia Z _G = 500 + i 393 Ohmios para la misma longitud de cable sin pérdidas. En el límite de un cable muy largo la impedancia vista por el generador debe, por supuesto, acercarse a la impedancia característica de 50 Ohmios.

Problema (11.11).

Una línea ranurada es terminada por una impedancia de carga ZL = (10 + 10i) Ohmios. La impedancia característica es Z _o = 50 Ohmios. La posición del mínimo de voltaje se encuentra en z ₁. Luego, la carga se reemplaza por un cortocircuito y se encuentra que el mínimo de voltaje está en z ₂.

a) ¿Qué tan grande es el turno\(\frac{\left(z_{1}-z_{2}\right)}{\lambda}\)?

¿Este cambio es positivo (es decir, z ₁ > z ₂) correspondiente al mínimo de línea cortocircuitada más cercano al generador, o es negativo (es decir, z ₂ > z ₁) correspondiente al mínimo de línea cortocircuitada más cercano a la carga?

(b) Calcular la relación de onda estacionaria de voltaje, VSWR.

Respuesta (11.11).

(a) Z _o = 50 Ohmios Z _L = (10 + 10i) Ohmios

\(\therefore \mathrm{z}_{\mathrm{L}}=\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{\mathrm{O}}}=0.2 (1+\mathrm{i})\)

\[\Gamma=\frac{z_{L}-1}{z_{L}+1}=\frac{-0.8+0.2 i}{1.2+0.2 i}=\frac{-0.92+0.40 i}{(1.2)^{2}+0.04}\nonumber\]

= - 0.622 + 0.27i

\[\therefore \Gamma=0.678 \mathrm{e}^{2.731 \mathrm{i}}=0.678 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(0.869) \pi}.\nonumber\]

Tenemos a un mínimo de voltaje

\[\cos \left[\frac{4 \pi}{\lambda}\left(L-z_{1}\right)-\theta\right]=-1\nonumber\]

\[ \therefore \frac{4 \pi}{\lambda}\left(L-z_{1}\right)-.87 \pi=\pi\nonumber\]

\[ \therefore L-z_{1}=\frac{1.87 \lambda}{4}=.468 \lambda\nonumber\]

Entonces al cortocircuitar la línea, el mínimo mueve 0.0327 λ hacia el generador.

b)\(\mathrm{VSWR}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}=\frac{1+.678}{1-.678}=\bf{5.21}\)

Problema (11.12).

Una línea ranurada es terminada por una impedancia de carga Z _L = (10 - 10i) Ohmios. La impedancia característica de la línea ranurada es de 50 Ohmios. El voltaje mínimo se encuentra en z ₁ en la línea. Cuando la carga es reemplazada por un corto el mínimo de voltaje se mueve a z ₂.

a) Calcular el turno\(\frac{\left(z_{1}-z_{2}\right)}{\lambda}\). Cuando la línea está cortocircuitada, ¿el mínimo se mueve hacia el generador o hacia la carga?

(b) Calcular la relación de onda estacionaria de voltaje, VSWR.

Respuesta (11.12).

a)\(\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=10(1-\mathrm{i}) \text { Ohms }\)

\(\frac{Z_{L}}{Z_{0}}=\frac{1}{5}-\frac{i}{5}=z_{L}\)

\[\Gamma=\frac{z_{L}-1}{z_{L}+1}=\frac{-4 / 5-i / 5}{6 / 5-i / 5}=\frac{-4-i}{6-i}=\frac{-23-10 i}{37}.\nonumber\]

\[\therefore \Gamma=-0.622-0.27 \mathrm{i}=0.678 \mathrm{e}^{\mathrm{i} 1.13 \pi}\nonumber.\]

\(\theta=203.5^{\circ}=1.131 \pi \text { radians. }\)

Mínimo cuando cos [2k (L-z) - θ] = -1

o\(\frac{4 \pi}{\lambda}(L-z)-1.13 \pi=\pi\)

∙\(L-z=0.533 \lambda\)

Cuando la carga es reemplazada por un corto, el mínimo se mueve .0327 λ hacia la carga.

b)\(\mathrm{VSWR}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}=\frac{1.678}{1-.678}=\bf{5.21}\).

El mismo VSWR que para la impedancia del problema (9.11).

Problema (11.13).

Se encuentra que la relación de onda estacionaria de voltaje es S = 2.0 en una línea de transmisión sin pérdidas de 300 ohmios terminada por una impedancia de carga desconocida, Z _L. El mínimo de voltaje más cercano es\(\frac{3 \lambda}{10}\) de la carga es decir z ₁ = (L - 0.3λ).

(a) Cuando la línea anterior está cortocircuitada ¿dónde se ubicará el mínimo de voltaje que está más cerca de la carga, pero no justo en la carga?

(b) Calcular las partes real e imaginaria de la impedancia de carga desconocida, Z _L.

Respuesta (11.13).

(a) Cuando la carga es reemplazada por un corto el mínimo se ubicará\(\frac{\lambda}{2}\) del corto.

\(\therefore \mathrm{z}_{2}=\mathrm{L}-\frac{\lambda}{2}\)

b)\(S=V S W R=2.0=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}\)

\(\therefore|\Gamma|=1 / 3\)\(\Gamma=|\Gamma| e^{i \theta}\)

Mínimo en z ₁ donde

cos [2k (L-z) - θ] = -1

\(\mathrm{k}=\frac{2 \pi}{\lambda}\)y\(\frac{4 \pi}{\lambda}\left(L-z_{1}\right)-\theta=\pi\)

Entonces\(\pi+\theta=\left(\frac{4 \pi}{\lambda}\right)\left(\frac{3 \lambda}{10}\right)=1.2 \pi\)

⟩ θ = 0.2\(\pi\)

Entonces\(\Gamma=\frac{1}{3} e^{0.2 \pi i}\)

\(\Gamma=0.270+.196 \mathrm{i}\)

Pero\(z_{L}=\frac{Z_{L}}{Z_{0}}=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}\)

z _L = 1.555 + .685 i

Z _L = (z _L) (300) = 466.5 + 205.6i Ohmios

Problema (11.14). Una línea ranurada se caracteriza por una velocidad V= 3.00 x 10 ⁸ m/seg, y por una impedancia característica de 50 Ohmios. La línea ranurada está conectada a un oscilador en un extremo y a una carga desconocida en el otro extremo. Se encuentra que la relación de onda estacionaria de voltaje es VWSR = 2.0. Además, cuando la carga es reemplazada por un cortocircuito la posición del mínimo de voltaje se desplaza 5 cm hacia la carga. La posición del primer mínimo desde el extremo cortocircuitado se produce a 40.0 cm del corto. Calcular la impedancia de la carga.

Respuesta (11.14).

El mínimo de voltaje en una línea cortocircuitada ocurre a una distancia λ/2 del corto; por lo tanto para este problema la frecuencia del generador corresponde a una longitud de onda de λ= 80 cm= 0.80 metros. La velocidad en la línea ranurada es c= 3 x 10 ⁸ m/seg, de manera que la frecuencia es f= c/λ= 375 MHz. La frecuencia circular correspondiente es ω= 2\(\pi\) f = 2.356 x 10 ⁹ radianes/seg. El detector de ondas en la línea es k= 2\(\pi\) /λ = 7.854 m ^-1. Deje que la carga esté en z=L, con el generador en algún lugar a la izquierda (en z=0). Por una dependencia del tiempo e ^iωt

\[V=a e^{-i k z}+b e^{i k z}\nonumber\]

y

\[\mathrm{z}_{0} \mathrm{I}=\mathrm{ae}^{-\mathrm{ikz}}-\mathrm{be}^{\mathrm{ikz}}.\nonumber\]

En z=L\(V=a e^{-i k L}+b e^{i k L}\)

y

\[\mathrm{z}_{0} \mathrm{I}=\mathrm{ae}^{-\mathrm{ikL}}-\mathrm{be}^{\mathrm{ikL}}\nonumber\]

Así

\[\frac{z_{L}}{z_{0}}=\frac{1+(b / a) e^{2 i k L}}{1-(b / a) e^{2 i k L}}=\frac{1+\Gamma e^{i \theta}}{1-\Gamma e^{i \theta}},\nonumber\]

donde

\[\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right) \mathrm{e}^{2 \mathrm{ikL}}=\Gamma \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\frac{\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{L}} / \mathrm{Z}_{0}\right)-1}{\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{L}} / \mathrm{Z}_{0}\right)+1}.\nonumber\]

Se puede escribir

\[V(z)=a e^{-i k z} \left(1+\Gamma e^{i \theta} e^{2 i k(z-L)}\right);\nonumber\]

claramente\(\left|\mathrm{V}_{\max }\right|=|\mathrm{a}|(1+\Gamma)\),

mientras que\(\left|\mathrm{V}_{\min }\right|=|\mathrm{a}|(1-\Gamma)\),

para que\(\frac{\left|V_{\max }\right|}{|V_{min} |}=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}=2.0\)

Por lo tanto\(\Gamma=1 / 3\). Con la carga conectada el mínimo ocurre en z ₁. Como mínimo\(e^{i\left(2 k\left(z_{1}-L\right)+\theta\right)}=-1\),

o\(2 \mathrm{k}\left(\mathrm{z}_{1}-\mathrm{L}\right)+\theta=\pm \pi\.\)

Cuando la línea está cortocircuitada el mínimo ocurre a 40 cm de la carga. Con la carga en su lugar el mínimo desplaza 5 cm hacia el generador. Eso significa que z ₁ es tal que L-z ₁ = 45 cm = 0.5625λ. Así

\[\theta=\pm \pi+2 k\left(L-z_{1}\right),\nonumber\]

o θ = ±\(\pi\) + 7.0686. El valor apropiado es menor que 2 de\(\pi\) manera que θ = 3.9270 radianes

\[\frac{Z_{L}}{Z_{0}}=\frac{1+\frac{1}{3} e^{3.927 i}}{1-\frac{1}{3} e^{3.927 i}}=0.562-i 0.298\nonumber\]

y la impedancia de carga es Z _L = 28.08 - i14.89 Ohmios. Esto equivale a una resistencia de 28.08 Ohmios en serie con un condensador de 28.5x10 ^-12 Farad.