2.1: Introducción a los potenciales electrostáticos

Imagina que alguna región del espacio, como la habitación en la que estás sentado, está impregnada de un campo eléctrico. (Quizás hay todo tipo de cuerpos cargados eléctricamente fuera de la habitación.) Si colocas una pequeña carga positiva de prueba en algún lugar de la habitación, experimentará una fuerza\(\textbf{F} = Q\textbf{E}\). Si intentas mover la carga de punto\(A\) a punto\(B\) contra la dirección del campo eléctrico, tendrás que hacer trabajo. Si se requiere trabajo para mover una carga positiva de un punto\(A\) a otro\(B\), se dice que hay una diferencia de potencial eléctrico entre\(A\) y\(B\),\(A\) estando el punto en el potencial más bajo. Si se requiere un joule de trabajo para mover un culombo de carga de\(A\) a\(B\), la diferencia de potencial entre\(A\) y\(B\) es de un voltio (\(\text{V}\)).

Las dimensiones de la diferencia de potencial son\(\text{ML}^2 \text{T}^{ −2}\text{Q}^{ −1}\).

Todo lo que hemos hecho hasta ahora es definir la diferencia de potencial entre dos puntos. No podemos definir “el” potencial en un punto a menos que asignemos arbitrariamente algún punto de referencia como que tiene un potencial definido. No siempre es necesario hacerlo, ya que a menudo nos interesan sólo las diferencias de potencial entre puntos, pero en muchas circunstancias se acostumbra definir el potencial de ser cero a una distancia infinita de cualquier cargo de interés. Entonces podemos decir cuál es “el” potencial en algún punto cercano. La diferencia de potencial y potencial son cantidades escalares.

Supongamos que tenemos un campo eléctrico\(E\) en la\(x\) dirección positiva (hacia la derecha). Esto quiere decir que el potencial está disminuyendo hacia la derecha. Tendrías que hacer trabajo para mover una carga positiva de prueba\(Q\) hacia la izquierda, para que ese potencial aumente hacia la izquierda. La fuerza sobre\(Q\) es\(QE\), entonces el trabajo que tendrías que hacer para moverlo una distancia\(dx\) a la derecha es\(−QE\, dx\), pero por definición esto también es igual a\(Q\, dV\), donde\(dV\) está la diferencia de potencial entre\(x \text{ and }x + dx\).

Por lo tanto

\[E =-\dfrac{ dV}{dx}. \label{2.1.1}\]

En una situación tridimensional más general, esto está escrito

\[\textbf{E} = -\textbf{grad}\,V=-\nabla V = - \left ( \textbf{i}\dfrac{∂V}{∂x} + \textbf{j}\dfrac{∂V}{∂x}+\textbf{k}\dfrac{∂V}{∂x} \right ) . \label{2.1.2}\]

Vemos que, como alternativa a expresar la intensidad del campo eléctrico en newtons por culombo, podemos expresarlo igualmente bien en voltios por metro (\(\text{V}\, \text{m}^{−1}\)).

La inversa de la Ecuación\ ref {2.1.1} es, por supuesto,

\[V = -\int E\,dx + \text{ constant}\label{2.1.3}\]