4.12: Transformación Delta-Star

Considere los dos circuitos (cada uno encerrado en una caja negra) de la Figura IV.10.

\(\text{FIGURE IV.10}\)

La configuración en el cuadro de la izquierda se llama “delta” (\(\Delta\)) y la configuración en el cuadro de la derecha se llama “estrella” o “Y”. He marcado contra cada resistencia su resistencia y su conductancia, siendo la conductancia, por supuesto, meramente la recíproca de la resistencia. Voy a suponer que la resistencia entre los terminales X e Y es la misma para cada caja. En ese caso:

\[\label{4.12.1}r_1+r_2=\frac{R_3(R_1+R_2)}{R_1+R_2+R_3}.\]

Podemos obtener ecuaciones similares para los pares terminales Y, Z y Z, X. Resolviendo las tres ecuaciones para r ₁, r ₂ y r ₃, obtenemos

\[\begin{align}r_1&=\frac{R_2R_3}{R_1+R_2+R_3},\label{4.12.2} \\ r_2&=\frac{R_3R_1}{R_1+R_2+R_3},\label{4.12.3} \\ r_3&=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2+R_3},\label{4.12.4} \\ \end{align}\]

En cuanto a las conductancias, estas son

\[\begin{align}g_1&=\frac{G_2G_3+G_3G_1+G_1G_2}{G_1},\label{4.12.5} \\ g_2&=\frac{G_2G_3+G_3G_1+G_1G_2}{G_2},\label{4.12.6} \\ g_3&=\frac{G_2G_3+G_3G_1+G_1G_2}{G_3},\label{4.12.7} \\ \end{align}\]

Los conversos de estas ecuaciones son:

\[\begin{align}R_1&=\frac{r_2r_3+r_3r_1+r_1r_2}{r_1},\label{4.12.8} \\ R_2&=\frac{r_2r_3+r_3r_1+r_1r_2}{r_2},\label{4.12.9} \\ R_3&=\frac{r_2r_3+r_3r_1+r_1r_2}{r_3},\label{4.12.10} \\ G_1 &= \frac{g_2g_3}{g_1+g_2+g_3},\label{4.12.11} \\ G_2 &= \frac{g_3g_1}{g_1+g_2+g_3},\label{4.12.12} \\ G_3 &= \frac{g_1g_2}{g_1+g_2+g_3},\label{4.12.13} \\ \end{align}\]

Eso quiere decir que, si las resistencias y conductancias en una caja están relacionadas con las resistencias y conductancias en la otra por estas ecuaciones, entonces no se podría decir, si tuviera un amperímetro, y un voltímetro y un ohmiómetro, qué circuito estaba en qué caja. Las dos cajas son indistinguibles de su comportamiento eléctrico.

Estas ecuaciones no son fáciles de comprometer con la memoria a menos que las estés usando todos los días, y son lo suficientemente incómodas como para que sean probables errores al evaluarlas numéricamente. Por lo tanto, para que las fórmulas sean útiles, debes programar tu calculadora o computadora para que se conviertan instantáneamente entre delta y estrella sin que nunca tengas que pensarlo. El siguiente ejemplo muestra las fórmulas en uso. Será un trabajo pesado a menos que haya programado su computadora con anticipación —pero si lo ha hecho, verá lo muy útiles que son las transformaciones.

Ejemplo. Calcular la resistencia entre los puntos A y B en la Figura siguiente. Las resistencias individuales se dan en ohmios.

Al principio, uno no sabe cómo empezar. Pero fíjese que las resistencias de 1, 3 y 4 ohmios están conectadas en delta y el circuito es por lo tanto equivalente a

Después de eso, es fácil, y pronto encontrarás que la resistencia entre A y B es de 2.85\(\Omega\).