8.2: Partícula cargada en un campo eléctrico

Realmente hay muy poco que se pueda decir sobre una partícula cargada que se mueve a velocidades no relativistas en un campo eléctrico\(\textbf{E}\). La partícula, de carga q y masa\(m\), experimenta una fuerza\(q\textbf{E}\), y consecuentemente acelera a una velocidad\(q\textbf{E}/m\). Si parte del descanso, puedes calcular qué tan rápido se mueve en el tiempo t, qué distancia ha recorrido en el tiempo\(t\) y qué tan rápido se mueve después de haber cubierto una distancia\(x\), por todas las ecuaciones habituales de primer año para un movimiento uniformemente acelerado en línea recta. Si la carga se acelera a través de una diferencia de potencial\(V\), su pérdida de energía potencial\(qV\) igualará su ganancia en energía cinética\(\frac{1}{2} m v^2\). Por lo tanto\(v = \sqrt{2qV/m}\).

Calculemos, utilizando esta fórmula no relativista, la velocidad que gana un electrón que se acelera a través de 1, 10, 100, 1000, 10000, 100,000 y 1,000,000 voltios, dado que, para un electrón,\(e/m = 1.7588 \times 10^{11} \text{C kg}^{−1}\). (El símbolo de la carga electrónica suele estar escrito\(e\). ¡Podrías notar aquí que eso es un montón de culombios por kilogramo!). También calcularemos\(v/c\) y\(v^2 /c 2\).

\ begin {array} {c c c}\ nonumber
V\ text {volts} &\ nu\ text {m s} ^ {-1} &\ nu /c &\ nu^2/c^2\
\ hline
1 & 5.931\ times 10^5 & 1.978\ times 10^ {-3} & 3.914\ times 10^ {-6}\\
10 & 1.876\ times 10^6 & 6.256\ times 10^ {-3} & 3. 914\ veces 10^ {-5}\\
100 & 5.931\ veces 10^6 & 1.978\ veces 10^ {-2} & 3.914\ veces 10^ {-4}\\
1000 & 1.876\ veces 10^7 & 6.256\ veces 10^ {-2} & 3.914\ veces 10^ {-3}\
10000 y 5.931\ veces 10^7 y 1.978\ veces 10^ {-1} & 3.914\ times 10^ {-2}\\
100000 & 1.876\ times 10^8 & 6.256\ times 10^ {-1} & 3.914\ times 10^ {-1}\\
1000000 & 5.931\ times 10^8 & 1.978 & 3.914\
\ end {array}

Podemos ver que, incluso trabajando con una modesta precisión de cuatro cifras significativas, un electrón acelerado a través de solo unos pocos cientos de voltios está alcanzando velocidades a las que no\(v^2 /c^2\) es del todo despreciable, y por menos de un millón de voltios, ¡el electrón ya aparentemente se mueve más rápido que la luz! Por lo tanto, para grandes voltajes se deben utilizar las fórmulas de relatividad especial. Aquellos que están familiarizados con la relatividad especial (¡es decir, aquellos que han leído el Capítulo 15 de la Mecánica Clásica!) , comprenderá que la relación relativisticamente correcta entre potencial y energía cinética es\(qV = (\gamma-1)m_0c^2\), y será capaz de calcular las velocidades correctamente como en la siguiente tabla. Aquellos que no están familiarizados con la relatividad pueden estar un poco perdidos aquí, pero solo tómalo como una advertencia de que partículas como los electrones con una relación carga-masa muy grande alcanzan rápidamente velocidades a las que se necesitan usar fórmulas relativistas. Estas Figuras se dan aquí meramente para dar alguna idea de la magnitud de las diferencias de potencial que acelerarán un electrón hasta velocidades donde se deben utilizar las fórmulas relativistas.

\ begin {array} {c c c}\ nonumber
V\ text {volts} &\ nu\ text {m s} ^ {-1} &\ nu /c &\ nu^2/c^2\
\ hline
1 & 5.931\ times 10^5 & 1.978\ times 10^ {-3} & 3.914\ times 10^ {-6}\\
10 & 1.875\ times 10^6 & 6.256\ times 10^ {-3} & 3. 914\ times 10^ {-5}\\
100 & 5.930\ times 10^6 & 1.978\ times 10^ {-2} & 3.912\ times 10^ {-4}\\
1000 & 1.873\ times 10^7 & 6.247\ times 10^ {-2} & 3.903\ times 10^ {-3}\\
10000 & 5.845\ times 10^7 & 1.950\ times 10^ {-1} & 3.803\ tiempos 10^ {-2}\\
100000 & 1.644\ times 10^8 & 5.482\ times 10^ {-1} & 3.005\ times 10^ {-1}\\
1000000 & 2.821\ times 10^8 & 0.941 & 0.855\
\ end {array}

Si una partícula cargada se mueve a velocidad constante en la\(x\) dirección -dirección, y encuentra una región en la que hay un campo eléctrico en la\(y\) dirección -como en el\(e/m\) experimento de Thomson, por ejemplo) acelerará en la\(y\) dirección mientras mantiene su velocidad constante en la\(x\) dirección -. Consecuentemente se moverá en una trayectoria parabólica igual que una bola lanzada en un campo gravitacional uniforme, y se aplicará todo el análisis familiar de una trayectoria parabólica, excepto que en lugar de una aceleración g, la aceleración será\(q/m\).