8.3: Partícula cargada en un Campo Magnético

Ya sabemos que una corriente eléctrica que\(\textbf{I}\) fluye en una región del espacio donde existe un campo magnético\(\textbf{B}\) experimentará una fuerza que está en ángulo recto con ambos\(\textbf{I}\) y\(\textbf{B}\), y la fuerza por unidad de longitud,\(\textbf{F}^\prime\), viene dada por

\[\textbf{F}^\prime = \textbf{I} \times \textbf{B} \label{8.3.1}\]

y efectivamente usamos esta Ecuación para definir lo que queremos decir con\(\textbf{B}\). La ecuación\ ref {8.3.1} se ilustra en la Figura\(\text{VIII.1}\).

\(\text{FIGURE VIII.1}\)

La cruz grande en círculo pretende indicar un campo magnético dirigido hacia el plano del papel,\(\textbf{I}\) y\(\textbf{F}^\prime\) mostrar las direcciones de la corriente y la fuerza.

Ahora podríamos considerar que la corriente comprende una corriente de partículas,\(n\) de ellas por unidad de longitud, cada una con una carga\(q\), y moviéndose con velocidad\(\textbf{v}\) (velocidad\(v\)). La corriente es entonces\(nq\textbf{v}\), y la Ecuación\ ref {8.3.1} luego muestra que la fuerza en cada partícula es

\[\textbf{F} = q \textbf{v} \times \textbf{B}.\label{8.3.2}\]

Esta, entonces, es la Ecuación que da la fuerza sobre una partícula cargada que se mueve en un campo magnético, y la fuerza se conoce como la fuerza de Lorentz.

Se observará que existe una fuerza sobre una partícula cargada en un campo magnético solo si la partícula se está moviendo, y la fuerza está en ángulo recto con ambos\(\textbf{v}\) y\(\textbf{B}\).

En cuanto a la pregunta: “¿Quién puede decir si la partícula se mueve?” o “¿se mueve en relación con qué?” — que nos lleva efectivamente a aguas muy profundas. Para una respuesta, le remito al siguiente trabajo: Einstein, A., Zur Elektrodynamik Bewegter Körper, Annenen der Physik 17, 891 (1905).

Supongamos que tenemos una partícula, de carga\(q\) y masa\(m\), que se mueve con velocidad\(v\) en el plano del papel, y que hay un campo magnético\(\textbf{B}\) dirigido en ángulo recto con el plano del papel. (Si estás leyendo esto directamente de la pantalla, ¡entonces lee “plano de la pantalla”!) La partícula experimentará una fuerza de magnitud\(qv\)\(B\) (porque\(\textbf{v}\) y\(\textbf{B}\) están en ángulo recto entre sí), y esta fuerza está en ángulo recto con la velocidad instantánea de la partícula. Debido a que la fuerza está en ángulo recto con el vector de velocidad instantánea, la velocidad de la partícula no se ve afectada. Su aceleración es constante en magnitud y por lo tanto la partícula se mueve en un círculo, cuyo radio se determina igualando la fuerza\(qv\)\(B\) a la masa por la aceleración centrípeta. Es decir\(qv\)\(B = mv^2/r\), o

\[r=\dfrac{mv}{qB}\label{8.3.3}\]

Si estamos viendo el movimiento de alguna partícula subatómica en un campo magnético, y tenemos razones para creer que la carga es igual a la carga electrónica (o quizás algún pequeño múltiplo de la misma), vemos que el radio de la trayectoria circular nos dice el impulso de la partícula; es decir, el producto de su masa y velocidad. La ecuación\ ref {8.3.3} es bastante válida para velocidades relativistas, salvo que la masa que aparece en la Ecuación es entonces la masa relativista, no la masa de reposo, de manera que el radio es una función un poco más complicada de velocidad y masa de reposo.

Si\(\textbf{v}\) y no\(\textbf{B}\) son perpendiculares entre sí, podemos resolvernos\(\textbf{v}\) en un componente\(v_1\) perpendicular a\(\textbf{B}\) y un componente\(v_2\) paralelo a\(\textbf{B}\). La partícula se moverá entonces en una trayectoria helicoidal, siendo el radio de la hélice\(mv_2/(qB)\), y el centro del círculo moviéndose a velocidad\(v_2\) en la dirección de\(\textbf{B}\).

La velocidad angular\(\omega\) de la partícula en su trayectoria circular es\(\omega = v / r\), que, en concierto con la Ecuación\ ref {8.3.3}, da

\[\omega = \dfrac{qB}{m}.\label{8.3.4}\]

A esto se le llama la velocidad angular del ciclotrón o la frecuencia angular del ciclotrón. Debe verificar que sus dimensiones son\(\text{T}^{−1}\).

Un magnetrón es un tubo de vidrio cilíndrico evacuado con dos electrodos en su interior. Uno, el electrodo negativo (cátodo) es un cable a lo largo del eje del cilindro. Este está rodeado por un ánodo cilíndrico hueco de radio\(a\). Un campo magnético uniforme se dirige paralelo al eje del cilindro. El cátodo se calienta (y emite electrones, de carga\(e\) y masa\(m\)) y\(V\) se establece una diferencia de potencial a través de los electrodos. En consecuencia, los electrones alcanzan una velocidad dada por

\[eV = \dfrac{1}{2} mv^2.\label{8.3.5}\]

Debido al campo magnético, se mueven en arcos de círculos. A medida que aumenta el campo magnético, el radio de los círculos se hace más pequeño y, cuando el diámetro del círculo es igual al radio\(a\) del ánodo, ningún electrón puede llegar al ánodo, y la corriente a través del magnetrón cae repentinamente. Esto sucede cuando

\[\dfrac{1}{2}a = \dfrac{mv}{eB}.\label{8.3.6}\]

Eliminación\(v\) de ecuaciones\ ref {8.3.5} y\ ref {8.3.6} muestra que la corriente cae a cero cuando

\[B = \sqrt{\dfrac{8mV}{ea^2}}.\label{8.3.7}\]

Quienes son hábiles en la relatividad especial deben tratar de hacer esto con las fórmulas relativistas. En la Ecuación\ ref {8.3.5} el lado derecho tendrá que ser\((\gamma-1)m_0c^2\), y en la Ecuación\ ref {8.3.6}\(m\) tendrá que ser reemplazado por\(\gamma m_0\). Hago el resultado

\[B = \dfrac{2\sqrt{2m_0c^2eV + e^2V^2}}{eac}.\label{8.3.8}\]

Para pequeñas diferencias de potencial,\(eV\) es mucho menor que\(m_0c^2\), y la Ecuación\ ref {8.3.8} se reduce a la Ecuación\ ref {8.3.5}.