8.5: Movimiento en un Campo Magnético No Uniforme

Doy esto como un ejemplo bastante más difícil, no apto para principiantes, solo para ilustrar cómo se podría calcular el movimiento de una partícula cargada en un campo magnético que no es uniforme. Voy a suponer que tenemos una corriente eléctrica que\(I\) fluye (en un cable) en la\(z\) dirección positiva hacia arriba del\(z\) eje. Un electrón de masa\(m\) y carga de magnitud\(e\) (es decir, su carga es\(−e\)) está deambulando en las proximidades de la corriente. La corriente produce un campo magnético, y en consecuencia el electrón, cuando se mueve, experimenta una fuerza de Lorenz. En la siguiente tabla escribo, en coordenadas cilíndricas, los componentes del campo magnético producido por la corriente, los componentes de la fuerza de Lorentz sobre el electrón, y las expresiones en coordenadas cilíndricas para componente de aceleración. Se necesitará alguna facilidad en la mecánica clásica para seguir esto.

\ begin {array} {c|lcr} &\ text {Campo} &\ text {Fuerza} &\ text {Aceleración}\\\ hline\ rho & B_\ rho = 0 & e\ punto z B_\ phi &\ ddot\ rho -\ rho\ punto\ phi^2\\ phi & B_\ phi =\ frac {\ mu_0i} {2\ pi\ rho} & 0 &\ rho\ ddot\ phi + 2\ punto\ rho\ punto\ phi\\ z & B_z=0 & -e\ punto\ rho B_\ phi &\ ddot z\\\ nonumber\ end {array}

De esta tabla podemos anotar las ecuaciones de movimiento, de la siguiente manera, en la que\(S_C\) es la abreviatura de\(\frac{\mu_0eI}{2\pi m}\). Esta cantidad tiene las dimensiones de velocidad (¡verifica!) y voy a llamarlo la velocidad característica. Tiene el valor numérico\(3.5176 \times 10^4 \text{I m s}^{−1}\), donde\(I\) está en\(A\). Las ecuaciones de movimiento, entonces, son

Radiales:\[\rho(\ddot \rho - \rho \dot\phi^2) =S_C \dot z\]

Transversal (Azimutal):\[\rho \ddot \phi + 2 \dot \rho \dot \phi = 0\]

Longitudinal:\[\rho \ddot z = -S_C \dot \rho .\]

Será conveniente definir componentes de velocidad adimensional:

\[u=\dot\rho/S_C, \qquad v= \rho \dot\phi/S_C, \qquad w=\dot z /S_c .\label{8.5.4a,b,c}\]

Supongamos que inicialmente, en el momento\(t = 0\), sus valores son\(u_0\),\(v_0\) y\(w_0\), y también que la distancia inicial de la partícula con respecto a la corriente es\(\rho_0\). Además, introducir la distancia adimensional

\[x=\rho/\rho_0,\]

de manera que el valor inicial de\(x\) es 1. Los valores iniciales de\(\phi\) y se\(z\) pueden tomar como cero mediante la elección adecuada de los ejes.

Integración de las ecuaciones 8.5.2 y 3, con estas condiciones iniciales, rinde

\[\dot z = S_C(w_0 - \ln (\rho/\rho_0))\]

y\[\rho^2 \dot \phi = \rho_0 v_0 S_C;\]

o, en términos de las variables adimensionales,

\[w=w_0-\ln x\]

y\[v=v_0/x.\]

Podemos escribir\(\dot\rho \frac{d\dot\rho}{d\rho}\) para\(\ddot\rho\) en la ecuación 8.5.1, y la sustitución de\(\dot z\) y\(\dot\phi\) de las ecuaciones 8.5.6 y 8.5.7 rendimientos

\[u^2=u_0^2+v_0^2(1-1/x^2) + 2 w_0 \ln x - (\ln x)^2.\]

Las ecuaciones 8.5.8,9 y 10 dan los componentes de velocidad del electrón en función de su distancia desde el alambre.

La ecuación 8.5.2 expresa el hecho de que no existe fuerza transversal (acimutal). Su integral de tiempo, ecuación 8.5.7) expresa la consecuencia de que se conserva el\(z\) componente -componente de su momento angular. Además, a partir de las ecuaciones 8.5.8,9 y 10, encontramos que

\[u^2 +v^2 + w^2 = u_0^2 +v_0^2 +w_0^2 =s^2,\ \text{say},\]

para que la velocidad del electrón sea constante. Esto es como se esperaba, ya que la fuerza sobre el electrón siempre es perpendicular a su velocidad; el punto de aplicación de la fuerza no se mueve en la dirección de la fuerza, que por lo tanto no funciona, de manera que se conserva la energía cinética, y por ende la velocidad.

La distancia del electrón desde el cable está delimitada por debajo y por encima. Los límites inferior y superior,\(x_1\) y\(x_2\) se encuentran a partir de la ecuación 8.5.10 poniendo\(u = 0\) y resolviendo para\(x\). Ejemplos de estos límites se muestran en la Tabla\(\text{VIII.I}\) para una variedad de condiciones iniciales.

\(\text{TABLE VII.1}\)

\(\text{BOUNDS OF THE MOTION}\)

\ begin {array} {c\ qquad c\ qquad l\ qquad c\ qquad r} |u_0| & |v_0| & |w_0| & x_1 & x_2\\ 0 & 0 & −2 & 0.018 & 1.000\\ 0 & 0 & −1 & 0.135 & 1.000\\ 0 & 0 & 0 & 1.000\
0 & 1 & 1.000 & 7.389\\
0 & 0 & 2 & 1.000 & 54.598\\
0 & 1 & −2 & 0.599 & 1.000\\
0 & 1 & −1 & 1.000 & 1.000\\
0 & 1 & 0 & 1.000 & 2.501\\
0 & 1 & 1 & 1.000 & 11.149\\
0 & amp; 1 & 2 & 1.000 & 69.132\\
0 & 2 & −2 & 1.000 & 1.845\\
0 & 2 & −1 & 1.000 & 3.137\\
0 & 2 & 0 & 1.000 & 7.249\\
0 & 2 & 1 & 1.000 & 25.398\\
0 & 2 & 2 & 1.000 & 125.009\\
1 & 0 & −2 & 0.014 & 1.266\\
1 & 0 & 0 & −1 & 0.089 & 1.513\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0.368 & 2.718\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0.661 & 11.181\\
1 & 0 & ; 2 & 0.790 & 69.135\\
1 & 1 & −2 & 0.476 & 1.412\\
1 & 1 & −1 & 0.602 & 1.919\\
1 & 1 & 0 & 0.726 & 4.024\\
1 & 1 & 1 & 0.809 & 15.345\
1 & 1 & 1 & 2 & amp; 0.857 & 85.581\\
1 & 2 & −2 & 0.840 & 2.420\\
1 & 2 & −1 & 0.873 & 4.052\\
1 & 2 & 0 & 0.896 & 9.259\\
1 & 2 & 1 & 0.912 & 31.458\\
1 & 2 & 2 & 0.925 & 148.409\\
2 & 0 & −2 & 0.008 & 2.290\\ 2 & 0 & −1 & 0.039 & 3.442\\
2 & 0 & 0 & 0 & 0.135 & 7.389\\
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.

437 & 125.014\\
2 & 1 & −2 & 0.352 & 2.654\\
2 & 1 & −1 & 0.409 & 4.212\\
2 & 1 & 0 & 0.474 & 9.332\\
2 & 1 & 1 & 0.542 & 31.478\\
2 & 1 & 2 & 0.605 & 148.412\\
2 & 2 & −2 & 0.647 & 4.183\\
2 & 2 & −1 & 0.681 & 7.297\\
2 & 2 & 0 & 0.712 & 16.877\\
2 & 2 & 1 & 0.740 & 54.486\
2 & 2 & 2 & 0.764 & amp; 236.061\\\ nonumber\ end {array}

Al analizar el movimiento con más detalle, podemos comenzar con algunas condiciones iniciales particulares. Un caso fácil es si\(u_0 = v_0 = w_0 = 0\) — es decir, el electrón comienza en reposo. En ese caso no habrá fuerzas sobre él, y permanece en reposo para siempre. Una condición inicial menos trivial es para\(v_0 = 0\), pero los demás componentes no cero. En ese caso, la ecuación 8.5.7 muestra que\(\phi\) es constante para todos los tiempos. Lo que esto significa es que todo el movimiento tiene lugar en un plano\(\phi = \text{constant}\), y no hay movimiento “alrededor” del cable. Esto es solo de esperar, porque el\(\rho\) -componente de la velocidad da lugar a un\(z\) -componente de la fuerza de Lorenz, y el\(z\) -componente de la velocidad da lugar a una fuerza de Lorentz hacia el alambre, y no hay componente de fuerza “alrededor” (aumentando\(\phi\)) el alambre. El electrón, entonces, se va a mover en el plano\(\phi = \text{constant}\) a una velocidad constante\(S=sS_C\), donde\(s=\sqrt{u_0^2+w_0^2}\). (Recordemos que\(u\) y\(w\) son cantidades adimensionales, siendo los componentes de velocidad en unidades de la velocidad característica\(S_C.\)) voy a acuñar las palabras perineme y aponema para describir las distancias menores y mayores de los electrones desde el alambre — es decir, los límites del movimiento. Estos límites se pueden encontrar estableciendo\(u = 0\) y\(v_0 = 0\) en la ecuación 8.5.10 (donde recordamos eso\(x = \rho/\rho_0\) - es decir, la relación de la distancia radial del electrón en algún momento a su distancia radial inicial). Obtenemos

\[\rho=\rho_0e^{w_0 \pm s}\]

para las distancias de aponema (signo superior) y perineme (signo inferior). De la ecuación 8.5.8 podemos deducir que el electrón se mueve en ángulo recto con el alambre (es decir\(w = 0\)) cuando está a una distancia

\[\rho = \rho_0e^{w_0}.\]

La forma de la trayectoria con v0 = 0 se encuentra integrando las ecuaciones 8.5.8 y 8.5.10. Es conveniente iniciar la integración en perineme para que u0 = 0 y s = w0, y el valor inicial de x (/) = ρ ρ0 sea 1. Para cualquier otra condición inicial, los valores de perineme de x y ρ se pueden encontrar a partir de las ecuaciones 8.5.10 y 8.5.12 respectivamente. Las ecuaciones 8.5.10 y 8.5.8 pueden escribirse

\[t=\frac{\rho_0}{S_C} \int_1^x \frac{dx}{[2s \ln x - (\ln x)^2]^{1/2}}\]

y\[z= St-\rho_0 \int_1^x \frac{\ln x dx}{[2s \ln x - (\ln x )^2]^{1/2}}.\]

Hay singularidades en los integrandos en\(x = 1\) y\(\ln x = 2s\), y, para sortear esta dificultad es conveniente introducir una variable\(\theta\) definida por

\[\ln x = s(1-\sin \theta).\]

Las ecuaciones 8.5.14 y 15 luego se convierten

\[t=\frac{\rho_0e^s}{S_C}\int_{\pi/2}^0 e^{-s \sin \theta} d\theta\]

y\[z=\rho_0 se^s \int_{\pi/2}^0 \sin \theta e^{-s\sin\theta} d\theta.\]

Ejemplos de estas trayectorias se muestran en la Figura\(\text{VIII.4}\), aunque me temo que tendrás que girar tu monitor de costado para poder verlo correctamente. Se estiran para\(s =\) 0.25, 0.50, 1.00 y 2.00, donde\(s\) está la relación de la velocidad constante del electrón a la velocidad característica\(S_C\). Se supone que el cable está situado a lo largo del\(z\) eje -axis (\(\rho = 0\)) con la corriente fluyendo en la dirección de positivo\(z\). El electrón deriva en dirección opuesta a la corriente. (Una partícula cargada positivamente derivaría en la misma dirección que la corriente). Las distancias en la Figura se expresan en términos de la distancia perineme\(\rho_0\). La forma del camino depende únicamente de\(s\) (y no de\(\rho\)). Para ninguna velocidad el camino tiene cúspide. El radio de curvatura\(R\) en cualquier punto viene dado por\(R = \rho/s\).

Mínimos de\(\rho\) ocurrir en\(\rho_0\) y\(\theta = (4n + 1)\pi/2\), donde\(n\) es un número entero;

Máximo de\(z\) ocurrir en\(\rho = \rho_0 e^s\) y\(\theta = (4n + 2)\pi/2\);

Máximo de\(\rho\) ocurrir en\(\rho = \rho_0e^{2s}\) y\(\theta = (4n + 3)\pi/2\);

Mínimos de\(z\) ocurrir en\(\rho = \rho_0e^s\) y\(\theta = (4n + 4)\pi/2\).

La distancia entre los bucles sucesivos y el periodo de cada bucle varía rápidamente con la velocidad de los electrones, como se ilustra en la Tabla\(\text{VIII.2}\). En esta tabla,\(s\) se encuentra la velocidad electrónica en unidades de la velocidad característica\(S_C\),\(A_1\) es la relación de distancia de aponema a perinema,\(A_2\) es la relación de distancia de entrebucle a distancia de perinema,\(A_3\) es la relación de periodo por bucle a\(\rho_0/S_C\), y\(A_4\) es la deriva velocidad en unidades de la velocidad característica\(S_C\).

\(\text{FIGURE VIII.4}\)

Por ejemplo, para una corriente de 1\(\text{A}\), la velocidad característica es\(3.5176 \times 10^4 \text{m s}^{−1}\). Si un electrón se acelera a través\(8.7940 \text{V}\), ganará una velocidad de\(1.7588 \text{m s}^{−1}\), que es 50 veces la velocidad característica. Si el electrón arranca a esta velocidad moviéndose en la misma dirección que la corriente y\(10^{-10}\) desde ella, alcanzará una distancia máxima de\(8.72 \times 10^{10}\) megaparsecs (1\(\text{Mpc} = 3.09 \times 10^{22} \text{m}\)) de ella, siempre que el Universo sea euclidiano. La distancia entre los bucles será\(1.53 \times 10^{12} \text{Mpc}\), y el periodo será de\(8.60 \times 10^{20}\) años, después de lo cual el electrón habrá cubierto, a velocidad constante, una distancia total de\(1.55 \times 10^{12} \text{Mpc}\). La velocidad de deriva será\(1.741 \times 10^6 \text{m s}^{−1}\).

\(\text{TABLE VIII.2}\)

Pasemos ahora a la consideración de casos donde\(v_0 \neq 0\) para que el movimiento del electrón no se restrinja a un plano. A primera vista se podría pensar que dado que una componente de velocidad azimutal no da lugar a ninguna fuerza adicional de Lorenz sobre el electrón, el movimiento difícilmente se verá afectado por un distinto de cero\(v_0\), salvo quizás por una revolución alrededor del alambre. En particular, para componentes de velocidad inicial dados\(u_0\) y\(w_0\), las distancias de perineme\(x_1\) y aponema y\(x_2\) podría parecer independiente de\(v_0\). La referencia a la Tabla\(\text{VIII.1}\), sin embargo, muestra que esto de ninguna manera es así. La razón es que a medida que el electrón se acerca o se aleja del alambre, los cambios en\(v\) hechos necesarios por la conservación del\(z\) componente -componente del momento angular son compensados por los cambios correspondientes en\(u\) y\(w\) hechos necesarios por la conservación de la cinética energía.

Dado que el movimiento está delimitado arriba y abajo, siempre habrá algún momento en el que\(\dot \rho = 0\). No hay pérdida de generalidad si cambiamos el origen del tiempo para elegir\(\dot \rho = 0\) cuándo\(t = 0\) y\(x = 1\). A partir de este punto, por lo tanto, consideraremos únicamente aquellas trayectorias para las cuales\(u_0 = 0\). En otras palabras, seguiremos el movimiento a partir de una\(t = 0\) época en que el electrón está en una apsis (\(\dot\rho = 0\)). [El plural de apsis es ápsides. A este respecto se suele utilizar la palabra ábside (ábside plural), pero parece útil mantener una distinción entre el término arquitectónico ábside y el término matemático apsis.] Si esta apsis es perineme (así que\(\dot\rho= \rho_1\),\(v_0 =v_1\),\(w_0=w_1\)) o aponeme (para que\(\dot\rho = \rho_2\)\(v_0 =v_2\),,\(w_0=w_2\)) depende del movimiento posterior.

El electrón inicia, entonces, a una distancia del cable definido por\(x = 1\). Es de interés encontrar el valor de\(x\) en la siguiente apsis, en términos de los componentes de velocidad inicial\(v_0\) y\(w_0\). Esto se encuentra a partir de la ecuación 8.5.10 con\(u = 0\) y\(u_0 = 0\). Los resultados se muestran en la Figura\(\text{VIII.5}\). Esta Figura muestra loci de distancia constante siguiente apsis, para valores de\(x\) (yendo de abajo a la izquierda superior derecha de la Figura) de 0.05, 0.10, 0.20, 0.50, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100. La curva pesada es para\(x = 1\). De inmediato se verá que, si\(w_0 > -v_0^2\), (por encima de la curva pesada) el valor de\(x\) en la segunda apsis es mayor a 1. (Recordemos que\(v\) y\(w\) son proporciones adimensionales, por lo que no hay problema de desequilibrio dimensional en la desigualdad). Por lo tanto, el electrón estaba inicialmente en el perineme y posteriormente se aleja del alambre. Si por otro lado,\(w_0 < -v_0^2\), (por debajo de la curva pesada) el valor de\(x\) al segundo apsis es menor a 1. Por lo tanto, el electrón estaba inicialmente en el aponema y posteriormente se acerca al alambre.

\(\text{FIGURE VIII.5}\)

El caso donde\(w_0 = -v_0^2\) es de especial interés, para ellos las distancias de perineme y aponema son iguales y de hecho el electrón permanece a una distancia constante del alambre en todo momento. Se mueve en una trayectoria helicoidal a la deriva en dirección opuesta a la dirección de la corriente convencional\(I\). (Una partícula cargada positivamente se desplazaría en la misma dirección que\(I\).) El ángulo\(\alpha\) de paso de la hélice (es decir, el ángulo entre la velocidad instantánea y un plano normal al alambre) viene dado por

\[\tan\alpha = -w/v,\]

donde\(w\) y\(v\) están restringidos por las ecuaciones

\[w_0 = -v_0^2\]

y\[v^2 + w^2 = s^2.\]

Esto implica que el ángulo de paso está determinado únicamente por\(s\), la relación de la velocidad\(S\) del electrón a la velocidad característica\(S_C\). En otras palabras, el ángulo de paso está determinado por la relación de la velocidad del electrón\(S\) a la corriente\(I\). La variación del ángulo de paso\(\alpha\) con la velocidad\(s\) se muestra en la Figura\(\text{VIII.6}\). Esta relación es totalmente independiente del radio de la hélice.

\(\text{FIGURE VIII.6}\)

Si,\(w_o \neq -v_0^2\) el electrón ya no se mueve en una simple hélice, y el movimiento debe calcularse numéricamente para cada caso. Es conveniente iniciar el cálculo en perineme con condiciones iniciales\(u_0=0\),\(w_0 > -v_0^2\),\(x_0=1\). Para otras condiciones iniciales, los valores de perinema (y aponema) de\(u\)\(v\),\(w\) y se\(\rho\) pueden encontrar fácilmente a partir de las ecuaciones 8.5.10 (con\(u_0 = 0\)), 8.5.8 y 8.5.9. Partiendo, entonces, del perineme, las integraciones de estas ecuaciones toman las formas respectivas

\[t=\frac{\rho_0}{S_C}\int^x_1[v_0^2(1-1/x^2)+2w_0\ln x -(\ln x )^2 ]^{-1/2}dx,\]

y\[z=w_0S_Ct-\rho_0 \int^x_1v_0^2(1-1/x^2) + 2w_0 \ln x - (\ln x)^2]^{-1/2} \ln x \ dx\]

\[\phi =v_0 \int^x_1 [v_0^2(1-1/x^2) + 2w_0 \ln x - (\ln x )^2]^{-1/2}x^{-2}\ dx.\]

La integración de estas ecuaciones no es del todo trivial y se discute en el Apéndice (Sección 8A).

En general, el movimiento del electrón se puede describir cualitativamente aproximadamente de la siguiente manera. El movimiento está limitado entre dos cilindros de radios iguales a las distancias de perineme y aponema, y la velocidad es constante. El electrón se mueve alrededor del cable ya sea en sentido horario o antihorario, pero, una vez iniciado, el sentido de este movimiento no cambia. La velocidad angular alrededor del alambre es mayor en perineme y menos en aponeme, siendo inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el alambre. Superpuesto al movimiento alrededor del cable hay una deriva general en la dirección opuesta a la de la corriente convencional. Sin embargo, por un breve momento cerca del perinema el electrón se mueve temporalmente en la misma dirección que la corriente.

Un ejemplo del movimiento se da en las Figuras\(\text{VIII.7}\) y 8 para los componentes de velocidad inicial\(u_0 = 0\),\(v_0 = w_0 = 1\). La distancia de aponeme es 11.15 veces la distancia perineme. El intervalo de tiempo entre dos pasajes de perinema es de 26.47\(\rho_0/S_C\). El intervalo de tiempo para una revolución completa alrededor del cable (\(\phi = 360^\circ\)) es 68.05\(\rho_0/S_C\). En la Figura\(\text{VIII.8}\), se supone que la corriente eléctrica convencional fluye hacia el plano del “papel” (pantalla de computadora), lejos del lector. Las porciones de la trayectoria del electrón hacia donde se mueve el electrón desde el lector se dibujan como una línea continua, y las porciones breves cerca del perinema donde el electrón se aleja del lector se indican mediante una línea punteada. Las marcas de tiempo en la Figura están a intervalos de\(5\rho_0/S_C\).

\(\text{FIGURE VIII.7}\)

\(\text{FIGURE VIII.8}\)