9.1: Introducción al Potencial Magnético

Estamos familiarizados con la idea de que un campo eléctrico\(\textbf{E}\) puede expresarse como menos el gradiente de una función potencial\(V\). Eso es

\[\textbf{E} = −\textbf{grad} V = −\nabla V.\label{9.1.1}\]

Tenga en cuenta que no\(V\) es único, porque se le puede agregar una constante arbitraria. Podemos definir un único\(V\) asignando un valor particular de\(V\) a algún punto (como cero en el infinito).

¿Podemos expresar el campo magnético de\(\textbf{B}\) manera similar al gradiente de alguna función potencial\(ψ\), de manera que, por ejemplo,\(\textbf{B} = −\textbf{grad}\, ψ = −\nabla ψ\)? Antes de responder a esto, observamos que existen algunas diferencias entre\(\textbf{E}\) y\(\textbf{B}\). A diferencia\(\textbf{E}\), el campo\(\textbf{B}\) magnético no tiene fuente; no hay fuentes ni sumideros; las líneas del campo magnético son bucles cerrados. La fuerza sobre una carga\(q\) en un campo eléctrico es\(q\textbf{E}\), y depende únicamente de dónde se encuentre la carga en el campo eléctrico, es decir, de su posición. Así, la fuerza es conservadora, y entendemos por cualquier estudio de la mecánica clásica que solo las fuerzas conservadoras pueden expresarse como derivadas de una función potencial. La fuerza sobre una carga\(q\) en un campo magnético es\(q\textbf{v} \times \textbf{B}\). Esta fuerza (la fuerza de Lorentz) no depende sólo de la posición de la partícula, sino también de su velocidad (velocidad y dirección). Por lo tanto, la fuerza no es conservadora. Esto sugiere que tal vez no podamos expresar el campo magnético meramente como el gradiente de una función de potencial escalar —y esto es correcto; no podemos.