9.2: El potencial del vector magnético

Aunque no podemos expresar el campo magnético como el gradiente de una función de potencial escalar, definimos una cantidad vectorial\(\textbf{A}\) cuyo curl es igual al campo magnético:

\[\textbf{B} = \textbf{curl A} = \nabla \times \textbf{A}.\label{9.2.1}\]

Así como\(\textbf{E} = −\nabla V\) no define de\(V\) manera única (porque podemos agregarle una constante arbitraria), así, de manera similar, Ecuación\ ref {9.2.1} no define de\(\textbf{A}\) manera única. Para, si\(ψ\) es alguna cantidad escalar, siempre podemos agregar\(\nabla ψ\) a\(\textbf{A}\) sin afectar\(\textbf{B}\), porque\(\nabla \times \nabla ψ = \textbf{curl grad }ψ = 0\).

El vector\(\textbf{A}\) se llama potencial de vector magnético. Sus dimensiones son\(\text{MLT}^{−1}\text{Q}^{−1}\). Sus unidades SI se pueden expresar como\(\text{T m, or Wb m}^{−1}\text{ or N A}^{−1}\).

Se podría señalar brevemente aquí que algunos autores definen el potencial del vector magnético\(\textbf{H = curl A}\), aunque es una práctica estándar de SI para definirlo a partir de\(\textbf{B = curl A}\). Los sistemas de unidades y definiciones distintos del SI se tratarán en el Capítulo 16.

Ahora en electrostática, tenemos\(\textbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon}\frac{q}{r^2}\hat{\textbf{r}}\) para el campo eléctrico cerca de una carga puntual, y, con\(\textbf{E} = −\textbf{grad} V\), obtenemos para el potencial\(V=\frac{q}{4\pi\epsilon r}\). En electromagnetismo tenemos\(\textbf{dB}=\frac{\mu I}{4\pi r^2}\hat{\textbf{r}}\times \textbf{ds}\) para la contribución al campo magnético cerca de un elemento de circuito\(\textbf{ds}\). Dado eso\(\textbf{B} = \textbf{curl A}\), ¿podemos obtener una expresión para el potencial del vector magnético a partir del elemento actual? La respuesta es sí, si reconocemos que se\(\hat{\textbf{r}}/r^2\) puede escribir\(-\nabla (1/r)\). (Si esto no es obvio, vaya a la expresión para\(\nabla ψ\) en coordenadas esféricas, y ponga\(ψ = 1/r\).) La ley Biot-Savart se convierte en

\[\textbf{dB}=-\frac{\mu I}{4\pi}\nabla (1/r)\times \textbf{ds}=\frac{\mu I}{4\pi}\textbf{ds}\times \nabla (1/r).\label{9.2.3}\]

Dado que\(\textbf{ds}\) es independiente de\(r\), la nabla se puede mover a la izquierda del producto cruzado para dar

\[\textbf{dB}=\nabla \times \frac{\mu I}{4\pi r}\textbf{ds}.\label{9.2.4}\]

La expresión\(\frac{\mu I}{4\pi r}\textbf{ds}\), entonces, es la contribución\(\textbf{dA}\) al potencial del vector magnético del elemento de circuito\(\textbf{ds}\). Por supuesto que un elemento de circuito aislado no puede existir por sí mismo, por lo que, para el potencial de vector magnético de un circuito completo, la integral de línea de este debe calcularse alrededor del circuito.