14.1: Introducción a las Transformas de Laplace

Si\(y(x)\) es una función de\(x\), donde se\(x\) encuentran s en el rango\(0\) to \(\infty\), entonces la función\(\bar{y}(p)\) defined by

\[\bar{y}(p) = \int_0^{\infty} e^{-px} y(x) \,dx \label{14.1.1}\]

se llama la transformación de Laplace de\(y(x)\). Sin embargo, en este capítulo, donde estaremos aplicando transformaciones de Laplace a circuitos eléctricos,\(y\) la mayoría de las veces será una tensión o corriente que va variando con el tiempo en lugar de con "x”. Por lo tanto, todo uso\(t\) como nuestra variable en lugar de\(x\), y voy a usar\(s\) en lugar de\(p\) (aunque se notará que, hasta ahora, no he dado ningún significado físico particular a ei ther\(p\) o a\(s\).) Th nosotros definiré la transformación de Laplace con la notación

\[\bar{y}(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}y(t)dt,\]

entendiéndose que t se encuentra en el rango\(0\) to \(\infty\) .

Para abreviar, podría escribir esto como

\[\bar{y}(s)=\textbf{L}y(t).\]

Cuando aprendimos por primera vez el cálculo diferencial, pronto aprendimos que solo había algunas funciones cuyas derivadas merecía la pena comprometerse con la memoria. Así aprendimos los derivados de\(x^n, \sin x, \ e^x\) and a very few more. We found that we could readily find the derivatives of more complicated functions by means of a few simple rules, such as how to differentiate a product of two functions, or a function of a function, and so on. Likewise, we have to know only a very few basic Laplace transforms; there are a few simple rules that will enable us to calculate more complicated ones.

Después de haber aprendido el cálculo diferencial, nos encontramos con el cálculo integral. Este fue el proceso inverso a partir de la diferenciación. Tuvimos que preguntar: ¿Qué función hubiéramos tenido que diferenciar para llegar a esta función? Era como si nos dieran la respuesta a un problema, y tuviéramos que deducir cuál era la pregunta. Será una situación similar con las transformaciones de Laplace. A menudo se nos dará una función\(\bar{y}(s)\) and we shall want to know: what fun ción\(y(t)\) ¿no es suya la transformación de Laplace de? En otras palabras, necesitaremos conocer la transformada inversa de Laplace:

\[ y(t)= \textbf{L}^{-1} \bar{y}(s) \label{14.1.4}\]

Encontraremos que la facilidad en el cálculo de las transformaciones de Laplace y sus inversas conduce a formas muy rápidas de resolver algunos tipos de ecuaciones diferenciales, en particular los tipos de ecuaciones diferenciales que surgen en la teoría eléctrica. Podemos usar transformaciones de Laplace para ver las relaciones entre la corriente variable y los voltajes en circuitos que contienen resistencia, capacitancia e inductancia. Sin embargo, estos métodos son rápidos y convenientes solo si estamos en la práctica diaria constante en el trato con las transformaciones de Laplace con fácil familiaridad. Pocos de nosotros, desafortunadamente, tenemos el lujo de calcular las transformaciones de Laplace y sus inversas a diario, y pierden muchas de sus ventajas si tenemos que refrescar nuestros recuerdos y recuperar nuestras habilidades cada vez que queramos usarlos. Por lo tanto, se puede preguntar: Como ya sabemos perfectamente cómo hacer cálculos de AC usando números complejos, ¿tiene sentido aprender lo que equivale a otra forma de hacer lo mismo? Hay una respuesta a eso. La teoría de los circuitos de CA que desarrollamos en el Capítulo 13 utilizando números complejos para encontrar las relaciones entre la corriente y los voltajes se ocupó principalmente de las condiciones de estado estacionario, en las que los voltajes y la corriente variaban sinusoidalmente. No abordó los efectos transitorios que podrían ocurrir en los primeros momentos después de encender un circuito eléctrico, o situaciones en las que las variaciones de tiempo no son sinusoidales. El enfoque de transformación de Laplace tratará igualmente bien las situaciones de estado estacionario, sinusoidales, no sinusoidales y transitorias.