14.8: Una Ecuación Diferencial de Primer Orden
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Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Resolver\(\dot y + 2y = 3te^t\) with initial condition \(y_0=0\).
Solución
Si estás en buenas prácticas para resolver este tipo de ecuaciones, probablemente la multipliques por\(e^{2t}\), so that it becomes
\[\frac{d}{dt}\left(ye^{2t}\right) = 3te^{3t},\]
de la cual
\(y = (t-\frac{1}{3})e^t + Ce^{-2t}.\)
(Ahora puede sustituir esto de nuevo en la ecuación diferencial original, para verificar que efectivamente es la solución correcta).
Con la condición inicial dada, rápidamente se encuentra que\(C=\frac{1}{3}\) so that the solution is
\[y = te^t -\frac{1}{3}e^t + \frac{1}{3} e^{-2t}.\]
Ahora, aquí está la misma solución, usando transformaciones de Laplace.
Tomamos la transformación de Laplace de ambos lados de la ecuación diferencial original:
\[s\bar{y} +2\bar{y} = 3 \textbf{L}(te^t) = \frac{3}{(s-1)^2}.\]
Así
\[\bar{y} = \frac{3}{(s+2)(s-1)^2}.\]
Fracciones parciales:
\[\bar{y} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{s+2} \right) - \frac{1}{3} \left( \frac{1}{s-1} \right) + \frac{1}{(s-1)^2}.\]
Transformas inversas:
\[y=\frac{1}{3} e^{-2t} - \frac{1}{3} e^t +te^t.\]
Probablemente admitirás que puedes seguir esto, pero dirás que puedes hacerlo a velocidad solo después de mucha práctica con muchas ecuaciones similares. Pero esto es igualmente cierto en el primer método, también.