14.9: Una Ecuación Diferencial de Segundo Orden
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Resolver
\[\ddot y - 4 \dot y + 3y = e^{-t} \label{eq1}\]
con condiciones iniciales\(y_0=1\) and \(\dot y_0 = -1\).
Probablemente ya conoces algún método para resolver esta ecuación, así que por favor adelante y hazlo. Entonces, cuando hayas terminado, mira la solución de Laplace transforma.
Transformar Laplace:
\[s^2 \bar{y} - s + 1 - 4(s \bar{y} - 1) + 3\bar{y} = 1/(s+1).\]
(¡Mi! ¡No fue tan rápido!)
Un poco de álgebra:
\[\bar{y} = \frac{1}{(s-3)(s-1)(s+1)}+\frac{s-5}{(s-3)(s-1)}.\]
Fracciones parciales:
\[\bar{y}=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{s-3}-\frac{2}{s-1}+\frac{1}{s+1}\right) + \frac{2}{s-1}-\frac{1}{s-3},\]
o
\[\bar{y}=\frac{1}{8} \left(\frac{1}{s+1}\right) + \frac{7}{4}\left(\frac{1}{s-1}\right) - \frac{7}{8}\left(\frac{1}{s-3}\right).\]
Transformas inversas:
\[y=\frac{1}{8}e^{-t} + \frac{7}{4}e^t - \frac{7}{8}e^{3t}\]
y se puede verificar que esto es correcto por sustitución en la ecuación diferencial original (Ecuación\ ref {eq1}).
Entonces: Hemos encontrado una nueva forma de resolver ecuaciones diferenciales. Si (pero solo si) tenemos mucha práctica en la manipulación de las transformaciones de Laplace, y hemos utilizado las diversas manipulaciones para preparar una tabla de transformaciones un poco más grande a partir de la tabla básica dada anteriormente, y podemos pasar de\(t\) to \(s\) and from \(s\) to \(t\) with equal facility, we can believe that our new method can be both fast and easy.
Pero, ¿qué tiene esto que ver con los circuitos eléctricos? Sigue leyendo.