15.3: Ecuaciones de Poisson y Laplace
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La ecuación 15.2.4 se puede escribir\( \bf{\nabla \cdot E} = \rho/ \epsilon\), wher e\(\epsilon\) es la permitividad. Pero\(\bf{E}\) es menos el gradiente de potencial; i.e.\(\bf{E} = -\nabla V\). Therefore,
\[ \nabla^2 V = \dfrac{\rho}{\epsilon} \tag{15.3.1} \label{15.3.1}\]
Esta es la ecuación de Poisson. En un punto en el espacio donde la densidad de carga es cero, se convierte
\[ \nabla^2 V = 0 \tag{15.3.2} \label{15.3.2}\]
que generalmente se conoce como la ecuación de Laplace. Así, independientemente de cuántos cuerpos cargados pueda haber un lugar de interés, e independientemente de su forma o tamaño, el potencial en cualquier momento puede calcularse a partir de las ecuaciones de Poisson o Laplace. Los cursos en ecuaciones diferenciales comúnmente discuten cómo resolver estas ecuaciones para una variedad de condiciones de límite, por lo que se entiende el tamaño, la forma y la ubicación de los diversos cuerpos cargados y la carga que lleva cada uno.
Quizás solo hay que enfatizar que las ecuaciones de Poisson y Laplace se aplican solo para campos estáticos.