15.6: El equivalente magnético de la ecuación de Poisson
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Esto trata de un campo magnético estático, donde no hay campo electrostático o al menos cualquier campo electrostático es de hecho estático, es decir, no cambia. En ese caso\( \textbf{curl}\, \textbf{H} = \textbf{J}\). Ahora el campo magnético puede derivarse del rizo del potencial del vector magnético, definido por las dos ecuaciones
\[ \textbf{B} = \textbf{curl}\, \textbf{A} \tag{15.6.1} \label{15.6.1}\]
y
\[ \text{div}\, \textbf{A} =0 . \tag{15.6.2} \label{15.6.2}\]
(Véase el Capítulo 9 para un recordatorio de esto.) Junto con\(\textbf{H} = \textbf{B} / \mu\) (\(\mu\)= permeabilidad), esto nos da
\[ \textbf{curl}\, \textbf{curl}\, \textbf{A} =\mu \textbf{J}. \tag{15.6.3} \label{15.6.3}\]
Si ahora nos recordamos a la equivalencia de operador diferencial de vector que suena jabberwockian
\[ \textbf{curl}\, \textbf{curl}\, \equiv \textbf{grad} \, \text{div} - \text{nabla-squared}, \tag{15.6.4} \label{15.6.4}\]
junto con Ecuación\(\ref{15.6.2}\), esto nos da
\[ \nabla^2 \textbf{A} = -\mu \textbf{J}. \tag{15.6.5} \label{15.6.5}\]
No sé si esta ecuación tiene algún nombre en particular, pero juega el mismo papel para los campos magnéticos estáticos que juega la ecuación de Poisson para los campos electrostáticos. No importa cuál sea la distribución de las corrientes, el potencial del vector magnético en cualquier punto debe obedecer a la Ecuación\(\ref{15.6.5}\).