2.5: Campos Eléctricos y Magnéticos en Medios
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Ecuaciones y medios de Maxwell
El gran éxito de las ecuaciones de Maxwell radica en parte en su simple predicción de ondas electromagnéticas y su simple caracterización de materiales en términos de conductividad σ [Siemens m -1], permitividad ε [Faradios m -1] y permeabilidad μ [Henries m-1]. En vacío encontramos σ = 0, ε = ε o, y μ = μ o, donde ε o = 8.8542×10 -1 2 y μ o = 4\(\pi\) ×10 -7. Como referencia, las ecuaciones de Maxwell son:
\[\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=-\frac{\partial \overline{\mathrm{B}}}{\partial \mathrm{t}} \]
\[\nabla \times \overline{\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{J}}+\frac{\partial \overline{\mathrm{D}}}{\partial \mathrm{t}} \]
\[ \nabla \bullet \bar{D}=\rho\]
\[\nabla \bullet \overline{\mathrm{B}}=0\]
Las propiedades electromagnéticas de la mayoría de los medios pueden caracterizarse por las relaciones constitutivas:
\[ \overline{\mathrm{D}}=\epsilon \overline{\mathrm{E}}\]
\[ \overline{\mathrm{B}}=\mu \overline{\mathrm{H}}\]
\[ \overline{\mathrm{J}}=\sigma \overline{\mathrm{E}}\]
En contraste, la nanoestructura de los medios puede ser bastante compleja y requiere mecánica cuántica para su explicación completa. Afortunadamente, las aproximaciones clásicas simples a átomos y moléculas bastan para comprender los orígenes de σ, ε y μ, como se discute a continuación en esa secuencia.
Conductividad
La conducción en metales y semiconductores tipo n 6 implica electrones libres que mueven muchos diámetros atómicos antes de que pierdan impulso al interactuar con átomos u otras partículas. La aceleración inducida por el pequeño campo eléctrico aplicado dentro del conductor restaura las velocidades de los electrones para producir una corriente de equilibrio. La densidad de corriente total\(\overline J\) [A m -2] es proporcional al producto de la velocidad electrónica promedio\(\overline v\) [m s -1] y la densidad numérica n [m -3] de los electrones libres. Un proceso de conducción relacionado ocurre en líquidos iónicos, donde tanto los iones negativos como los positivos pueden transportar cargas largas distancias
En los metales hay aproximadamente un electrón libre por átomo, y en los semiconductores calientes de tipo n hay aproximadamente un electrón libre por átomo donante, donde los átomos donadores dispersos son fácilmente ionizados térmicamente. Ya que, por razones no obvias, la velocidad electrónica promedio\(\langle\bar{v}\rangle\) es proporcional a\(\overline E\), por lo tanto\(\overline{\mathrm{J}}=-\operatorname{en}_{3}\langle\overline{\mathrm{v}}\rangle=\sigma \overline{\mathrm{E}}\), como se indica en (2.5.7). A medida que la conductividad σ se acerca al infinito el campo eléctrico dentro de un conductor se acerca a cero para cualquier densidad de corriente dada\(\overline J\).
Los átomos donadores calientes en los semiconductores tipo n pueden ionizarse fácilmente y aportar electrones a la banda de conducción donde se mueven libremente. Solo ciertos tipos de átomos de impurezas funcionan como donantes, los que se ionizan más fácilmente. A medida que la densidad de los átomos donantes se aproxima a cero y a medida que disminuye la temperatura, el número de electrones libres y la conductividad se acercan a valores muy bajos que dependen de la temperatura y de cualquier mecanismo de ionización alternativo que esté presente.
En los semiconductores tipo p, los átomos de impureza añadidos atrapan fácilmente electrones libres cercanos para producir un ion negativo; esto da como resultado un número correspondiente de átomos semiconductores ionizados positivamente que actúan como “agujeros”. Como resultado, los electrones libres normalmente se mueven solo distancias cortas antes de ser atrapados por uno de estos agujeros. Además, la energía umbral requerida para mover un electrón de un átomo neutro a un ion positivo adyacente suele ser menor que la energía térmica disponible, por lo que tales transferencias ocurren rápidamente, haciendo que el agujero se mueva rápidamente de un lugar a otro a lo largo de largas distancias. Así, los agujeros son los portadores de carga dominantes en los semiconductores tipo p, mientras que los electrones dominan en los semiconductores tipo n.
6 semiconductores tipo n (por ejemplo, silicio, germanio, arseniuro de galio, fosfuro de indio y otros) están dopados con un pequeño porcentaje de átomos donantes que se ionizan fácilmente a temperaturas de interés, liberando electrones móviles en la banda de conducción del semiconductor donde pueden viajar libremente a través del material hasta que se recombinan con otro átomo donador ionizado. La banda de conducción no es un lugar; se refiere en cambio a un estado de energía y onda de los electrones que les permite moverse libremente. Por lo tanto, la conductividad de los semiconductores aumenta con la temperatura; se vuelven relativamente aislantes a bajas temperaturas, dependiendo de los potenciales de ionización de los átomos de impurezas.
Más ampliamente, los semiconductores tienen una banda de conducción en la que los electrones libres pueden propagarse largas distancias; esta banda está separada por una energía de uno o unos pocos electrón voltios de la banda de valencia en la que los electrones no pueden moverse. La banda de conducción no es una ubicación, es una familia de posibles estados de ondas de electrones. Cuando los electrones son excitados de la banda de valencia a la banda de conducción por algún proceso energético, se vuelven libres para moverse en respuesta a los campos eléctricos. La conductividad de los semiconductores es aproximadamente proporcional al número de electrones libres o huecos producidos por los escasos átomos de impurezas y, por lo tanto, a la densidad de dopaje de esos átomos de impurezas. Los átomos de impurezas fácilmente ionizados son el mecanismo principal por el cual los electrones ingresan a la banda de conducción, y las impurezas que atrapan fácilmente electrones adyacentes son el mecanismo principal por el cual los agujeros entran y se mueven en la banda de valencia. Los semiconductores se discuten más a fondo en la Sección 8.2.4. Los procesos de fuga de corriente en los aisladores se asemejan vagamente a la conducción de electrones y agujeros en semiconductores, y pueden incluir corrientes superficiales débiles así como conducción masiva; los defectos microscópicos también pueden aumentar la conductividad. Las conductividades de los materiales típicos se listan en el Cuadro 2.5.1.
Cuadro\(\PageIndex{1}\): Conductividades nominales σ de materiales comunes [Siemens m -1].
En algunos materiales exóticos la conductividad es una función de la dirección y puede ser representada por la matriz 3×3\( \bar{\bar{\sigma}}\); dichos materiales no se abordan aquí, pero la Sección 2.5.3 aborda temas similares en el contexto de la permitividad ε.
Algunos materiales exhiben superconductividad, o conductividad infinita. En estos materiales los pares de electrones se unen libremente magnéticamente y se mueven como una unidad llamada par Cooper. La mecánica cuántica evita que estos pares colisionen con la celosía y pierdan energía. Debido a que la energía de unión magnética para estos pares involucra espines electrónicos, es bastante pequeña. La conductividad normal regresa por encima de un umbral de temperatura crítica a la que los pares se separan, y también regresa por encima de algún campo magnético crítico umbral en el que los enlaces magnéticos que acoplan a los electrones se rompen cuando los espines electrónicos comienzan a apuntar en el mismo dirección. Los materiales que tienen temperaturas críticas superiores a 77K (fácilmente obtenidos en refrigeradores criogénicos) son difíciles de lograr. El número finito de tales pares a cualquier temperatura y campo magnético limita la corriente a algún valor máximo; además esa corriente misma produce un campo magnético que puede interrumpir los pares. Incluso unos pocos pares pueden moverse para reducir los campos eléctricos a cero cortocircuitando los electrones normales hasta que se supere la capacidad máxima de carga de corriente de esos pares. Si los campos aplicados tienen frecuencia f > 0, entonces los pares Cooper se comportan como electrones sin colisiones en un plasma y por lo tanto el campo eléctrico aplicado puede penetrar ese plasma hasta su profundidad de piel, como se discute en la Sección 9.8. Esos campos eléctricos penetrantes interactúan con un pequeño número de electrones normales para producir pequeñas pérdidas en los superconductores que aumentan con la frecuencia.
Permittividad
La permitividad ε o de espacio libre es de 8.854×10 -12 farads/metro, donde\(\overline{\mathrm{D}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{E}}\). La permitividad ε de cualquier material se desvía de ε o para el espacio libre si los campos eléctricos aplicados inducen dipolos eléctricos en el medio; dichos dipolos alteran el campo eléctrico aplicado visto por los átomos vecinos. Los campos eléctricos generalmente distorsionan los átomos porque\(\overline E\) tira de núcleos cargados positivamente (f= q\(\overline E\) [N]) y repele las nubes de electrones cargadas negativamente circundantes. El pequeño desplazamiento resultante\(\overline d\) de cada núcleo atómico de carga +q relativo al centro de su nube electrónica asociada produce un dipolo eléctrico minúsculo en cada átomo, como se sugiere en la Figura 2.5.1 (a). Además, la mayoría de las moléculas asimétricas están permanentemente polarizadas, como H 2 O o NH 3, y pueden rotar dentro de fluidos o gases para alinearse con un campo aplicado. Ya sea que los momentos dipolares sean inducidos, o permanentes y libres para rotar, el resultado es una alineación completa o parcial de los momentos dipolares como se sugiere en la Figura 2.5.1 (b).
Estas cargas de polarización generalmente se cancelan dentro del medio, como se sugiere en la Figura 2.5.1 (b), pero los dipolos atómicos inmóviles en las superficies exteriores del medio no se cancelan completamente y por lo tanto contribuyen con la carga de polarización superficial ρ sp.
La Figura 2.5.1 (c) sugiere cómo dos placas cargadas podrían proporcionar un campo eléctrico\(\overline E\) que polariza una losa dieléctrica que tiene permitividad ε > ε o. [El campo eléctrico\(\overline E\) es el mismo en vacío que dentro del dieléctrico (asumiendo que no hay espacios de aire) porque la trayectoria integral\(\overline{\mathrm{E}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}\) de placa a placa es igual a su diferencia de voltaje V en ambos casos. El sobrelinetor de desplazamiento eléctrico\(\overline{\mathrm{D}}_{\mathrm{e}}=\varepsilon \overline{\mathrm{E}}\) y por lo tanto difiere.] Asociamos la diferencia entre\(\overline{\mathrm{D}}_{\mathrm{o}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{E}}\) (vacío) y\(\overline{\mathrm{D}}_{\varepsilon}=\varepsilon \overline{\mathrm{E}}\) (dieléctrico) con el overlinetor de polarización eléctrica\(\overline P\), donde:
\[\overline{\mathrm{D}}=\varepsilon \overline{\mathrm{E}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{E}}+\overline{\mathrm{P}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{E}}(1+\chi)\]
El sobrelineador de polarización\(\overline P\) se define por (2.5.8) y normalmente es paralelo a\(\overline E\) en la misma dirección, como se muestra en la Figura 2.5.1 (c); apunta desde la carga de polarización superficial negativa a la carga de polarización superficial positiva (a diferencia de\(\overline E\), que apunta desde cargas positivas a negativas). Como se sugiere en (2.5.8)\(\overline{\mathrm{P}}=\overline{\mathrm{E}} \varepsilon_{\mathrm{O}} \chi\), donde\(\chi\) se define como la susceptibilidad adimensional del dieléctrico. Debido a que los núcleos están unidos bastante fuertemente a sus nubes de electrones,\(\chi\) es generalmente inferior a 3 para la mayoría de los átomos, aunque algunas moléculas y cristales, particularmente en forma fluida, pueden exhibir valores mucho más altos. Se muestra más adelante en (2.5.13) que\(\overline P\) simplemente equivale al producto de la densidad numérica n de estos dipolos y el momento dipolo eléctrico de overlinetor promedio de cada átomo o molécula,\(\overline{\mathrm{p}}=\mathrm{q} \overline{\mathrm{d}}\), donde\(\overline d\) está el desplazamiento (metros) de la carga positiva con respecto a la negativa carga:
\[\overline{\mathrm{P}}=\text { nqd } \overline{\mathrm{d}}\left[\mathrm{Cm}^{-2}\right] \]
donde ρ f es la densidad de carga libre [C m -3]
Podemos derivar una relación similar a (2.5.10) para\(\overline P\) al tratar materiales como cargas positivas y negativas unidas distribuidas con vacío entre ellos; la densidad de carga neta ligada se designa la densidad de carga de polarización ρ p [C m -3]. Entonces en el vacío entre las cargas\( \overline{\mathrm{D}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{E}}\) y (2.5.10) se convierte en:
\[\varepsilon_{\mathrm{o}} \nabla \bullet \overline{\mathrm{E}}=\rho_{\mathrm{f}}+\rho_{\mathrm{p}} \]
A partir de • (2.5.8), obtenemos\( \nabla \bullet \overline{\mathrm{D}}=\varepsilon_{\mathrm{O}} \nabla \bullet \overline{\mathrm{E}}+\nabla \bullet \overline{\mathrm{P}}=\rho_{\mathrm{f}}\). Combinando esto con (2.5.11) rinde:
\[\nabla \bullet \overline{\mathrm{P}}=-\rho_{\mathrm{p}} \]
El signo negativo de entrada (2.5.12) es consistente con el hecho de que\(\overline P\), a diferencia\(\overline E\), se dirige de carga de polarización negativa a positiva, como se señaló anteriormente.
Fuera de un dieléctrico polarizado la polarización\(\overline P\) es cero, como sugiere la Figura 2.5.1 (d). Obsérvese que la densidad de carga de polarización neta es ±nq solo para una distancia de escala atómica d en los límites del dieléctrico, donde modelizamos las distribuciones de carga positiva y negativa dentro del medio como losas rectilíneas uniformes continuas de densidad ± nq [C m -3]. Estas dos losas están desplazadas por la distancia d. Si\(\overline P\) está en la dirección z y surge de n momentos dipolares por metro\(\overline{\mathrm{p}}=\mathrm{q} \overline{\mathrm{d}} \) cúbico, donde\(\overline d\) está el desplazamiento [m] de la carga positiva con relación a la carga negativa, entonces (2.5.12) se puede integrar sobre un volumen V que encierra un área unitaria de la cara izquierda de un dieléctrico polarizado [ver Figura 2.5.1 (d)] para producir el overlinetor de polarización\(\overline P\) dentro del dieléctrico:
\[\overline{\mathrm{P}}=\int_{\mathrm{V}} \nabla \bullet \overline{\mathrm{P}} \mathrm{d} \mathrm{v}=-\int_{\mathrm{V}} \rho_{\mathrm{p}} \mathrm{d} \mathrm{v}=\mathrm{nq} \overline{\mathrm{d}} \]
La primera igualdad de (2.5.13) que implica se\(\overline P\) desprende del teorema de la divergencia de Gauss:\(\int_{V} \nabla \bullet \bar{P} d v =\int_{A} \bar{P} \bullet \hat{z} d a=P_{z_{z}}\) si A = 1. Por lo tanto\(\overline{\mathrm{P}}=\mathrm{nq} \overline{\mathrm{d}}\),, demostrando (2.5.9).
Cuando el desplazamiento eléctrico se\(\overline D\) superalinea con el tiempo se convierte en corriente de desplazamiento,\(\partial \overline{\mathrm{D}} / \partial \mathrm{t}\) [A/m 2], análogo a\(\overline J\), como sugiere la ley de Ampere:\(\nabla \times \bar{H}=\bar{J}+\partial \bar{D} / \partial t\). Como referencia, el Cuadro 2.5.2 presenta las constantes dieléctricas ε/ε o para algunos materiales comunes cercanos a 1 MHz, después de Von Hippel (1954).
Tabla\(\PageIndex{2}\): Constantes dieléctricas ε/ε o de materiales comunes cerca de 1 MHz.
La mayoría de los materiales dieléctricos tienen pérdidas porque los campos eléctricos oscilatorios oscilatan las direcciones y magnitudes de los dipolos eléctricos inducidos, y parte de este movimiento calienta el dieléctrico. Este efecto puede ser representado por una permitividad compleja dependiente de la frecuencia\(\underline{\varepsilon}\), como se discute más adelante en la Sección 9.5. Algunos dieléctricos tienen permitividades dependientes de la dirección que pueden ser representadas por\(\bar{\bar{\varepsilon}}\); dichos materiales anisotrópicos se discuten en la Sección 9.6. Los materiales anisotrópicos con pérdida se pueden caracterizar por\(\bar{\bar{\underline{\varepsilon}}}\).
Algunos medios dieléctricos especiales se polarizan espontáneamente, incluso en ausencia de un aplicado externamente\(\overline E\). Esto ocurre para medios altamente polarizables donde la orientación de un dipolo eléctrico en los medios puede motivar a sus vecinos a orientarse de manera similar, formando dominios de átomos, moléculas o células unitarias cristalinas que están todas polarizadas de la misma manera. Dichos dominios polarizados espontáneamente se ilustran para materiales magnéticos en la Figura 2.5.2. Como en el caso de los dominios ferromagnéticos, en ausencia de campos aplicados externamente, el tamaño del dominio está limitado por la acumulación de energía de campo almacenada externa al dominio; los dominios adyacentes están orientados de manera que se cancelen en gran medida entre sí. Dichos materiales ferroeléctricos tienen grandes valores efectivos de ε, aunque\(\overline D\) satura si\(\overline E\) es suficiente para producir ~ 100% de alineación de polarización. También pueden exhibir histéresis al igual que los materiales ferromagnéticos discutidos en la Sección 2.5.4.
Ejemplo\(\PageIndex{A}\)
¿Cuáles son las densidades de carga libre y de polarización ρ f y ρ p en un medio que tiene conductividad σ=σ o (1+z), permitividad ε = 3ε o y densidad de corriente\(\overline{\mathrm{J}}=\hat{z} \mathrm{J}_{\mathrm{o}} \)?
Solución
\( \overline{\mathrm{J}}=\sigma \overline{\mathrm{E}}\), entonces\(\overline{\mathrm{E}}=\hat{z} \mathrm{J}_{\mathrm{o}}(1+\mathrm{z}) / \sigma_{\mathrm{o}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{E}}+\overline{\mathrm{P}} \).
Desde (2.5.10)\(\rho_{\mathrm{f}}=\nabla \bullet \overline{\mathrm{D}}=(\partial / \partial \mathrm{z})\left[3 \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{J}_{\mathrm{o}}(1+\mathrm{z}) / \sigma_{\mathrm{o}}\right]=3 \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{J}_{\mathrm{o}} / \sigma_{\mathrm{o}} \ \left[\mathrm{C} \mathrm{m}^{-3}\right]\)
Desde (2.5.12)\(\rho_{\mathrm{p}}=-\nabla \bullet \overline{\mathrm{P}}=-\nabla \bullet\left(\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{o}}\right) \overline{\mathrm{E}}=-(\partial / \partial \mathrm{z}) 2 \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{J}_{\mathrm{o}}(1+\mathrm{z}) / \sigma_{\mathrm{o}}\)
\(=2 \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{J}_{\mathrm{o}} / \sigma_{\mathrm{o}}\ \left[\mathrm{Cm}^{-3}\right]\)
Permeabilidad
La permeabilidad μ o del espacio libre es de 4\(\pi\) 10 -7 o Henries/metro por definición, donde\(\overline{\mathrm{B}}=\mu \overline{\mathrm{H}}\). La permeabilidad μ de la materia incluye las contribuciones adicionales a B de dipolos magnéticos atómicos alineados con los aplicados\(\overline H\). Estos dipolos magnéticos y sus campos magnéticos asociados surgen ya sea de electrones que orbitan alrededor de núcleos atómicos o de partículas cargadas giratorias, donde dicha carga móvil es corriente. Todos los electrones y protones tienen espín ±1/2 además de cualquier espín orbital alrededor del núcleo, y el espín neto de un átomo o núcleo puede ser distinto de cero. Sus campos magnéticos están vinculados a sus corrientes equivalentes por la ley de Ampere,\( \nabla \times \overline{\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{J}}+\partial \overline{\mathrm{D}} / \partial \mathrm{t}\). La teoría cuántica describe cómo se cuantifican estos momentos magnéticos a niveles discretos, y para algunos dispositivos son necesarias descripciones cuánticas. En este texto promediamos sobre grandes números de átomos, de manera que\(\overline{\mathrm{B}}=\mu \overline{\mathrm{H}}\) precisamente caracteriza a los medios, y los efectos cuánticos pueden ser ignorados.
En cualquier medio la contribución acumulativa de los dipolos magnéticos inducidos a\(\overline B\) se caracteriza por la magnetización\(\overline M\), la cual se define por:
\[\overline{\mathrm{B}}=\mu \overline{\mathrm{H}}=\mu_{\mathrm{o}}(\overline{\mathrm{H}}+\overline{\mathrm{M}})=\mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}\left(1+\chi_{\mathrm{m}}\right)\]
donde\(\chi_m\) está la susceptibilidad magnética del medio. Debido a los efectos cuánticos\(\chi_m\) para materiales diamagnéticos es ligeramente negativo de manera que μ < μ o; los ejemplos incluyen plata, cobre y agua, como se enumera en la Tabla 2.5.3. La tabla también enumera materiales paramagnéticos representativos, que tienen susceptibilidades magnéticas ligeramente positivas, y materiales ferromagnéticos, que tienen susceptibilidades muy grandes (por ejemplo, cobalto, etc.).
Cuadro\(\PageIndex{3}\): Permeabilidades relativas aproximadas μ/μ o de materiales comunes.
En campos magnéticos suficientemente altos todos los dominios se expandirán a su tamaño máximo y/o girarán en la dirección de\(\overline H\). Esto corresponde al valor máximo de\(\overline M\) y saturación magnética. El comportamiento no lineal típico resultante de la curva de magnetización que relaciona B y H para materiales ferromagnéticos se sugiere en la Figura 2.5.3 (a). La pendiente de la curva B vs H es ~μ cerca del origen y ~μ o más allá de la saturación. Si los dominios resisten el cambio y disipan energía al hacerlo, resulta la curva de histéresis de la Figura 2.5.3 (b). Se puede demostrar que el área encerrada por la figura es la energía disipada por ciclo a medida que\(\overline H\) oscila la aplicada.
Los materiales magnéticos duros tienen grandes valores de densidad de flujo residual Br y fuerza coercitiva magnética o coercitividad Hc, como se ilustra. B r corresponde a la fuerza magnética B de este magne permanente t sin aplicar H. La densidad de energía magnética\(\mathrm{W}_{\mathrm{m}}=\overline{\mathrm{B}} \bullet \overline{\mathrm{H}} / 2 \cong 0\) dentro de los imanes permanentes porque\(\overline H\) = 0, mientras que\(\mathrm{W}_{\mathrm{m}}=\mu_{\mathrm{o}} \mathrm{H}^{2} / 2 \ \left[\mathrm{J} \mathrm{m}^{-3}\right]\) fuera. Para desmagnetizar un imán permanente podemos aplicar un campo magnético H de magnitud H c, que es la intensidad de campo necesaria para llevar B a cero.
Si representamos el momento dipolar magnético de un átomo por\(\overline m\), donde m para un bucle de corriente de magnitud I y área\(\hat{n} \mathrm{A}\) es\(\hat{n} \mathrm{IA} \ [\mathrm{A} \mathrm{m}]^{7}\), entonces se puede demostrar que la magnetización total\(\overline M\) de un medio es\(\mathrm{n} \overline{\mathrm{m}} \ \left[\mathrm{A} \mathrm{m}^{-1}\right]\) a través del mismo enfoque utilizado para derivar\(\overline{\mathrm{P}}=\mathrm{n} \overline{\mathrm{p}}\) (2.5.13) para el polarización de dieléctricos; n es el número de dipolos por m 3.
Ejemplo\(\PageIndex{B}\)
Mostrar cómo la potencia disipada en un material magnético histerético se relaciona con el área circulada en la Figura 2.5.3 (b) a medida que el H oscila. Para simplificar, aproximar el bucle en la figura por un rectángulo delimitado por ±H o y ±B o.
Solución
Buscamos la energía disipada en el material por un recorrido de este bucle ya que H va de +H o a -H o y de vuelta a +H o. La densidad de energía W m = BH/2 cuando B = 0 a t =0 es W m = 0; W m →B o H o /2 [J m -3] como B→B o. Como H vuelve a 0 mientras que B = B o, esta energía se disipa y no puede ser recuperada por un circuito externo porque cualquier voltaje inducido en ese circuito sería ∝ B/t = 0. Como H→-H o, W m →B o H o /2; esta energía puede ser recuperada por un circuito externo posteriormente como B→0 porque B/t ≠ 0. Como B→-B o, W m →B o H o /2, que se pierde posteriormente como H→0 con B/t = 0. La energía almacenada como H→H o con B = -B o es nuevamente recuperable como B→0 con H = H o. Así, la energía mínima disipada durante un recorrido de bucle es vB o H o [J], donde v es el volumen de material. Si los circuitos de accionamiento no recuperan la energía disponible sino que la disipan, la energía total disipada por ciclo se duplica.