2.6: Condiciones de límite para campos electromagnéticos

Introducción

Las ecuaciones de Maxwell caracterizan la materia macroscópica por medio de su permitividad ε, permeabilidad μ y conductividad σ, donde estas propiedades suelen estar representadas por escalares y pueden variar entre los medios. En la sección 2.5 se discutieron los medios para los cuales ε, μ y σ están representados por matrices, cantidades complejas u otros medios. Esta Sección 2.6 analiza cómo las ecuaciones de Maxwell restringen fuertemente el comportamiento de los campos electromagnéticos en los límites entre dos medios que tienen propiedades diferentes, donde estas ecuaciones de restricción se denominan condiciones de límite s. La Sección 2.6.2 analiza las condiciones de límite que rigen el campo componentes perpendiculares al límite, y la Sección 2.6.3 analiza las condiciones que rigen los componentes del campo paralelo. La Sección 2.6.4 trata entonces el caso especial de campos adyacentes a conductores perfectos.

Un resultado de estas condiciones límite es que las ondas en los límites generalmente se transmiten parcialmente y se reflejan parcialmente con direcciones y amplitudes que dependen de los dos medios y los ángulos incidentes y polarizaciones. Los campos estáticos también generalmente tienen diferentes amplitudes y direcciones en los dos lados de un límite. Algunos límites, tanto en situaciones estáticas como dinámicas, también poseen carga superficial o transportan corrientes superficiales que afectan aún más a los campos adyacentes.

Las condiciones límite que rigen los componentes perpendiculares\(\overline E\) y se\(\overline H\) derivan de las formas integrales de las leyes de Gauss:

\[\oiint_{\mathrm{S}}(\overline{\mathrm{D}} \bullet \hat{n}) \mathrm{d} \mathrm{a}=\int \int \int_{\mathrm{V}} \rho \mathrm{d} \mathrm{v} \quad\quad\quad\quad\quad(\text {Gauss 's Law for } \overline{\mathrm{D}})\]

\[\oiint_{S}(\overline{\mathrm{B}} \bullet \hat{n}) \mathrm{d} \mathrm{a}=0 \quad\quad\quad\quad\quad(\text {Gauss 's Law for }\overline{\mathrm{B}})\]

Podemos integrar estas ecuaciones sobre la superficie S y el volumen V del pastillero infinitesimal delgado ilustrado en la Figura 2.6.1. El pastillero es paralelo a la superficie y se extiende a horcajadas sobre ella, estando la mitad a cada lado del límite. El grosor δ del pastillero se aproxima a cero más rápido que su área de superficie S, donde S es aproximadamente el doble del área A de la superficie superior de la caja.

Figura\(\PageIndex{1}\): Volumen elemental para derivar condiciones de límite para componentes de campo perpendiculares.

Comenzando con la condición de límite para el componente perpendicular D_, integramos la ley de Gauss (2.6.1) sobre el pastillero para obtener:

\[\oiint_{\mathrm{S}}\left(\overline{\mathrm{D}} \bullet \hat{n}_{a}\right) \mathrm{da} \cong\left(\mathrm{D}_{1 \perp}-\mathrm{D}_{2 \perp}\right) \mathrm{A}=\int \int \int_{\mathrm{V}} \rho \mathrm{d} \mathrm{v}=\rho_{\mathrm{s}} \mathrm{A}\]

donde ρ _s es la densidad de carga superficial [Coulombs m ^-2]. El subíndice s para carga superficial ρ _s lo distingue de la densidad de carga volumétrica ρ [C m ^-3]. El pastillero es tan delgado (δ → 0) que: 1) la contribución a la integral superficial de los lados del pastillero desaparece en comparación con el resto de la integral, y 2) solo una carga superficial q puede estar contenida dentro de ella, donde ρ _s = Q/a = lim ρδ como la densidad de carga ρ → ∞ y δ → 0. Así (2.6.3) se convierte en _{D 1-} D ₂₌ ρ _s, que puede escribirse como:

\[\left.\hat{n} \bullet\left(\overline{\mathrm{D}}_{1}-\overline{\mathrm{D}}_{2}\right)=\rho_{\mathrm{s}} \quad\quad\quad\quad\quad \text { (boundary condition for } \overline{\mathrm{D}}_{\perp}\right)\]

donde\(\hat{n}\) es la unidad overlinetor normal al límite y apunta al medio 1. Así, la componente perpendicular del overlinetor de desplazamiento eléctrico\(\overline D\) cambia de valor en un límite de acuerdo con la densidad de carga superficial ρ _s.

Debido a que las leyes de Gauss son las mismas para los campos eléctricos y magnéticos, excepto que no hay cargas magnéticas, el mismo análisis para la densidad de flujo magnético\(\overline B\) en (2.6.2) produce una condición límite similar:

\[\left.\hat{n} \bullet\left(\overline{\mathrm{B}}_{1}-\overline{\mathrm{B}}_{2}\right)=0 \quad\quad\quad\quad\quad \text { (boundary condition for } \overline{\mathrm{B}}_{\perp}\right)\]

Por lo tanto, el componente perpendicular de\(\overline B\) debe ser continuo a través de cualquier límite.

Condiciones de contorno para componentes de campo paralelos

Las condiciones límite que rigen los componentes paralelos\(overline E\) y se\(\overline H\) derivan de las leyes de Faraday y Ampere:

\[\oint_{C} \overline{E} \bullet d \overline{s}=-\frac{\partial}{\partial t} \int \int_{A} \overline{B} \bullet \hat{n} d a \quad\quad\quad\quad\quad(\text {Faraday's Law})\]

\[\oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{H}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}=\int \int_{\mathrm{A}}\left[\overline{\mathrm{J}}+\frac{\partial \overline{\mathrm{D}}}{\partial \mathrm{t}}\right] \bullet \hat{n} \mathrm{da} \quad \quad\quad\quad\quad(\text {Ampere's } L a w)\]

Podemos integrar estas ecuaciones alrededor del contorno rectangular alargado C que se extiende a ambos lados del límite y tiene un área infinitesimal A, como se ilustra en la Figura 2.6.2. Suponemos que la altura total δ del rectángulo es mucho menor que su longitud W, y el círculo C en sentido derecho relativo a la superficie normal\(\hat{n}_{\mathrm{a}}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Contorno elemental para derivar condiciones de contorno para componentes de campo paralelos.

Comenzando con la ley de Faraday, (2.6.6), encontramos:

\[\oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{E}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}} \cong\left(\overline{\mathrm{E}}_{1 / /}-\overline{\mathrm{E}}_{2 / /}\right) \mathrm{W}=-\frac{\partial}{\partial \mathrm{t}} \int \int_{\mathrm{A}} \overline{\mathrm{B}} \bullet \hat{n}_{a} \mathrm{da} \rightarrow 0\]

donde la integral de\(\overline B\) sobre área A se acerca a cero en el límite donde δ se acerca a cero también; no puede haber impulsos en\(\overline B\). Desde W ≠ 0, se deduce de (2.6.8) que E _1// - E _2// = 0, o más generalmente:

\[\left.\hat{n} \times\left(\overline{\mathrm{E}}_{1}-\overline{\mathrm{E}}_{2}\right)=0 \quad \quad \quad \quad \quad \text { (boundary condition for } \overline{\mathrm{E}}_{/ /}\right)\]

Por lo tanto, el componente paralelo de\(\overline E\) debe ser continuo a través de cualquier límite.

Una integración similar de la ley de Ampere, (2.6.7), bajo el supuesto de que el contorno C se elige para estar en un plano perpendicular a la corriente superficial\(\overline{J}_{S}\) y es atravesado en el sentido de la derecha, produce:

\[\begin{align} \oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{H}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}} &=\left(\overline{\mathrm{H}}_{1 / /}-\overline{\mathrm{H}}_{2 / /}\right) \mathrm{W} \\ &=\int \int_{\mathrm{A}}\left[\overline{\mathrm{J}}+\frac{\partial \overline{\mathrm{D}}}{\partial \mathrm{t}}\right] \bullet \hat{n} \mathrm{da} \Rightarrow \int \int_{\mathrm{A}} \overline{\mathrm{J}} \bullet \hat{n}_{a} \mathrm{d} \mathrm{a}=\overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{S}} \mathrm{W} \nonumber \end{align}\]

donde observamos que la integral de área\(\partial \overline{\mathrm{D}} / \partial t\) se aproxima a cero como δ → 0, pero no la integral sobre la corriente superficial\(\overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{s}}\), que ocupa una capa superficial delgada en comparación con δ. Así\(\overline{\mathrm{H}}_{1 / /}-\overline{\mathrm{H}}_{2 / /}=\overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{S}}\), o más generalmente:

\[\left.\hat{n} \times\left(\overline{\mathrm{H}}_{1}-\overline{\mathrm{H}}_{2}\right)=\overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{s}} \quad \quad \quad \quad \quad \text { (boundary condition for } \overline{\mathrm{H}}_{ //}\right)\]

donde\(\hat{n}\) se define como apuntar del medio 2 al medio 1. Si el medio es no conductor,\( \overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{s}}=0\).

Un ejemplo estático simple ilustra cómo estas condiciones de contorno generalmente dan como resultado campos en dos lados de un límite apuntando en diferentes direcciones. Consideremos los campos magnéticos\(\overline{\mathrm{H}}_{1} \) e\(\overline{\mathrm{H}}_{2} \) ilustrados en la Figura 2.6.3, donde\( \mu_{2} \neq \mu_{1}\), y ambos medios son aislantes por lo que la corriente superficial debe ser cero. Si nos dan\( \overline{\mathrm{H}}_{1}\), entonces la magnitud y el ángulo de\( \overline{\mathrm{H}}_{2}\) se determinan porque\( \overline{\mathrm{H}}_{/ /}\) y\( \overline{\mathrm{B}}_{\perp}\) son continuos a través de la frontera, donde\(\overline{\mathrm{B}}_{\mathrm{i}}=\mu_{\mathrm{i}} \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{i}} \). Más específicamente,\( \overline{\mathrm{H}}_{2 / /}=\overline{\mathrm{H}}_{1 / /}\), y:

\[ \mathrm{H}_{2 \perp}=\mathrm{B}_{2 \perp} / \mu_{2}=\mathrm{B}_{1 \perp} / \mu_{2}=\mu_{1} \mathrm{H}_{1 \perp} / \mu_{2}\]

Figura\(\PageIndex{3}\): Direcciones del campo magnético estático en un límite.

De ello se deduce que:

\[\theta_{2}=\tan ^{-1}\left(\left|\overline{\mathrm{H}}_{2 / /}\right| / \mathrm{H}_{2 \perp}\right)=\tan ^{-1}\left(\mu_{2}\left|\overline{\mathrm{H}}_{1 / /}\right| / \mu_{1} \mathrm{H}_{1 \perp}\right)=\tan ^{-1}\left[\left(\mu_{2} / \mu_{1}\right) \tan \theta_{1}\right]\]

Así θ ₂ se acerca a 90 grados cuando μ ₂ >> μ ₁, casi independientemente de θ ₁, por lo que el flujo magnético dentro de los materiales de alta permeabilidad es casi paralelo a las paredes y atrapado en el interior, incluso cuando la orientación del campo fuera del medio es casi perpendicular a la interfaz. El flujo escapa mejor al material de alto μ cuando θ ₁ 90°. Este fenómeno es crítico para el diseño de motores u otros sistemas que incorporan hierro o níquel.

Si una corriente de superficie estática\(\overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{S}}\) fluye en el límite, entonces las relaciones entre\(\overline{\mathrm{B}}_{1}\) y\(\overline{\mathrm{B}}_{2}\) se alteran junto con las de\(\overline{\mathrm{H}}_{1}\) y\(\overline{\mathrm{H}}_{2}\). Consideraciones y métodos similares se aplican a los campos eléctricos estáticos en un límite, donde cualquier carga superficial estática en el límite altera la relación entre\(\overline{\mathrm{D}}_{1}\) y\(\overline{\mathrm{D}}_{2}\). Las corrientes superficiales normalmente surgen solo en casos no estáticos o “dinámicos”.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Dos losas dieléctricas planas aislantes que tienen ε ₁ y ε ₂ están unidas entre sí. La losa 1 tiene un\(\overline{\mathrm{E}}_{1}\) ángulo θ ₁ con respecto a la superficie normal. ¿Qué son\(\overline{\mathrm{E}}_{2}\) y θ ₂ si asumimos la carga superficial en el límite ρ _s = 0? ¿Cuáles son los componentes de\(\overline{\mathrm{E}}_{2}\)\) si ρs ≠ 0?

Solución

\(\overline{\mathrm{E}} / /\)es continuo a través de cualquier límite, y si _ρs = 0, entonces\(\overline{\mathrm{D}}_{\perp}=\varepsilon_{\mathrm{i}} \overline{\mathrm{E}}_{\perp}\) es continuo también, lo que implica\(\overline{\mathrm{E}}_{2 \perp}=\left(\varepsilon_{1} / \varepsilon_{2}\right) \overline{\mathrm{E}}_{1 \perp}\). También,\(\theta_{1}=\tan ^{-1}\left(\mathrm{E}_{/ /} / \mathrm{E}_{1 \perp}\right)\), y\(\theta_{2}=\tan ^{-1}\left(\mathrm{E}_{/ /} / \mathrm{E}_{2 \perp}\right)\). De ello se deduce que\(\theta_{2}=\tan ^{-1}\left[\left(\varepsilon_{2} / \varepsilon_{1}\right) \tan \theta_{1}\right]\). Si ρ _s ≠ 0 entonces no\(\overline{\mathrm{E}}_{/ /}\) se ve afectada y\(\overline{\mathrm{D}}_{2 \perp}=\overline{\mathrm{D}}_{1 \perp}+\hat{n} \rho_{\mathrm{s}}\) así eso\(\overline{\mathrm{E}}_{2 \perp}=\overline{\mathrm{D}}_{2 \perp} / \varepsilon_{2}=\left(\varepsilon_{1} / \varepsilon_{2}\right) \overline{\mathrm{E}}_{1 \perp}+\hat{n} \rho_{\mathrm{s}} / \varepsilon_{2}\).

Condiciones de contorno adyacentes a conductores perfectos

Las cuatro condiciones límite (2.6.4), (2.6.5), (2.6.9) y (2.6.11) se simplifican cuando un medio es un conductor perfecto (σ = ∞) porque los campos eléctricos y magnéticos deben ser cero dentro de él. El campo eléctrico es cero porque de lo contrario produciría enormes\(\overline{\mathrm{J}}=\sigma \overline{\mathrm{E}}\) para redistribuir las cargas y neutralizarlas\(\overline E\) casi instantáneamente, con una constante de tiempo\(\tau\) =εσ segundos, como se muestra en la Ecuación (4.3.3).

También se puede demostrar fácilmente que\(\overline B\) es cero dentro de conductores perfectos. La ley de Faraday\(\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=-\partial \overline{\mathrm{B}} / \partial \mathrm{t}\) lo dice si\(\overline E\) = 0, entonces\(\partial \overline{\mathrm{B}} / \partial \mathrm{t}=0\). Si se creara el conductor perfecto en ausencia de\(\overline B\) entonces siempre\(\overline B\) quedaría cero por dentro. Se ha observado además que cuando ciertos materiales especiales se vuelven superconductores a bajas temperaturas, como se discute en la Sección 2.5.2, cualquier preexistente\(\overline B\) es empujado hacia el exterior.

Las condiciones límite para conductores perfectos también son relevantes para conductores normales porque la mayoría de los metales tienen suficiente conductividad σ para habilitar\(\overline J\) y ρ _s para cancelar el campo eléctrico incidente, aunque no instantáneamente. Como se discute en la Sección 4.3.1, este proceso de relajación mediante el cual las cargas se mueven para cancelar\(\overline E\) es suficientemente rápido para la mayoría de los conductores metálicos que obedecen en gran medida las condiciones de límite de conductor perfecto para la mayoría de las longitudes de onda de interés, desde CC hasta más allá de la región infrarroja. Esta constante de tiempo de relajación es\(\tau\) = ε/σ segundos. Una consecuencia de la conductividad finita es que cualquier corriente superficial penetra los metales a cierta profundidad\(\delta=\sqrt{2 / \omega \mu \sigma}\), llamada profundidad de la piel, como se discute en la Sección 9.2. A frecuencias suficientemente bajas, incluso el agua de mar con su conductividad limitada obedece en gran medida a la condición de límite de conductor perfecto.

Las cuatro condiciones de límite para campos adyacentes a conductores perfectos se presentan a continuación junto con la condición de límite más general a partir de la cual siguen cuando todos los campos en el medio 2 son cero:

\[ \hat{n} \bullet \overline{\mathrm{B}}=0 \quad\quad\quad\quad\quad\left[\text { from } \hat{n} \bullet\left(\overline{\mathrm{B}}_{1}-\overline{\mathrm{B}}_{2}\right)=0\right]\]

\[\hat{n} \bullet \overline{\mathrm{D}}=\rho_{\mathrm{s}} \quad\quad\quad\quad\quad\left[\text { from } \hat{n} \bullet\left(\overline{\mathrm{D}}_{1}-\overline{\mathrm{D}}_{2}\right)=\rho_{\mathrm{s}}\right] \]

\[ \hat{n} \times \overline{\mathrm{E}}=0 \quad\quad\quad\quad\quad\left[\text { from } \hat{n} \times\left(\overline{\mathrm{E}}_{1}-\overline{\mathrm{E}}_{2}\right)=0\right]\]

\[ \hat{n} \times \overline{\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{S}} \quad\quad\quad\quad\quad\left[\text { from } \hat{n} \times\left(\overline{\mathrm{H}}_{1}-\overline{\mathrm{H}}_{2}\right)=\overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{S}}\right]\]

Estas cuatro condiciones límite establecen que los campos magnéticos solo pueden ser paralelos a conductores perfectos, mientras que los campos eléctricos solo pueden ser perpendiculares. Además, los campos magnéticos siempre están asociados con corrientes superficiales que fluyen en dirección ortogonal; estas corrientes tienen un valor numérico igual a\(\overline H\). Los campos eléctricos perpendiculares siempre están asociados con una carga superficial ρs numéricamente igual a\(\overline D\); el signo de σ es positivo cuando\(\overline D\) apunta lejos del conductor.

Ejemplo\(\PageIndex{B}\)

¿Qué condiciones de límite se aplican cuando μ→∞, σ = 0 y ε = ε _o?

Solución

Dentro de este medio\(\overline H\) = 0 y\(\overline J\) = 0 porque de lo contrario se requieren densidades de energía infinitas\(\mu|\mathrm{H}|^{2} / 2\),,;\(\overline B\) estáticas\(\overline E\) y sin restricciones, sin embargo. Desde\(\nabla \times \overline{\mathrm{H}}=0=\overline{\mathrm{J}}+\partial \overline{\mathrm{D}} / \partial \mathrm{t}\) adentro, dinámico\(\overline E\) y\(\overline D\) = 0 ahí también. Ya que\(\overline{\mathrm{H}}_{/ /}\) y\(\overline{\mathrm{B}}_{\perp}\) son continuos a través de la frontera,\(\overline{\mathrm{H}}_{/ /}=0\) y\(\overline{\mathrm{H}}_{\perp}\) pueden ser cualquier cosa en el límite. Dado que\(\overline{\mathrm{E}}_{/ /}\) y\(\overline{\mathrm{D}}_{\perp}\) son continuos (supongamos ρ _s = 0 si\(\overline J\) = 0), estáticos\(\overline E\) y no\(\overline D\) están restringidos en el límite mientras dinámicos\(\overline{\mathrm{E}}=\overline{\mathrm{D}}=0\) allí porque no hay campo eléctrico dinámico dentro y no hay carga superficial dinámica. Ya que sólo\(\overline{\mathrm{H}}_{\perp} \neq 0\) en el límite, esto es no físico y tales medios no existen. Por ejemplo, no hay forma de hacer coincidir las condiciones de contorno para una onda plana entrante. Este callejón sin salida se evitaría si σ ≠ 0, para entonces dinámico\(\overline{\mathrm{H}}_{/ /}\) y\(\overline{\mathrm{E}}_{\perp}\) podría ser distinto de cero.