3.3: Comportamiento cuasistático de los dispositivos

Comportamiento Electrocuasistático de Dispositivos

Los voltajes y corrientes asociados a todos los dispositivos interesantes a veces varían. Si la longitud de onda λ = c/f asociada con estas variaciones es mucho mayor que el tamaño del dispositivo D, no puede ocurrir ningún comportamiento de onda significativo. El comportamiento del dispositivo puede caracterizarse como electrocuasistático si el dispositivo almacena principalmente energía eléctrica, y magnetoquasistático si el dispositivo almacena principalmente energía magnética. La electrocuasistática implica el comportamiento de los campos eléctricos más las consecuencias magnéticas de primer orden de sus variaciones. La aproximación electrocuasistática incluye el campo magnéticoH generado por el campo eléctrico dominante variable (ley de Ampere), donde:

\[\nabla \times \overline{\mathrm{H}}=\sigma \overline{\mathrm{E}}+\frac{\partial \overline{\mathrm{D}}}{\partial \mathrm{t}}\]

La aproximación cuasistática descuida las contribuciones del campo eléctrico de segundo orden a partir del tiempo derivado del resultado\(\overline H\) en la ley de Faraday:

\[\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=-\mu_{\mathrm{o}} \partial \overline{\mathrm{H}} / \partial \mathrm{t} \cong 0. \nonumber\]

Una geometría simple que implica campos eléctricos que varían lentamente es un condensador cargado a voltaje V (t), como se ilustra en la Figura 3.3.1. Consta de dos placas conductoras paralelas circulares de diámetro D y área A que están separadas en vacío por la distancia d << D. Las condiciones límite requieren\(\overline E\) ser perpendiculares a las placas, donde E (t) = V (t) /d, y la densidad de carga superficial viene dada por (2.6.15):

\[\overline{\mathrm{E}} \bullet \hat{\mathrm{n}}=\rho_{\mathrm{s}} / \varepsilon_{\mathrm{o}}=\mathrm{V} / \mathrm{d}\]

\[\rho_{\mathrm{s}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{V} / \mathrm{d}\ \left[\mathrm{C} \mathrm{m}^{-2}\right]\]

Figura\(\PageIndex{1}\): Campos eléctricos y magnéticos cuasistáticos en un condensador circular.

Dado que el voltaje a través de las placas es el mismo en todas partes, también lo son\( \overline E\) y ρ _s, y por lo tanto la carga total es:

\[\mathrm{Q}(\mathrm{t}) \cong \rho_{\mathrm{s}} \mathrm{A} \cong\left(\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{A} / \mathrm{d}\right) \mathrm{V}=\mathrm{CV}(\mathrm{t})\]

donde C ε _o A/d es la capacitancia, como se mostró anteriormente (3.1.10). La misma densidad de carga superficial ρ _s (t) también se puede encontrar evaluando primero el campo magnético\(\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{r}, \mathrm{t})\) producido por el campo eléctrico que varía lentamente (cuasistático)\(\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{t})\), y luego la corriente superficial\(\overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{s}}(\mathrm{r}, \mathrm{t})\) asociada con\(\overrightarrow{\mathrm{H}}(\mathrm{r}, \mathrm{t})\); la conservación de carga luego se vincula\(\overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{s}}(\mathrm{r}, \mathrm{t})\) a ρ _s (t).

La ley de Ampere requiere un campo magnético distinto de cero entre las placas donde\(\overline J\) = 0:

\[\oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{H}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \int \int_{\mathrm{A}^{\prime}}(\partial \overline{\mathrm{E}} / \partial \mathrm{t}) \cdot \mathrm{d} \overline{\mathrm{a}} \]

La simetría de geometría y excitación requiere que\(\overline H\) entre las placas esté en la\(\hat{\phi}\) dirección y una función solo de radio r, por lo que (3.3.5) se convierte en:

\[2 \pi r H(r)=\varepsilon_{0} \pi r^{2} d E / d t=\left(\varepsilon_{0} \pi r^{2} / d\right) d V / d t \]

\[ \mathrm{H}(\mathrm{r})=\left(\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{r} / 2 \mathrm{d}\right) \mathrm{d} \mathrm{V} / \mathrm{d} \mathrm{t}\]

Si V (t) y el campo magnético H varían tan lentamente que el campo eléctrico dado por la ley de Faraday para H (r) es mucho menor que el campo eléctrico original, entonces ese campo eléctrico incremental puede ser descuidado, que es la esencia de la aproximación electrocuasistática. Si no se puede descuidar, entonces la solución resultante se vuelve más ondulada, como se discutió en secciones posteriores.

La condición límite\(\hat{\mathrm{n}} \times \overline{\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{s}} \) (2.6.17) produce entonces la corriente superficial asociada\(\overline{J}_{s}(r) \) que fluye sobre la superficie interior de la placa superior:

\[ \overline{J}_{s}(r)=\hat{r}\left(\varepsilon_{0} r / 2 d\right) d V / d t=\hat{r} J_{s r}\]

Esto a su vez se relaciona con la densidad de carga superficial ρ _s por conservación de carga (2.1.19), donde el operador del se encuentra en coordenadas cilíndricas:

\[ \nabla \bullet \overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{s}}=-\partial \rho_{\mathrm{s}} / \partial \mathrm{t}=-\mathrm{r}^{-1} \partial\left(\mathrm{r} \mathrm{J}_{\mathrm{sr}}\right) / \partial \mathrm{r}\]

Sustituir\(J_{sr}\) de (3.3.8) al lado derecho de (3.3.9) rinde:

\[\partial \rho_{\mathrm{s}} / \partial \mathrm{t}=\left(\varepsilon_{\mathrm{o}} / \mathrm{d}\right) \mathrm{d} \mathrm{V} / \mathrm{d} \mathrm{t}\]

Multiplicando ambos lados de (3.3.10) por el área de placa A e integrándose con el tiempo luego produce Q (t) = CV (t), que es lo mismo que (3.3.4). Así, podríamos concluir que las variaciones en V (t) producirán campos magnéticos entre las placas del condensador en virtud de la ley de Ampere y los valores de\(\partial \overline{\mathrm{D}} / \partial \mathrm{t} \) entre las placas del condensador o\( \overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{s}}\) dentro de las placas. Estos dos enfoques para encontrar\(\overline H\) (usar\(\partial \overline{\mathrm{D}} / \partial \mathrm{t}\) o\(\overline{J}_{s}\)) arrojan el mismo resultado debido a la autoconsistencia de las ecuaciones de Maxwell.

Debido a que el rizo de\(\overline H\) en la ley de Ampere es igual a la suma de la densidad de corriente\(\overline J\) y\(\partial \overline{\mathrm{D}} / \partial \mathrm{t}\), a la derivada\(\partial \overline{\mathrm{D}} / \partial \mathrm{t}\) se le suele llamar la densidad de corriente de desplazamiento porque las unidades son las mismas, A/m ². Para el condensador de la Figura 3.3.1 el rizo de\(\overline H\) cerca de los cables de alimentación está asociado solo con\(\overline J\) (o I), mientras que entre las placas del condensador el rizo de\(\overline H\) está asociado solo con la corriente de desplazamiento.

La Sección 3.3.4 trata el comportamiento electrocuasistático de los campos eléctricos dentro de los conductores y los fenómenos de relajación.

Comportamiento magnetocuasistático de los dispositivos

Todas las corrientes producen campos magnéticos que a su vez generan campos eléctricos si esos campos magnéticos varían. La magnetocuasistática caracteriza el comportamiento de tales campos que varían lentamente mientras descuida los campos magnéticos de segundo orden generados por\(\partial \overline{\mathrm{D}} / \partial \mathrm{t}\) en la ley de Ampere, (2.1.6):

\[ \nabla \times \overline{\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{J}}+\partial \overline{\mathrm{D}} / \partial \mathrm{t} \cong \overline{\mathrm{J}} \qquad\qquad\qquad \text { (quasistatic Ampere's law) }\]

El campo eléctrico asociado se\(\overline E\) puede encontrar a partir de la ley de Faraday:

\[ \nabla \times \overline{\mathrm{E}}=-\partial \overline{\mathrm{B}} / \partial \mathrm{t} \qquad\qquad\qquad \text{(Faraday’s law)}\]

La sección 3.2.1 trató un ejemplo para el cual el efecto dominante del campo magnético cuasistático en un bucle de corriente es el voltaje inducido por la ley de Faraday, mientras que sigue el ejemplo de un cable corto; ambos son inductores. La Sección 3.3.4 trata el ejemplo magnetocuasistático de difusión magnética, que está dominado por corrientes inducidas por los voltajes inducidos de primer orden, y la modificación resultante del campo magnético original por esas corrientes inducidas. En cada problema cuasistático se pueden descuidar los efectos de onda debido a que la longitud de onda asociada λ >> D, donde D es la dimensión máxima del dispositivo.

Podemos estimar aproximadamente la inductancia de un segmento de cable corto modelarlo como un cilindro perfectamente conductor de radio r _o y longitud D que transporta una corriente i (t), como se ilustra en la Figura 3.3.2. Un cálculo exacto normalmente se haría usando herramientas informáticas diseñadas para tales tareas porque las soluciones analíticas son prácticas solo para geometrías extremadamente simples. En este análisis descuidamos cualquier contribución\(\overline H\) a las corrientes en conductores cercanos, lo que requiere que esos conductores cercanos tengan diámetros mucho mayores o estén lejos. También hacemos la suposición cuasistática λ >> D.

Figura\(\PageIndex{2}\): Inductancia de un segmento de cable aislado.

Sabemos por (3.2.23) que la inductancia de cualquier dispositivo puede expresarse en términos de la energía magnética almacenada en función de su corriente i:

\[\mathrm{L}=2 \mathrm{w}_{\mathrm{m}} / \mathrm{i}^{2} \ [\mathrm{H}]\]

Por lo tanto para estimar L primero estimamos\(\overline H \) y w _m. Si el cilindro fuera infinitamente largo entonces\(\overline{\mathrm{H}} \cong \hat{\theta} \mathrm{H}(\mathrm{r})\) debe obedecer la ley de Ampere y exhibir la misma simetría cilíndrica, como se sugiere en la figura. Por lo tanto:

\[\oint_{C} \overline{H} \bullet d \overline{s}=2 \pi r H(r)=i(t)\]

y H (r) i/2\(\pi\) r. Por lo tanto, la densidad de energía magnética instantánea es:

\[\left\langle\mathrm{W}_{\mathrm{m}}\right\rangle=\frac{1}{2} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{H}^{2}(\mathrm{r})=\frac{1}{2} \mu_{\mathrm{o}}(\mathrm{i} / 2 \pi \mathrm{r})^{2} \ \left[\mathrm{J} / \mathrm{m}^{3}\right]\]

Para encontrar el promedio total de energía magnética almacenada debemos integrar sobre volumen. Lateralmente podemos descuidar los campos marginales y simplemente integrarnos sobre la longitud D. La integración con respecto al radio producirá una respuesta logarítmica que se vuelve infinita si el radio máximo es infinito. Un límite exterior plausible para r es ~D porque la ley Biot-Savart (1.4.6) dice que los campos disminuyen como r ² de su fuente si esa fuente es local; la transición de decaimiento lento de campo cilíndrico como r ^-1 a decaimiento como r ^-2 ocurre a distancias r comparables a la dimensión más grande de la fuente: r D. Con estas aproximaciones encontramos:

\[\begin{aligned} \mathrm{w}_{\mathrm{m}} & \cong \int_{0}^{\mathrm{D}} \mathrm{d} \mathrm{z} \int_{\mathrm{r}_{0}}^{\mathrm{D}}\left\langle\mathrm{W}_{\mathrm{m}}\right\rangle 2 \pi \mathrm{r} \mathrm{dr} \cong \mathrm{D} \int_{\mathrm{r}_{0}}^{\mathrm{D}} \frac{1}{2} \mu_{\mathrm{o}}\left(\frac{\mathrm{i}}{2 \pi \mathrm{r}}\right)^{2} 2 \pi \mathrm{r} \mathrm{dr} \\ &=\left.\left(\mu_{\mathrm{o}} \mathrm{Di}^{2} / 4 \pi\right) \ln \mathrm{r}\right|_{\mathrm{ro}} ^{\mathrm{D}}=\left(\mu_{\mathrm{o}} \mathrm{Di}^{2} / 4 \pi\right) \ln \left(\mathrm{D} / \mathrm{r}_{\mathrm{o}}\right) \ [\mathrm{J}] \end{aligned}\]

Usando (3.3.13) encontramos que la inductancia L para este segmento de cable es:

\[\mathrm{L} \cong\left(\mu_{\mathrm{o}} \mathrm{D} / 2 \pi\right) \ln \left(\mathrm{D} / \mathrm{r}_{\mathrm{o}}\right) \ [\mathrm{Hy}]\]

donde las unidades “Henries” se abrevian aquí como “Hy”. Tenga en cuenta que la superposición no se aplica aquí porque estamos integrando densidades de energía, que son cuadrados de intensidades de campo, y el límite exterior de la integral (3.3.16) es la longitud del cable D, por lo que los cables más largos tienen un poco más de inductancia que la suma de elementos más cortos en los que podrían subdividirse.

Circuitos equivalentes para dispositivos simples

La sección 3.1 mostró cómo la resistencia de placa paralela de la Figura 3.1.1 exhibiría resistencia R = D/σA ohmios y capacitancia C = εA/D faradios, conectados en paralelo. Las corrientes en el mismo dispositivo también generan campos magnéticos y agregan inductancia.

Haciendo referencia a la Figura 3.1.1 de la resistencia de placa paralela original, la mayor parte de la inductancia surgirá de los cables, ya que tienen un radio muy pequeño r _o en comparación con el de las placas. Esta inductancia L estará en serie con las partes RC del dispositivo debido a que sus dos caídas de voltaje se suman. Los componentes R y C están en paralelo porque la corriente total a través del dispositivo es la suma de la corriente de conducción y la corriente de desplazamiento, y los voltajes que impulsan estas dos corrientes son los mismos, es decir, el voltaje entre las placas paralelas. El correspondiente circuito equivalente de primer orden se ilustra en la Figura 3.3.3.

Figura\(\PageIndex{3}\): Circuito RLC equivalente de un condensador de placa paralela.

El examen de la Figura 3.3.3 sugiere que a frecuencias muy bajas la resistencia R domina debido a que, con relación a la resistencia, el inductor y el condensador se convierten en circuitos cortos y abiertos aproximados, respectivamente. A las frecuencias más altas domina el inductor. A medida que f aumenta desde cero más allá de donde domina R, primero domina el circuito RL o RC, dependiendo de si C cortocircuita la resistencia R a frecuencias más bajas que cuando L circuitos abiertos R; es decir, RC domina primero cuando\(\mathrm{R}>\sqrt{\mathrm{L} / \mathrm{C}}\). A frecuencias aún más altas domina el circuito LC, seguido de L solo. Para ciertas combinaciones de R, L y C, algunas transiciones pueden fusionarse.

Incluso este modelo para una resistencia es demasiado simple; por ejemplo, los cables también exhiben resistencia y hay energía magnética almacenada entre las placas de extremo porque allí D dt ≠ 0. Dado que tales efectos parasitarios suelen ser importantes solo a frecuencias por encima del rango de frecuencia especificado para el dispositivo, normalmente se descuidan. Un comportamiento aún más complejo puede resultar si las frecuencias son tan altas que las dimensiones del dispositivo exceden ~λ/8, como se discute más adelante en la Sección 7.1. Consideraciones similares se aplican a todas las resistencias, condensadores, inductores o transformadores fabricados. Los componentes y circuitos diseñados para frecuencias muy altas minimizan la capacitancia parásita no deseada y la inductancia parásita por su tamaño muy pequeño y la elección adecuada de materiales y geometría. Es común que los diseñadores de circuitos que utilizan componentes o cables cerca de sus límites de diseño los modelen con simples circuitos equivalentes a elementos agrupados como el de la Figura 3.3.3, que incluyen los efectos parásitos dominantes. La forma de estos circuitos obviamente depende de la estructura detallada del dispositivo modelado; por ejemplo, R y C podrían estar en serie.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

¿Cuáles son los valores aproximados L y C para la resistencia de 100-Ω diseñada en el Ejemplo 3.1A si ε = 4ε _o, y cuáles son las tres frecuencias críticas (RC) ^-1, R/L y (LC) ^-0.5?

Solución

La solución a 3.1A dijo que las tapas conductoras de la resistencia tienen área A =\(\pi\) r ² =\(\pi\) (2.5×10 ^-4) ², y la longitud del dieléctrico d es de 1 mm. La permitividad ε = 4ε _o, por lo que la capacitancia (3.1.10) es

\[\begin{align*} C &= \dfrac{εA}{d} \\[4pt] &= 4 \times 8.85 \times 10^{-12} \pi (2.5×10^{-4})^2 /10^{-3} \\[4pt] &≅ 7 \times 10^{-15} \, \text{farads}. \end{align*}\]

La inductancia L de este dispositivo probablemente estaría dominada por la de los cables de conexión porque sus diámetros serían más pequeños y su longitud más larga. Supongamos que la longitud del cable es D = 4d = 4×10 ^-3, y su radio r es 10 ^-4. Luego (3.3.17) rinde

L (μ _o D/16\(\pi\)) ln (D/r) = (1.26×10 ^-6 × 4×10 ^-3 /16\(\pi\)) ln (40) = 3.7×10 ^-10 [Hy].

Las frecuencias críticas R/L, (RC) ^-1 y (LC) ^-0.5 son 2.7×10 ¹¹, 6.2×10 ¹¹ y 1.4×10 ¹² [r s ^-1], respectivamente, por lo que la frecuencia máxima para la que se obtiene resistencia razonablemente pura es ~10 GHz (~R/2\(\pi\) L4)