4.4: Campos estáticos en materiales no homogéneos

Campos eléctricos estáticos en materiales no homogéneos

Muchos problemas prácticos involucran medios no homogéneos donde los límites pueden ser abruptos, como en la mayoría de los condensadores o motores, o graduados, como en muchos dispositivos semiconductores u optoelectrónicos. Los temas básicos están bien ilustrados por los casos estáticos que se discuten a continuación. Las secciones 4.4.1 y 4.4.2 discuten los campos eléctricos y magnéticos estáticos, respectivamente, en medios no homogéneos. Para simplificar la discusión, solo se considerarán los medios caracterizados por valores escalares reales para ε, μ y σ, donde las tres propiedades pueden ser una función de posición.

Los campos eléctricos estáticos en todos los medios se rigen por las formas estáticas de las leyes de Faraday y Gauss:

\[\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=0\]

\[\nabla \bullet \overline{\mathrm{D}}=\rho_{\mathrm{f}}\]

y por las relaciones constitutivas:

\[\overline{\mathrm{D}}=\varepsilon \overline{\mathrm{E}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{E}}+\overline{\mathrm{P}}\]

\[\overline{\mathrm{J}}=\sigma \overline{\mathrm{E}}\]

Algunos casos simples ilustran cómo estas leyes pueden ser utilizadas para caracterizar conductores y dieléctricos no homogéneos. Quizás el caso más simple es el de un alambre u otra estructura conductora (1) embebida en un medio perfectamente aislante (2) que tiene conductividad σ = 0. Dado que la carga se conserva, los componentes perpendiculares de la corriente deben ser los mismos en ambos lados del límite para que\(\mathrm{J}_{1 \perp}=\mathrm{J}_{2 \perp}=0=\mathrm{E}_{2 \perp}\). Por lo tanto, todas las corrientes en el medio conductor quedan atrapadas dentro de él y en la superficie deben fluir paralelas a esa superficie.

Consideremos a continuación el caso simple de una losa no homogénea entre dos placas paralelas perfectamente conductoras espaciadas L en la dirección x a una diferencia de potencial de V _o voltios, donde el terminal a x = 0 tiene el mayor voltaje. Supongamos que el medio tiene permitividad ε, densidad de corriente J _o, y conductividad no homogénea σ (x), donde:

\[\sigma=\sigma_{\mathrm{o}} /\left[1+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{L}}\right]\quad\left[\text { Siemens } \mathrm{m}^{-1}\right]\]

El campo eléctrico asociado se desprende de (4.4.4):

\[\overline{\mathrm{E}}=\overline{\mathrm{J}} / \sigma=\hat{x} \frac{\mathrm{J}_{\mathrm{o}}}{\sigma_{\mathrm{o}}}\left(1+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{L}}\right) \quad \left[\mathrm{Vm}^{-1}\right]\]

La densidad de carga libre en el medio sigue entonces de (4.4.2) y es:

\[\rho_{\mathrm{f}}=\nabla \bullet \overline{\mathrm{D}}=\left(\varepsilon \mathrm{J}_{\mathrm{o}} / \sigma_{\mathrm{o}}\right)(\partial / \partial \mathrm{x})(1+\mathrm{x} / \mathrm{L})=\varepsilon \mathrm{J}_{\mathrm{o}} / \sigma_{\mathrm{o}} \mathrm{L} \quad\left[\mathrm{Cm}^{-3}\right] \]

Nota de la derivada en (4.4.7) que las discontinuidades abruptas en la conductividad generalmente producen carga superficial libre ρ _s en la discontinuidad. Aunque los conductores no homogéneos tienen una densidad neta de carga libre en todo el volumen, pueden o no tener también una densidad de carga de polarización neta\( \rho_{\mathrm{p}}=-\nabla \bullet \overline{\mathrm{P}}\), que se define en (2.5.12) y se puede deducir del vector de polarización\( \overline{\mathrm{P}}=\overline{\mathrm{D}}-\varepsilon_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{E}}=\left(\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{o}}\right) \overline{\mathrm{E}}\) utilizando (4.4.7):

\[\rho_{\mathrm{p}}=-\nabla \bullet \overline{\mathrm{P}}=-\nabla \bullet\left[\left(\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{o}}\right) \overline{\mathrm{E}}\right]=\left(\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{o}}\right) \mathrm{J}_{\mathrm{o}} / \sigma_{\mathrm{o}} \mathrm{L} \quad \left[\mathrm{Cm}^{-3}\right] \]

Ahora consideremos los efectos de la permitividad no homogénea ε (x) en un medio aislante (σ = 0) donde:

\[\varepsilon=\varepsilon_{\mathrm{o}}\left(1+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{L}}\right) \]

Dado que la losa aislante no debe contener carga libre y los límites fuerzan\(\overline{\mathrm{D}}\) a estar en la dirección x, por lo tanto\(\overline{\mathrm{D}}\) no puede ser una función de x porque\(\nabla \bullet \overline{\mathrm{D}}=\rho_{\mathrm{f}}=0\). Pero\( \overline{\mathrm{D}}=\varepsilon(\mathrm{x}) \overline{\mathrm{E}}(\mathrm{x})\); por lo tanto la x dependencia de\(\overline{\mathrm{E}}\) debe cancelar la de ε, así:

\[\overline{\mathrm{E}}=\hat{x} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} /\left(1+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{L}}\right)\]

E _o es una constante desconocida y se puede encontrar en relación con el voltaje aplicado V _o:

\[\mathrm{V}_{\mathrm{o}}=\int_{0}^{\mathrm{L}} \mathrm{E}_{\mathrm{x}} \mathrm{dx}=\int_{0}^{\mathrm{L}}\left[\mathrm{E}_{\mathrm{o}} /\left(1+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{L}}\right)\right] \mathrm{d} \mathrm{x}=\mathrm{L} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \ln 2\]

La combinación (4.4.9—11) conduce a un vector de desplazamiento\(\overline{\mathrm{D}}\) que es independiente de x (las condiciones límite exigen continuidad de\(\overline{\mathrm{D}}\)), y una densidad de carga de polarización distinta de cero ρ _p distribuida por todo el medio:

\[\overline{\mathrm{D}}=\varepsilon \overline{\mathrm{E}}=\hat{x} \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{V}_{\mathrm{o}} /(\mathrm{L} \ln 2)\]

\ [\ begin {align}
\ rho_ {\ mathrm {p}} &=-\ nabla\ bullet\ overline {\ mathrm {P}} =-\ nabla\ bullet\ left (\ overline {\ mathrm {D}} -\ varepsilon_ {\ mathrm {o}}\ overline {\ mathrm {E}}\ derecha) =\ varepsilon_ on_ {\ mathrm {o}}\ nabla\ bullet\ overline {\ mathrm {E}}\ nonumber\\
&=\ frac {\ varepsilon_ {\ mathrm {O} }\ mathrm {V} _ {\ mathrm {o}}} {\ mathrm {L}\ ln 2}\ frac {\ parcial} {\ parcial\ mathrm {x}} (1+\ mathrm {x}/\ mathrm {L}) ^ {-1} =\ frac {-\ varepsilon_ {\ mathrm {o}}\ mathrm {V} _\ mathrm {o}}} {(\ mathrm {L} +\ mathrm {x}) ^ {2}\ ln 2}\ left [\ mathrm {Cm} ^ {-3}\ derecha]
\ end {align}\]

Una serie similar de cálculos maneja fácilmente el caso donde tanto ε como σ no son homogéneos.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Un cierto condensador consta de dos placas conductoras paralelas, una a z = 0 y +V voltios y otra a z = d y cero voltios. Están separados por una losa dieléctrica de permitividad ε, para lo cual la conductividad es pequeña y diferente en las dos mitades del dieléctrico, cada una de las cuales es d/2 de espesor; σ ₁ = 3σ ₂. Supongamos que la interfaz entre σ ₁ y σ ₂ es paralela a las placas del condensador y está ubicada en z = 0. ¿Cuál es la densidad de carga libre ρ _f (z) en el dieléctrico, y cuál es\(\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z})\) donde z es la coordenada perpendicular a las placas?

Solución

Ya que se conserva la carga,\(\overline{\mathrm{J}}_{1}=\overline{\mathrm{J}}_{2}=\sigma_{1} \overline{\mathrm{E}}_{1}=\sigma_{2} \overline{\mathrm{E}}_{2}\), entonces\( \overline{\mathrm{E}}_{2}=\sigma_{1} \overline{\mathrm{E}}_{1} / \sigma_{2}=3 \overline{\mathrm{E}}_{1}\). Pero\( \left(\mathrm{E}_{1}+\mathrm{E}_{2}\right) \mathrm{d} / 2=\mathrm{V}\), entonces\( 4 \mathrm{E}_{1} \mathrm{d} / 2=\mathrm{V}\), y\(\mathrm{E}_{1}=\mathrm{V} / 2 \mathrm{d}\). La carga superficial en la placa inferior es\(\rho_{\mathrm{s}}(\mathrm{z}=0)=\overline{\mathrm{D}}_{\mathrm{z}=0}=\varepsilon \mathrm{E}_{1}=\varepsilon \mathrm{V} / 2 \mathrm{d}\ \left[\mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}\right]\), y ρ _s en la placa superior es\(-\overline{\mathrm{D}}_{\mathrm{z}=\mathrm{d}}=-\varepsilon \mathrm{E}_{2}=-\varepsilon 3 \mathrm{V} / 2 \mathrm{d}\). La carga libre en la interfaz dieléctrica es\(\rho_{\mathrm{s}}(\mathrm{z}=\mathrm{d} / 2)=\mathrm{D}_{2}-\mathrm{D}_{1}=\varepsilon\left(\mathrm{E}_{2}-\mathrm{E}_{1}\right)=\varepsilon \mathrm{V} / \mathrm{d}\). La carga puede acumularse en las tres superficies debido a que el dieléctrico conduce. El cargo neto es cero. El campo eléctrico entre las placas del condensador se discutió en la Sección 3.1.2.

Campos magnéticos estáticos en materiales no homogéneos

Los campos magnéticos estáticos en la mayoría de los medios se rigen por las formas estáticas de las leyes de Ampere y Gauss:

\[\nabla \times \overline{\mathrm{H}}=0\]

\[ \nabla \bullet \overline{\mathrm{B}}=0\]

y por las relaciones constitutivas:

\[\overline{\mathrm{B}}=\mu \overline{\mathrm{H}}=\mu_{\mathrm{o}}(\overline{\mathrm{H}}+\overline{\mathrm{M}})\]

Un caso simple ilustra cómo estas leyes caracterizan a los materiales magnéticos no homogéneos. Considera un material magnético que se caracteriza por μ (x) y tiene un campo magnético impuesto\(\overline{\mathrm{B}}\) en la dirección x. Ya que\(\nabla \bullet \overline{\mathrm{B}}=0\) se deduce que\(\overline{\mathrm{B}}\) es constante\(\left(\overline{\mathrm{B}}_{\mathrm{o}}\right)\) a lo largo, y eso\(\overline{\mathrm{H}}\) es una función de x:

\[\overline{\mathrm{H}}=\frac{\overline{\mathrm{B}}_{\mathrm{o}}}{\mu(\mathrm{x})}\]

Como resultado, las regiones de mayor permeabilidad de los materiales magnéticos generalmente albergan campos magnéticos más débiles\(\overline{\mathrm{H}}\), como se muestra en la Sección 3.2.2 para los inductores toroidales con huecos. En muchos dispositivos magnéticos μ podría variar de cuatro a seis órdenes de magnitud, como lo haría\(\overline{\mathrm{H}}\).

Atrapamiento de flujo eléctrico y magnético en sistemas no homogéneos

Las corrientes generalmente fluyen en conductores que controlan la distribución espacial\(\overline{\mathrm{J}}\) y el potencial eléctrico\(\Phi(\overline{\mathrm{r}})\). Del mismo modo, los materiales de alta permeabilidad con μ >> μ _o pueden ser utilizados para formar circuitos magnéticos que guían\(\overline{\mathrm{B}}\) y controlan la forma espacial del potencial magnético estático libre de rizo\(\Psi(\bar{r})\).

La ley de Faraday dice que los campos eléctricos estáticos\(\overline{\mathrm{E}}\) están libres de rizar:

\[\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=-\frac{\partial \overline{\mathrm{B}}}{\partial \mathrm{t}}=0 \qquad \qquad \qquad\text{(Faraday’s law)}\]

Ya que\(\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=0 \) en casos estáticos, se deduce que:

\[\overline{\mathrm{E}}=-\nabla \Phi\]

donde\(\Phi\) está el potencial eléctrico [voltios] en función de la posición en el espacio. Pero la ley de Gauss dice\(\nabla \bullet \overline{\mathrm{E}}=\rho / \varepsilon\) en regiones donde ρ es constante. Por lo tanto\(\nabla \bullet \overline{\mathrm{E}}=-\nabla^{2} \Phi=\rho / \varepsilon \) y:

\[\nabla^{2} \Phi=-\frac{\rho}{\varepsilon} \qquad\qquad\qquad \text { (Laplace's equation) }\]

En regiones estáticas libres de corriente del espacio con permeabilidad constante μ, la ley de Ampere (2.1.6) dice:

\[\nabla \times \overline{\mathrm{H}}=0\]

y por lo tanto\( \overline{\mathrm{H}}\)\(\overline{\mathrm{E}} \), como, puede estar relacionado con un potencial magnético escalar [Amperios]\(\Psi\):

\[\overline{\mathrm{H}}=-\nabla \Psi\]

Dado que\( \nabla \bullet \overline{\mathrm{H}}=0\) cuando μ es independiente de la posición, se deduce que\(\nabla \bullet(-\nabla \Psi)=\nabla^{2} \Psi\) y:

\[\nabla^{2} \Psi=0 \qquad \qquad \qquad \text{(Laplace’s equation for magnetic potential) }\]

El paralelo perfecto entre las ecuaciones de Laplace (4.4.20) y (4.4.23) para campos eléctricos y magnéticos en regiones libres de carga ofrece un paralelo entre densidad de corriente\(\overline{\mathrm{J}}=\sigma \overline{\mathrm{E}} \ \left[\mathrm{A} / \mathrm{m}^{2}\right]\) y densidad de flujo magnético\( \overline{\mathrm{B}}=\mu \overline{\mathrm{H}}\), y también entre conductividad σ y permeabilidad μ en cuanto se relacionan con gradientes de electricidad y potencial magnético, respectivamente:

\[\nabla^{2} \Phi=0 \qquad \qquad \qquad \nabla^{2} \Psi=0\]

\[\overline{\mathrm{E}}=-\nabla \Phi \qquad \qquad \qquad \overline{\mathrm{H}}=-\nabla \Psi\]

\[\overline{\mathrm{J}}=\sigma \overline{\mathrm{E}}=-\sigma \nabla \Phi\qquad \qquad \qquad \overline{\mathrm{B}}=\mu \overline{\mathrm{H}}=-\mu \nabla \Psi\]

Así como la corriente está confinada al flujo dentro de alambres embebidas en medios aislantes que tienen σ 0, también lo es el flujo magnético\(\overline{\mathrm{B}}\) atrapado dentro de materiales de alta permeabilidad embebidas en medios de muy baja permeabilidad, como sugiere la discusión en la Sección 3.2.2 de cómo los campos magnéticos están confinados dentro de medios de alta toroides de permeabilidad.

La condición límite (2.6.5) que\(\overline{\mathrm{B}}_{\perp} \) es continua requiere que\(\overline{\mathrm{B}}_{\perp} \cong 0 \) en los límites con medios que tienen μ 0; así esencialmente todo el flujo magnético b está confinado dentro de medios magnéticos permeables que tienen μ >> 0.

Figura\(\PageIndex{1}\): Circuitos divisores de flujo de corriente y magnéticos.

Dos ejemplos paralelos que ayudan a aclarar los temas se ilustran en la Figura 4.4.1. En la Figura 4.4.1 (a) una batería conectada a conductores perfectos aplica el mismo voltaje a\(\Phi_{\mathrm{o}}\) través de dos conductores en paralelo; A _i, σ _i, d _i e I _i son respectivamente su área de sección transversal, conductividad, longitud y flujo de corriente para i = 1,2. La corriente a través de cada conductor viene dada por (4.4.26) y:

\[\mathrm{I}_{\mathrm{i}}=\mathrm{J}_{\mathrm{i}} \mathrm{A}_{\mathrm{i}}=\sigma_{1} \nabla \Phi_{\mathrm{i}} \mathrm{A}=\sigma_{\mathrm{l}} \Phi_{\mathrm{o}} \mathrm{A}_{\mathrm{i}} / \mathrm{d}_{\mathrm{i}}=\Phi_{\mathrm{o}} / \mathrm{R}_{\mathrm{i}}\]

donde:

\[\mathrm{R}_{\mathrm{i}}=\mathrm{d}_{\mathrm{i}} / \sigma_{\mathrm{i}} \mathrm{A}_{\mathrm{i}} \ [\text { ohms }]\]

es la resistencia del conductor i, y I = V/R es la ley de Ohm.

Para el circuito magnético de la Figura 4.4.1 (b) se obtiene un conjunto paralelo de relaciones, donde el flujo magnético total λ = BA [Weber] a través de una sección transversal del área A es análogo a la corriente I = JA. El flujo magnético λ a través de cada rama magnética viene dado por (4.4.26) de manera que:

\[\Lambda_{\mathrm{i}}=\mathrm{B}_{\mathrm{i}} \mathrm{A}_{\mathrm{i}}=\mu_{\mathrm{i}} \nabla \Psi_{\mathrm{i}} \mathrm{A}_{\mathrm{i}}=\mu_{\mathrm{i}} \Psi_{\mathrm{o}} \mathrm{A}_{\mathrm{i}} / \mathrm{d}_{\mathrm{i}}=\Psi_{\mathrm{o}} / R_{\mathrm{i}}\]

donde:

\[R_{\mathrm{i}}=\mathrm{d}_{\mathrm{i}} / \mu_{\mathrm{i}} \mathrm{A}\]

es la reluctancia magnética de la rama i, análoga a la resistencia de una rama conductora.

Debido al paralelo entre la corriente I y el flujo magnético λ, se dividen de manera similar entre trayectorias paralelas alternativas. Es decir, la corriente total es:

\[\mathrm{I}_{\mathrm{o}}=\mathrm{I}_{1}+\mathrm{I}_{2}=\Phi_{0}\left(\mathrm{R}_{1}+\mathrm{R}_{2}\right) / \mathrm{R}_{1} \mathrm{R}_{2}\]

El valor de\(\Phi_{\mathrm{o}}\) encontrado de (4.4.31) conduce directamente a la ecuación del divisor de corriente:

\[\mathrm{I}_{1}=\Phi_{\mathrm{o}} / \mathrm{R}_{1}=\mathrm{I}_{\mathrm{o}} \mathrm{R}_{2} /\left(\mathrm{R}_{1}+\mathrm{R}_{2}\right)\]

Entonces, si _R2 = ∞, todo Io fluye a través de _R1; _R2 = 0 implica que no fluye corriente a través de _R1; y _R2 = _R1 implica la mitad de los flujos a través de cada rama. Las ecuaciones correspondientes para el flujo magnético total y la división de flujo en circuitos magnéticos son:

\[\Lambda_{\mathrm{o}}=\Lambda_{1}+\Lambda_{2}=\Psi_{0}\left(R_{1}+R_{2}\right) / R_{1} R_{2}\]

\[\Lambda_{1}=\Psi_{\mathrm{o}} / R_{1}=\Lambda_{\mathrm{o}} R_{2} /\left(R_{1}+R_{2}\right)\]

Aunque la conductividad de los aisladores que rodean los cables es generalmente de más de diez órdenes de magnitud menor que la de los cables, lo mismo no es cierto para la permeabilidad que rodea los materiales de alto μ, por lo que generalmente hay una pequeña cantidad de fuga de flujo de dichos medios; el atrapamiento no es perfecto. En este caso\(\overline{\mathrm{H}}\) fuera el material de alto μ es casi perpendicular a su superficie, como se muestra en (2.6.13).

Ejemplo\(\PageIndex{B}\)

El circuito magnético de la Figura 4.4.1 (b) es accionado por un cable que lleva 3 amperios y se envuelve 50 veces alrededor del miembro vertical más a la izquierda en el sentido de las agujas del reloj como se ve desde la parte superior. Ese miembro tiene permeabilidad infinita (μ = ∞), al igual que los miembros superior e inferior. Si falta el miembro más a la derecha, ¿cuál es el campo magnético\(\overline{\mathrm{H}}\) en el miembro vertical _R1, para el cual la longitud es d y μ >> μ _o? Si tanto R ₁ como _R2 están en su lugar e idénticos, ¿qué son entonces\(\overline{\mathrm{H}}_{1}\) y\(\overline{\mathrm{H}}_{2}\)? _{Si se retira R2 y R1 consiste en dos barras largas y delgadas en serie que tienen longitudes d a y d b, áreas transversales A a y A b, y permeabilidades μ a y μ b, respectivamente, lo que entonces son}\(\overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{a}} \) y\( \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{b}}\)?

Solución

Para este problema estático la ley de Ampere (4.1.2) se convierte en

\[\oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{H}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}=\oiint_{\mathrm{A}} \mathrm{\overline{J}} \bullet \hat{\mathrm{n}} \mathrm{d} \mathrm{a}=\mathrm{N}\mathrm{I}=50 \times 3=150[\mathrm{A}]=\mathrm{Hd} \nonumber . \]

Por lo tanto\( \overline{\mathrm{H}}=\hat{\mathrm{z}} 150 / \mathrm{d} \ \left[\mathrm{A} \mathrm{m}^{-1}\right]\), donde\(\hat{z}\) y\(\overline{\mathrm{H}}\) son ascendentes debido a la regla de la mano derecha asociada a la ley de Ampere. Si se suma R ₂, ambas integrales de\(\overline{\mathrm{H}}\) a través de las dos ramas deben seguir siendo iguales a NI, por lo que\(\overline{\mathrm{H}}\) permanece\(\hat{z}\) 150/d [A m ^-1] en ambas ramas. Para el caso de serie la integral de\(\overline{\mathrm{H}}\) rendimientos H _a d _a + H _b d _b = NI. _{Debido a que el flujo magnético está atrapado dentro de esta rama, es constante: μ a H a A a = B a A = B b A b = μ b H b A b. Por lo tanto H b = H a (μ a A a/μ b A b) y H a [d a + d b (μ a A a/μ b A b)] = NI, así\(\overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{a}}=\hat{z} \mathrm{NI} /\left[\mathrm{d}_{\mathrm{a}}+\mathrm{d}_{\mathrm{b}}\left(\mu_{\mathrm{a}} \mathrm{A}_{\mathrm{a}} / \mu_{\mathrm{b}} \mathrm{A}_{\mathrm{b}}\right)\right]\ \left[\mathrm{A} \mathrm{m}^{-1}\right]\).}