5.3: Fuerzas sobre cargas encuadernadas dentro de los materiales

Introducción

Las fuerzas sobre los materiales pueden calcularse de tres maneras diferentes: 1) a través de la ley de fuerza de Lorentz, como se ilustra en la Sección 5.2 para cargos gratuitos dentro de los materiales, 2) vía métodos energéticos, como se ilustra en la Sección 5.4, y 3) vía fuerzas fotónicas, como se discute en la Sección 5.6. Cuando están presentes materiales polarizados o magnetizados, como se discute aquí en la Sección 5.3, la ley de fuerza de Lorentz debe aplicarse no sólo a las cargas libres dentro de los materiales, es decir, las cargas superficiales y corrientes discutidas anteriormente, sino también a las cargas orbitantes y giratorias unidas dentro de los átomos. Cuando se aplica la ecuación de fuerza de Lorenz a estas cargas ligadas, el resultado es la polarización Kelvin y densidades de fuerza de magnetización. Bajo el paradigma desarrollado en este capítulo estas fuerzas Kelvin deben sumarse a las fuerzas Lorentz en los cargos libres ¹⁶. Las densidades de fuerza Kelvin son distintas de cero solo cuando están presentes campos no homogéneos, como se discute a continuación en las Secciones 5.3.2 y 5.3.3. Pero antes de discutir las fuerzas Kelvin es útil revisar la relación entre la ley de fuerza Lorentz y la materia.

La ley de fuerza de Lorentz es completa y exacta si ignoramos cuestiones relativistas asociadas con velocidades extremadamente altas o intensidades de campo; ninguna circunstancia es relevante para los productos comerciales actuales. Para calcular todas las fuerzas de Lorentz sobre la materia debemos reconocer que la materia clásica está compuesta por átomos compuestos por cargas positivas y negativas, algunas de las cuales se mueven y exhiben momentos magnéticos debido a su giro o movimientos orbitales. Debido a que estas cargas están atrapadas en la materia, cualquier fuerza sobre ellas se transfiere a esa materia, como se supone en la Sección 5.2 para las fuerzas eléctricas sobre cargas superficiales y para las fuerzas magnéticas sobre las corrientes superficiales.

Al aplicar la ley de fuerza Lorentz dentro de la materia bajo nuestro paradigma es importante utilizar la expresión:

\[\overline{\mathrm{f}}=\mathrm{q}\left(\overline{\mathrm{E}}+\overline{\mathrm{v}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}\right) \quad[\text { Newtons }]\]

sin sustituir\(\mu \overline{\mathrm{H}}\) el último término cuando μ ≠ μ _o. Un ejemplo sencillo ilustra los peligros de este atajo notacional común. Considere la presión magnética instantánea (5.2.13) derivada usando la ley de fuerza de Lorentz para una onda plana uniforme que normalmente incide sobre una placa conductora que tiene μ ≠ μ _o. La misma fuerza también se encuentra más adelante en (5.6.5) utilizando el impulso de fotones. Si usamos incorrectamente:

\[\overline{\mathrm{f}}=\mathrm{q}(\overline{\mathrm{E}}+\overline{\mathrm{v}} \times \mu \overline{\mathrm{H}})\ [\text { Newtons }] \qquad\qquad\qquad \text { (incorrect for this example) }\]

¹⁶ La división aquí entre las fuerzas Lorentz que actúan con cargas libres y las fuerzas Lorentz que actúan sobre cargas ligadas (a menudo llamadas fuerzas Kelvin) es completa y precisa, pero no única, ya que estas fuerzas pueden agruparse y etiquetarse de manera diferente, lo que lleva a expresiones ligeramente diferentes que también son correcto.

porque\(\overline{\mathrm{v}}\) ocurre dentro de μ, entonces la presión de onda calculada aumentaría con μ, mientras que el modelo de fotones no tiene tal dependencia y rinde\ (P _m = μ _o H ² /2), la misma respuesta que lo hace (5.2.13). El modelo de fotones depende puramente de los flujos de impulso de fotones de entrada y salida observados a cierta distancia del espejo, y así los detalles de la construcción del espejo son irrelevantes una vez que se conoce la fracción de fotones reflejados.

Esta independencia de la fuerza de Lorentz de μ también se puede ver directamente del cálculo de la fuerza de Lorentz que condujo a (5.2.13). En este caso la corriente superficial total no es una función de μ para un reflector perfecto, y tampoco está\(\overline{\mathrm{H}} \) justo debajo de la superficie; dependen únicamente de la onda incidente y del hecho de que el espejo sea casi perfecto. \( \overline{\mathrm{H}}\)se desintegra más rápido con la profundidad cuando μ es grande, como se discute en la Sección 9.3, pero el promedio\(\overline{\mathrm{H}}\) | | experimentado por los electrones superficiales sigue siendo la mitad del valor de\( \overline{\mathrm{H}}\) en la superficie, por lo que\( \overline{\mathrm{f}}\) no cambia a medida que μ varía. Por lo tanto, la forma de la ley de fuerza Lorentz presentada en (5.3.2) puede ser utilizada con seguridad bajo nuestro paradigma de fuerza solo cuando μ = μ _o, aunque el término magnético suele escribirse como\(\overline{\mathrm{v}} \times \overline{\mathrm{B}}\).

Hay paradigmas correctos alternativos que usan μ en la ley de Lorentz en lugar de μ _o, pero interpretan las ecuaciones de Maxwell de manera ligeramente diferente. Estos enfoques alternativos no se discuten aquí.

La ley de fuerza Lorentz también se puede aplicar a aquellos casos en que campos no uniformes tiran de materiales dieléctricos o permeables, como sugiere la Figura 5.3.1. Estos problemas suelen resolverse más fácilmente, sin embargo, utilizando métodos de energía (Sección 5.4) o presión (Sección 5.5). Para calcular en general las fuerzas sobre la materia ejercidas por campos eléctricos o magnéticos no uniformes podemos derivar las expresiones Kelvin de polarización y densidad de fuerza de magnetización a partir de la ecuación de Lorentz, como se muestra en las Secciones 5.3.2 y 5.3.3, respectivamente.

Figura\(\PageIndex{1}\): Polarización Kelvin y fuerzas de magnetización sobre materiales.

Las derivaciones de las expresiones de densidad de fuerza Kelvin se basan en los siguientes modelos simples para cargas en materia. Las fuerzas eléctricas de Lorentz actúan sobre los núcleos atómicos y las nubes de electrones circundantes que están unidas entre sí, y sobre cualquier carga libre. El efecto de\(\overline{\mathrm{E}}\) sobre las cargas positivas y negativas unidas dentro de un átomo es desplazar ligeramente sus centros, induciendo un pequeño dipolo eléctrico. El momento dipolo eléctrico atómico resultante es:

\[\overline{\mathrm{p}}=\overline{\mathrm{d}} \mathrm{q} \qquad \qquad \qquad \text { (Coulomb meters) }\]

donde\(\overline{\mathrm{d}}\) está el vector de desplazamiento [m] apuntando desde el centro de carga negativa al centro de carga positiva para cada átomo, y q es la carga atómica o número atómico. Como se discute más adelante en la Sección 5.3.2, las fuerzas de polarización Kelvin resultan cuando los gradientes de campo hacen que las líneas del campo eléctrico se curven ligeramente de manera que las direcciones de las fuerzas eléctricas de Lorentz son ligeramente diferentes para los dos extremos de los dipolos eléctricos inducidos por el campo por lo que no cancelan exactamente, dejando una fuerza residual neta.

Las fuerzas magnéticas de Lorentz actúan sobre los electrones que orbitan clásicamente núcleos atómicos con velocidades\(\overline{\mathrm{v}}\), y actúan sobre electrones con densidades de carga clásicas que giran a velocidad\(\overline{\mathrm{v}}\) alrededor del eje de espín electrónico. Los protones también giran y, por lo tanto, tanto los electrones como los protones poseen momentos dipolares magnéticos; estos momentos de espín son más pequeños que los debidos al movimiento orbital de los electrones. Si consideramos que estos movimientos de espín y orbitales están asociados con los bucles de corriente, entonces podemos ver que la fuerza neta en dicho bucle sería distinta de cero si los campos magnéticos perpendiculares a estas corrientes fueran diferentes en los dos lados del bucle. Tales diferencias existen cuando el campo magnético tiene un gradiente distinto de cero y luego resultan fuerzas de magnetización Kelvin, como se discute en la Sección 5.3.3. Las propiedades electromagnéticas de la materia se discuten más a fondo en las Secciones 2.5 y 9.5.

Densidad de fuerza de polarización Kelvin

Las fuerzas de polarización Kelvin resultan cuando un gradiente de campo eléctrico distinto de cero hace que las fuerzas eléctricas de Lorentz en los dos centros de carga de cada dipolo eléctrico inducido en un dieléctrico difieran, como se ilustra en la Figura 5.3.1 (a). La densidad de fuerza se puede encontrar sumando los vectores de desequilibrio de fuerza para cada dipolo dentro de una unidad de volumen.

Supongamos que el centro de la carga negativa -q para un átomo en particular está en\( \overline{\mathrm{r}}\), y el centro de la carga positiva +q está en\(\overline{\mathrm{r}}+\overline{\mathrm{d}}\). Entonces la fuerza eléctrica neta de Lorentz sobre ese átomo en la dirección x es:

\[f_{x}=q\left[E_{x}(\overline{r}+\overline{d})-E_{x}(\overline{r})\right]=q\left(\overline{d} \bullet \nabla E_{x}\right) \ [N]\]

Así\(\overline{\mathrm{f}}_{\mathrm{x}} \) es la proyección del desplazamiento de carga\( \overline{\mathrm{d}}\) sobre el gradiente de Qe _x. Recordamos\(\nabla \equiv \hat{x} \partial / \partial \mathrm{x}+\hat{y} \partial / \partial \mathrm{y}+\hat{z} \partial / \partial \mathrm{z}\).

La ecuación (5.3.4) puede generalizarse fácilmente para:

\[\begin{align} \overline{\mathrm{f}} &=\hat{x}\left(\mathrm{q} \overline{\mathrm{d}} \bullet \nabla \mathrm{E}_{\mathrm{x}}\right)+\hat{y}\left(\mathrm{q} \overline{\mathrm{d}} \bullet \nabla \mathrm{E}_{\mathrm{y}}\right)+\hat{z}\left(\mathrm{q} \overline{\mathrm{d}} \bullet \nabla \mathrm{E}_{\mathrm{z}}\right) \\ &=\hat{x}\left(\overline{\mathrm{p}} \bullet \nabla \mathrm{E}_{\mathrm{x}}\right)+\hat{y}\left(\overline{\mathrm{p}} \bullet \nabla \mathrm{E}_{\mathrm{y}}\right)+\hat{z}\left(\overline{\mathrm{p}} \bullet \nabla \mathrm{E}_{\mathrm{z}}\right) \equiv \overline{\mathrm{p}} \bullet \nabla \overline{\mathrm{E}} \quad [\mathrm{N}] \end{align} \]

donde\(\overline{\mathrm{p}}=\mathrm{q} \overline{\mathrm{d}}\) y (5.3.6) define la nueva notación compacta\( \overline{\mathrm{p}} \bullet \nabla \overline{\mathrm{E}}\). Anteriormente hemos definido solamente\(\nabla \times \overline{\mathrm{E}}\) y\(\nabla \bullet \overline{\mathrm{E}}\), y la notación\(\overline{\mathrm{p}} \bullet[.]\) habría implicado un escalar, no un vector. Así, el nuevo operador definido aquí es [•], y opera sobre un par de vectores para producir un vector.

La ecuación (5.3.6) produce entonces la densidad de fuerza de polarización Kelvin\( \overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{p}}=\mathrm{n} \overline{\mathrm{f}}\), donde n es la densidad de dipolos atómicos [m ^-3], y la densidad de polarización del material\(\overline{\mathrm{P}}\) es\( \mathrm{n} \overline{\mathrm{p}}\) [C m ^-2]:

\[\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{p}}=\overline{\mathrm{P}} \bullet \nabla \overline{\mathrm{E}} \quad\left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-3}\right] \qquad\qquad\qquad(\text { Kelvin polarization force density })\]

La ecuación (5.3.7) establece que los materiales polarizados eléctricamente son arrastrados hacia regiones que tienen campos eléctricos más fuertes si hay polarización\(\overline{\mathrm{P}} \) en la dirección del gradiente. Menos obvio de (5.3.7) es el hecho de que puede haber tal fuerza incluso cuando el campo eléctrico aplicado\(\overline{\mathrm{E}} \) y\(\overline{\mathrm{P}} \) son ortogonales al gradiente del campo, como se ilustra en la Figura 5.3.1 (a). En este ejemplo, un dieléctrico polarizado z se dibuja en la dirección x en regiones de E _z más fuerte. Esto sucede en los campos libres de curl porque entonces un distinto de cero E _z /x implica un distinto de cero E _x /z que contribuye a\(\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{p}}\). Esta relación entre derivados parciales se desprende de la definición:

\[\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=0=\hat{x}\left(\partial \mathrm{E}_{\mathrm{z}} / \partial \mathrm{y}-\partial \mathrm{E}_{\mathrm{y}} / \partial \mathrm{z}\right)+\hat{y}\left(\partial \mathrm{E}_{\mathrm{x}} / \partial \mathrm{z}-\partial \mathrm{E}_{\mathrm{z}} / \partial \mathrm{x}\right)+\hat{z}\left(\partial \mathrm{E}_{\mathrm{y}} / \partial \mathrm{x}-\partial \mathrm{E}_{\mathrm{x}} / \partial \mathrm{y}\right)\]

Dado que cada componente cartesiano debe ser igual a cero, se deduce que E _x /z = E _z /x por lo que ambas derivadas son distintas de cero, como se reivindica. Obsérvese que si las líneas de campo no\( \overline{\mathrm{E}}\) eran curvas, entonces f _x = 0 en la Figura 5.3.1. Pero tales campos con un gradiente E _z ≠ 0 tendrían un rizo distinto de cero, lo que requeriría corriente para fluir en la región aislante.

La polarización\(\overline{\mathrm{P}}=\overline{\mathrm{D}}-\varepsilon_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{E}}=\left(\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{o}}\right) \overline{\mathrm{E}} \), como se discute en la Sección 2.5.3. Así, en el espacio libre, los dieléctricos con ε > ε _o siempre son atraídos hacia regiones con mayores intensidades de campo mientras que los dieléctricos con ε < ε _o siempre son repulsados. El mismo resultado surge de consideraciones energéticas; la energía total disminuye como dieléctrico con permitividad ε mayor que la de su entorno ε _o se mueve hacia regiones que tienen mayor intensidad de campo\(\overline{\mathrm{E}}\).

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

¿Cuál es la densidad de fuerza de polarización Kelvin\( \overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{p}}\) [N m ^-3] en un dieléctrico de permitividad ε = 3ε _o en un campo\(\overline{\mathrm{E}}=\hat{z} \mathrm{E}_{\mathrm{o}}(1+5 \mathrm{z})\)?

Solución

(5.3.7) rendimientos\(\mathrm{F}_{\mathrm{pz}}=\overline{\mathrm{P}} \bullet\left(\nabla \mathrm{E}_{\mathrm{z}}\right)=\left(\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{o}}\right) \overline{\mathrm{E}} \bullet \hat{z} 5 \mathrm{E}_{\mathrm{o}}=10 \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{E}_{\mathrm{o}}^{2}\ \left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-3}\right].\)

Densidad de fuerza de magnetización Kelvin

Los dipolos magnéticos son inducidos en materiales permeables por campos magnéticos. Estos dipolos magnéticos inducidos surgen cuando el campo magnético aplicado realinea ligeramente los dipolos magnéticos preexistentes orientados aleatoriamente asociados con espines de electrones y órbitas de electrones en átomos. Cada dipolo magnético inducido puede modelarse como un pequeño bucle de corriente, como el que se muestra en la Figura 5.3.1 (b) en el plano x-y. El efecto colectivo de estos dipolos magnéticos atómicos inducidos es una permeabilidad μ que difiere de μ _o, como se discute más adelante en la Sección 2.5.4. Previo al realineamiento de los dipolos magnéticos en un medio magnetizable por un aplicado externamente\(\overline{\mathrm{H}}\), sus orientaciones son generalmente aleatorias para que sus efectos se cancelen y se puedan descuidar.

Las fuerzas de magnetización Kelvin sobre los materiales resultan cuando un gradiente de campo magnético distinto de cero hace que las fuerzas magnéticas de Lorentz en los dos centros de corriente de cada dipolo magnético inducido difieran para que ya no se cancelen, como se ilustra en la Figura 5.3.1 (b). La porción magnificada de la figura muestra un bucle de corriente típico en sección transversal donde las fuerzas magnéticas de Lorentz f _x1 y f _x2 están desequilibradas porque\(\overline{\mathrm{B}}_{1}\) y\( \overline{\mathrm{B}}_{2}\) difieren. La densidad de flujo magnético\( \overline{\mathrm{B}}_{1}\) actúa sobre la corriente que fluye en la dirección -y, y el campo magnético\(\overline{\mathrm{B}}_{2}\) actúa sobre la corriente igual y opuesta que fluye en la dirección +y. La densidad de fuerza se\( \overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{m}}\) puede encontrar sumando los vectores de fuerza neta para cada dipolo magnético inducido dentro de una unidad de volumen. Esta densidad de fuerza neta tira un medio con μ > μ _o hacia la región de campo alto.

Los bucles de corriente inducidos en materiales magnéticos como el hierro y el níquel tienden a aumentar el campo magnético aplicado\(\overline{\mathrm{H}} \), como se ilustra, de manera que el material permeable en la figura tiene μ > μ _o y experimenta una fuerza neta que tiende a moverlo hacia campos magnéticos más intensos. Es por ello que los imanes atraen hierro y cualquier material paramagnético que tenga μ > μ _o, al tiempo que repulsan cualquier material diamagnético para el que los bucles de corriente inducida tengan la polaridad opuesta de manera que μ < μ _o. Aunque la mayoría de los materiales ordinarios son paramagnéticos o diamagnéticos con μ μ, solo los materiales ferromagnéticos como el hierro y el níquel tienen μ >> μo y se ven visiblemente afectados por los imanes ordinarios.

Una expresión para la densidad de fuerza de magnetización Kelvin se\( \overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{m}}\) puede derivar calculando las fuerzas en un bucle de corriente cuadrado de I amperios en el plano x-y, como se ilustra. La fuerza magnética de Lorentz en cada una de las cuatro patas es:

\[\overline{\mathrm{f}}_{\mathrm{i}}=\overline{\mathrm{I}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}} \mathrm{w} \ [\mathrm N]\]

donde i = 1,2,3,4, y w es la longitud de cada pata. La suma de estas cuatro fuerzas es:

\[\begin{align} \overline{\mathrm{f}} &=\mathrm{Iw}^{2} \mu_{\mathrm{o}}[(\hat{y} \times \partial \overline{\mathrm{H}} / \partial \mathrm{x})-(\hat{x} \times \partial \overline{\mathrm{H}} / \partial \mathrm{y})][\mathrm{N}] \\ &=\mathrm{Iw}^{2} \mu_{\mathrm{o}}\left[-\hat{z}\left(\partial \mathrm{H}_{\mathrm{x}} / \partial \mathrm{x}+\partial \mathrm{H}_{\mathrm{y}} / \partial \mathrm{y}\right)+\hat{x}\left(\partial \mathrm{H}_{\mathrm{z}} / \partial \mathrm{x}\right)+\hat{y}\left(\partial \mathrm{H}_{\mathrm{z}} / \partial \mathrm{y}\right)\right]\nonumber\end{align} \]

Esta expresión puede simplificarse señalando que\( \overline{\mathrm{m}}=\hat{z} \mathrm{Iw}^{2}\) es el momento dipolar magnético de este bucle de corriente, y eso\(\partial \mathrm{H}_{\mathrm{x}} / \partial \mathrm{x}+\partial \mathrm{H}_{\mathrm{y}} / \partial \mathrm{y}=-\partial \mathrm{H}_{\mathrm{z}} / \partial \mathrm{z}\) porque\(\nabla \bullet \overline{\mathrm{H}}=0 \), mientras\(\partial \mathrm{H}_{\mathrm{z}} / \partial \mathrm{x}=\partial \mathrm{H}_{\mathrm{x}} / \partial \mathrm{z} \) y\(\partial \mathrm{H}_{\mathrm{z}} / \partial \mathrm{y}=\partial \mathrm{H}_{\mathrm{y}} / \partial \mathrm{z} \) porque\(\nabla \times \overline{\mathrm{H}}=0\) en ausencia de corrientes macroscópicas. Así, para la geometría de la Figura 5.3.1 (b), donde\( \overline{\mathrm{m}}\) está en la dirección z, la fuerza de magnetización de la Ecuación (5.3.10) se convierte en:

\[\overline{\mathrm{f}}_{\mathrm{m}}=\mu_{\mathrm{o}} \mathrm{m}_{\mathrm{z}}\left(\hat{z} \partial \mathrm{H}_{\mathrm{z}} / \partial \mathrm{z}+\hat{x} \partial \mathrm{H}_{\mathrm{x}} / \partial \mathrm{z}+\hat{y} \partial \mathrm{H}_{\mathrm{y}} / \partial \mathrm{z}\right)=\mu_{\mathrm{o}} \mathrm{m}_{\mathrm{z}} \partial \overline{\mathrm{H}} / \partial \mathrm{z}\]

Esta expresión puede generalizarse a casos donde\(\overline{\mathrm{m}}\) se encuentra en direcciones arbitrarias:

\[\overline{\mathrm{f}}_{\mathrm{m}}=\mu_{\mathrm{o}}\left(\mathrm{m}_{\mathrm{x}} \partial \overline{\mathrm{H}} / \partial \mathrm{x}+\mathrm{m}_{\mathrm{y}} \partial \overline{\mathrm{H}} / \partial \mathrm{y}+\mathrm{m}_{\mathrm{z}} \partial \overline{\mathrm{H}} / \partial \mathrm{z}\right)=\mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{m}} \bullet \nabla \overline{\mathrm{H}} \ [\mathrm N]\]

donde se\(\overline{\mathrm{m}} \bullet \nabla \overline{\mathrm{H}}\) definió la notación novedosa en (5.3.6).

La ecuación (5.3.12) produce entonces la densidad de fuerza de magnetización Kelvin\(\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{m}}=\mathrm{n}_{3} \overline{\mathrm{f}} \), donde n ₃ es la densidad equivalente de dipolos magnéticos [m ^-3], y la magnetización\(\overline{\mathrm{M}}\) del material es\(\mathrm{n}_{3} \overline{\mathrm{m}} \) [A m ^-1]:

\[\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{m}}=\mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{M}} \bullet \nabla \overline{\mathrm{H}}\ \left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-3}\right] \quad(\text { Kelvin magnetization force density })\]

Tales fuerzas existen incluso cuando el campo magnético aplicado\(\overline{\mathrm{H}}\) y la magnetización\(v\) son ortogonales al gradiente de campo, como se ilustra en la Figura 5.3.1 (b). Como en el caso de las fuerzas de polarización Kelvin, esto sucede en campos libres de rizos porque entonces un distinto de cero H _z /x implica un distinto de cero H _x /z que contribuye a\(\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{m}} \).