5.4: Fuerzas calculadas usando métodos de energía

Relación entre fuerza y energía

La mecánica enseña que una fuerza f en la dirección z empujando un objeto a una distancia dz gasta energía dw = f dz [J], así:

\[\mathrm{f}=\mathrm{d} \mathrm{w} / \mathrm{d} \mathrm{z} \qquad\qquad\qquad \text{(force/energy equation)}\]

Por lo tanto, la fuerza neta\(\mathrm{f}_{\mathrm{be}} \) aplicada por el entorno a cualquier objeto en la dirección z se puede encontrar simplemente diferenciando la energía total del sistema w con respecto al movimiento de ese objeto en la dirección z. El vector de fuerza total\(\overline{\mathrm{f}}_{\mathrm{be}}\) es la suma de sus componentes x, y y z.

_{Se debe tener cuidado, sin embargo, para asegurar que se diferencie la energía total del sistema, lo que puede incluir la energía en cualquier fuente de alimentación conectada, elementos mecánicos, etc. También se debe tener cuidado para distinguir cuidadosamente entre las fuerzas f ejercidas por el medio ambiente, y las fuerzas f oe} ejercidos por los objetos en su entorno; de lo contrario, se introducen fácilmente errores de signo. Este enfoque simple y poderoso para encontrar fuerzas se ilustra en la Sección 5.4.2 para las fuerzas electrostáticas y en la Sección 5.6 para las fuerzas fotónicas. El enfoque energético para calcular las fuerzas magnéticas utiliza (5.4.1) de manera directa, pero los ejemplos se posponen al Capítulo 6 cuando los campos magnéticos en las estructuras serán mejor entendidos.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Un cierto electroimán perfectamente conductor que lleva un amperio ejerce una atractiva fuerza de 100-N f sobre una pieza de hierro mientras se aleja del imán a velocidad v = 1 [m s ^-1]. ¿Qué voltaje V se induce a través de los terminales del electroimán como resultado de esta velocidad v? ¿Este voltaje V es positivo o negativo en ese terminal donde entra la corriente en el imán? Utilizar conservación de energía.

Solución

La conservación de la energía requiere fv = VI, entonces V = FV/i = 100×1/1 = 100 voltios. El voltaje es negativo porque el imán está actuando como generador ya que el movimiento de la plancha es opuesto a la fuerza magnética que actúa sobre él.

Fuerzas electrostáticas en conductores y dieléctricos

_{El método de energía produce fácilmente la fuerza f necesaria para separar en la dirección z las dos placas de condensador aisladas cargadas opuestamente con Q en vacío e ilustradas en la Figura 5.2.1 (a).} Dado que las placas son atraídas entre sí, separarlas sí funciona y aumenta la energía almacenada w. La fuerza necesaria para mantener las placas separadas se encuentra fácilmente usando la ecuación fuerza/energía (5.4.1):

\[\mathrm{f}_{\mathrm{be}}=\mathrm{dw} / \mathrm{dz}=\mathrm{d}\left(\mathrm{Q}^{2} \mathrm{s} / 2 \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{A}\right) / \mathrm{ds}=\mathrm{Q}^{2} / 2 \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{A} \ [\mathrm N]\]

donde la separación de placas es s y el área de placa es A. La energía eléctrica w _e almacenada en un condensador C es CV ² /2 = Q ² /2C = Q ² S/2εA, donde Q = CV y C = εA/s, como se muestra en la Sección 3.1.3. Aquí asumimos ε = ε _o.

La derivada en (5.4.2) fue fácil de evaluar porque Q permanece constante ya que las placas desconectadas son forzadas a separarse. Sería incorrecto usar w = CV ² /2 al diferenciar (5.4.2) a menos que reconozcamos que V aumenta a medida que las placas se separan porque V = Q/C cuando C disminuye. Es más fácil expresar energía en términos de parámetros que permanecen constantes a medida que z cambia.

Podemos poner (5.4.2) en la forma más familiar (5.2.4) para la presión eléctrica P _e empujando sobre un conductor al señalar que la fuerza f que _se necesita para separar las placas es la misma que la fuerza eléctrica que atrae a las placas cargadas opuestamente. La fuerza f _be así equilibra la presión eléctrica sobre las mismas placas y P _e = -f _be /A. Desde Q = ε _o EA aquí encontramos:

\[\mathrm{P}_{\mathrm{e}}=-\mathrm{Q}^{2} / 2 \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{A}^{2}=-\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{E}^{2} / 2 \quad\left[\mathrm{Nm}^{-2}\right]\]

Esta presión estática atractiva de los campos eléctricos sigue siendo la misma si las placas están conectadas a una batería de voltaje V en lugar de aislarse; las fuerzas de Lorentz son las mismas en ambos casos. Una forma más incómoda de calcular la misma fuerza (5.4.2) es asumir (innecesariamente) que una batería está conectada y que V permanece constante a medida que cambia s. En este caso Q debe variar con dz, y dQ fluye hacia la batería, incrementando su energía en VdQ. Dado que dw en la expresión fuerza/energía (5.4.2) es el cambio en la energía total del sistema, los cambios tanto en la energía de la batería como en el campo eléctrico deben calcularse para producir la energía correcta; un ejemplo con una batería comienza más tarde con (5.4.5). Como se ha ilustrado anteriormente, esta complejidad se puede evitar replanteando cuidadosamente el problema sin la fuente, y expresando w en términos de variables eléctricas (Q aquí) que no varían con la posición (s aquí).

La potencia del método de energía (5.4.1) es mucho más evidente al calcular la fuerza\(\overline{\mathrm{f}}\) necesaria para separar lateralmente dos placas de condensador, como se ilustra en la Figura 5.4.1 (a). Para utilizar directamente la ley de fuerza Lorentz requeriría el conocimiento de los componentes laterales de los\(\overline{\mathrm{E}}\) responsables de las fuerzas laterales, pero no se determinan fácilmente. Dado que los derivados de energía a menudo se pueden calcular con precisión y facilidad (siempre que los campos de franjas sean relativamente pequeños), ese es a menudo el método preferido para calcular las fuerzas eléctricas y magnéticas.

Figura\(\PageIndex{1}\): Placas de capacitores y dieléctricos separados lateralmente.

La ecuación fuerza/energía (5.4.1) se puede expresar en términos del área A = WL del condensador. Debido a que L disminuye a medida que z aumenta, el signo de la derivada con respecto al solapamiento de placa L es negativo, y la fuerza ejercida sobre las placas por el ambiente es:

\[\mathrm{f}_{\mathrm{be}}=\mathrm{dw} / \mathrm{dz}=-\mathrm{d}\left(\mathrm{Q}^{2} \mathrm{s} / 2 \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{WL}\right) / \mathrm{d} \mathrm{L}=\mathrm{Q}^{2} \mathrm{s} / 2 \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{WL}^{2} \ [\mathrm{N}]\]

donde dz = dL y w _e = Q ² s/2wL. De nuevo asumimos que las placas estaban aisladas en el espacio por lo que Q era constante, pero la misma fuerza resulta cuando las placas están unidas a una batería; en ambos casos las fuerzas de Lorentz surgen de las mismas cargas por lo que las dos fuerzas deben ser idénticas.

Para fines de ilustración, resolvamos la ecuación fuerza/energía (5.4.1) para el mismo problema de la Figura 5.4.1 de la manera más difícil al incluir el aumento en la energía de la batería a medida que aumenta z. El trabajo incremental f _be dz involucrado en separar las placas a una distancia dz es:

\[\mathrm{f}_{\mathrm{be}}=\mathrm{dw}_{\mathrm{T}} / \mathrm{d} \mathrm{z}=-\mathrm{d}\left(\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{WLV}^{2} / 2 \mathrm{s}\right) / \mathrm{d} \mathrm{L}-\mathrm{VdQ} / \mathrm{d} \mathrm{z}\]

donde w _T es la energía total y los dos términos en el lado derecho de (5.4.5) reflejan los cambios de energía en el condensador y la batería respectivamente. El primer signo negativo de entrada (5.4.5) surge porque la distancia de solapamiento L disminuye a medida que z aumenta, y el segundo signo negativo surge porque la energía de la batería aumenta a medida que Q disminuye.

Ya que solo L y Q varían con L, donde Q = CV = ε _o WLv/s, (5.4.5) se convierte en:

\[ \mathrm{f}_{\mathrm{be}}=-\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{WV}^{2} / 2 \mathrm{s}+\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{WV}^{2} / \mathrm{s}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{WV}^{2} / 2 \mathrm{s} \ [\mathrm N]\]

donde el signo del segundo término (ε _o WV ² /s) se invierte porque Q disminuye a medida que z aumenta. Este resultado al incluir la batería es el mismo que (5.4.4) sin la batería, lo que se puede ver usando V = Q/C y C = ε _o WL/s:

\[\mathrm{f}_{\mathrm{be}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{WV}^{2} / 2 \mathrm{s}=\mathrm{Q}^{2} \mathrm{s} / 2 \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{WL}^{2} \ [\mathrm N]\]

_{Si el espacio entre y alrededor de las placas conductoras se llenara con un fluido que tuviera ε > ε o, entonces para V fija tanto la energía eléctrica almacenada w e como dw e/dz, junto con la fuerza f be, obviamente se incrementarían en un factor de ε/ε o así} que en este caso la fuerza lateral f _sería igual εWV ² /2s.

Obsérvese que se requiere aproximadamente la misma fuerza f _be para separar lateralmente dos placas de condensadores, una de las cuales está recubierta con un dieléctrico que tenga permitividad ε, como se ilustra en la Figura 5.4.1 (b), debido a que la ecuación fuerza/energía (5.4.4) no cambia en gran medida excepto que ε _o → ε:

\[\mathrm{f}_{\mathrm{be}}=\mathrm{dw} / \mathrm{d} \mathrm{z}=-\mathrm{d}\left(\mathrm{Q}^{2} \mathrm{s} / 2 \varepsilon \mathrm{WL}\right) / \mathrm{d} \mathrm{L}=\mathrm{Q}^{2} \mathrm{s} / 2 \varepsilon \mathrm{WL}^{2} \ [\mathrm{N}]\]