5.5: Presión eléctrica y magnética

Presiones electromagnéticas que actúan sobre conductores

Las fuerzas sobre los materiales se pueden calcular de varias maneras diferentes, todas las cuales se pueden derivar usando las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz. El método de presión para calcular las fuerzas que surgen de campos estáticos es útil porque expresa resultados previos de manera fácil de evaluar y recordar, y que tienen importancia física. El método simplemente señala que la densidad de fuerza electromagnética (presión) que actúa sobre la interfaz entre dos materiales es igual a la diferencia en las densidades de energía electromagnética en los dos lados de la interfaz. Tanto la densidad energética [J m ^-3] como la presión [N m ^-2] tienen unidades idénticas porque [J] = [N m].

Por ejemplo, tanto la ley de fuerza de Lorentz como el método de energía producen la misma expresión, (5.2.4) y (5.4.3) respectivamente, para la presión eléctrica P _e debido a un campo eléctrico estático E que empuja sobre un conductor:

\[P_{e}=-\varepsilon_{0} E^{2} / 2 \ \left[N m^{-2}\right] \qquad\qquad\qquad \text{(electric pressure on conductors) }\]

La ley de fuerza de Lorentz produce una expresión similar (5.2.13) para la presión magnética que empuja sobre un conductor:

\[\mathrm{P}_{\mathrm{m}}=\mu_{\mathrm{o}} \mathrm{H}^{2} / 2 \ \left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}\right] \qquad\qquad\qquad \text { (magnetic pressure on conductors) }\]

Por lo tanto, las fuerzas del motor y del actuador están limitadas principalmente por la capacidad de los sistemas de materiales para sostener grandes campos estáticos sin descomponerse de alguna manera. Debido a que los sistemas magnéticos grandes pueden sostener densidades de energía más grandes que los sistemas comparables basados en campos eléctricos, esencialmente todos los motores, generadores y actuadores grandes son magnéticos. Solo para los dispositivos con espacios del orden de una micra o menos es la intensidad del campo de ruptura eléctrica suficientemente alta para que los motores electrostáticos y magnéticos compitan de manera más uniforme con respecto a la densidad de potencia, como se discute en la Sección 6.2.5.

Presiones electromagnéticas que actúan sobre medios permeables y dieléctricos

La polarización Kelvin y las densidades de fuerza de magnetización, (5.3.7) y (5.3.13) respectivamente, también se pueden expresar en términos de densidades de energía y presiones. Primero recordamos eso\( \overline{\mathrm{D}}=\varepsilon \overline{\mathrm{E}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{E}}+\overline{\mathrm{P}}\), entonces\(\overline{\mathrm{P}}=\left(\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{o}}\right) \overline{\mathrm{E}} \). Entonces se deduce de (5.3.7) que la densidad de fuerza de polarización Kelvin es:

\[\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{p}}=\overline{\mathrm{P}} \bullet \nabla \overline{\mathrm{E}}=\left(\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{o}}\right) \overline{\mathrm{E}} \bullet \nabla \overline{\mathrm{E}} \ \left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-3}\right]\]

El operador especial [•] se define en (5.3.6) y se explica en (5.5.4). El componente x de densidad de fuerza para un campo eléctrico libre de rizo\(\overline{\mathrm{E}} \) es:

\ [\ begin {align}
\ mathrm {F} _ {\ mathrm {px}} &=\ overline {\ mathrm {P}}\ bullet\ left (\ nabla\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {x}}\ derecha) =\ izquierda (\ varepsilon-\ varepsilon_ {\ mathrm {o}}\ derecha)\ overline\ mathrm {E}}\ bullet\ nabla\ mathrm {E} _ {\ mathrm {x}} =\ left (\ varepsilon-\ varepsilon_ {\ mathrm {o}}\ derecha)\ izquierda (\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {x}}\ parcial/\ parcial\ mathrm {x} +\ mathrm {E} _ {\ mathrm {y}}\ parcial/\ parcial\ mathrm {y} +\ mathrm {E} _ {\ mathrm {z}}\ parcial/\ parcial\ mathrm {z}\ derecha)\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {x}}\\
&= izquierda (\ varepsilon-\ varepsilon_ {\ mathrm {O}}\ derecha)\ izquierda (\ mathrm {E} _ {\ mathrm {x}}\ parcial\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {x}}/\ parcial\ mathrm {x} +\ mathrm {E} _ {\ mathrm {y}}\ parcial\ mathrm {E} _ {\ mathrm {y}}/\ parcial\ mathrm {x} +\ mathrm {E} _ {\ mathrm {z}}\ parcial\ mathrm {E} _ {\ mathrm z {}}/\ parcial\ mathrm {x}\ derecha)\\
&=\ izquierda (\ varepsilon-\ varepsilon_ {\ mathrm {O}}\ derecha)\ izquierda (\ mathrm {E} _ {\ mathrm {x}}\ parcial\ mathrm {E} _ {\ mathrm {x}} ^ {2}/\ parcial\ mathrm {x} +\ mathrm {E} _ {\ mathrm {y}}\ parcial\ mathrm {E} _ {\ mathrm {y}} ^ {2}/\ parcial\ mathrm {x} +\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {z}}\ parcial\ mathrm {E} _\ mathrm {z}} ^ {2}/\ parcial\ mathrm {x}\ derecha)/2=\ izquierda (\ varepsilon-\ varepsilon_ {\ mathrm {o}}\ derecha)\ izquierda (\ parcial|\ overline {\ mathrm {E}} |^ {2}/\ parcial\ mathrm {x}\ derecha)/2
\ end {align}\]

En la obtención (5.5.5) hemos utilizado (5.3.8) para un campo eléctrico libre de rizo, para el cual E _{x /y} = E y _{/x y E x} /z = E _z /x.

Ecuaciones similares a (5.5.6) se pueden derivar para los componentes y y z de la densidad de fuerza, que luego agregan:

\[\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{p}}=\left(\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{o}}\right) \nabla|\overline{\mathrm{E}}|^{2} / 2 \ \left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-3}\right] \qquad \qquad \qquad(\text {Kelvin polarization force density})\]

Una derivación similar se aplica a la densidad de fuerza de magnetización Kelvin\( \overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{m}}\). Comenzamos recordando\(\overline{\mathrm{B}}=\mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{M}} \bullet \nabla \overline{\mathrm{H}} \), así\( \overline{\mathrm{M}}=\left[\left(\mu / \mu_{\mathrm{o}}\right)-1\right] \overline{\mathrm{H}}\). Entonces se deduce de (5.3.13) que la densidad de fuerza de magnetización Kelvin es:

\[\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{m}}=\mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{M}} \bullet \nabla \overline{\mathrm{H}}=\left(\mu-\mu_{\mathrm{o}}\right) \overline{\mathrm{H}} \bullet \nabla \overline{\mathrm{H}} \ \left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-3}\right]\]

Repitiendo los pasos de (5.5.4—7) produce para campos magnéticos libres de rizado el resultado paralelo:

\[\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{m}}=\left(\mu-\mu_{\mathrm{o}}\right) \nabla|\overline{\mathrm{H}}|^{2} / 2 \ \left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-3}\right] \qquad\qquad\qquad(\text {Kelvin magnetization force density})\]

Tenga en cuenta que estas expresiones de densidad de fuerza dependen únicamente de las magnitudes de campo\(|\overline{\mathrm{E}}| \) y\(|\overline{\mathrm{H}}| \), no de las direcciones de campo.

Dos ejemplos tratados en el Capítulo 6 usando métodos energéticos sugieren la utilidad de ecuaciones de presión simples. La Figura 6.2.4 muestra un condensador de placa paralela con una placa dieléctrica que se ajusta cómodamente entre las placas pero que solo se inserta parcialmente en la dirección z una distancia D que es mucho menor que la longitud L tanto de la placa como de las placas del condensador. El campo eléctrico entre las placas es\(\overline{\mathrm{E}} \), tanto dentro como fuera de la losa dieléctrica. La fuerza total sobre la losa dieléctrica es la integral de la densidad de fuerza de polarización Kelvin (5.5.7) sobre el volumen V de la losa, donde V = LA y A es el área de la cara final de la losa. Encontramos de (5.5.7) que\(\overline{\mathrm{F}}_{\mathrm{p}} \) está en la\(\hat{z} \) dirección y es distinto de cero solo cerca del final de las placas del condensador donde z = 0:

\[\mathrm{f}_{\mathrm{z}}=\mathrm{A} \int_{0}^{\mathrm{D}} \mathrm{F}_{\mathrm{pz}} \mathrm{d} \mathrm{z}=\mathrm{A}\left[\left(\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{o}}\right) / 2\right] \int_{0}^{\mathrm{D}}\left(\mathrm{d}|\overline{\mathrm{E}}|^{2} / \mathrm{d} \mathrm{z}\right) \mathrm{d} \mathrm{z}=\mathrm{A}\left(\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{o}}\right)|\overline{\mathrm{E}}|^{2} / 2 \ [\mathrm{N}]\]

La integral se evalúa entre el límite z = 0 donde E 0 fuera de las placas del condensador, y el valor máximo z = D donde está el campo eléctrico entre las placas\(\overline{\mathrm{E}} \). Así, el método de presión produce la fuerza total f _z sobre la losa dieléctrica; es el área A del extremo de la losa, multiplicada por la presión eléctrica\( \left(\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{o}}\right)|\overline{\mathrm{E}}|^{2} / 2 \ \left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}\right]\) en el extremo de la losa que está tirando de la losa más entre las placas. Esta presión es cero en el otro extremo de la losa porque\( \overline{\mathrm{E}} \cong 0\) ahí. Esta presión es la misma que se encontrará en (6.2.21) utilizando métodos energéticos.

El segundo ejemplo se ilustra en la Figura 6.4.1, donde un trozo de hierro cilíndrico ajustado del área A ha sido arrastrado una distancia D hacia una bobina solenoidal que produce un campo magnético axial H. Como en el caso de la losa dieléctrica, un extremo de la barra sobresale lo suficientemente lejos de la bobina que H en ese final es aproximadamente cero. La fuerza que tira de la babosa se encuentra fácilmente en (5.5.9):

\[\mathrm{f}_{\mathrm{z}}=\mathrm{A} \int_{0}^{\mathrm{D}} \mathrm{F}_{\mathrm{mz}} \mathrm{d} \mathrm{z}=\mathrm{A}\left[\left(\mu-\mu_{\mathrm{o}}\right) / 2\right] \int_{0}^{\mathrm{D}}\left(\mathrm{d}|\overline{\mathrm{H}}|^{2} / \mathrm{d} \mathrm{z}\right) \mathrm{d} \mathrm{z}=\mathrm{A}\left(\mu-\mu_{\mathrm{o}}\right)|\overline{\mathrm{H}}|^{2} / 2 \ [\mathrm{N}]\]

Esto es más exacto que la respuesta encontrada en (6.4.10), donde se omitió el término μ _o en (6.4.10) cuando se descuidó la energía almacenada en el aire.

Para resumir, la presión electromagnética estática [N m ^-2] que actúa sobre una interfaz material ya sea con espacio libre o líquidos o gases móviles es la diferencia entre las dos densidades de energía electromagnética [J m ^-3] a cada lado de esa interfaz, siempre y cuando la\(\overline{\mathrm{E}}\) y\(\overline{\mathrm{H}}\) son libres de rizo. En el caso de los medios dieléctricos o magnéticos, la presión sobre el material se dirige alejándose de la mayor densidad de energía. En el caso de los conductores, los campos magnéticos externos presionan sobre ellos mientras que los campos eléctricos tiran; la densidad de energía dentro del conductor es cero en ambos casos porque\(\overline{\mathrm{E}}\) y se presume que allí\(\overline{\mathrm{H}}\) son cero.

Tenga en cuenta que el método de presión para calcular las fuerzas en las interfaces es numéricamente correcto incluso cuando el verdadero lugar físico de la fuerza puede estar en otra parte. Por ejemplo, las fuerzas de polarización Kelvin para una losa dieléctrica que se introduce en un condensador se concentran en el borde de las placas del condensador en z = 0 en la Figura 6.2.4, lo que es físicamente correcto, mientras que el método de presión implica incorrectamente que la fuerza sobre la losa se concentra en su extremo entre la placa donde z = D. El método de energía no aborda este problema.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

¿A qué radio r de una línea de alta tensión de 1 MV la fuerza eléctrica que actúa sobre una partícula de polvo que tiene ε = 10ε _o excede la fuerza gravitacional si su densidad ρ es de 1 gramo/cm ³? Supongamos que el campo eléctrico alrededor de la línea es el mismo que entre cilindros concéntricos que tienen radios a = 1 cm y b = 10 m.

Solución

La densidad de fuerza de polarización Kelvin (5.5.7) puede integrarse sobre el volumen v de la partícula y equipararse a la fuerza gravitacional f _g = ρvg = ~10 ^-3 v10 [N]. (5.5.7) produce la fuerza Kelvin total:

\(\overline{\mathrm{f}}_{\mathrm{K}}=\mathrm{v}\left(\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{o}}\right) \nabla|\overline{\mathrm{E}}|^{2} / 2\)

donde

\( \overline{\mathrm{E}}(\mathrm{r})=\hat{\mathrm{r}} \mathrm{V} /[\mathrm{r} \ln (\mathrm{b} / \mathrm{a})][\mathrm{V}\left.\mathrm{m}^{-1}\right]\).

\(\nabla|\overline{\mathrm{E}}|^{2}=[\mathrm{V} / \ln (\mathrm{b} / \mathrm{a})]^{2} \nabla \mathrm{r}^{-2}=-2 \hat{\mathrm{r}}[\mathrm{V} / \ln (\mathrm{b} / \mathrm{a})]^{2} \mathrm{r}^{-3}\),

donde el gradiente aquí,\(\nabla=\hat{\mathrm{r}}\partial / \partial \mathrm{r}\), se computó usando coordenadas cilíndricas (ver Apéndice C). Así\( \mathrm{f}_{\mathrm{g}}=\left|\overline{\mathrm{f}}_{\mathrm{K}}\right|\) se vuelve\(10^{-2} \mathrm{v}=\mathrm{v} 9 \varepsilon_{0}[\mathrm{V} / \mathrm{ln}(\mathrm{b} / \mathrm{a})]^{2} \mathrm{r}^{-3}\)\(\mathrm{r}=\left\{900 \varepsilon_{\mathrm{o}}[\mathrm{V} / \ln (\mathrm{b} / \mathrm{a})]^{2}\right\}^{1 / 3}=\left\{900 \times 8.85 \times 10^{-}\right.\left.^{12}\left[10^{6} / \ln (1000)\right]^{2}\right\}^{1 / 3}=5.5 \text { meters }\), entonces, independiente del tamaño de la partícula. Así, las líneas de alto voltaje hacen excelentes captadores de polvo para partículas dieléctricas.