5.6: Fuerzas Fotónicas

Las fuerzas fotónicas surgen siempre que las ondas electromagnéticas son absorbidas o reflejadas por los objetos, y se pueden encontrar usando paradigmas de onda o fotones. Sección 5.2.2 derivó la presión magnética\(\overline{\mathrm{P}}_{\mathrm{m}}\) (5.2.13) aplicada por un campo magnético superficial H _s (t) que es paralelo a un conductor plano perfecto en el plano x-y:

\[\overline{\mathrm{P}}_{\mathrm{m}}=\hat{z} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{H}_{\mathrm{s}}^{2} / 2 \ \left[\mathrm{Nm}^{-2}\right] \qquad \qquad \qquad \text { (magnetic pressure on perfect conductor) } \]

Así, esta presión magnética instantánea perpendicular a la superficie del conductor es igual a la densidad de energía magnética adyacente ([N m ^-2] = [J m ^-3]).

En el estado estacionario sinusoidal la presión promedio de tiempo es la mitad del valor instantáneo pico dado por (5.6.1), donde H _s (t) = H _s cos ωt. Esta presión promedio sobre un conductor perfectamente reflectante también se puede expresar en términos del vector Poynting promedio en el tiempo\( \langle\overline{\mathrm{S}}(\mathrm{t})\rangle\) de una onda incidente caracterizada por H ₊ cos ωt:

\[ \left\langle\overline{\mathrm{P}}_{\mathrm{m}}(\mathrm{t})\right\rangle=\hat{z} \mu_{\mathrm{o}}\left\langle\mathrm{H}_{\mathrm{s}}^{2}(\mathrm{t})\right\rangle / 2=2\langle\overline{\mathrm{S}}(\mathrm{t})\rangle / \mathrm{c} \quad\left[\mathrm{Nm}^{-2}\right]\]

donde\( \mathrm{H}_{\mathrm{s}}=2 \mathrm{H}_{+}\) y\( \langle\mathrm{S}(\mathrm{t})\rangle=\eta_{0} \mathrm{H}_{+}^{2} / 2\); la impedancia del espacio libre\(\eta_{\mathrm{o}}=\mu_{\mathrm{o}} / \mathrm{c}\).

Ahora es fácil\(\langle\mathrm{S}(\mathrm{t})\rangle \) relacionarse con el flujo de impulso de fotones, que también produce presión. Recordamos ¹⁷ que:

\[ \text {photon momentum } \mathrm{M}=\dfrac{\mathrm{hf}}{\mathrm{c}} \quad\left[\mathrm{Nm} \mathrm{s}^{-1}\right]\]

El impulso transferido a un espejo tras la reflexión perfecta de un solo fotón en incidencia normal es por lo tanto\(2hf/c\).

Recordamos de la mecánica que la fuerza f requerida para cambiar el momentum mv es:

\[f=\dfrac{d(m v)}{d t} \ [\mathrm N]\]

de manera que la presión total de radiación sobre un espejo perfecto reflejando directamente hacia atrás n fotones [s ^-1 m ^-2] es:

consistente con (5.6.2). Así, hemos demostrado que tanto el método de fuerza Lorentz como el método de fuerza fotónica producen la misma presión sobre espejos perfectamente reflectantes; P _m = P ^r. El factor de dos en (5.6.5) surge porque el impulso del fotón no se pone a cero sino que se invierte por un espejo. Si estos fotones fueran absorbidos en lugar de reflejados, la tasa de transferencia de impulso al absorbedor se reduciría a la mitad. En general, si las densidades de potencia incidente y normalmente reflejadas son\(\left\langle\mathrm{S}_{1}\right\rangle\) y\(\left\langle\mathrm{S}_{2}\right\rangle\), respectivamente, entonces la presión de radiación promedio en el espejo es:

\[\langle P\rangle=\dfrac{\left\langle S_{1}+S_{2}\right\rangle }{c}\]

Si los fotones son incidentes en ángulo, la transferencia de impulso se reduce por el coseno del ángulo de incidencia y reflexión. Y si el espejo es parcialmente transparente, la transferencia de impulso se reduce en esa fracción del impulso fotónico que pasa inalterada.

¹⁷ Un argumento crudo de plausibilidad para (5.6.3) es el siguiente. La energía de un fotón es hf [J], la mitad es magnética y la mitad eléctrica. _{Hemos visto en (5.2.1) y (5.2.13) que solo los campos magnéticos contribuyen a la fuerza de Lorentz sobre un conductor reflectante normal para el cual tanto E como H = 0, por lo que podríamos asociar nocionalmente hf/2 con la “energía cinética de un fotón”, donde la energía cinética está vinculada al impulso.} Si los fotones tuvieran masa m, esta energía cinética nocional hf/2 equivaldría a mc ² /2, y el impulso asociado nocional mc de un fotón equivaldría entonces a hf/c, su valor real.

Considera el ejemplo sencillo de una vela solar reflectante soplada por la presión de radiación a través del sistema solar, navegando de planeta en planeta. En la tierra la intensidad de la radiación solar es de ~1400 W/m2, por lo que (5.6.6) arroja, por ejemplo, la fuerza total f sobre una vela de área proyectada A interceptando un kilómetro cuadrado de radiación:

\[\mathrm{f}=\mathrm{A}\langle\mathrm{P}\rangle=\mathrm{A} 2\langle\mathrm{S}(\mathrm{t})\rangle / \mathrm{c} \leq 10^{6} \times 2 \times 1400 /\left(3 \times 10^{8}\right) \cong 9 \ [\mathrm{N}]\]

Una vela de este tamaño de un micrón de espesor y que tenga la densidad del agua tendría una masa m de 1000 kg. Dado que la velocidad de la vela v = at = (f/m) t, donde a es aceleración y t es tiempo, se deduce que después de un año la velocidad acumulada de una vela que enfrenta tal presión constante en vacío podría ser tanto como (9/1000) 3×10 ⁷ 3×10 ⁵ ms ^-1 = c/1000. Por supuesto, la presión del fotón solar disminuye a medida que el cuadrado de la distancia solar, y la gravedad solar también actuaría sobre tales velas.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

¿Qué fuerza F [N] se ejerce sobre una linterna de 3 vatios (λ 0.5 micrones) como resultado de los fotones que salen?

Solución

E = hf y potencia P = Nhf = 3 watts, donde N es el número de fotones por segundo. La fuerza F = NHF/c, donde hf/c es el momento de un solo fotón, y N = 3/hf aquí. Entonces F = 3/c = 10 ^-8 Newtons. Un Newton se aproxima a la fuerza gravitacional en el paquete de un cuarto de libra de newtons de higo. Esta fuerza empuja la linterna en dirección opuesta a la del haz de luz.