6.4: Actuadores y motores magnéticos lineales

Actuadores Solenoides

Los actuadores compactos que giran pestillos o interruptores, incrementan un posicionador o impactan un objetivo a menudo se implementan usando solenoides. Los actuadores de solenoide suelen ser bobinas cilíndricas con un núcleo cilíndrico de alta permeabilidad dispuesto de manera deslizante que se inserta parcialmente en reposo, y se introduce en el solenoide cuando fluye la corriente, como se ilustra en la Figura 6.4.1. Un resorte (no ilustrado) a menudo sostiene el núcleo cerca de su posición de reposo parcialmente insertada.

Figura\(\PageIndex{1}\): Actuador de solenoide y campos (B y H se trazan en diferentes escalas).

Si asumimos que el diámetro del solenoide es pequeño en comparación con su longitud, entonces los campos de franjas en los extremos de la bobina y el núcleo pueden descuidarse en relación con la energía de campo almacenada en otro lugar a lo largo del solenoide. Si integramos\(\overline{\mathrm{H}}\) a lo largo del contorno _C1 (ver figura) obtenemos cero de la ley de Ampere porque ninguna corriente neta fluye a través de _C1 y\(\partial \overline{\mathrm{D}} / \partial \mathrm{t} \cong 0\):

\[\oint_{C} \overline{H} \bullet {d} \overline{s}=\oiint_{A}(\overline{J}+\partial \overline{D} / \partial t) \bullet \hat{n} d a=0\]

Esto implica\(\overline{\mathrm{H}} \cong 0\) fuera del solenoide a menos que _Hz sea aproximadamente uniforme en el exterior, una posibilidad que se desfavorece energéticamente en relación con H que es puramente interna a la bobina. La evaluación directa del\(\overline{\mathrm{H}}\) uso de la ley Biot-Savart (1.4.6) también rinde\(\overline{\mathrm{H}} \cong 0\) al exterior. Si integramos\(\overline{\mathrm{H}}\) a lo largo del contorno C ₂, que pasa a lo largo del eje del solenoide por unidad de distancia, obtenemos:

\[\oint_{\mathrm{C} 2} \overline{\mathrm{H}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}=\mathrm{N}_{\mathrm{o}} \mathrm{I}=-\mathrm{H}_{\mathrm{z}}\]

donde N _o se define como el número de vueltas de cable por metro de longitud del solenoide. Obtenemos la misma respuesta (6.4.2) independientemente de la permeabilidad a lo largo del contorno C ₂, siempre que no estemos cerca de los extremos del solenoide o de su núcleo móvil. Por ejemplo, (6.4.2) también se aplica al contorno C ₃, mientras que la integral de\(\overline{\mathrm{H}}\) alrededor de C ₄ es cero porque la corriente rodeada ahí es cero.

Dado que (6.4.2) requiere que _Hz a lo largo del eje del solenoide sea aproximadamente constante, _Bz debe ser un factor de μ/μ _o mayor en el núcleo permeable que en las porciones llenas de aire del solenoide. Debido\(\overline{\mathrm{B}}_{\perp}\) a que las condiciones límite requieren ser continuas en el límite núcleo-aire,\(\overline{\mathrm{H}}_{\perp}\) deben ser discontinuas allí de manera que\(\mu \mathrm{H}_{\mu}=\mu_{\mathrm{o}} \mathrm{H}_{\mathrm{o}}\), donde H _μ y H _o son los valores axiales de H en el núcleo y el aire, respectivamente. Esto parece entrar en conflicto con (6.4.2), lo que sugiere que\(\overline{\mathrm{H}}\) dentro del solenoide es independiente de μ, pero esto se aplica solo si descuidamos los campos de franjas en los extremos del solenoide o cerca de los límites donde μ cambia. Así, el H axial varía aproximadamente como se sugiere en la Figura 6.4.1 (b): presenta una discontinuidad en el límite que se relaja hacia la constante H = N _o I alejándose del límite en una distancia comparable al diámetro del solenoide. Dos líneas de campo representativas en la Figura 6.4.1 (a) sugieren cómo\(\overline{\mathrm{B}}\) diverge fuertemente en el extremo del núcleo magnético dentro del solenoide, mientras que otras líneas de campo permanecen aproximadamente constantes hasta que divergen en el extremo derecho del solenoide. La región de transición entre los dos valores de _Bz al final del solenoide ocurre sobre una distancia aproximadamente igual al diámetro del solenoide, como se sugiere en la Figura 6.4.1 (b). El campo magnético se alinea\(\overline{\mathrm{B}}\) y se\(\overline{\mathrm{H}}\) “repelen” entre sí a lo largo del extremo sobresaliente del núcleo de alta permeabilidad en el lado izquierdo de la figura, resultando en una disminución casi lineal en el campo magnético dentro del núcleo allí; en el extremo izquierdo del núcleo hay nuevamente una discontinuidad en |H z | porque\(\overline{\mathrm{B}}_{\perp}\) debe ser continuo.

Habiendo aproximado la distribución de campo, ahora podemos calcular energías y fuerzas usando la expresión para densidad de energía magnética, W _m = μH ² /2 [J m ^-3]. Excepto en las regiones despreciables del campo marginal en los extremos del solenoide y en los extremos de su núcleo, |H| N _o I (6.4.2) y μH ² >> μ _o H ², así que para simplificar la solución descuidamos la energía almacenada en el aire mientras calculamos la fuerza magnética f _z tirando del núcleo en la dirección +z:

\[\mathrm{f}_{\mathrm{z}}=-\mathrm{d} \mathrm{w}_{\mathrm{T}} / \mathrm{d} \mathrm{z} \ [\mathrm N ]\]

La energía en el núcleo se limita en gran medida a la longitud z dentro del solenoide, que tiene un área transversal A [m ²]. La energía magnética total w _m se aproxima así:

\[\mathrm{w}_{\mathrm{m}} \cong \operatorname{Az} \mu \mathrm{H}^{2} / 2 \ [\mathrm{J}]\]

Si asumimos w _T = w _m y diferenciamos (6.4.4) asumiendo que H es independiente de z, encontramos que la fuerza magnética expulsa el núcleo del solenoide, lo contrario de la verdad. Para obtener la respuesta correcta debemos diferenciar la energía total w _T en el sistema, que incluye cualquier energía en la fuente de alimentación que suministra la corriente I. Para evitar considerar una fuente de alimentación podemos asumir alternativamente que la bobina está cortocircuitada y llevando la misma I que antes. Dado que la fuerza instantánea sobre el núcleo depende de la I instantánea y es la misma ya sea que esté cortocircuitada o conectada a una fuente de alimentación, podemos establecer:

\[\mathrm{v}=0=\mathrm{d} \Lambda / \mathrm{dt}\]

donde:

\[\Lambda \cong \mathrm{N} \psi_{\mathrm{m}}=\mathrm{N} \iint_{\mathrm{A}} \mu \overline{\mathrm{H}}_{\mu} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{a}}=\mathrm{N}_{\mathrm{o}} \mathrm{z} \mu \mathrm{H}_{\mu} \mathrm{A}\]

H _μ es el valor de H dentro del núcleo (μ) y N _o z es el número de vueltas de alambre que circunda el núcleo, donde N _o es el número de vueltas por metro de longitud de bobina. Pero H _μ = J _s [A m ^-1] = N _o I, entonces:

\[\Lambda=\mathrm{N}_{\mathrm{o}}^{2} \mathrm{Iz} \mu \mathrm{A}\]

\[\mathrm{I}=\Lambda /\left(\mathrm{N}_{\mathrm{o}}^{2} \mathrm{z} \mu \mathrm{A}\right)\]

Ahora podemos calcular w _T usando solo w _m porque hemos reemplazado la fuente de alimentación por un cortocircuito que no almacena energía:

\[\mathrm{w}_{\mathrm{T}} \cong \mu \mathrm{H}_{\mu}^{2} \mathrm{Az} / 2=\mu\left(\mathrm{N}_{\mathrm{o}} \mathrm{I}\right)^{2} \mathrm{Az} / 2=\mu\left(\Lambda / \mu \mathrm{N}_{\mathrm{o}} \mathrm{Az}\right)^{2} \mathrm{Az} / 2=\Lambda^{2} /\left(\mu \mathrm{N}_{\mathrm{o}}^{2} \mathrm{Az} 2\right)\]

Entonces (6.4.9) y (6.4.6) ceden la fuerza que tira del núcleo hacia el solenoide:

\[\mathrm{f}_{\mathrm{z}}=-\frac{\mathrm{d} \mathrm{w}_{\mathrm{T}}}{\mathrm{d} \mathrm{z}}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mathrm{z}}\left[\frac{\Lambda^{2}}{\mu \mathrm{N}_{\mathrm{o}}^{2} 2 \mathrm{Az}}\right]=\frac{\left(\Lambda / \mathrm{N}_{\mathrm{o}} \mathrm{z}\right)^{2}}{2 \mathrm{A} \mu}=\frac{\mu \mathrm{H}_{\mu}^{2} \mathrm{A}}{2} \ [\mathrm{N}]\]

donde H _μ = H. Esta fuerza es exactamente el área A del extremo del núcleo multiplicado por la misma presión magnética μH ² /2 [Nm ^-2] que vimos en (6.3.25), pero esta vez el campo magnético está tirando del núcleo en la dirección de las líneas del campo magnético, mientras que antes del campo magnético estaba empujando perpendicular a las líneas de campo. Esta presión es igual a la densidad de energía magnética W _m, como antes. Aquí se podría hacer una ligera corrección por la influencia distinta de cero de μ _o y la pequeña presión asociada desde el lado del aire, pero las respuestas más exactas a este problema generalmente también requieren la consideración de los campos de franjas y el uso de herramientas informáticas.

Es interesante observar cómo la presión eléctrica y magnética [N/m ²] se aproxima a la densidad de energía [J m ^-3] almacenada en los campos, donde hemos descuidado las presiones aplicadas desde el lado de campo bajo del límite cuando ε >> ε _o o μ >> μ _o. Ahora hemos visto ejemplos donde\(\overline{\mathrm{E}}\) y\(\overline{\mathrm{H}}\) ambos empujan o tiran de límites desde el lado de campo alto (generalmente aire) de un límite, donde ambos\(\overline{\mathrm{E}}\) y\(\overline{\mathrm{H}}\) tiran en la dirección de sus líneas de campo, y empujan perpendicularmente a ellas.

Actuadores magnéticos MEMS

Una forma de interruptor MEMS magnético se ilustra en la Figura 6.4.2. Una corriente de control I ₂ desvía un haz que transporta corriente I ₁. Cuando la viga se tira hacia abajo hacia el sustrato, el interruptor (no mostrado) se cerrará, y cuando la viga sea repelida hacia arriba, el interruptor se abrirá. La ley de fuerza de Lorentz (1.2.1) establece que la fuerza magnética\(\overline{\mathrm{f}}\) sobre una carga q es\(q \overline{v} \times \mu_{o} \overline{H}\), y por lo tanto la densidad de fuerza por unidad de longitud\(\overline{\mathrm{F}}\) [N m ^-1] sobre una corriente\(\overline{\mathrm{I}}_{1}=\mathrm{Nq} \overline{\mathrm{v}}\) inducida por el campo magnético\(\overline{\mathrm{H}}_{12}\) en la posición 1 producida por I ₂ es:

\[\overline{\mathrm{F}}=\mathrm{Nq} \overline{\mathrm{v}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}_{12}=\overline{\mathrm{I}}_{1} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}_{12} \ \left[\mathrm{Nm}^{-1}\right]\]

N es el número de cargas móviles por metro de longitud del conductor, y suponemos que todas las fuerzas sobre estas cargas se transportan directamente al cuerpo del conductor.

Figura\(\PageIndex{2}\): Interruptor MEMS magnético.

Si la separación de placas d << W, entonces los campos de franjas se pueden descuidar y el campo magnético inducido por I ₂ que afecta a la corriente I ₁ es\(\overline{\mathrm{H}}_{12}\), que se puede encontrar a partir de la ley de Ampere (1.4.1) calculada para un contorno C dando vueltas I ₂ en sentido derecho:

\[\oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{H}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}} \cong \mathrm{H}_{12} 2 \mathrm{W}=\oiint_{\mathrm{A}} \overline{\mathrm{J}} \bullet \hat{n} \mathrm{d} \mathrm{a}=\mathrm{I}_{2}\]

Por lo tanto\(\overline{\mathrm{H}}_{12} \cong \hat{z} \mathrm{I}_{2} / 2 \mathrm{W}\). La presión ascendente en la viga superior encontrada desde (6.4.11) y (6.4.12) es entonces:

\[\overline{\mathrm{P}}=\overline{\mathrm{F}} / \mathrm{W} \cong \hat{x} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{I}_{\mathrm{l}} \mathrm{I}_{2} / 2 \mathrm{W}^{2} \ \left[\mathrm{Nm}^{-2}\right]\]

Si I ₁ = -I ₂ entonces el campo magnético entre las dos corrientes muy próximas es H _o ′ = I ₁ /W y (6.4.13) se convierte en\(\overline{\mathrm{p}}=\hat{x} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{H}_{\mathrm{o}}^{\prime 2} / 2\) [N m ^-2]; esta expresión para la presión magnética se deriva de manera diferente en (6.4.15).

Esta presión en la parte superior es hacia abajo si ambas corrientes fluyen en la misma dirección, hacia arriba si son opuestas, y cero si cualquiera es cero. Por lo tanto, este dispositivo puede realizar una variedad de funciones lógicas. Por ejemplo, si un interruptor está dispuesto de manera que sus contactos se cierran en estado “1” cuando el haz es forzado hacia arriba por ser positivo tanto I ₁ como _I2 (estas corrientes se definieron en la figura como que fluyen en direcciones opuestas), y no de otra manera, esta es una puerta “y”.

Una forma alternativa de derivar la presión magnética (6.4.13) es señalar que si las dos corrientes I ₁ y _I2 son antiparalelas, iguales y cercanas entre sí (d << W), entonces\(\overline{\mathrm{H}}=0\) fuera de los dos conductores y H _o 'se duplica en el hueco entre ellos así que WH _o' = I ₁. Es decir, si el contorno de integración C circunda ya sea corriente sola entonces (6.4.12) se convierte en:

\[\oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{H}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}} \cong \mathrm{H}_{\mathrm{o}}^{\prime} \mathrm{W}=\oiint_{\mathrm{A}} \overline{\mathrm{J}} \bullet \hat{n} \mathrm{d} \mathrm{a}=\mathrm{I}_{1}=\mathrm{I}_{2}\]

Pero no todos los electrones que comprenden estas corrientes ven el mismo campo magnético porque las corrientes más cercanas a las dos superficies conductoras más internas tamizan las corrientes externas, haciendo que el campo magnético se acerque a cero dentro de los conductores, como se sugiere en la Figura 6.4.3.

Figura\(\PageIndex{3}\): Distribución de corriente superficial y fuerza en un conductor.

Por lo tanto, el electrón móvil promedio ve un campo magnético H _o '/2, la mitad que en la superficie ²⁸. Así, la presión magnética total hacia arriba sobre el haz superior dada por (6.4.13) y (6.4.14) es:

\[\begin{align} \overline{\mathrm{P}} &=\overline{\mathrm{F}} / \mathrm{W}=\overline{\mathrm{I}}_{1} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{o}}^{\prime} / 2 \mathrm{W}=\hat{x}\left(\mathrm{H}_{\mathrm{o}}^{\prime} \mathrm{W}\right)\left(\mu_{\mathrm{o}} \mathrm{H}_{\mathrm{o}}^{\prime} / 2 \mathrm{W}\right) \\ &=\hat{x} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{H}_{\mathrm{o}}^{\prime 2} / 2 \ \left[\mathrm{Nm}^{-2}\right] \qquad\qquad\qquad \text{(magnetic pressure)} \nonumber\end{align}\]

donde H _o 'es la magnitud total del campo magnético entre los dos conductores, y no hay campo magnético en la parte superior del haz superior para presionar en la dirección opuesta. Esta presión magnética [N m ^-2] equivale a la densidad de energía magnética [J m ^-3] almacenada en el campo magnético adyacente al conductor (2.7.8).

²⁸ Una integral simple de la forma utilizada en (5.2.4) produce este mismo resultado para la presión.