7.1: Ondas TEM en estructuras

Introducción

Las líneas de transmisión generalmente transportan señales eléctricas y energía de punto a punto a lo largo de caminos arbitrarios con alta eficiencia, y también pueden servir como elementos de circuito. En la mayoría de las líneas de transmisión, los campos eléctrico y magnético apuntan puramente transversales a la dirección de propagación; tales ondas se denominan ondas electromagnéticas transversales o TEM, y tales líneas de transmisión se denominan líneas TEM. El carácter básico de las ondas TEM se discute en la Sección 7.1, los efectos de las uniones se introducen en la Sección 7.2, y los usos y análisis de las líneas TEM con uniones se tratan en la Sección 7.3. La sección 7.4 concluye discutiendo líneas TEM que terminan en ambos extremos para formar resonadores.

Las líneas de transmisión en los sistemas de comunicaciones suelen exhibir un comportamiento dependiente de la frecuencia, por lo que comúnmente se usa notación compleja. Tales líneas son el tema de este capítulo. Para las señales de banda ancha como las que se propagan en computadoras, la notación compleja puede ser incómoda y la física oscura. En este caso las señales suelen ser analizadas en el dominio del tiempo, como se introduce en la Sección 7.1.2 y se discute más a fondo en la Sección 8.1. Las líneas de transmisión no TEM se denominan comúnmente guías de onda; generalmente las ondas se propagan dentro de alguna envolvente conductora, como se discute en la Sección 9.3, aunque a veces se propagan parcialmente fuera de su estructura de guía en una guía de ondas “abierta” como una fibra óptica, como se describe en la Sección 12.2.

Ondas TEM entre placas conductoras paralelas

La onda plana uniforme sinusoidal de las ecuaciones (7.1.1) y (7.1.2) es consistente con la presencia de placas conductoras paralelas delgadas ortogonales al campo eléctrico\(\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\), como se ilustra en la Figura 7.1.1 (a) ³¹.

\[\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{\mathrm{x}} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz}) \ [\mathrm{V} / \mathrm{m}]\]

\[\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{E}_{\mathrm{o}}}{\eta_{\mathrm{o}}} \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz}) \ [\mathrm{A} / \mathrm{m}]\]

Aunque la consistencia perfecta requiere que las placas sean infinitas, hay consistencia aproximada siempre y cuando la separación de placas d sea pequeña en comparación con el ancho de placa W y los campos de flecos fuera de la estructura sean insignificantes. La onda más general\(\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{x} \mathrm{E}_{\mathrm{x}}(\mathrm{z}-\mathrm{ct})\), también\(\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{z} \times \overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) / \mathrm{\eta}_{\mathrm{o}}\) es consistente [ver (2.2.13), (2.2.18)], ya que cualquier forma de onda arbitraria E (z - ct) puede expresarse como la superposición de ondas sinusoidales en todas las frecuencias. En ambos casos se cumplen todas las condiciones límite de la Sección 2.6 porque\(\overline{\mathrm{E}}_{ / /}=\overline{\mathrm{H}}_{\perp}=0\) en los conductores. El voltaje entre dos placas v (z, t) para esta onda sinusoidal se puede encontrar integrando\(\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\) sobre la distancia d de la placa inferior, que asociamos aquí con el voltaje +v, a la placa superior:

³¹ Véase la Sección 2.3.1 para una introducción a ondas planas electromagnéticas sinusoidales uniformes.

\[\mathrm{v}(\mathrm{t}, \mathrm{z})=\hat{x} \bullet \overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) \mathrm{d}=\mathrm{E}_{0} \mathrm{d} \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz}) \ [\mathrm V]\]

Figura\(\PageIndex{1}\): Línea de transmisión TEM de placa paralela.

Aunque esta tensión calculada v (t, z) no depende de la trayectoria de integración que conecta las dos placas, siempre que esté a la constante z, sí depende de la z misma. Por lo tanto, puede haber dos voltajes diferentes entre el mismo par de placas en diferentes posiciones z. La ley de voltaje de Kirchoff dice que la suma de caídas de voltaje alrededor de un bucle es cero; esta ley se viola aquí porque tal bucle en el plano x-z rodea campos magnéticos variables en el tiempo,\(\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\), como se ilustra. Por el contrario, la suma de caídas de voltaje alrededor de un bucle confinado a la constante z es cero porque rodea no; por lo tanto, la tensión v (z, t), calculada integrando\(\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z})\) entre las dos placas, no depende de la trayectoria de integración a la constante z Por ejemplo, las integrales de los contornos\(\overline{E} \bullet d \overline{s}\) a lo largo de A y B en la Figura 7.1.1 (b) deben ser iguales porque la integral alrededor del bucle 1, 2, 4, 3, 1 es cero y las integrales de trayectoria dentro de los conductores perfectos ambos rinden cero.

Si los campos eléctrico y magnético son cero fuera de las dos placas y son uniformes entre ellas, entonces corrientes iguales y opuestas i (t, z) fluyen en las dos placas en la dirección ±z. La corriente superficial está determinada por la condición límite (2.6.17):\(\overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{s}}=\hat{n} \times \overline{\mathrm{H}}\) [A m ^-1]. Si las dos placas conductoras están espaciadas juntas en comparación con sus anchuras W para que d << W, entonces los campos de franjas en los bordes de las placas se pueden descuidar y la corriente total que fluye en las placas se puede encontrar a partir del campo magnético dado\(\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{y}\left(\mathrm{E}_{\mathrm{o}} / \eta_{\mathrm{o}}\right) \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz})\), y la forma integral de la ley de Ampere:

\[\int_{C} \overline{H} \bullet d \overline{s}=\int \int_{A}[\overline{J}+(\partial \overline{D} / \partial t)] \bullet \hat{n} d a\]

Si el contorno de integración C rodea la placa inferior y la superficie A en constante z en sentido horario (derecho) con respecto al eje +z como se ilustra en la Figura 7.1.1, entonces\(\overline{\mathrm{D}} \bullet \hat{n}=0\) y la corriente que fluye en la dirección +z en la placa inferior es simplemente:

\[\mathrm{i}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{W} \mathrm{J}_{\mathrm{sz}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{W} \mathrm{H}_{\mathrm{y}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\left(\mathrm{WE}_{\mathrm{o}} / \mathrm{\eta}_{\mathrm{o}}\right) \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz}) \ [\mathrm A]\]

Una corriente igual y opuesta fluye en la placa superior.

Tenga en cuenta que la corriente calculada no depende del contorno de integración C elegido siempre que C circule la placa a z constante. Además, la corriente que fluye hacia una sección de la placa conductora en z ₁ generalmente no es igual a la corriente que fluye hacia fuera en z ₂, aparentemente violando Kirchoff ley actual (la suma de corrientes que fluyen hacia un nodo es cero). Esta desigualdad existe porque cualquier sección de placas paralelas exhibe capacitancia que transporta una corriente de desplazamiento\(\partial \overline{\mathrm{D}} / \partial \mathrm{t}\) entre las dos placas; el lado derecho de la Ecuación (2.1.6) sugiere la naturaleza equivalente de la densidad de corriente de conducción\(\overline{\mathrm{J}}\) y la densidad de corriente de desplazamiento \(\partial \overline{\mathrm{D}} / \partial \mathrm{t}\).

Tal estructura de dos conductores que transporta ondas que son puramente transversales a la dirección de propagación, es decir, E _z = H _z = 0, se denomina línea de transmisión TEM porque está propagando ondas electromagnéticas transversales (ondas TEM). Tales líneas generalmente tienen una sección transversal física que es independiente de z. Esta línea de transmisión TEM particular se llama línea TEM de placa paralela.

Debido a que no hay restricciones en la estructura de tiempo de una onda plana, cualquier v (t) puede propagarse entre placas conductoras paralelas. La relación entre v (z, t) e i (z, t) para esta o cualquier otra onda de avance sinusoidal o no sinusoidal es la impedancia característica c Z _o de la estructura TEM:

\[\mathrm{v}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) / \mathrm{i}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\eta_{\mathrm{o}} \mathrm{d} / \mathrm{W}=\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}[\text { ohms }] \qquad\qquad\qquad(\text { characteristic impedance })\]

En el caso especial d = W, Z _o es igual a la impedancia característica\(\eta_{0}\) del espacio libre, 377 ohmios. Generalmente W >> d con el fin de minimizar los campos de flecos, rindiendo Z _o << 377.

Dado que las dos placas paralelas pueden ser perfectamente conductoras y sin pérdidas, la importancia física de Z _o ohmios puede no estar clara. Z _o se define como la relación entre el voltaje de línea y la corriente de línea solo para una onda directa, y no es cero porque las placas tienen inductancia L por metro asociada con los campos magnéticos dentro de la línea. El valor de Z _o también depende de la capacitancia C por metro de esta estructura. La sección 7.1.3 muestra (7.1.59) que Z _o = (L/C) ^0.5 para cualquier línea TEM sin pérdidas y (7.1.19) lo muestra para una línea de placa paralela. El producto del voltaje y la corriente v (z, t) i (z, t) representa la potencia P (z, t) que fluye más allá de cualquier punto z hacia el infinito; esta potencia no se está convirtiendo en calor por pérdidas resistivas, simplemente se está propagando sin reflejos.

Es fácil demostrar que la potencia P (z, t) transportada por esta onda viajera hacia adelante es la misma tanto si se calcula multiplicando v e i, o integrando el vector Poynting\(\overline{\mathrm{S}}=\overline{\mathrm{E}} \times \overline{\mathrm{H}}\) [W m ^-2] sobre el área transversal Wd de la línea TEM:

\[\mathrm{P}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{v}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) \mathrm{i}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=[\mathrm{E}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) \mathrm{d}][\mathrm{H}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) \mathrm{W}]=[\mathrm{E}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) \mathrm{H}(\mathrm{z}, \mathrm{t})] \mathrm{Wd}=\mathrm{S} \ \mathrm{Wd}\]

Las ecuaciones diferenciales que rigen v e i en las líneas TEM se derivan fácilmente de las leyes de Faraday y Ampere para los campos entre las placas de esta línea:

\[\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=-(\partial / \partial \mathrm{t}) \mu \overline{\mathrm{H}}=\hat{y}(\partial / \partial \mathrm{z}) \mathrm{E}_{\mathrm{x}}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) \]

\[\nabla \times \overline{\mathrm{H}}=(\partial / \partial \mathrm{t}) \varepsilon \overline{\mathrm{E}}=-\hat{x}(\partial / \partial \mathrm{z}) \mathrm{H}_{\mathrm{y}}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) \]

Debido a que todos menos un término en las expresiones curl son cero, estas dos ecuaciones son bastante simples. Al sustituir v = E _x d (7.1.3) e i = H _y W (7.1.5), (7.1.8) y (7.1.9) se convierten en:

\[\mathrm{dv} / \mathrm{dz}=-(\mu \mathrm{d} / \mathrm{W})(\mathrm{di} / \mathrm{dt})=-\mathrm{Ldi} / \mathrm{dt} \]

\[\mathrm{di} / \mathrm{dz}=-(\varepsilon \mathrm{W} / \mathrm{d})(\mathrm{dv} / \mathrm{dt})=-\mathrm{Cdv} / \mathrm{dt} \]

donde hemos utilizado las expresiones para inductancia por metro L [Hy m ^-1] y capacitancia por metro C [F m ^-1] de una línea TEM de placa paralela [ver (3.2.11) ³² y (3.1.10)]. Esta forma de las ecuaciones diferenciales en términos de L y C se aplica a cualquier línea TEM sin pérdidas, como se muestra en la Sección 7.1.3.

³² Nota: (3.2.11) da la inductancia total L para una longitud D de línea, donde el área A = Dd. La inductancia por unidad de longitud L = μD/W en ambos casos.

Estas dos ecuaciones diferenciales se pueden resolver para v eliminando i. La corriente i se puede eliminar diferenciando (7.1.10) con respecto a z, y (7.1.11) con respecto a t, introduciendo así d ² i/ (dt dz) en ambas expresiones permitiendo su sustitución. Es decir:

\[\mathrm{d}^{2} \mathrm{v} / \mathrm{dz}^{2}=-\mathrm{Ld}^{2} \mathrm{i} /(\mathrm{dt} \mathrm{dz})\]

\[\mathrm{d}^{2} \mathrm{i} /(\mathrm{dz} \mathrm{dt})=-\mathrm{Cd}^{2} \mathrm{v} / \mathrm{dt}^{2}\]

Combinando estas dos ecuaciones eliminando d ² i/ (dt dz) produce la ecuación de onda:

\[\mathrm{d}^{2} \mathrm{v} / \mathrm{dz}^{2}=\mathrm{LCd}^{2} \mathrm{v} / \mathrm{dt}^{2}=\mu \varepsilon \mathrm{d}^{2} \mathrm{v} / \mathrm{dt}^{2} \qquad \qquad \qquad \text { (wave equation) }\]

Las ecuaciones de onda relacionan la segunda derivada espacial con la segunda derivada temporal de la misma variable, por lo que la solución puede ser cualquier función arbitraria de un argumento que tenga la misma dependencia del espacio que del tiempo, excepto por un multiplicador constante. Es decir, una solución a (7.1.14) es:

\[\mathrm{v}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{v}_{+}(\mathrm{z}-\mathrm{ct})\]

donde v ₊ es una función arbitraria del argumento (z − ct) y se asocia con ondas que se propagan en la dirección +z a la velocidad c. Esto es directamente análogo a las ondas propagadoras caracterizadas en la Figura 2.2.1 y en la Ecuación (2.2.9). Demostración de que (7.1.15) satisface (7.1.14) para c = (με) ^-0.5 sigue la misma prueba prevista para (2.2.9) en (2.2.10—12).

La solución general a (7.1.14) es cualquier forma de onda arbitraria de la forma (7.1.15) más una forma de onda arbitraria independiente que se propaga en la dirección -z:

\[\mathrm{v}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{v}_{+}(\mathrm{z}-\mathrm{ct})+\mathrm{v}_{-}(\mathrm{z}+\mathrm{ct})\]

La expresión general para la corriente i (z, t) en una línea TEM se puede encontrar, por ejemplo, sustituyendo (7.1.16) en la ecuación diferencial (7.1.11) e integrando sobre z. así, usando la notación que v' (q) ≡ dv (q) /dq:

\[\mathrm{di} / \mathrm{dz}=-\mathrm{Cdv} / \mathrm{dt}=\mathrm{cC}\left[\mathrm{v}_{+}^{\prime}(\mathrm{z}-\mathrm{ct})-\mathrm{v}_{-}^{\prime}(\mathrm{z}+\mathrm{ct})\right]\]

\[\mathrm{i}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{c} \mathrm{C}\left[\mathrm{v}_{+}(\mathrm{z}-\mathrm{ct})-\mathrm{v}_{-}(\mathrm{z}+\mathrm{ct})\right]=\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}^{-1}\left[\mathrm{v}_{+}(\mathrm{z}-\mathrm{ct})-\mathrm{v}_{-}(\mathrm{z}+\mathrm{ct})\right]\]

La ecuación (7.1.18) define la impedancia característica\(\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}=(\mathrm{cC})^{-1}=\sqrt{\mathrm{L} / \mathrm{C}}\) para la línea TEM. Tanto las ondas hacia adelante como hacia atrás por sí solas tienen la relación Z _o entre v e i, aunque el signo de i se invierte para la onda de propagación negativa porque una tensión positiva corresponde entonces a una corriente negativa. Estos mismos resultados TEM se derivan de manera diferente en las Secciones 7.1.3 y 8.1.1.

La impedancia característica Z _o de una línea de placa paralela puede relacionarse de manera útil usando (7.1.18) con la capacitancia C y la inductancia L por metro, donde C = εW/D y L = μD/W para estructuras de placas paralelas (7.1.10—11):

\[\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}=\sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}} \ [\mathrm{ohms}]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c} \varepsilon \mathrm{W}}=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{W}} \qquad \qquad \qquad \text { (characteristic impedance) }\]

Todas las líneas TEM sin pérdidas tienen esta relación simple, como se ve en (8.3.9) para R = G = 0. También es consistente con (7.1.6), donde\(\eta_{\mathrm{o}}=1 / \mathrm{c} \varepsilon=\left(\mu_{\mathrm{o}} / \varepsilon_{\mathrm{o}}\right)^{0.5}\).

Las energías eléctricas y magnéticas por metro en una línea TEM de placa paralela de separación d y ancho de placa W son: ³³

\[W_{e}(\mathrm{t}, \mathrm{z})=\frac{1}{2} \varepsilon|\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{t}, \mathrm{z})|^{2}=\frac{1}{2} \varepsilon\left(\frac{\mathrm{v}(\mathrm{t}, \mathrm{z})}{\mathrm{d}}\right)^{2} \mathrm{Wd} \ \left[\mathrm{J} \mathrm{m}^{-1}\right]\]

\[W_{m}(\mathrm{t}, \mathrm{z})=\frac{1}{2} \mu|\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{t}, \mathrm{z})|^{2}=\frac{1}{2} \mu\left(\frac{\mathrm{i}(\mathrm{t}, \mathrm{z})}{\mathrm{d}}\right)^{2} \mathrm{Wd} \ \left[\mathrm{J} \mathrm{m}^{-1}\right]\]

³³ Los símbolos en cursiva para W _e y W _m [J m ^-1] los distinguen de Nosotros y Wm [J m ^-3].

Sustituyendo C = CW/d y L = μD/W en (7.1.20) y (7.1.21) rendimientos:

\[W_{e}(\mathrm{t}, \mathrm{z})=\frac{1}{2} \mathrm{Cv}^{2} \ \left[\mathrm{Jm}^{-1}\right] \qquad\qquad\qquad(\text { TEM electric energy density })\]

\[W_{m}(\mathrm{t}, \mathrm{z})=\frac{1}{2} \mathrm{Li}^{2} \ \left[\mathrm{Jm}^{-1}\right] \qquad\qquad\qquad(\text { TEM magnetic energy density })\]

Si solo hay una onda de avance, entonces v (t, z) = Z _o i (t, z) y así:

\[W_{e}(\mathrm{t}, \mathrm{z})=\frac{1}{2} \mathrm{Cv}^{2}=\frac{1}{2} \mathrm{CZ}_{\mathrm{o}}^{2} \mathrm{i}^{2}=\frac{1}{2} \mathrm{Li}^{2}=W_{m}(\mathrm{t}, \mathrm{z})\]

Estas relaciones (7.1.22) a (7.1.24) son ciertas para cualquier línea TEM.

Las mismas derivaciones se pueden realizar usando notación compleja. Así (7.1.10) y (7.1.11) se pueden escribir:

\[\frac{\mathrm{d} \underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z})}{\mathrm{d} \mathrm{z}}=-\frac{\mu \mathrm{d}}{\mathrm{W}} \mathrm{j} \omega \underline{\mathrm{I}}(\mathrm{z})=-\mathrm{j} \omega \mathrm{L} \underline{\mathrm{I}}(\mathrm{z})\]

\[\frac{\mathrm{d} \mathrm{I}(\mathrm{z})}{\mathrm{d} \mathrm{z}}=-\frac{\varepsilon \mathrm{W}}{\mathrm{d}} \mathrm{j} \omega \mathrm{\underline{V}}(\mathrm{z})=-\mathrm{j} \omega \mathrm{C} \underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z})\]

Al eliminar I (z) de este par de ecuaciones se obtiene la ecuación de onda:

\[\left(\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{dz}^{2}}+\omega^{2} \mathrm{LC}\right) \underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z})=0 \qquad \qquad \qquad \text{(wave equation)}\]

La solución a la ecuación de onda (7.1.27) es la suma de ondas que se propagan hacia adelante y hacia atrás con magnitudes complejas que indican fase:

\[\underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z})=\underline{\mathrm{V}}_{+} \mathrm{e}^{-\mathrm{jkz}}+\underline{\mathrm{V}}_{-} \mathrm{e}^{+\mathrm{jkz}}\]

\[\underline{I}(z)=Y_{o}\left(\underline{V}_{+} \mathrm{e}^{-j k z}-\underline{V}_{-} e^{+j k z}\right)\]

donde el número de onda k sigue de k ² = ω ² LC, que se obtiene sustituyendo (7.1.28) en (7.1.27):

\[\mathrm{k}=\omega \sqrt{\mathrm{LC}}=\frac{\omega}{\mathrm{c}}=\frac{2 \pi}{\lambda}\]

La impedancia característica de la línea, como se ve en (7.1.19) es:

\[\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}=\sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}}=\frac{1}{\mathrm{Y}_{\mathrm{o}}} \ [\mathrm{ohms}]\]

y las densidades medias de energía eléctrica y magnética almacenadas en el tiempo son:

\[W_{e}=\frac{1}{4} \mathrm{C}|\underline{\mathrm{V}}|^{2} \ [\mathrm{J} / \mathrm{m}], \qquad \qquad W_{m}=\frac{1}{4} \mathrm{L}|\underline{I}|^{2} \ [\mathrm J/ \mathrm m]\]

El comportamiento de estas formas de onda arbitrarias en las uniones TEM se discute en la siguiente sección y la aplicación práctica de estas soluciones generales para formas de onda arbitrarias se discute más a fondo en la Sección 8.1. Su aplicación práctica a formas de onda sinusoidales se discute en las Secciones 7.2—4.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Una cierta línea TEM consiste en dos placas metálicas paralelas de 10 cm de ancho, separadas en el aire por d = 1 cm, y extremadamente largas. Se aplica un voltaje v (t) = 10 cos ωt voltios a las placas en un extremo (z = 0). ¿Qué corrientes fluyen i (t, z)? ¿Qué potencia P (t) se está alimentando a la línea? Si la resistencia de la placa es cero, ¿hacia dónde va la potencia? ¿Cuál es la inductancia L por unidad de longitud para esta línea?

Solución

En una línea TEM la relación v/i = Z _o para una sola onda, donde\(\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}=\eta_{\mathrm{o}} \mathrm{d} / \mathrm{W}\) [ver (7.1.6)], y\(\eta_{\mathrm{o}}=(\mu / \varepsilon)^{0.5} \cong 377\) ohmios en el aire. Por lo tanto

\[\mathrm{i}(\mathrm{t}, \mathrm{z})=\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}^{-1} \mathrm{v}(\mathrm{t}, \mathrm{z})=\left(\mathrm{W} / \mathrm{d} \eta_{\mathrm{o}}\right) 10 \cos (\omega \mathrm{t}- \mathrm{kz}) \cong[0.1 /(0.01 \times 377)] 10 \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz}) \cong 0.27 \cos [\omega(\mathrm{t}-\mathrm{z} / \mathrm{c})]\ [\mathrm{A}] \nonumber .\]

\[P=v i=v^{2} / Z_{0} \cong 2.65 \cos ^{2}[\omega(t-z / c)] \ [W] \nonumber .\]

El poder simplemente se propaga sin pérdida a lo largo de la línea hacia el infinito. _{Dado que c = (LC) ^-0.5 = 3×10 ⁸, y Z o = (L/C) ^0.5 37.7, por lo tanto L = Z o/c = 1.3×10 ^-7 [Henries m ^-1].}

Ondas TEM en líneas de transmisión no planas

Las ondas TEM pueden propagarse en cualquier estructura perfectamente conductora que tenga al menos dos conductores sin contacto con una sección transversal arbitraria independiente de z, como se ilustra en la Figura 7.1.2, si están separadas por un medio uniforme caracterizado por ε, μ y σ. La línea de transmisión TEM de placa paralela analizada en la Sección 7.1.2 es un caso especial de esta configuración, y veremos que el comportamiento de las líneas TEM no planas se caracteriza por las mismas ecuaciones diferenciales para v (z, t) e i (z, t), (7.1.10) y (7.1.11), cuando se expresan en términos de L y C. se desprende de la derivación a continuación.

Primero dividimos el operador del en sus componentes transversales y longitudinales (eje z):

\[\nabla=\nabla_{\mathrm{T}}+\hat{z} \partial / \partial \mathrm{z}\]

Figura\(\PageIndex{2}\): Líneas TEM con secciones transversales arbitrarias.

donde\(\nabla_{\mathrm{T}} \equiv \hat{x} \partial / \partial \mathrm{x}+\hat{y} \partial / \partial \mathrm{y}\). Las leyes de Faraday y Ampere se convierten entonces en:

\[\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=\nabla_{\mathrm{T}} \times \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}+(\partial / \partial \mathrm{z})\left(\hat{z} \times \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}\right)=-\mu \partial \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}} / \partial \mathrm{t}\]

\[\nabla \times \overline{\mathrm{H}}=\nabla_{\mathrm{T}} \times \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}+(\partial / \partial \mathrm{z})\left(\hat{z} \times \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}\right)=\sigma \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}+\varepsilon \partial \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}} / \partial \mathrm{t}\]

Los lados de la derecha de estas dos ecuaciones no tienen\(\hat{z}\) componentes y, por lo tanto, los componentes de rizo transversal en el lado izquierdo son cero porque se encuentran solo a lo largo del eje z:

\[\nabla_{\mathrm{T}} \times \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}=\nabla_{\mathrm{T}} \times \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}=0\]

Además, las divergencias de\(\overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}\) y también\(\overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}\) son cero desde entonces\(\hat{z} \bullet \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}=\hat{z} \bullet \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}=0\), y:

\[\nabla \bullet \overline{\mathrm{H}}=0=\nabla_{\mathrm{T}} \bullet \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}+(\partial / \partial \mathrm{z})\left(\hat{z} \bullet \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}\right)\]

\[\nabla \bullet \overline{\mathrm{E}}=\rho / \varepsilon=0=\nabla_{\mathrm{T}} \bullet \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}+(\partial / \partial \mathrm{z})\left(\hat{z} \bullet \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}\right)\]

Dado que el rizo y la divergencia de\(\overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}\) y\(\overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}\) son cero, ambos campos deben satisfacer independientemente la ecuación de Laplace (4.5.7), que gobierna la electrostática y la magnetostática; estas soluciones de campo diferirán porque sus condiciones límite difieren. Así podemos encontrar los campos eléctricos y magnéticos transversales para líneas TEM con secciones transversales arbitrarias utilizando los métodos de resolución de ecuaciones y mapeo de campo descritos en las Secciones 4.5 y 4.6.

El comportamiento de\(\overline{\mathrm{E}}\) y\(\overline{\mathrm{H}}\) para una línea TEM arbitraria se puede expresar de manera más simple si primero definimos la capacitancia de la línea por metro C y la inductancia por metro L. C es la carga Q' por unidad de longitud dividida por el voltaje v entre los dos conductores de interés, y L es el enlace de flujo λ' por unidad de longitud dividido por la corriente i. La capacitancia, la inductancia y el enlace de flujo se discuten más a fondo en las Secciones 3.1 y 3.2.

Figura\(\PageIndex{3}\): Rutas de integración para computar tensiones y corrientes de línea TEM.

Para calcular Q' y λ' consideramos un elemento diferencial de longitud\(\delta\) a lo largo del eje z de la línea TEM ilustrada en la Figura 7.1.3, y luego calculamos para Q' y λ', respectivamente, integrales de superficie y línea que rodean el elemento conductor cargado positivamente central “a” en sentido derecho relativo a \(\hat{z}\). Para calcular el voltaje v integramos\(\overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}\) del elemento a al elemento b, y para calcular la corriente i integramos\(\overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}\) en un sentido derecho a lo largo del contorno C dando vueltas al conductor a:

\[\begin{align} \mathrm{C} &=\mathrm{Q}^{\prime} / \mathrm{v}=\left(\delta^{-1} \int \int_{\mathrm{A}} \varepsilon \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}} \bullet \hat{n} \mathrm{d} \mathrm{a}\right) \Bigg/\left(\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}\right) \qquad \text{(capacitance/m)} \nonumber \\ &=\left[\oint_{\mathrm{C}} \varepsilon \hat{z} \bullet\left(\overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}} \times \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}\right)\right] \Bigg/\left(\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}} \bullet \mathrm{d}_{\mathrm{S}}^{-}\right)\left[\mathrm{Fm}^{-1}\right] \end{align}\]

\[\begin{align}&\mathrm{L}=\Lambda^{\prime} / \mathrm{i}=\left[-\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \mu \hat{z} \bullet(\overline{\mathrm{H}} \mathrm{T} \times \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}})\right] \Bigg/\left(\oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{H}} \mathrm{T} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}\right) \nonumber \qquad \text{(inductance/m) }\\&=\left[\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \mu \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}} \bullet(\hat{z} \times \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}})\right] \Bigg/\left(\oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}\right)\left[\mathrm{Hm}^{-1}\right]\end{align}\]

También es útil definir G, la conductancia de línea por metro, en términos de la densidad de corriente de fuga Jσ' [A m ^-1] transportada entre los dos conductores por la conductividad σ del medio, donde podemos usar (7.1.39) para mostrar:

\[\mathrm{G}=\mathrm{J}_{\sigma}^{\prime} / \mathrm{v}=\left(\delta^{-1} \int \int_{\mathrm{A}} \sigma \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}} \bullet \hat{n} \text { da }\right) \Bigg/ \left(\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{E}} \mathrm{T} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}\right)=\mathrm{C} \sigma / \varepsilon\]

Podemos probar fácilmente que el voltaje y la corriente calculados usando integrales de línea en (7.1.39— 41) no dependen de la ruta de integración. La Figura 7.1.3 ilustra dos posibles trayectorias de integración para calcular v dentro de un plano correspondiente a un único valor de z, las trayectorias ab y dc. Como el rizo de\( \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}\) es cero en el plano transversal tenemos:

\[\oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{E}} \mathrm{T} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}=\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{E}} \mathrm{T} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}+\int_{\mathrm{b}}^{\mathrm{c}} \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}+\int_{\mathrm{c}}^{\mathrm{d}} \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}+\int_{\mathrm{d}}^{\mathrm{a}} \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}=0\]

Las integrales de línea a lo largo de los conductores son cero (trayectorias bc y da), y la ruta cd es la inversa de la ruta dc. Por lo tanto, el voltaje se define de manera única porque para cualquier ruta dc tenemos:

\[\mathrm{\int_{a}^{b} \overline{E}_{T} \bullet d \bar{s}=\int_{d}^{c} \overline{E}_{T} \bullet d \bar{s}=v(z, t)}\]

La corriente i (z, t) también se define de manera única porque todos los contornos C posibles en la Figura 7.1.3 rodean la misma corriente que fluye en el conductor a:

\[\mathrm{i}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}\]

Para derivar las ecuaciones diferenciales que rigen v (z, t) e i (z, t) comenzamos con (7.1.34) y (7.1.35), señalando que\(\nabla_{\mathrm{T}} \times \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}=\nabla_{\mathrm{T}} \times \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}=0\):

\[(\partial / \partial \mathrm{z})\left(\hat{z} \times \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}\right)=-\mu \partial \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}} / \partial \mathrm{t}\]

\[(\partial / \partial \mathbf{z})\left(\hat{z} \times \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}\right)=(\sigma+\varepsilon \partial / \partial \mathrm{t}) \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}\]

Para convertir (7.1.45) en una ecuación en términos de v podemos calcular la integral de línea\(\overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}\) de a a b: el primer paso es usar la identidad\(\overline{\mathrm{A}} \times(\overline{\mathrm{B}} \times \overline{\mathrm{C}})=\overline{\mathrm{B}}(\overline{\mathrm{A}} \bullet \overline{\mathrm{C}})-\overline{\mathrm{C}}(\overline{\mathrm{A}} \bullet \overline{\mathrm{B}})\) para mostrar\(\left(\hat{z} \times \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}\right) \times \hat{z}=\overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}\). Usando esto operamos en (7.1.45) para producir:

\[\begin{align}(\partial / \partial \mathrm{z}) \int_{\mathbf{a}}^{\mathrm{b}}\left[\left(\hat{z} \times \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}\right) \times \hat{z}\right] \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}} &=(\partial / \partial \mathrm{z}) \int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{E}} \mathrm{T} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}} \nonumber \\&=\partial \mathrm{v}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) / \partial \mathrm{z} \\&=-\mu(\partial / \partial \mathrm{t}) \int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}(\overline{\mathrm{H}} \mathrm{T} \times \hat{z}) \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}} \nonumber\end{align}\]

Entonces la integral derecha en (7.1.47), en combinación con (7.1.40) y (7.1.44), se convierte en:

\[\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left(\mathrm{H}_{\mathrm{T}} \times \hat{z}\right) \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}=\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}} \bullet(\hat{z} \times \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}})=\mu^{-1} \mathrm{L} \oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}=\mu^{-1} \mathrm{Li}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\]

Combinando (7.1.47) y (7.1.48) rendimientos:

\[\partial \mathrm{v}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) / \partial \mathrm{z}=-\mathrm{L} \partial \mathrm{i}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) / \partial \mathrm{t}\]

Una integración similar del contorno\(\overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}\) de rendimiento i (z, t) simplifica (7.1.46):

\[ (\partial / \partial \mathrm{z}) \int_{\mathrm{C}}\left[\left(\hat{z} \times \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}}\right) \times \hat{z}\right] \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}=(\partial / \partial \mathrm{z}) \oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{T}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}=\partial_{i} / \partial \mathrm{z}=(\sigma+\varepsilon \partial / \partial \mathrm{z}) \oint_{\mathrm{C}}\left(\overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}} \times \hat{z}\right) \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}\]

Las definiciones de C (7.1.39) y G (7.1.41), combinadas con\( (\overline{E} \times \hat{z}) \bullet d \overline{s}=\left(\overline{E}_{T} \times d \overline{s}\right) \bullet \hat{z}\) y la definición (7.1.43) de v, arrojan:

\[\partial \mathrm{i}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) / \partial \mathrm{z}=-(\mathrm{G}+\mathrm{C} \partial / \partial \mathrm{t}) \mathrm{v}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\]

Este par de ecuaciones, (7.1.49) y (7.1.51), se pueden combinar para obtener una descripción más completa de la propagación de ondas en líneas TEM generales.

Debido a que la impedancia característica y la velocidad de fase para las líneas TEM generales dependen de la frecuencia, las soluciones simples (7.1.49) y (7.1.51) no son convenientes. En cambio, es útil expresarlos como funciones complejas de ω:

\[\partial \underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z}) / \partial \mathrm{z}=-\mathrm{j} \omega \mathrm{L} \underline{\mathrm{I}}(\mathrm{z})\]

\[\partial \mathrm{\underline{I}}(\mathrm{z}) / \partial \mathrm{z}_{\mathrm{Z}}=-(\mathrm{G}+\mathrm{j} \omega \mathrm{C}) \mathrm{\underline{V}}(\mathrm{z})\]

Al combinar este par de ecuaciones se obtiene la ecuación de onda:

\[\partial^{2} \underline{V}(z) / \partial z^{2}=j \omega L(G+j \omega C) \underline{V}(z) \qquad\qquad\qquad(\text { TEM wave equation })\]

La solución a esta ecuación de onda TEM debe ser una función que iguale a una constante multiplicada por su propia segunda derivada, tal como:

\[\underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z})=\underline{\mathrm{V}}_{+} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{\underline{k}} \mathrm{z}}+\underline{\mathrm{V}}_{-} \mathrm{e}^{+\mathrm{j} \mathrm{\underline{k}} \mathrm{z}} \qquad\qquad\qquad \text { (wave equation solution) }\]

Sustituyendo esta supuesta solución en la ecuación de onda produce la relación de dispersión para líneas TEM generales hechas con conductores perfectos:

\[\mathrm{\underline{k}}^{2}=-\mathrm{j} \omega \mathrm{L}(\mathrm{G}+\mathrm{j} \omega \mathrm{C}) \qquad \qquad \qquad(\text { TEM dispersion relation })\]

Esta ecuación produce un valor complejo para la constante de propagación TEM\(\underline{k}=k^{\prime}-j k^{\prime \prime} \), cuya significancia es que las ondas que se propagan hacia adelante (V ₊) y hacia atrás (V _-) se atenúan exponencialmente con la distancia:

\[\underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z})=\underline{\mathrm{V}}_{+} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}^{\prime} \mathrm{z}-\mathrm{k}^{\mathrm{\prime \prime}} \mathrm{z}}+\underline{\mathrm{V}}_{-} \mathrm{e}^{+\mathrm{j} \mathrm{\underline{k}}^{\prime} \mathrm{z}+\mathrm{k}^{\prime \prime} \mathrm{z}}\]

La corriente se puede encontrar sustituyendo (7.1.57) en (7.1.53) para producir:

\[\mathrm{\underline{I}(z)=(\underline{k} / j \omega L)\left(\underline{V}_{+} e^{-j \underline{k} z}-\underline{V}_{-} e^{+j \underline{k} z}\right)=\left(\underline{V}_{+} e^{-j \underline{k} z}-\underline{V}_{-} e^{+j \underline{k} z}\right) / \underline{Z}_{0}}\]

\[\mathrm{\underline{Z}_{0}=[j \omega L /(G+j \omega C)]^{0.5}}\]

Estas expresiones se reducen a aquellas para líneas TEM sin pérdidas como G → 0.

Otra consecuencia de esta relación de dispersión (7.1.56) es que la velocidad de fase TEM _vp depende de la frecuencia y por lo tanto la mayoría de las líneas con pérdidas son dispersivas:

\[\mathrm{v}_{\mathrm{p}}=\omega / \mathrm{k}^{\prime}=(\mathrm{LC})^{-0.5}(1-\mathrm{jG} / \omega \mathrm{C})^{-0.5}\]

Aunque la mayoría de las líneas TEM también tienen resistencia R por unidad de longitud, esto introduce E _z ≠ 0, por lo que el análisis se vuelve mucho más complejo. En este caso se suelen utilizar las ecuaciones aproximadas del Telégrafo (8.3.3—4).

Ejemplo\(\PageIndex{B}\)

¿Cuál es la impedancia característica Z _o para el cable coaxial lleno de aire ilustrado en la Figura 7.1.3 si los diámetros relevantes para los conductores interno y externo son a y b, respectivamente, donde b/a = e? “Coaxial” significa que los cilindros a y b comparten el mismo eje de simetría.

Solución

Z _o = (L/C) ^0.5 de (7.1.59). Dado que c = (LC) ^-0.5 se deduce que L = (c ^-2 C ^-1) y Z _o = 1/cc ohmios. C se desprende de (7.1.39), que requiere conocimiento del campo eléctrico transversal\(\overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}}\) (para las ondas TEM, no hay campos no transversales). La simetría en esta geometría cilíndrica requiere\(\overline{\mathrm{E}} \mathrm{T}=\hat{r} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} / \mathrm{r}\). Por lo tanto

\(\mathrm{C}=\mathrm{Q}^{\prime} / \mathrm{v}=\left[\oiint_{\mathrm{A}} \varepsilon_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}} \bullet \hat{r} \mathrm{d} \mathrm{a}\right]\left[\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{T}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}\right]=\mathrm{a}^{-1}\left[\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} 2 \pi \mathrm{a}\right] \Big/\left[\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \mathrm{r}^{-1} \mathrm{d} \mathrm{r}\right] \)

\(=\varepsilon_{0} 2 \pi \ln (\mathrm{b} / \mathrm{a})=2 \pi \varepsilon_{\mathrm{o}}=56 \times 10^{-12}[\mathrm{F}]\). Por lo tanto\(\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}=\left(56 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^{8}\right)^{-1} \)

\( \cong 60 \text { ohms, and } \mathrm{L} \cong 2 \times 10^{-7}[\mathrm{H}] \)

Pérdida en líneas de transmisión

Las pérdidas de línea de transmisión se pueden calcular en términos de la resistencia R, Ohmios por metro, de longitud de línea TEM, o conductancia G, Siemens/m, del medio que separa los dos conductores. Como se discute en la Sección 8.3.1, la potencia media temporal P _d disipada por metro de longitud es simplemente la suma de las dos contribuciones de la serie y conductancias paralelas:

\[\mathrm{P_{d}(z) \ [W / m]=|\underline{I}(z)|^{2} R / 2+|\underline{V}(z)|^{2} G / 2}\]

Cuando se desconocen R y G, las pérdidas resistivas en las líneas de transmisión pueden estimarse integrando\(|\overline{\underline{J}}|^{2} / 2 \sigma\) [W m ^-3] sobre el volumen de interés, donde σ es la conductividad del material [S m ^-1] y J es la densidad de corriente [A m ^-2]. Esta densidad de pérdida superficial P _d [W m ^-2] se deriva para buenos conductores en la Sección 9.2 y se muestra en (9.2.61) como igual a la potencia disipada por la misma corriente superficial\(\underline{\mathrm{J}}_{\mathrm{s}}\) que fluye uniformemente a través de una losa de espesor\(\delta\), donde\(\delta\) = (2/ωμσ) ^0.5 es la profundidad de la piel. La corriente superficial\(\overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{S}}\) es igual\(\left|\overline{\underline{H}}_{s}\right| \), que es el campo magnético paralelo a la superficie del conductor. Por lo tanto:

\[\mathrm{P}_{\mathrm{d}} \cong\left|\overline{\mathrm{\underline{H}}}_{\mathrm{s}}\right|^{2} \sqrt{\frac{\omega \mu}{8 \sigma}} \ \left[\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}\right] \qquad\qquad\qquad \text { (power dissipation in conductors) }\]

Por ejemplo, es fácil de calcular con (7.1.62) la potencia disipada en un cable coaxial TEM de cobre de 50 ohmios que lleva P _o = 10 vatios de entretenimiento sobre una banda de 500 MHz con un diámetro de conductor interno de un milímetro. Primero observamos que\(\left|\overline{\mathrm{\underline{H}}}_{\mathrm{s}}\right|=\underline{\mathrm{I}} / 2 \pi \mathrm{r}\) [A/m] donde\(\left|\mathrm{\underline{I}}^{2}\right| \mathrm{Z}_{\mathrm{o}} / 2=\mathrm{P}_{\mathrm{o}} = 10\), y 2r = 10 ^-3 [m]. Por lo tanto\(\left|\overline{\mathrm{\underline{H}}}_{\mathrm{s}}\right|=\left(\mathrm{P}_{\mathrm{o}} / \mathrm{Z}_{\mathrm{o}}\right)^{0.5} / 2 \pi \mathrm{r} \ [\mathrm{A} / \mathrm{m}] \cong 142\) también, dado que el diámetro de la vaina exterior suele ser ~5 veces el del conductor interno, la densidad de corriente superficial allí, J _s, es una quinta parte que para el conductor interno, y la disipación de potencia por metro de longitud también es de una quinta parte. Por lo tanto, la potencia total disipada por metro, P _L, en ambos conductores es ~1.2 veces la disipada solo en el conductor interno. Si consideramos solo la frecuencia más alta y con mayor pérdida, y asumimos σ = 5×10 ⁷, entonces sustituyendo\(\left|\overline{\mathrm{\underline{H}}}_{\mathrm{s}}\right|\) en (7.1.62) e integrando sobre ambos conductores produce la pérdida de potencia:

\[\begin{align}\mathrm{P}_{\mathrm{L}} & \cong 1.2 \times 2 \pi \mathrm{r}\left|\overline{\mathrm{\underline{H}}}_{\mathrm{S}}\right|^{2}\left(\omega \mu_{\mathrm{o}} / 4 \sigma\right)^{0.5}=1.2 \times 2 \pi \mathrm{r}\left[\left(2 \mathrm{P}_{\mathrm{o}} / \mathrm{Z}_{\mathrm{o}}\right)^{0.5} / 2 \pi \mathrm{r}\right]^{2}\left(\omega \mu_{\mathrm{o}} / 8 \sigma\right)^{0.5} \nonumber \\&=1.2 \times \mathrm{P}_{\mathrm{o}}\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{o}} \pi \mathrm{r}\right)^{-1}\left(\omega \mu_{\mathrm{o}} / 2 \sigma\right)^{0.5}=12\left(50 \pi 10^{-3}\right)^{-1}\left(2 \pi \times 5 \times 10^{8} \times 4 \pi \times 10^{-7} / 10^{8}\right)^{0.5} \nonumber\\&=0.48 \text { watts / meter }\end{align}\]

La pérdida L [dB m ^-1] es proporcional a la relación de P _L [W m ^-1] a P _o [W]:

\[\mathrm{L} \ \left[\mathrm{dB} \mathrm{m}^{-1}\right]=4.34 \mathrm{P}_{\mathrm{L}} / \mathrm{P}_{\mathrm{o}}\]

Así P _L es de 0.48 vatios/metro, una gran fracción de los diez vatios que se propagan en la línea. Esta pérdida de 4.8 por ciento de la potencia por metro, incluyendo el conductor externo, corresponde a 10log ₁₀ (1 - 0.048) -0.21dB por metro. Si quisiéramos amplificadores a lo largo de un cable para proporcionar no más de ~50 dB de ganancia, necesitamos amplificadores cada ~234 metros. Bajar la frecuencia superior a 100 MHz, o aumentar el diámetro del cable central podría reducir estas pérdidas quizás en un factor de ~4. Estos problemas de pérdida y deseos de ancho de banda amplio están motivando la sustitución de la fibra óptica de baja pérdida sobre las líneas de cable largas, y el uso de cables coaxiales solo para saltos cortos de una fibra local al hogar o negocio.

Ejemplo\(\PageIndex{C}\)

Un cable coaxial de 50 ohmios perfectamente conductor está lleno de dieléctrico ligeramente conductor que le da a la línea una conductividad de derivación G = 10 ^-6 Siemens m ^-1 entre los dos conductores. ¿Cuál es la atenuación de este cable (dB m ^-1)?

Solución

La atenuación L [dB m ^-1] = 4.34 P _d /P _o (7.1.64), donde la potencia en la línea\(\mathrm{P}_{o} \ [W] =|\underline{V}|^{2} / 2 Z_{0}\), y la disipación aquí es\(\mathrm{P}_{\mathrm{d}} \ \left[\mathrm{W} \mathrm{m}^{-1}\right]=|\mathrm{\underline{V}}|^{2} \mathrm{G} / 2\) (7.1.61); ver Figura 8.3.1 para el modelo incremental de una línea de transmisión TEM con pérdidas. Por lo tanto L = 4.34 GZ _o = 2.2×10 ^-4 dB m ^-1. Esto es generalmente independiente de la frecuencia y por lo tanto podría dominar a frecuencias más bajas si las pérdidas disipativas dependientes de la frecuencia en los cables se vuelven suficientemente pequeñas.