7.2: Líneas TEM con cruces

Problemas de valor límite

Un cruce entre dos líneas de transmisión obliga a los campos de la primera línea a conformarse a los campos de la segunda línea en el límite entre las dos. Este es un ejemplo sencillo de una amplia clase de problemas llamados problemas de valor límite. El problema general del valor de límite electromagnético implica determinar exactamente cuál, si la hay, combinación de ondas coincide con cualquier conjunto dado de condiciones límite, que generalmente incluye límites tanto activos como pasivos, siendo los límites activos generalmente fuentes. Las condiciones de contorno generalmente limitan\( \overline{\mathrm{E}}\) y/o\( \overline{\mathrm{H}}\) para siempre en el límite de la región de interés de una, dos o tres dimensiones.

El teorema de unicidad presentado en la Sección 2.8 establece que solo una solución satisface todas las ecuaciones de Maxwell si las condiciones límite son suficientes. Por lo tanto, podemos resolver problemas de valor límite simplemente planteando la hipótesis de la combinación correcta de ondas y probándola contra las ecuaciones de Maxwell. Es decir, dejamos indeterminadas las constantes numéricas que caracterizan la combinación elegida de ondas, para luego determinar qué valores de esas restricciones satisfacen las ecuaciones de Maxwell. Esta estrategia facilita el reto de plantear la hipótesis de la respuesta final directamente. Además, la simetría y otras consideraciones a menudo sugieren la naturaleza de la combinación de ondas requerida por el problema, reduciendo así el número de constantes desconocidas que deben determinarse.

Los cuatro pasos básicos para resolver problemas de valor límite son:

1. Determinar el comportamiento natural de cada sección homogénea del sistema sin los límites.
2. Expresar este comportamiento general como la superposición de ondas o campos estáticos caracterizados por constantes desconocidas; la simetría y otras consideraciones pueden minimizar el número de ondas requeridas. Aquí nuestros bloques básicos son ondas TEM.
3. Escribir ecuaciones para las condiciones de contorno que deben ser satisfechas por estos conjuntos de ondas superpuestas, y luego resolver para las constantes desconocidas.
4. Pruebe la solución resultante contra cualquiera de las ecuaciones de Maxwell que aún no se hayan impuesto.

Las variaciones de este procedimiento de cuatro pasos se pueden utilizar para resolver casi cualquier problema reemplazando las ecuaciones de Maxwell por su equivalente aproximado para el dominio ³⁴ del problema dado. Por ejemplo, la rentabilidad, el capital disponible, las limitaciones tecnológicas, las capacidades de los empleados y las necesidades de los clientes suelen ser “condiciones límite” a la hora de derivar estrategias para empresas de nueva creación, mientras que el “comportamiento natural” podría incluir la familia probable de comportamientos del equipo emprendedor y su clientes, financieros y proveedores.

³⁴ Un beneficio clave de una educación técnica consiste en aprender formas precisas de pensar y resolver problemas; este procedimiento, cuando se generaliza, es un excelente ejemplo aplicable a casi cualquier carrera.

Ondas en cruces TEM en el dominio del tiempo

El enfoque de problema de valor límite descrito en la Sección 7.2.1 se puede utilizar para ondas en uniones TEM. Suponemos que una onda incidente arbitraria producirá ondas tanto reflejadas como transmitidas. Para este problema introductorio también asumimos que no hay olas incidentes desde la otra dirección, pues su solución podría superponerse posteriormente. La Sección 7.2.3 trata el mismo problema en el dominio complejo. Representamos líneas TEM gráficamente por líneas paralelas y su impedancia característica Z _o, como se ilustra en la Figura 7.2.1 para las líneas a y b.

Figura\(\PageIndex{1}\): Unión de dos líneas de transmisión TEM.

El paso uno del método del valor límite implica caracterizar el comportamiento natural de las ondas en los dos medios de interés, las líneas a y b, lo que se desprende de (7.1.16) para v (z, t) y (7.1.18) para i (z, t). El paso dos implica la hipótesis de la forma de las ondas reflejadas y transmitidas, v _- (z, t) y vt (z, t). Por simplicidad asumimos que la fuente v ₊ (z, t) está a la izquierda, la unión TEM está en z = 0, y las impedancias de línea Z _o son constantes independientes del tiempo y la frecuencia. El paso tres es escribir las condiciones de contorno para las olas con constantes desconocidas; v e i deben ser constantes a través del cruce en z = 0:

\[\mathrm{v(z, t)=v_{+}(z, t)+v_{-}(z, t)=v_{t}(z, t) \qquad\qquad\qquad(\text { at } z=0)}\]

\[\mathrm{i}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}^{-1}\left[\mathrm{v}_{+}(\mathrm{z}, \mathrm{t})-\mathrm{v}_{-}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\right]=\mathrm{Z}_{\mathrm{t}}^{-1} \mathrm{v}_{\mathrm{t}}(\mathrm{t})\qquad\qquad\qquad(\text { at } z=0)\]

El paso cuatro implica resolver (7.2.1) y (7.2.2) para las ondas desconocidas v _- (z, t) y v _t (z, t). Podemos simplificar el problema tomando las relaciones de reflexión y transmisión relativas a la onda incidente y proporcionar su amplitud posteriormente. Si consideramos los argumentos (z=0, t) como entendidos, entonces (7.2.1) y (7.2.2) se convierten en:

\[1+\left(\mathrm{v}_{-} / \mathrm{v}_{+}\right)=\mathrm{v}_{\mathrm{t}} / \mathrm{v}_{+}\]

\[1-\left(\mathrm{v}_{-} / \mathrm{v}_{+}\right)=\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{o}} / \mathrm{Z}_{\mathrm{t}}\right) \mathrm{v}_{\mathrm{t}} / \mathrm{v}_{+}\]

Para que el álgebra de estas dos ecuaciones sea aún más transparente se acostumbra definir v _- /v ₊ como el coeficiente de reflexión\(\Gamma\), v _t /v ₊ como el coeficiente de transmisión T, y Z _t /Z _o = Z _n como la impedancia normalizada para la línea b. Tenga en cuenta que v _-, v ₊, Z _o y Z _t son reales, y la fracción de potencia incidente que se refleja desde una unión es\(\mid \Gamma \mid^{2}\). Las ecuaciones (7.2.3) y (7.2.4) se convierten entonces en:

\[1+\Gamma=T\]

\[1-\Gamma=\mathrm{T} / \mathrm{Z}_{\mathrm{n}}\]

Multiplicar (7.2.6) por Z _n y restar el resultado de (7.2.5) elimina T y rinde:

\[\Gamma=\frac{\mathrm{v}_{-}}{\mathrm{v}_{+}}=\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{n}}-1}{\mathrm{Z}_{\mathrm{n}}+1}\]

\[\mathrm{v}_{-}(0, \mathrm{t})=\left[\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{n}}-1\right) /\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{n}}+1\right)\right] \mathrm{v}_{+}(0, \mathrm{t})\]

\[\mathrm{v}_{-}(0+\mathrm{ct})=\left[\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{n}}-1\right) /\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{n}}+1\right)\right] \mathrm{v}_{+}(0+\mathrm{ct})\]

\[\mathrm{v}_{-}(\mathrm{z}+\mathrm{ct})=\left[\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{n}}-1\right) /\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{n}}+1\right)\right] \mathrm{v}_{+}(\mathrm{z}+\mathrm{ct})\]

Las transiciones a (7.2.9) y (7.2.10) utilizaron el hecho de que si dos funciones de dos argumentos son iguales para todos los valores de sus argumentos, entonces las funciones permanecen iguales ya que sus argumentos experimentan los mismos cambios numéricos. Por ejemplo, si X (a) = Y (b) donde a y b tienen las mismas unidades, entonces X (a + c) = Y (b + c). Combinando (7.2.3) y (7.2.7) produce la tensión transmitida v _t en términos de la tensión de fuente v ₊:

\[\mathrm{v_{t}(z-c t)=\left[2 Z_{n} /\left(Z_{n}+1\right)\right] v_{+}(z-c t)}\]

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Dos placas paralelas de ancho W y separación d ₁ = 1 cm están conectadas en z = D a un par de placas similares espaciadas solo d ₂ = 2 mm. Si la onda directa en la primera línea es V _o cos (ωt - kz), ¿qué voltaje v _t (t, z) se transmite más allá de la unión en z = D?

Solución

\[\mathrm{v}_{\mathrm{t}}(\mathrm{t}, \mathrm{z})=\mathrm{T}_{\mathrm{V}+}(\mathrm{t}, \mathrm{z})=(1+\Gamma) \mathrm{v}_{+}(\mathrm{t}, \mathrm{z})=2 \mathrm{Z}_{\mathrm{n}} \mathrm{V}_{+}(\mathrm{t}, \mathrm{z}) /\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{n}}+1\right) \nonumber\]

donde\(\mathrm{Z_{n}=Z_{t} / Z_{0}=\eta_{0}} \mathrm{d}_{2} \mathrm{W} \big/ \eta_{\mathrm{o}} \mathrm{d}_{1} \mathrm{W}=\mathrm{d}_{2} / \mathrm{d}_{1}=0.2\). Por lo tanto para z > D,

\[\mathrm{v_{t}(t, z)=v_{+}(t, z) 2 \times 0.2 /(0.2+1)=\left(\mathrm{V}_{\mathrm{o}} / 3\right) \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz})}\ [\mathrm{V}] \nonumber\]

Ondas sinusoidales en líneas de transmisión TEM y en uniones

Las ecuaciones básicas que caracterizan las líneas TEM sin pérdidas en el estado estacionario sinusoidal corresponden al par de ecuaciones diferenciales (7.1.25) y (7.1.26):

\[\mathrm{d} \underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z}) / \mathrm{d} \mathrm{z}=-\mathrm{j} \omega \mathrm{L} \underline{\mathrm{I}}(\mathrm{z})\]

\[\mathrm{d} \underline{\mathrm{I}}(\mathrm{z}) / \mathrm{d} \mathrm{z}=-\mathrm{j} \omega \mathrm{C} \underline{\mathrm{V}}(\mathrm z)\]

L y C son la inductancia y capacitancia de la línea por metro, respectivamente.

Este par de ecuaciones conduce fácilmente a la ecuación de onda de línea de transmisión:

\[\mathrm{d}^{2} \underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z}) / \mathrm{d} \mathrm{z}^{2}=-\omega^{2} \mathrm{LC\underline{V}}(\mathrm{z}) \qquad\qquad\qquad \text{(wave equation)}\]

La solución\( \underline{\mathrm V}(\mathrm z)\) a esta ecuación de onda involucra exponenciales en z porque la segunda derivada de\( \underline{\mathrm V}(\mathrm z)\) es igual a tiempos constantes\( \underline{\mathrm V}(\mathrm z)\). Los exponentes pueden ser + o -, por lo que en general es posible una suma de estas dos alternativas, donde\(\underline{\mathrm{V}}_{+} \) y\(\underline{\mathrm{V}}_{-}\) son constantes complejas determinadas posteriormente por condiciones de contorno y k viene dada por (7.1.30):

\[\underline{V}(z)=\underline{V}_{+} \mathrm{e}^{-j \mathrm{kz}}+\underline{\mathrm{V}}_{-} \mathrm{e}^{+\mathrm{jkz}} \ [\mathrm{V}] \qquad\qquad\qquad \text{(TEM voltage)}\]

La corriente correspondiente se encuentra fácilmente usando (7.2.12):

\[\mathrm{\underline{I}(z)=(j / \omega L) d \underline{V}(z) / d z=(j / \omega L)\left(-j k \underline{V}_{+} e^{-j k z}+j k \underline{V}_{-} e^{+j k z}\right)}\]

\[\underline{\mathrm I}(z)=\left(1 / Z_{0}\right)\left(\underline{\mathrm V}_{+}^{-j k z}-\underline{\mathrm V}_{-} e^{+j k z}\right) \qquad\qquad\qquad(\text { TEM current })\]

donde la impedancia característica Z _o de la línea es:

\[\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}=\mathrm{Y}_{\mathrm{o}}^{-1}=\omega \mathrm{L} / \mathrm{k}=\mathrm{cL}=(\mathrm{L} / \mathrm{C})^{0.5} \ [\mathrm{ohms}] \qquad \qquad \qquad \text { (characteristic impedance) }\]

La admitancia característica Y _o de la línea es la recíproca de Z _o, y tiene unidades de Siemens u ohmios ^-1. Es importante apreciar el significado físico de Z _o; es simplemente la relación de voltaje a corriente para una onda que se propaga en una dirección solo en la línea, por ejemplo, para la onda + solamente. Esta relación no corresponde a pérdidas disipativas en la línea, aunque está relacionada con la potencia que viaja por la línea para cualquier voltaje dado a través de la línea.

Figura\(\PageIndex{2}\): Impedancias de línea de transmisión TEM y acoplamiento.

Cuando hay ondas tanto hacia adelante como hacia atrás en una línea, la relación voltaje/corriente se denomina impedancia compleja y varía con la posición, como se sugiere en la Figura 7.2.2 (a). La impedancia en cualquier punto a lo largo de la línea se define como:

\[\begin{align}\underline{Z}(z) & \equiv \underline{V}(z) / \underline{I}(z)=Z_{0}[1+\underline{\Gamma}(z)] /[1-\underline{\Gamma}(z)] \nonumber \qquad \qquad \qquad \text{(line impedance)}\\&=Z_{0}[1+\underline{I}(z)][1-\underline{\Gamma}(z)] \text { ohms }\end{align}\]

El coeficiente de reflexión complejo\( \underline{\Gamma}(\mathrm{z})\) se define como:

\[\underline{\Gamma}(z) \equiv \underline{V}_{-} \mathrm{e}^{+j \mathrm{kz}} / \underline{\mathrm{V}}_{+} \mathrm{e}^{-\mathrm{jkz}}=\left(\underline{\mathrm{V}}_{-} / \underline{\mathrm{V}}_{+}\right) \mathrm{e}^{2 \mathrm{jkz}}=\underline{\Gamma}_{\mathrm{L}} \mathrm{e}^{2 \mathrm{jkz}} \qquad \qquad \qquad \text { (reflection coefficient) }\]

Cuando z = 0 en la carga, entonces\( \underline{\mathrm{V}}_{-}/\underline{\mathrm{V}}_{+}\) se define en la carga y\( \underline{\Gamma}_{\mathrm{L}}\) es el coeficiente de reflexión de carga, denotado por el subíndice L.

La ecuación (7.2.20) conduce a un algoritmo simple para relacionar impedancias en diferentes puntos a lo largo de la línea. Primero definimos la impedancia normalizada\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}} \) y la relacionamos con el coeficiente de reflexión\( \underline{\Gamma}(\mathrm{z})\) utilizando (7.2.19); (7.2.22) se desprende de (7.2.21):

\[\underline{Z}_{n}(z) \equiv \frac{\underline{Z}(z)}{Z_{o}}=\frac{1+\underline{\Gamma}(z)}{1-\underline{\Gamma}(z)} \qquad\qquad\qquad \text{(normalized impedance)}\]

\[\underline{\Gamma}(\mathrm{z})=\frac{\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}(\mathrm{z})-1}{\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}(\mathrm{z})+1}\]

Por ejemplo, podemos ver el efecto de la impedancia de carga\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{L}} \) (z = 0) en algún otro punto z de la línea usando (7.2.20—22) en una secuencia apropiada:

\[\underline{Z}_{\mathrm{L}} \rightarrow \underline{Z}_{\mathrm{Ln}} \rightarrow \underline{\Gamma}_{\mathrm{L}} \rightarrow \underline{\Gamma}(\mathrm{z}) \rightarrow \underline{Z}_{\mathrm{n}}(\mathrm{z}) \rightarrow \underline{Z}(\mathrm{z}) \qquad\qquad\qquad \text { (impedance transformation) }\]

Un ejemplo sencillo del uso de (7.2.23) es la transformación de una resistencia de 50 ohmios por una línea de 100 ohmios λ/4 de largo. Usando (7.2.23) en secuencia, vemos\(\underline{Z}_{L}=50\),\(\underline{Z}_{L \mathrm{n}}=50 / 100=0.5\),\(\underline{\Gamma}_{L}=-1 / 3\) de (7.2.22),\(\underline{\Gamma}(z=-\lambda / 4)=+1 / 3\) de (7.2.20) donde\(\mathrm{e}^{+2 \mathrm{jk} \mathrm{z}}=\mathrm{e}^{2 \mathrm{j}(2 \pi / \lambda)(-\lambda / 4)}=\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \pi}=-1\),\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}(-\lambda / 4)=2\) de (7.2.21), y por lo tanto\(\underline{Z}(-\lambda / 4)=200 \text { ohms }\).

En su lugar, a menudo se utilizan otras dos técnicas de transformación de impedancia: una ecuación directa y la gráfica de Smith (Sección 7.3). La ecuación directa (7.2.24) puede derivarse sustituyendo primero\(\underline{\Gamma}_{L}=\left(\underline{Z}_{L}-Z_{0}\right) /\left(\underline{Z}_{L}+Z_{0}\right)\), es decir (7.2.22), en\(\underline{Z}(\mathrm{z})=\underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z}) / \underline{\mathrm{I}}(\mathrm{z})\), donde\(\underline{V}(z)\) y\(\underline{I}(\mathrm{z})\) están dadas por (7.2.15) y (7.2.17), respectivamente, y\(\underline{\mathrm{V}}_{-} / \underline{\mathrm{V}}_{+}=\underline{\Gamma}_{\mathrm{L}}\). El siguiente paso consiste en agrupar los exponenciales para producir sin kz y cos kz, y luego dividir el pecado por cos para producir tan y la solución:

\[\underline{Z}(z)=Z_{o} \frac{\underline{Z}_{L}-j Z_{o} \tan k z}{Z_{o}-j \underline{Z}_{L} \tan k z} \qquad \qquad \qquad \text{(transformation equation)}\]

Un problema estrechamente relacionado se ilustra en la Figura 7.2.2 (b) donde dos líneas de transmisión están conectadas entre sí y la línea derecha presenta la impedancia\(\underline{\mathrm{Z}}_{t}\) en z = 0. Para ilustrar el método general para resolver problemas de valor límite esbozado en la Sección 7.2.1, lo utilizaremos para calcular los coeficientes de reflexión y transmisión en este cruce. Las expresiones (7.2.15) y (7.2.17) casi satisfacen los dos primeros pasos de ese método, que implican escribir soluciones de ensayo compuestas por ondas superpuestas con coeficientes desconocidos que satisfacen la ecuación de onda dentro de cada región de interés. El tercer paso es escribir ecuaciones para estas ondas que satisfagan las condiciones de contorno, y luego resolver para los coeficientes desconocidos. Aquí las condiciones límite son que ambas\(\underline{V}\) y\(\underline{I}\) son continuas a través de la unión en z = 0; el subíndice t corresponde a la onda transmitida. Las dos ondas del lado izquierdo tienen amplitudes\(\underline{V}_{+}\) y\(\underline{V}_{-}\), mientras que la onda del lado derecho tiene amplitud\(\underline{V}_{t}\). Asumimos que ninguna energía entra por la derecha. Por lo tanto:

\[\mathrm{\underline{V}(0)=\underline{V}_{+}+\underline{V}_{-}=\underline{V}_{t}}\]

\[\mathrm{\underline{I}(0)=\left(\underline{V}_{+}-\underline{V}_{-}\right) / Z_{0}=\underline{V}_{t} / \underline{Z}_{t}}\]

Definimos los coeficientes complejos de reflexión y transmisión en el cruce (z = 0) para ser\(\underline{\Gamma}\) y\(\underline{\mathrm{T}}\), respectivamente, donde:

\[\mathrm{\underline{\Gamma}=\underline{V}_{-} / \underline{\mathrm{V}}_{+}} \qquad\qquad\qquad \text { (complex reflection coefficient) }\]

\[\mathrm{\underline{T}=\underline{V}_{t} / \underline{V}_{+}}\qquad\qquad\qquad \text { (complex transmission coefficient) }\]

Podemos resolver para\(\underline{\Gamma}\) y\(\underline{\mathrm{T}}\) dividiendo primero (7.2.25) y (7.2.26) por\(\underline{V}_{+}\):

\[1+\underline{\Gamma} = \underline{T}\]

\[1-\underline{\Gamma}=\left(\mathrm Z_{\mathrm{o}} / \underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{t}}\right) \mathrm{\underline{T}}\]

Este par de ecuaciones se resuelve fácilmente para\(\underline{\Gamma}\) y\(\underline{\mathrm{T}}\):

\[\underline{\Gamma}=\frac{\underline{Z}_{\mathrm{t}}-\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}}{\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{t}}+\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}}=\frac{\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}-1}{\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}+1}\]

\[\underline{\mathrm{T}}=\underline{\Gamma}+1=\frac{2 \underline{\mathrm{Z}} \mathrm{n}}{\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}+1}\]

donde la impedancia normalizada se definió en (7.2.21) como\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}} \equiv \underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{t}} / \mathrm{Z}_{\mathrm{o}}\). Por ejemplo, (7.2.31) dice que el coeficiente de reflexión\(\underline{\Gamma}\) es cero cuando la impedancia normalizada es la unidad y la impedancia de línea está emparejada, entonces\(\underline{Z}_{t}=Z_{0}\); (7.2.32) luego cede\(\underline{\mathrm{T}}=1\).

Los coeficientes complejos\(\underline{\Gamma}\) y\(\underline{\mathrm{T}}\) se refieren a amplitudes de onda, pero muchas veces es el poder lo que es de interés. En general, el incidente de energía promedio en el cruce es:

\[\mathrm{P}_{+}=\underline{\mathrm{V}}_{+} \underline{\mathrm{I}}_{+}^{*} / 2=\left|\mathrm{\underline{V}}_{+}\right|^{2} / 2 \mathrm{Z}_{\mathrm{o}}\ [\mathrm{W}] \qquad \qquad \qquad \text{(incident power)}\]

De igual manera las potencias reflejadas y transmitidas son P _- y P _t, donde\(\mathrm{P}_{-}=\left|\mathrm{\underline{V}}_{-}\right|^{2} / 2 \mathrm{Z}_{0}\) y\(P_{t}=\left|\underline{V}_{t}\right|^{2} / 2 Z_{t} \ [W]\).

Otra consecuencia de tener ondas que se mueven tanto hacia delante como hacia atrás en una línea TEM es que las magnitudes del voltaje y la corriente varían a lo largo de la longitud de la línea. La expresión de voltaje dada en (7.2.15) se puede reorganizar como:

\[|\mathrm{\underline{V}}(\mathrm{z})|=\left|\mathrm{\underline{V}}_{+} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kz}}+\underline{\mathrm{V}}_{-} \mathrm{e}^{+\mathrm{jkz}}\right|=\left|\mathrm{\underline{V}}_{+} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kz}} \| \mathrm{l}+\underline{\Gamma}(\mathrm{z})\right|\]

La magnitud de\(\left|\underline{V}_{+} \mathrm{e}^{-\mathrm{jk}}\right|\) es independiente de z, por lo que el factor\(|1+\underline{\Gamma}(z)|\) controla la magnitud del voltaje en la línea, donde\(\underline{\Gamma}(\mathrm{z})=\underline{\Gamma}_{\mathrm{L}} \mathrm{e}^{2 \mathrm{jk} \mathrm{z}}\) (7.2.20). La Figura 7.2.3 (a) ilustra el comportamiento de |V (z) |; es cuasi-sinusoidal con el periodo λ/2 debido al 2jkz en el exponente. El valor máximo\(|\mathrm{V}(\mathrm{z})|_{\max }=\left|\mathrm{V}_{+}\right|+\left|\mathrm{V}_{-}\right|\) ocurre cuando\(\underline{\Gamma}(\mathrm{z})=|\underline{\Gamma}|\).

Figura\(\PageIndex{3}\): Ondas estacionarias sobre una línea TEM y el plano Gamma.

Los orígenes de este comportamiento de\(|\underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z})|\) se sugieren en la Figura 7.2.3 (b), que ilustra la dependencia z de\(\underline{\Gamma}(\mathrm{z})\) en el plano gamma complejo, donde los ejes horizontal y vertical son las partes real e imaginaria de\(\underline{\Gamma}(\mathrm{z})\), respectivamente. Los aumentos en z simplemente giran el vector en\(\underline{\Gamma}(\mathrm{z})\) sentido horario, conservando su magnitud [ver (7.2.20) y Figura 7.2.3 (b)].

La forma cuasi-sinusoidal de\(|\underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z})|\) surge porque\(|\underline{V}(z)| \propto|1+\underline{\Gamma}(z)|\), que es la longitud del vector que enlaza\(\underline{\Gamma}(\mathrm{z})\) con el punto -1 en el plano gamma, como se ilustra en la Figura 7.2.3 (b). Como la fase\(\phi\) de\(\underline{\Gamma}\) varía con z y rodea el diagrama, el vector\(1+\underline{\Gamma}(\mathrm{z})\) varía como podría ser un brazo girando una manivela, y así a veces se le llama el “diagrama de manivela”. Cuando\(|\underline{\Gamma}|<<1\) entonces\(|\underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z})|\) se asemeja a una sinusoide débil que oscila alrededor de un valor medio de\(\left|\underline{V}_{+}\right|\), mientras que cuando\(|\underline{\Gamma}| \cong 1\) entonces\(\mid \underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z}) \mid\) se asemeja a una sinusoide completamente rectificada. La envolvente de voltaje\(\mid \underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z}) \mid\) se llama el patrón de onda estacionaria, y los campos tienen un componente de onda estacionaria cuando\(|\underline{\Gamma}|>0\). La figura también ilustra cómo\(|\underline{I}(z)| \propto|1-\underline{\Gamma}(z)|\) exhibe la misma variación cuasisinusoidal que\(|\underline{V}(z)|\), pero 180 grados fuera de fase.

Debido a que\(|V(z)|\) y generalmente\(|I(z)|\) son fáciles de medir a lo largo de cualquier línea de transmisión, es útil señalar que tales mediciones pueden usarse para determinar no solo la fracción de potencia que se ha reflejado de cualquier carga, y así la eficiencia de cualquier conexión, sino también la impedancia de la carga sí mismo. Primero definimos la relación de onda estacionaria de voltaje o VSWR como:

\[\mathrm{VSWR} \equiv|\mathrm{\underline{V}}(\mathrm{z})|_{\max } /\left.\mathrm{\underline{V}}(\mathrm{z})\right|_{\min }=\left(\left|\mathrm{\underline{V}}_{+}\right|+\left|\mathrm{\underline{V}}_{-}\right|\right) /\left(\left|\mathrm{\underline{V}}_{+}\right|-\left|\mathrm{\underline{V}}_{-}\right|\right)=(1+\mid \underline{\mathrm{\Gamma}}) /(1-\mid \underline{\mathrm{\Gamma}})\]

Por lo tanto:

\[\mid\underline{\Gamma}\mid=(\mathrm{VSWR}-1) /(\mathrm{VSWR}+1)\]

\[\mathrm{P}_{-} / \mathrm{P}_{+}=\mid\underline{\Gamma}\mid^{2}=\left[(\mathrm{VSWR}-1) /(\mathrm{VSWR}+1)]^{2}\right.\]

Esta sencilla relación entre VSWR y la potencia fraccional reflejada (P _- /P ₊) ayudó a hacer de VSWR una especificación común para equipos electrónicos.

Para encontrar la impedancia\( \underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{L}}\) de carga a partir de observaciones de\(|\underline{V}(\mathrm{z})| \) tales como las trazadas en la Figura 7.2.3 (a) asociamos primero cualquier mínimo de voltaje con ese punto en el plano gamma que corresponda\( -|\underline{\Gamma}|\). Entonces podemos rotar en el plano gamma en sentido antihorario (hacia la carga) un ángulo\(\phi\) = 2kD = 4\(\pi\) D/λ radianes que corresponde a la distancia D entre ese mínimo de voltaje y la carga, donde una revolución completa en el plano gamma corresponde a D = λ/2. Una vez\( \underline{\Gamma}\) para la carga se determina, se deduce de (7.2.21) que:

\[\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{L}}=\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}[1+\underline{\mathrm{\Gamma}}] /[1-\underline{\mathrm{\Gamma}}]\]

Si más de dos líneas TEM se unen a una sola unión entonces sus impedancias separadas se combinan en serie o en paralelo, como se sugiere en la Figura 7.2.4. Las impedancias se suman en paralelo para la Figura 7.2.4 (a) por lo que la impedancia en la unión como se ve desde la izquierda sería:

\[\underline{\mathrm{Z}}_{\text {parallel }}=\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{a}} \mathrm{Z}_{\mathrm{b}} /\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{a}}+\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{b}}\right)\]

Para la Figura 7.2.4 (b) las líneas están conectadas en serie por lo que la impedancia vista desde la izquierda sería\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{a}}+\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{b}} \).

Figura\(\PageIndex{4}\): Múltiples líneas TEM conectadas.

La Figura 7.2.4 (c) ilustra cómo se pueden concatenar las líneas TEM. En este caso la impedancia\(\underline{\mathrm{Z}}_{1} \) vista en los terminales de la izquierda podría determinarse transformando la impedancia\( \underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{L}}\) en los terminales (3) a la impedancia\(\underline{\mathrm{Z}}_{2} \) que se vería en los terminales (2). La impedancia vista en (2) podría entonces transformarse una segunda vez para producir la impedancia vista en el extremo izquierdo. El algoritmo para esto podría ser:

\[\mathrm{\underline{Z}}_{\mathrm{L}} \rightarrow \underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{Ln}} \rightarrow \underline{\mathrm{\Gamma}}_{3} \rightarrow \underline{\mathrm{\Gamma}}_{2} \rightarrow \underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n} 2} \rightarrow \underline{\mathrm{Z}}_{2} \rightarrow \underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n} 2^{\prime}} \rightarrow \underline{\mathrm{\Gamma}}_{2^{\prime}} \rightarrow \underline{\mathrm{\Gamma}}_{1} \rightarrow \underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{nl}} \rightarrow \underline{\mathrm{Z}}_{1}\]

Obsérvese que Z _n2 se normaliza con respecto _a Z a y Z _n2 'se normaliza con respecto a Z _o; ambos se definen en la unión (2). También,\( \underline{\Gamma}_{2}\) es el coeficiente de reflexión en la unión (2) dentro de la línea Z _a, y\(\underline{\Gamma}_{2}^{\prime}\) es el coeficiente de reflexión en la unión (2) dentro de la línea Z _o.

Ejemplo\(\PageIndex{B}\)

Una línea TEM llena de aire de 100 ohmios termina en z = 0 con un condensador C = 10-11 faradios. ¿Qué es\( \underline{\Gamma}(\mathrm{z}) \)? ¿En qué posiciones z < 0 se encuentran los mínimos de voltaje en la línea cuando f = 1/2\(\pi\) GHz? ¿Qué es el VSWR? En z = - λ/4, ¿cuál es la impedancia equivalente?

Solución

La impedancia de carga normalizada\(\mathrm{Z}_{\mathrm{L}} / \mathrm{Z}_{\mathrm{o}} \equiv \mathrm{Z}_{\mathrm{Ln}}=1 / \mathrm{j} \omega \mathrm{CZ}_{\mathrm{o}}=-\mathrm{j} /\left(10^{9} \times 10^{-11} \times 100\right)=-\mathrm{j}\), y (7.2.22) da\(\underline{\Gamma}_{L}=\left(\underline{Z}_{L n}-1\right) /\left(\underline{Z}_{L n}+1\right)=-(1+j) /(1-j)=-j\). \(\underline{\Gamma}(\mathrm{z})=\underline{\Gamma}_{\mathrm{L}} \mathrm{e}^{2 \mathrm{jkz}}=-\mathrm{je}^{2 \mathrm{jkz}}\). (7.2.34) da\(|\underline{V}(\mathrm{z})| \propto|1+\underline{\Gamma}(\mathrm{z})|=\left|1-\mathrm{je}^{2 \mathrm{jk} \mathrm{z}}\right|=0\) cuando\(\mathrm{e}^{2 \mathrm{jkz}}=-\mathrm{j}=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(\pi / 2+\mathrm{n} 2 \pi)}\), donde n =0,1,2... Por lo tanto 2jkz = -j (\(\pi\)/2 + n2\(\pi\)), entonces z (nulos) = - (\(\pi\)/2 + n2\(\pi\)) λ/4\(\pi\) = - (λ/8) (1 + 4n). Pero f = 10 ⁹ /2\(\pi\), y así λ = c/f = 2\(\pi\) c×10 ^-9 = 0.6\(\pi\) [m]. (7.2.34) da\(\mathrm{VSWR}=(1+|\underline{\Gamma}|) /(1-|\underline{\Gamma}|)=\infty\). En z = -λ/4,\(\underline{\Gamma} \rightarrow-\underline{\Gamma}_{L}=+j\) vía (7.2.20), así por (7.2.38)

\[\underline{Z}=Z_{\mathrm{o}}[1+\underline{\Gamma}] /[1-\underline{\Gamma}]=100[1+\mathrm{j}] /[1-\mathrm{j}]=\mathrm{j} 100=\mathrm{j} \omega \mathrm{L}_{\mathrm{o}} \Rightarrow \mathrm{L}_{\mathrm{o}}=100 / \omega=100 / 10^{9}=10^{-7} \ [\mathrm{H}] \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{C}\)

El VSWR observado en una línea de transmisión TEM llena de aire de 100 ohmios es 2. El voltaje mínimo es de 15 cm de la carga y la distancia entre mínimos es de 30 cm. ¿Cuál es la frecuencia de la radiación? ¿Cuál es la impedancia\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{L}}\) de la carga?

Solución

La distancia entre mínimos es λ/2, por lo que λ = 60 cm y f = c/λ = 3×10 ⁸ /0.6 = 500 MHz. La impedancia de carga es\(\underline{Z}_{L}=Z_{o}\left[1+\underline{\Gamma}_{L}\right] /\left[1-\underline{\Gamma}_{L}\right]\) (7.2.38) donde\(\left|\underline{\Gamma}_{L}\right|=(\mathrm{VSWR}-1) /(\mathrm{VSWR}+1)=1 / 3\) de (5.2.83). \(\underline{\Gamma}_{L}\)se gira en el gráfico Smith 180 grados en sentido antihorario (hacia la carga) desde el mínimo de voltaje, correspondiente a un cuarto de longitud de onda. El mínimo de voltaje debe estar en el\(\underline{\Gamma}\) eje real negativo y, por lo tanto,\(\underline{\Gamma}_{L}\) se encuentra en el\(\underline{\Gamma}\) eje real positivo. Por lo tanto\(\underline{\Gamma}_{L}=1 / 3\) y\(\underline{Z}_{L}=100(1+1 / 3) /(1-1 / 3)=200 \ \text{ohms}\).