7.4: Resonancias TEM

Introducción

Los resonadores son ampliamente utilizados para manipular señales y potencia, aunque las resonancias no deseadas a veces pueden limitar el rendimiento del sistema. Por ejemplo, los resonadores se pueden usar como filtros pasabanda que eliminan todas las frecuencias de una señal excepto aquellas cercanas a la frecuencia resonante deseada ω _n, o como filtros de parada de banda que eliminan frecuencias no deseadas cercanas a ω _n y dejan pasar todas las frecuencias. También se pueden usar de manera efectiva como transformadores elevadores para aumentar los voltajes o corrientes a niveles suficientes para acoplar toda la energía disponible en las cargas deseadas sin reflejos. Es decir, los circuitos coincidentes discutidos en la Sección 7.3.2 pueden llegar a ser suficientemente reactivos para cargas mal emparejadas que actúan como resonadores de paso de banda que coinciden con la carga solo para una banda estrecha de frecuencias. Aunque los resonadores RLC simples tienen solo una resonancia natural y los circuitos RLC complejos tienen muchos, los sistemas electromagnéticos distribuidos pueden tener un número infinito.

Un resonador es cualquier estructura que pueda atrapar la energía electromagnética oscilatoria para que escapa lentamente o nada en absoluto. La Sección 7.4.2 analiza la energía atrapada en líneas TEM terminadas de manera que las ondas salientes se reflejan de nuevo en el resonador, y la Sección 9.4 trata los resonadores de cavidad formados por guías de onda rectangulares terminadas con cortocircuitos que reflejan y atrapan de manera similar las ondas que de otro modo escapan. En cada uno de estos casos, las condiciones de límite restringieron la estructura de onda permitida en el interior a patrones que tienen números integrales de medias o cuartos de longitud de onda a lo largo de cualquier eje de propagación, y por lo tanto solo pueden estar presentes ciertas frecuencias resonantes discretas ω _n.

Todos los resonadores disipan energía debido a pérdidas resistivas, fugas y radiación, como se discute en la Sección 7.4.3. La velocidad a la que esto ocurre depende de dónde se localicen las corrientes o tensiones máximas en el resonador con respecto a los elementos resistivos o radiantes. Por ejemplo, si el elemento resistivo está en serie a una corriente nula o en paralelo a una tensión nula, no hay disipación. Dado que la disipación es proporcional al contenido de energía del resonador y a los cuadrados de corriente o voltaje, la disminución de la intensidad de campo y la energía almacenada es generalmente exponencial en el tiempo. Cada frecuencia resonante f _n tiene su propia tasa de decaimiento de energía, caracterizada por el factor de calidad adimensional\(Q_{n}\), que generalmente es el número de radianes ω _n t requerido para que la energía total w _Tn almacenada en modo n se descomponga por un factor de 1/e. más de manera importante, Q f _o/\(\delta\)f, donde f _n es la frecuencia resonante y\(\delta\) f _n es el ancho completo de media potencia de la resonancia n.

La Sección 7.4.4 luego analiza cómo los resonadores pueden acoplarse a circuitos para su uso como filtros o transformadores, y la Sección 7.4.5 analiza cómo las formas de onda arbitrarias en los resonadores son simplemente una superposición de modos ortogonales, cada uno en descomposición a su propio ritmo.

Frecuencias de resonador TEM

Un resonador es cualquier estructura que atrapa la radiación electromagnética por lo que escapa lentamente o nada en absoluto. Los resonadores TEM típicos se terminan en sus extremos con elementos sin pérdidas como circuitos cortos o abiertos, inductores o condensadores. Se utiliza notación compleja porque los resonadores son fuertemente dependientes de la frecuencia. Comenzamos con las expresiones (7.1.55) y (7.1.58) para voltaje y corriente en líneas TEM:

\[\underline{V}(z)=\underline{V}_{+} \mathrm{e}^{-j \mathrm{k} z}+\underline{\mathrm{V}}_{-} \mathrm{e}^{+\mathrm{j} \mathrm{kz}}\ [\mathrm{V}]\]

\[\underline{I}(z)=Y_{o}\left[\underline{V}_{+} e^{-j k z}-\underline{V}_{-} e^{+j k z}\right] \ [A]\]

Por ejemplo, si ambos extremos de una línea TEM de longitud D están en circuito abierto, entonces\(\underline{I}(z)=0\) a z = 0 y z = D. Evaluando (7.4.1) en z = 0 rinde\(\underline{V}_{-}=\underline{V}_{+}\). En el otro límite: ³⁶

\[\underline{I}(D)=0=Y_{0} \underline{V}_{+}\left(e^{-j k D}-e^{+j k D}\right)=-2 j Y_{0} \underline{V}_{+} \sin (k D)=-2 j Y_{0} \underline{V}_{+} \sin (2 \pi D / \lambda)\]

³⁶ Utilizamos la identidad\(\sin \phi=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \phi}\right) / 2 \mathrm{j}\).

Para satisfacer (7.4.3), sin (2\(\pi\) D/λ) = 0, y así λ se restringe a resonancias específicas:

\[\lambda_{\mathrm{n}}=2 \mathrm{D} / \mathrm{n}=\mathrm{c} / \mathrm{f}_{\mathrm{n}} \text { for } \mathrm{n}=0,1,2,3, \ldots\]

Es decir, en resonancia la longitud de esta línea de circuito abierto es D = nλ _n /2, como se sugiere en la Figura 7.4.1 (a) para n = 1. Las frecuencias resonantes correspondientes son:

\[\mathrm f_{\mathrm n}=\mathrm c / \lambda_{\mathrm n}=\mathrm{n c} / 2 D \ \ [\mathrm{H z]}\]

Por nuestra definición, el almacenamiento estático de energía eléctrica o magnética corresponde a una resonancia a frecuencia cero. Por ejemplo, en este caso la línea puede contener una carga estática y almacenar energía eléctrica a frecuencia cero (n = 0) porque está en circuito abierto en ambos extremos. Debido a que los diferentes modos de un resonador son espacialmente ortogonales, la energía total almacenada en un resonador es la suma de las energías almacenadas en cada una de las resonancias por separado, como se muestra más adelante en (7.4.20).

Figura\(\PageIndex{1}\): Voltaje y corriente en resonadores TEM.

El comportamiento temporal correspondiente a (7.4.2) cuando\(2 \mathrm{Y}_{\mathrm{o}} \mathrm{\underline{V}}_{+}=\mathrm{I}_{\mathrm{o}}\) es:

\[i(t, z)=R_{e}\left\{\underline{I} e^{j \omega t}\right\}=I_{0} \sin \omega t \sin (2 \pi z / \lambda)\]

donde ω = 2\(\pi\) c/λ. El voltaje correspondiente v (t, z) se desprende de (7.4.1)\(\underline{V}_{-}=\underline{V}_{+}\), y nuestra elección que\( 2 \mathrm{Y}_{\mathrm{o}} \mathrm{\underline{V}}_{+}=\mathrm{I}_{\mathrm{o}}\):

\[\underline{V}(z)=\underline{V}_{+}\left[\mathrm{e}^{-j \mathrm{k} \mathrm{z}}+\mathrm{e}^{+j \mathrm{kz}}\right]=2 \underline{\mathrm{V}}_{+} \cos (2 \pi \mathrm{z} / \lambda)\]

\[v(t, z)=\operatorname{Re}\left\{\underline{V} e^{j \omega t}\right\}=Z_{0} I_{0} \cos \omega t \cos (2 \pi z / \lambda)\]

Tanto v (z, t) como i (z, t) se esbozan en la Figura 7.4.1 (a) para n = 1. El comportamiento de i (t, z) se asemeja al movimiento de una cuerda de piano en resonancia y está 90° desfasado con v (z, t) tanto en el espacio como en el tiempo.

La Figura 7.4.1 (b) ilustra una posible distribución de voltaje y corriente en un resonador TEM cortocircuitado en un extremo y en circuito abierto en el otro. Dado que i (t) = 0 en el circuito abierto y v (t) = 0 en el cortocircuito, las condiciones de límite son satisfechas por los ilustrados i (t, z) y v (t, z). En este caso:

\[\mathrm{D}=\left(\lambda_{\mathrm{n}} / 4\right)(2 \mathrm{n}+1) \text { for } \mathrm{n}=0,1,2, \ldots\]

\[\mathrm{f}_{\mathrm{n}}=\mathrm{c} / \lambda_{\mathrm{n}}=\mathrm{c}(2 \mathrm{n}+1) / 4 \mathrm{D} \ [\mathrm{Hz}]\]

Para n = 0 la solución de frecuencia cero para la Figura 7.4.1 (a) corresponde a la línea que se está cargando a una tensión CC Vo con corriente cero. La energía eléctrica almacenada en la línea es entonces DCV _o ² /2 [J], donde la densidad de energía eléctrica en una línea TEM (7.1.32) es:

\[W_{e}=\mathrm{C}\left\langle\mathrm{v}^{2}(\mathrm{t}, \mathrm{z})\right\rangle / 2=\mathrm{C}|\mathrm{\underline{V}}|^{2} / 4 \ \left[\mathrm{J} \mathrm{m}^{-1}\right]\]

El factor extra de 1/2 en el término derecho de (7.4.11) resulta porque\(\left\langle\cos ^{2} \omega t\right\rangle=0.5 \) para frecuencias distintas de cero. Una línea de transmisión cortocircuitada en ambos extremos también tiene una resonancia de frecuencia cero correspondiente a una corriente constante que fluye alrededor de la línea a través de los dos cortocircuitos en los extremos, y el voltaje a través de la línea es cero en todas partes. ³⁷ Sin embargo, el circuito de la Figura 7.4.1 (b) no puede almacenar energía a frecuencia cero y, por lo tanto, no tiene resonancia de frecuencia cero.

³⁷ Algunos trabajadores prefieren no considerar el caso de frecuencia cero como una resonancia; por nuestra definición lo es.

También existe una relación simple entre el almacenamiento de energía eléctrica y magnética en resonadores porque Z _o = (L/C) ^0.5 (7.1.31). Usando (7.4.11), (7.4.6) y (7.4.8) para n > 0:

\[\begin{align}\left\langle W_{e}\right\rangle &=\mathrm{C}\left\langle\mathrm{v}^{2}(\mathrm{t}, \mathrm{z})\right\rangle \big/ 2=\mathrm{C}\left\langle\left[\mathrm{Z}_{\mathrm{o}} \mathrm{I}_{\mathrm{o}} \cos \omega_{\mathrm{n}} \mathrm{t} \cos \left(2 \pi \mathrm{z} / \lambda_{\mathrm{n}}\right)\right]^{2}\right\rangle \Big/ 2 \\&=\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}^{2} \mathrm{I}_{\mathrm{o}}^{2} \mathrm{C} / 4\right) \cos ^{2}\left(2 \pi \mathrm{z} / \lambda_{\mathrm{n}}\right)=\left(\mathrm{LI}_{\mathrm{o}}^{2} / 4\right)\left[\cos ^{2}\left(2 \pi \mathrm{z} / \lambda_{\mathrm{n}}\right)\right] \ \left[\mathrm{J} \mathrm{m}^{-1}\right]\end{align}\]

\[\begin{align}\left\langle W_{m}\right\rangle &=\mathrm{L}\left\langle\mathrm{i}^{2}(\mathrm{t}, \mathrm{z})\right\rangle \big/ 2=\mathrm{L}\left\langle\left[\mathrm{I}_{0} \sin \omega_{\mathrm{n}} \mathrm{t} \sin \left(2 \pi \mathrm{z} / \lambda_{\mathrm{n}}\right)\right]^{2}\right\rangle \Big/ 2 \\&=\left(\mathrm{LI}_{\mathrm{o}}^{2} / 4\right) \sin ^{2}\left(2 \pi \mathrm{z} / \lambda_{\mathrm{n}}\right) \ \left[\mathrm{J} \mathrm{m}^{-1}\right]\end{align}\]

La integración de estas dos densidades de energía promedio en el tiempo\(\left\langle W_{e}\right\rangle \) y\( \left\langle W_{m}\right\rangle\) sobre la longitud de un resonador TEM produce el resultado importante de que en cualquier resonancia las energías eléctricas y magnéticas almacenadas promedio en el tiempo total w _e y w _m son iguales; el hecho de que las longitudes de todas las energías abiertas y/o resonadores TEM cortocircuitados son múltiplos integrales de un cuarto de longitud de onda λ _n es esencial para este resultado. La conservación de energía también requiere esto porque periódicamente la corriente o voltaje está en todas partes cero junto con la energía correspondiente; la energía oscila así entre formas magnéticas y eléctricas a dos veces f _n.

Todos los resonadores, no solo TEM, exhiben igualdad entre sus energías eléctricas y magnéticas almacenadas promedio en el tiempo. Esto se puede probar integrando el teorema de Poynting (2.7.24) sobre el volumen de cualquier resonador para el caso donde la integral superficial de\( \overline{\mathrm{\underline{S}}} \bullet \hat{n}\) y la potencia disipada P _d son cero: ³⁸

\[0.5 \oiint_{\mathrm{A}} \overline{\mathrm{\underline{S}}} \bullet \hat{n} \mathrm{da}+\oiiint_{\mathrm{V}}\left[\left\langle\mathrm{P}_{\mathrm{d}}(\mathrm{t})\right\rangle+2 \mathrm{j} \omega\left(\mathrm{W}_{\mathrm{m}}-\mathrm{W}_{\mathrm{e}}\right)\right] \mathrm{d} \mathrm{v}=0 \]

\[\therefore \mathrm{w}_{\mathrm{m}} \equiv \oiiint_{\mathrm{V}} \mathrm{W}_{\mathrm{m}} \mathrm{d} \mathrm{v}=\oiiint_{\mathrm{V}} \mathrm{W}_{\mathrm{e}} \mathrm{d} \mathrm{v}=\mathrm{w}_{\mathrm{e}} \qquad\qquad\qquad \text{(energy balance at resonance)} \]

³⁸ Asumimos aquí que μ y ε son cantidades reales así que W es real también.

Esta prueba también se aplica, por ejemplo, a los resonadores TEM terminados por condensadores o inductores, en cuyo caso la energía reactiva en la terminación debe ser balanceada por la línea, que entonces no es un número integral de cuartos de longitud de onda.

Cualquier sistema con almacenamiento de energía distribuido espacialmente exhibe múltiples resonancias. Estos modos de resonancia son generalmente ortogonales por lo que la energía total almacenada es la suma de las energías separadas para cada modo, como se muestra a continuación para las líneas TEM.

Considere primero el resonador TEM abierto de la Figura 7.4.1 (a), para el cual el voltaje del modo n, siguiente (7.4.7), podría ser:

\[\underline{V}_{n}(z)=\underline{V}_{n o} \cos (n \pi z / D)\]

El voltaje total es la suma de los voltajes asociados a cada modo:

\[\underline{V}(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \underline{V}(n)\]

La energía eléctrica total en la línea TEM es:

\[\begin{align}\mathrm{w}_{\mathrm{eT}} &=\int_{0}^{\mathrm{D}}\left(\mathrm{C}|\mathrm{\underline{V}}(\mathrm{z})|^{2} / 4\right) \mathrm{d} \mathrm{z}=(\mathrm{C} / 4) \int_{0}^{\mathrm{D}} \sum_{\mathrm{m}} \sum_{\mathrm{n}}\left(\underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{m}}(\mathrm{z}) \underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{n}}^{*}(\mathrm{z})\right) \mathrm{d} \mathrm{z} \nonumber \\&=(\mathrm{C} / 4) \int_{0}^{\mathrm{D}} \sum_{\mathrm{m}} \sum_{\mathrm{n}}\left[\underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{mo}} \cos (\mathrm{m} \pi \mathrm{z} / \mathrm{D}) \underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{no}}^{*} \cos (\mathrm{n} \pi \mathrm{z} / \mathrm{D})\right] \mathrm{d} \mathrm{z} \nonumber \\&=(\mathrm{C} / 4) \sum_{\mathrm{n}} \int_{0}^{\mathrm{D}}\left|\underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{no}}\right|^{2} \cos ^{2}(\mathrm{n} \pi \mathrm{z} / \mathrm{D}) \mathrm{d} \mathrm{z}=(\mathrm{CD} / 8) \sum_{\mathrm{n}}\left|\mathrm{\underline{V}}_{\mathrm{no}}\right|^{2} \\&=\sum_{\mathrm{n}} \mathrm{w}_{\mathrm{eTn}} \nonumber\end{align}\]

donde la energía eléctrica total almacenada en el modo n es:

\[\mathrm{w}_{\mathrm{eTn}}=\mathrm{CD}\left|\mathrm{\underline{V}}_{\mathrm{no}}\right|^{2} / 8 \ [\mathrm{J}]\]

Dado que las energías eléctricas y magnéticas promedio de tiempo en cualquier modo resonante son iguales, la energía total es el doble del valor dado en (7.4.21). Así, la energía total w _T almacenada en esta línea TEM es la suma de las energías almacenadas en cada modo resonante por separado porque todos los m≠ n términos cruzados en (7.4.20) se integran a cero. La superposición de energía se aplica aquí porque todos los modos resonantes _{TEM m} son espacialmente ortogonales. Lo mismo es cierto para cualquier resonador TEM terminado con circuitos cortos o abiertos. Aunque la ortogonalidad espacial puede no aplicarse al resonador de la Figura 7.4.2 (a), el cual se termina con una reactancia agrupada, los modos siguen siendo ortogonales porque tienen diferentes frecuencias, e integrar v _m (t) v _n (t) a lo largo del tiempo también produce cero si m≠ n.

Figura\(\PageIndex{2}\): Resonador de línea de transmisión TEM de carga inductiva.

Otros tipos de resonadores también tienen generalmente modos resonantes ortogonales, de manera que en general:

\[\mathrm{w}_{\mathrm{T}}=\sum_{\mathrm{n}} \mathrm{W}_{\mathrm{Tn}}\]

Si un resonador TEM termina con una impedancia reactiva como JΩL o 1/JΩC, entonces la energía aún está atrapada pero las frecuencias resonantes están distribuidas de manera no uniforme. La Figura 7.4.2 (a) ilustra una línea TEM cortocircuitada sin pérdidas de longitud D que termina con un inductor _Lo. Las condiciones límite inmediatamente producen una expresión para las frecuencias resonantes ω _n. La impedancia del inductor es JΩL _o y la de la línea TEM sigue de (7.3.6) para Z _L = 0:

\[ \underline{Z}(\mathrm{z})=\mathrm{Z}_{0}\left(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{L}}-\mathrm{j} \mathrm{Z}_{\mathrm{o}} \tan \mathrm{kz}\right) /\left(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{o}}-\mathrm{j} \mathrm{Z}_{\mathrm{L}} \tan \mathrm{k} \mathrm{z}\right)=-\mathrm{j} \mathrm{Z}_{\mathrm{o}} \tan \mathrm{kz}\]

Dado que la corriente\(\underline{\mathrm I} \) y el voltaje\(\underline{\mathrm V} \) en la unión del inductor son los mismos tanto para la línea de transmisión como para el inductor, sus relaciones también deben ser las mismas excepto que\(\underline{\mathrm I}\) definimos que fluyen fuera del inductor hacia la línea TEM, lo que cambia el signo de +JΩL _o; así:

\[\underline{V} / \underline{I}=-j \omega L_{0}=j Z_{0} \tan k D \]

\[ \omega_{\mathrm{n}}=-\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{L}_{\mathrm{o}}} \tan \mathrm{kD}=-\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{L}_{\mathrm{o}}} \tan \left(\omega_{\mathrm{n}} \mathrm{D} / \mathrm{c}\right)>0\]

Los valores de ω _n que satisfacen (7.4.25) se representan gráficamente en la Figura 7.4.2 (b), y están espaciados de manera no uniforme en frecuencia. La frecuencia resonante ω _o = 0 corresponde a corriente continua y almacenamiento de energía magnética pura. La Figura 7.4.2 (b) produce ω _n para una línea cortocircuitada en ambos extremos cuando L _o = 0, y muestra que para valores pequeños de L _o (perturbaciones) ese desplazamiento en resonancias\(\delta\) ω _n son lineales en L _o.

Generalmente podemos sintonizar resonancias a frecuencias cercanas cambiando ligeramente el resonador. La sección 9.4.2 deriva la siguiente expresión (7.4.26) para el cambio fraccionario\(\delta\) f/f en cualquier resonancia f en función de los incrementos incrementales en promedio eléctrico (\(\delta\)ω _e) y magnético

(\(\delta\)ω _m) almacenamiento de energía y, de manera equivalente, en términos del volumen incremental que se sumó o restó de la estructura, donde W _e y W _m son las densidades de energía eléctrica y magnética en esa suma (+\(\delta\) v _vol) o eliminada (-\(\delta\) v _vol), y w _T es la energía total asociada con f. Las densidades de energía se pueden calcular utilizando los valores no perturbados de intensidad de campo para obtener respuestas aproximadas.

\[\Delta \mathrm{f} / \mathrm{f}=\left(\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{e}}-\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{m}}\right) / \mathrm{w}_{\mathrm{T}}=\Delta \mathrm{v}_{\mathrm{vol}}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{e}}-\mathrm{W}_{\mathrm{m}}\right) / \mathrm{w}_{\mathrm{T}} \qquad \qquad \qquad \text { (frequency perturbation) }\]

Un ejemplo sencillo ilustra su uso. Considere el resonador TEM de la Figura 7.4.2 (a), que está aproximadamente cortocircuitado en el extremo izquierdo excepto por una inductancia de sintonización pequeña L _o que tiene una impedancia\(|j \omega L|<<Z_{0}\). ¿Cómo afecta L _o a la frecuencia resonante f ₁? Un enfoque es usar (7.4.25) o Figura 7.4.2 (b) para encontrar w _n. Alternativamente, podemos usar (7.4.26) para encontrar\( \Delta \mathrm{f}=-\mathrm{f}_{1} \times \Delta \mathrm{w}_{\mathrm{m}} / \mathrm{w}_{\mathrm{T}}\), dónde\(\mathrm{f}_{1} \cong \mathrm{c} / \lambda \cong \mathrm{c} / 2 \mathrm{D}\) y\(\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{m}}=\mathrm{L}_{\mathrm{o}}\left|\mathrm{\underline I}^{\prime}\right|^{2} / 4=\left|\mathrm{\underline V}^{\prime}\right|^{2} / 4 \omega^{2} \mathrm{L}\), dónde\(\underline {\mathrm{I}}^{\prime}\) y\(\underline {\mathrm{V}}^{\prime}\) son exactos. Pero el voltaje imperturbable en el extremo cortocircuitado del resonador es cero, por lo que debemos usar\(\underline {\mathrm{I}}^{\prime}\) porque las técnicas de perturbación requieren que solo existan pequeños cambios fraccionarios en los parámetros a calcular, y una transición de cero a cualquier otro valor no es una perturbación. Por lo tanto\(\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{m}} =\mathrm{L}_{\mathrm{o}}\left|\mathrm{\underline I}_{\mathrm{o}}\right|^{2} / 4\). Para cancelar\(\left|\underline{\mathrm{I}}_{\mathrm{o}}\right|^{2}\) en la expresión para\(\delta\) f, calculamos w _T en términos de voltaje:\(\mathrm{w}_{\mathrm{T}}=2 \mathrm{w}_{\mathrm{m}}=2 \int_{0}^{\mathrm{D}}\left(\mathrm{L}|\mathrm{\underline I}(\mathrm{z})|^{2} / 4\right) \mathrm{d} \mathrm{z}=\mathrm{D} \mathrm{L} \mathrm{I}_{\mathrm{o}}^{2} / 4\). Por lo tanto:

\[\Delta \mathrm{f}=\Delta \mathrm{f}_{\mathrm{n}}=-\mathrm{f}_{\mathrm{n}}\left(\frac{\Delta \mathrm{w}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{w}_{\mathrm{T}}}\right)=-\mathrm{f}_{\mathrm{n}} \frac{\left|\underline{\mathrm{I}}_{\mathrm{o}}\right|^{2} / 4}{\mathrm{D} \mathrm{L}\left|\underline{\mathrm{I}}_{\mathrm{o}}\right|^{2} / 4}=-\mathrm{f}_{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{L}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{LD}}\]

Pérdidas de resonador y Q

Todos los resonadores disipan energía debido a pérdidas resistivas, fugas y radiación. Dado que la disipación es proporcional al contenido de energía del resonador y a los cuadrados de corriente o voltaje, la disminución de la intensidad de campo y la energía almacenada es generalmente exponencial en el tiempo. Cada frecuencia resonante f _n tiene su propia tasa de decaimiento de energía, caracterizada por el factor de calidad adimensional Q _n, que generalmente es el número de radianes ω _n t requerido para que la energía total w _Tn almacenada en modo n disminuya en un factor de 1/e:

\[\mathrm{w}_{\mathrm{Tn}}(\mathrm{t})=\mathrm{w}_{\mathrm{Tn} 0} \mathrm{e}^{-\omega_{\mathrm{n}} \mathrm{t} / \mathrm{Q}_{\mathrm{n}}}\ [\mathrm J]\]

Q _n se relaciona fácilmente con P _n, la potencia disipada por el modo n:

\[\mathrm {P_{n} \cong-d w_{T n} / d t=\omega_{n} w_{T n} / Q_{n} \ [W] }\]

\[\mathrm{Q}_{\mathrm{n}} \cong \omega_{\mathrm{n}} \mathrm{w}_{\mathrm{Tn}} / \mathrm{P}_{\mathrm{n}} \qquad \qquad \qquad \text{(quality factor Q) }\]

La tasa de decaimiento para cada modo depende de la ubicación de los elementos resistivos o radiantes en relación con las corrientes o voltajes máximos para ese modo. Por ejemplo, si un elemento resistivo experimenta un nulo de voltaje o corriente, no hay disipación. Estas relaciones se aplican a todos los resonadores, por ejemplo, resonadores RLC: (3.5.20—23).

Ya sea que se use un resonador como filtro de paso de banda o de parada de banda, tiene un ancho de banda\(\delta\) ω dentro del cual se pasa o se detiene más de la mitad de la potencia pico, respectivamente. Este ancho de banda de media potencia\(\delta\) ω está simplemente relacionado con Q por (3.5.36):

\[\mathrm{Q}_{\mathrm{n}} \cong \omega_{\mathrm{n}} / \Delta \omega_{\mathrm{n}}\]

El concepto y utilidad de Q y el uso de resonadores en circuitos se desarrollan más en la Sección 7.4.4.

La pérdida en las líneas TEM surge porque los cables son resistivos o porque el medio entre los cables conduce ligeramente. Además, pueden estar presentes resistencias agrupadas, como se sugiere en la Figura 7.4.3 (b) y (d). Si estas resistencias no perturban significativamente las distribuciones de voltaje y corriente sin pérdidas, entonces la potencia disipada y Q de cada resonancia ω _n se pueden estimar fácilmente usando técnicas de perturbación. El método de perturbación consiste simplemente en calcular la disipación de potencia utilizando los voltajes o corrientes apropiados para el caso sin pérdidas bajo el supuesto de que el cambio fraccional inducido por el elemento perturbador es pequeño (no se permiten perturbaciones de parámetros de valor cero). Los ejemplos a continuación ilustran que las resistencias perturbadoras pueden ser muy grandes o muy pequeñas.

Figura\(\PageIndex{3}\): Resonadores TEM perturbados por la pérdida.

Considere primero la resonancia ω ₁ ilustrada de la Figura 7.4.3 (a) como perturbada por la pequeña resistencia R ₁ << Z _o; supongamos que _R2 está ausente. La corriente nominal en la línea TEM es:

\[\mathrm{i(t, z)=R_{e}\left\{\underline{I} e^{j \omega t}\right\}=I_{o} \sin \omega t \cos (\pi z / D)}\]

La potencia _P1 disipada en _R1 a z = 0 usando la corriente imperturbable es:

\[\mathrm{P}_{1}=\left\langle\mathrm{i}^{2}(\mathrm{t}, \mathrm{z}=0)\right\rangle \mathrm{R}_{1}=\mathrm{I}_{\mathrm{o}}^{2} \mathrm{R}_{1} / 2\]

La energía total correspondiente w _T1 almacenada en esta resonancia no perturbada es el doble de la energía magnética:

\[\mathrm{w}_{\mathrm{Tl}}=2 \int_{0}^{\mathrm{D}}\left(\mathrm{L}\left\langle\mathrm{i}^{2}(\mathrm{t})\right\rangle / 2\right) \mathrm{dz}=\mathrm{D} \mathrm{LI}_{\mathrm{o}}^{2} / 4 \ [\mathrm{J}]\]

Usando (7.4.30) para Q y (7.4.5) para ω encontramos:

\[\mathrm{Q}_{1} \cong \omega_{1} \mathrm{w}_{\mathrm{Tl}} / \mathrm{P}_{1}=(\pi \mathrm{c} / \mathrm{D})\left(\mathrm{D} \mathrm{L}_{\mathrm{o}}^{2} / 4\right) /\left(\mathrm{I}_{\mathrm{o}}^{2} \mathrm{R}_{1} / 2\right)=\pi \mathrm{c} \mathrm{L} / 2 \mathrm{R}_{1}=\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{o}} / \mathrm{R}_{1}\right) \pi / 2\]

Así\(\mathrm{Q}_{1} \cong \mathrm{Z}_{0} / \mathrm{R}_{1} \) y es alto cuando R ₁ << Z _o; en este caso _R1 es verdaderamente una perturbación, por lo que nuestra solución es válida.

Un caso más interesante involucra la pérdida introducida por _R2 en la Figura 7.4.3 (b) cuando _R1 es cero. Dado que la corriente de derivación no perturbada en esa posición en la línea es cero, debemos usar en su lugar el voltaje no perturbado v (z, t) para estimar P ₁ para el modo 1, donde ese voltaje nominal de línea es:

\[\mathrm{v}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{V}_{0} \sin \omega \mathrm{t} \sin (\pi \mathrm{z} / \mathrm{D})\]

La potencia asociada _P1 disipada en la posición\(\delta\), y la energía total w _T1 almacenada son:

\[\mathrm{P}_{1} \cong\left\langle\mathrm{v}(\delta, \mathrm{t})^{2}\right\rangle / \mathrm{R}_{2}=\mathrm{V}_{\mathrm{o}}^{2} \sin ^{2}(\pi \delta / \mathrm{D}) / 2 \mathrm{R}_{2} \cong\left(\mathrm{V}_{\mathrm{o}} \pi \delta / \mathrm{D}\right)^{2} / 2 \mathrm{R}_{2} \ [\mathrm{W}]\]

\[\mathrm{w}_{\mathrm{Tl}} \cong 2 \int_{0}^{\mathrm{D}}\left(\mathrm{C}\left\langle\mathrm{v}^{2}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\right\rangle \big/ 2\right) \mathrm{d} \mathrm{z}=\mathrm{D} \mathrm{CV}_{\mathrm{o}}^{2} \big/ 4 \ [\mathrm{J}]\]

Tenga en cuenta que promediar v ² (z, t) sobre espacio y tiempo introduce dos factores de 0.5. Usando (7.4.35) para Q y (7.4.5) para ω encontramos:

\[\mathrm{Q}_{1} \cong \omega_{1} \mathrm{w}_{\mathrm{T} 1} / \mathrm{P}_{1}=(\pi \mathrm{c} / \mathrm{D})\left(\mathrm{DCV}_{\mathrm{o}}^{2} / 4\right) \Big/\left[\left(\mathrm{V}_{\mathrm{o}} \pi \delta / \mathrm{D}\right)^{2} \big/ 2 \mathrm{R}_{2}\right]=(\mathrm{D} / \mathrm{\delta})^{2}\left(\mathrm{R}_{2} / 2 \pi \mathrm{Z}_{\mathrm{o}}\right)\]

Así Q ₁ es alto y _R2 es una pequeña perturbación si D >>\(\delta\), incluso si R ₂ < Z _o. Esto se debe a que una trayectoria de fuga en paralelo con un cortocircuito cercano puede ser una perturbación incluso si su conductancia es bastante alta.

De la misma manera se puede encontrar Q para las perturbaciones de pérdida de la Figura 7.4.3 (d). Por ejemplo, si R ₄ = 0, entonces [siguiendo (7.4.39)] el efecto de R ₃ es:

\[\mathrm{Q}_{1} \cong \omega_{1} \mathrm{w}_{\mathrm{T} 1} / \mathrm{P}_{1}=(\pi \mathrm{c} / \mathrm{D})\left(\mathrm{D} \mathrm{C} \mathrm{V}_{\mathrm{o}}^{2} \big/ 4\right) \Big/\left(\mathrm{v}_{\mathrm{o}}^{2} \big/ 2 \mathrm{R}_{3}\right)=(\pi / 2)\left(\mathrm{R}_{3} / \mathrm{Z}_{\mathrm{o}}\right)\]

En este caso R ₃ es una perturbación si R ₃ >> Z _o. La mayoría de los valores de R ₄ también son perturbaciones proporcionadas\(\delta\) << D, similar a la situación para _R2, debido a que cualquier resistencia en serie con un circuito abierto cercano disipará poca potencia debido a que las corrientes allí son tan pequeñas.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

¿Cuál es la Q de un resonador TEM de longitud D caracterizado por ω _o, C y G?

Solución

La ecuación (7.4.40) dice\(\mathrm{Q}=\omega_{\mathrm{o}} \mathrm{w}_{\mathrm{T}} / \mathrm{P}_{\mathrm{d}}\), donde la potencia disipada viene dada por (7.1.61):\(\mathrm{P}_{\mathrm{d}}=\int_{0}^{\mathrm{D}}\left(\mathrm{G}|\mathrm{\underline V}(\mathrm{z})|^{2} / 2\right) \mathrm{dz}\). La energía total almacenada w _T es el doble de la energía eléctrica promedio almacenada\(\mathrm{w}_{\mathrm{T}}=2 \mathrm{w}_{\mathrm{e}}=2 \int_{0}^{\mathrm{D}}\left(\mathrm{C}|\underline{\mathrm{V}}(\mathrm{z})|^{2} / 4\right) \mathrm{dz}\) [ver 7.1.32)]. La distribución de voltaje\(|\underline{V}(z)|\) en las dos integrales cancela en la expresión para Q, dejando Q = 2ω _o C/G.

Acoplamiento a resonadores

Dependiendo de cómo se acoplen los resonadores a los circuitos, pueden pasar o detener una banda de frecuencias de ancho ~\(\delta\) ω _n centrada en una frecuencia resonante ω _n. Este efecto puede ser total o parcial; es decir, puede haber rechazo total de señales ya sea cerca de resonancia o lejanas, o solo una mejora o atenuación parcial. Este comportamiento se asemeja al de los resonadores RLC en serie y paralelos discutidos en la Sección 3.5.2.

La Figura 7.4.4 muestra cómo los resonadores RLC tanto en serie como en paralelo pueden bloquear toda la potencia disponible para la resistencia de carga _RL cerca de la resonancia, y se puede lograr un comportamiento similar con resonadores TEM como se sugiere a continuación; estos se denominan filtros de parada de banda. Alternativamente, los resonadores RLC tanto en serie como en paralelo pueden pasar a la resistencia de carga la banda cerca de la resonancia, como se sugiere en la Figura 3.5.3; estos se denominan filtros pasabanda. En la Figura 7.4.4 (a) el resonador LC serie corta la carga R cerca de la resonancia, mientras que en (b) el resonador LC paralelo abre circuitos la conductancia de carga G; la banda resonante se detiene en ambos casos.

Figura\(\PageIndex{4}\): Resonadores RLC Cband-stop.

El ancho de media potencia\(\delta\) ω de cada resonancia es inversamente proporcional a la Q cargada, donde Q _L se definió en (3.5.40), P _DE es la potencia disipada externamente (en la resistencia fuente R _Th), y P _DI es la potencia disipada internamente ( en la carga R):

\[\mathrm{Q}_{\mathrm{L}} \equiv \omega \mathrm{w}_{\mathrm{T}} /\left(\mathrm{P}_{\mathrm{DI}}+\mathrm{P}_{\mathrm{DE}}\right) \qquad \qquad \qquad \text{(loaded Q)}\]

\[\Delta \omega_{\mathrm{n}}=\omega_{\mathrm{n}} / \mathrm{Q}_{\mathrm{n}}\left[\text { radians } \mathrm{s}^{-1}\right] \qquad \qquad \qquad \text{(half-power bandwidth)}\]

Cuando ω = (LC) ^-0.5 los resonadores LC están abiertos o cortocircuitos, dejando solo las resistencias de fuente y carga, R _Th y R _L. A la frecuencia f de transferencia de potencia máxima la fracción de la potencia disponible que se puede pasar a la carga está determinada por la relación Z _n '= R _L /R _Th. Por ejemplo, si la fuente de alimentación fuera una línea de transmisión TEM de impedancia Z _o ≡ R _Th, entonces la fracción mínima de potencia incidente reflejada por la carga (7.2.22) sería:

\[\mathrm{|\underline{\Gamma}|^{2}=\mid\left(\underline{Z}_{n}^{\prime}-1\right) /\left(\underline{Z}_{n}^{\prime}+1\right)^{2}}\]

La fracción reflejada es cero solo cuando la resistencia de carga normalizada Z _n '= 1, es decir, cuando R _L = R _Th. Si la transferencia máxima de potencia a la carga ocurre en resonancia ω _n (filtro de paso de banda) o solo a frecuencias eliminadas más de ~\(\delta\) ω de ωn (filtro de parada de banda) depende de si la corriente está bloqueada o pasada en ω _n por la porción LC del resonador. Por ejemplo, las Figuras 3.5.3 y 7.4.4 ilustran dos formas de circuitos de filtro de paso de banda y de parada de banda, respectivamente.

Los resonadores se pueden construir usando líneas TEM simplemente terminándolas en ambos extremos con impedancias que reflejen la mayor parte o toda la energía incidente para que la energía permanezca atrapada en su interior, como se ilustra en la Figura 7.4.5 (a). Debido a que la resistencia de carga R _L se posiciona cerca de un cortocircuito (\(\delta\)<< λ/4), el voltaje a través de R _L es muy pequeño y se escapa poca potencia, incluso si R _L Z _o. La Q para la resonancia ω ₁ se calcula fácilmente usando (7.4.40) y la expresión para voltaje de línea (7.4.36):

\[\mathrm{v}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{V}_{\mathrm{o}} \sin \omega \mathrm{t} \sin (\pi \mathrm{z} / \mathrm{D})\]

\[\begin{align}\mathrm{Q} & \equiv \omega_{1} \mathrm{w}_{\mathrm{T}} / \mathrm{P}_{\mathrm{D}}=(\pi \mathrm{c} / \mathrm{D})\left(\mathrm{DCV}_{\mathrm{o}}^{2} / 4\right) /\left[\mathrm{v}_{\mathrm{o}}^{2} \sin ^{2}(\pi \delta / \mathrm{D}) / 2 \mathrm{R}_{\mathrm{L}}\right] \nonumber \\&=\left(\pi \mathrm{R}_{\mathrm{L}} / 2 \mathrm{Z}_{\mathrm{o}}\right) / \sin ^{2}(\pi \delta / \mathrm{D}) \cong(\mathrm{D} / \mathrm{s})^{2} \mathrm{R}_{\mathrm{L}} / 2 \pi \mathrm{Z}_{\mathrm{o}} \ \ (\text { for } \delta<<\mathrm{D})\end{align}\]

El ajuste de\(\delta\) permite el logro de cualquier Q deseada para cualquier R _L dada en un sistema sin pérdidas. Si consideramos R _L como interno al resonador entonces la Q calculada anteriormente es la Q interna, Q _I.

Figura\(\PageIndex{5}\): Resonador TEM acoplado.

Podemos conectar este resonador externamente agregando una línea de alimentación a corta distancia\(\delta_{2}\) y desde su extremo izquierdo, como se ilustra en la Figura 7.4.5 (b). Si la línea de alimentación coincide en su extremo izquierdo entonces la Q, Q _E externa, asociada con la potencia disipada ahí viene dada por (7.4.45) para\(\delta=\delta_{2}\) y R _L = Z _o. Ajustando\(\delta_{2}\) cualquier Q _E se puede obtener. Las figuras 3.5.3 y 7.4.4 sugieren cómo los circuitos equivalentes para los filtros de paso banda o de parada de banda pueden hacer coincidir toda la potencia disponible con la carga si R _Th = R _L y por lo tanto Q _E = Q _I. Por lo tanto, toda la potencia disponible se puede entregar a R _L en la Figura 7.4.5 (b) para cualquier pequeño\(\delta_{1}\) seleccionando\(\delta_{2}\) correctamente; si\(\delta_{2}\) produce una coincidencia perfecta en la resonancia, tenemos un resonador acoplado críticamente. Si\(\delta_{2}\) es mayor que el valor acoplado críticamente, entonces la línea de transmisión de entrada está demasiado fuertemente acoplada, Q _E < Q _I, y tenemos un resonador sobreacoplado; a la inversa, valores más pequeños de\(\delta_{2}\) rendimiento Q _E > Q _I y subacoplamiento. El ancho de banda de este filtro de paso de banda\(\delta\) ω está relacionado con el Q, Q _L cargado, como se define en (7.4.41) donde:

\[\mathrm{\mathrm{Q}_{\mathrm{L}}^{-1}=\mathrm{Q}_{\mathrm{I}}^{-1}+\mathrm{Q}_{\mathrm{E}}^{-1}}=\Delta \omega / \omega\]

Si el filtro de paso banda de la Figura 7.4.5 (b) se empareja en resonancia así Q _E = Q _I, por lo tanto tiene un ancho de banda\(\delta\) ω = 2Ω/Q _I, donde Q _I viene dado por (7.4.39) y está determinado por nuestra elección de\(\delta_{1}\). Valores menores de\(\delta_{1}\) rendimiento valores mayores para Q _L y anchos de banda más estrechos\(\delta\) ω. En el caso especial donde R _L corresponde a otra línea de transmisión emparejada con impedancia Z _o, entonces una coincidencia perfecta en resonancia resulta aquí cuando\(\delta_{1}=\delta_{2}\).

Existen muchas variaciones del esquema de acoplamiento en la Figura 7.4.5. Por ejemplo, la línea de alimentación y el resonador pueden aislarse mediante una derivación que consiste en un condensador grande o un inductor pequeño, ambos aproximando cortocircuitos en relación con Z _o, o por un bloque de alta impedancia que consiste en un condensador pequeño o un inductor grande en serie. Alternativamente, se puede conectar una línea de alimentación externa en lugar de _R4 en la Figura 7.4.3 (d). En cada caso débilmente acoplado, los métodos de perturbación producen rápidamente Q _I y Q _E, y por lo tanto Q _L,\(\delta\) ω y la impedancia a la resonancia.

La impedancia a la resonancia se puede encontrar una vez que se conocen Q _E, Q _I y Z _o para la línea de alimentación, y una vez que se sabe si la resonancia es una resonancia en serie o paralela. Haciendo referencia a las figuras 3.5.3 y 7.4.4 para circuitos equivalentes para filtros de paso de banda y de parada de banda, respectivamente, está claro que si Q _E = Q _I, entonces los resonadores de paso banda se emparejan en la resonancia, mientras que los resonadores de resonancia en serie de parada de banda son cortocircuitos y resonancia en paralelo. los resonadores son circuitos abiertos. Lejos de resonancia, los resonadores de paso de banda se convierten en circuitos abiertos para resonancias en serie y cortocircuitos para resonancias paralelas, mientras que ambos tipos de resonadores de parada de banda se convierten en cargas coincidentes si Q _E = Q _I. En resonancia, los cuatro tipos de resonadores tienen impedancias puramente reales y coeficientes de reflexión\(\Gamma\) que se pueden encontrar fácilmente examinando los cuatro circuitos equivalentes citados anteriormente.

A veces, las resonancias no deseadas pueden interrumpir los sistemas. Por ejemplo, considere una guía de ondas que pueda propagar dos modos, de los cuales solo se desea uno. Si un poco del modo no deseado se excita en un extremo de la guía de ondas, pero no puede escapar a través de las líneas conectadas en cada extremo, entonces el segundo modo queda atrapado en gran medida y se comporta como un resonador débilmente acoplado con sus propias pérdidas. En cada una de sus resonancias disipará la energía extraída de la guía de ondas principal. Si las pérdidas internas ocasionan Q _E = Q _I para estas resonancias parásitas, no importa cuán débilmente acopladas estén, pueden aparecer como una carga emparejada posicionada a través de la línea principal; la disipación por resonancias parásitas disminuye a medida que sus Q internas y externas difieren cada vez más.

La capacidad de una resonancia débilmente acoplada para tener un efecto externo potente surge porque las intensidades de campo dentro de un resonador de baja pérdida pueden elevarse a valores muy superiores a los del circuito externo. Por ejemplo, el resonador acoplado críticamente de la Figura 7.4.5 (b) para R _L = Z _o y\(\delta_{1}=\delta_{2}\), tiene tensiones internas v (z, t) = V _o sinωt sin (\(\pi\)z/D) dadas por (7.4.44), donde la tensión máxima del terminal es solamente\(\mathrm{V}_{\mathrm{o}} \sin (\pi \delta / \mathrm{D}) \cong \mathrm{V}_{\mathrm{o}} \pi \delta / \mathrm{D}<<\mathrm{V}_{\mathrm{o}}\). Así, una resonancia parasitaria puede absorber lentamente la energía de su entorno a su frecuencia resonante hasta que sus campos internos se construyen hasta el punto de que incluso con un acoplamiento débil tiene un poderoso efecto sobre los campos externos y así alcanza un valor de equilibrio. Son estos campos resonantes potencialmente extremadamente fuertes los que permiten a los resonadores acoplados críticamente acoplar energía en cargas mal emparejadas: los campos en el resonador se construyen hasta que la potencia disipada en la carga sea igual a la potencia disponible proporcionada. En algunos casos los campos pueden construirse hasta el punto en que el resonador se arquee internamente, como puede suceder con un horno microondas vacío sin una carga interna extra para evitarlo.

Este análisis del comportamiento resonante de las líneas TEM es aproximado porque la longitud del resonador medida en longitudes de onda es una función de la frecuencia dentro de\(\delta\) ω, por lo que las respuestas exactas requieren usar los métodos de análisis TEM de las Secciones 7.2—3, particularmente cuando\(\delta\) ω se convierte en una fracción no trivial del diferencia de frecuencia entre resonancias adyacentes.

Ejemplo\(\PageIndex{B}\)

Considere una variación del resonador acoplado de la Figura 7.4.5 (b) donde el resonador está opencircuido en ambos extremos y las conexiones externas débilmente acopladas en\(\delta_{1}\) y\(\delta_{2}\) desde los extremos están en serie con la línea del resonador TEM de 100 ohmios en lugar de en paralelo. Encuentra\(\delta_{1}\) y\(\delta_{2}\) para: Q _L = 100, Z _o = 100 ohmios tanto para la línea de alimentación como para el resonador, R _L = 50 ohmios, y la longitud del resonador es D λ/2, donde λ es la longitud de onda dentro del resonador.

Solución

Para acoplamiento crítico, Q _E = Q _I, por lo que la potencia del resonador perdida a la línea de entrada,\(\left|\mathrm{\underline I}_{2}\right|^{2} \mathrm{Z}_{\mathrm{o}} / 2\), debe ser igual a la perdida a la carga,\(\left|\mathrm{\underline I}_{2}\right|^{2} \mathrm{R}_{2} / 2\), y por lo tanto\(\left|\mathrm{\underline I}_{1}\right| /\left|\underline{\mathrm{I}}_{2}\right| = \mathrm{\left(Z_{0} / R_{L}\right)^{0.5}}=2^{0.5}\). Dado que la resonancia λ/2 de una línea TEM de circuito abierto tiene I (z) I _o sin (\(\pi\)z/D)\(\pi\) z/D for\(\delta<<\mathrm{D} / \pi\) (high Q), por lo tanto\(\mathrm{\left|\underline{I}_{1}\right| /\left|\underline{I}_{2}\right|=\left[\sin \left(\pi \delta_{1} / D\right)\right] /\left[\sin \left(\pi \delta_{2} / D\right)\right]} \cong \delta_{1} / \delta_{2} \cong 2^{0.5}\). También, Q _L =100=0.5×Q _I =0.5ω _o w _T /P _DI, donde: ω _o =2\(\pi\) f _o =2\(\pi\) c/λ=\(\pi\) C/d;\(\mathrm{w}_{\mathrm{T}}=2 \mathrm{w}_{\mathrm{m}}=2 \int_{0}^{\mathrm{D}}\left(\mathrm{L}|\mathrm{I}|^{2} / 4\right) \mathrm{d} \mathrm{z} \cong \mathrm{L} \mathrm{I}_{\mathrm{o}}^{2} \mathrm{D} / 4\); y\(\mathrm{P}_{\mathrm{DI}}=\left|\mathrm{I}\left(\delta_{1}\right)\right|^{2} \mathrm{R}_{\mathrm{L}} / 2= \mathrm{I}_{\mathrm{o}}^{2} \sin ^{2}\left(\pi \delta_{1} / \mathrm{D}\right) \mathrm{R}_{\mathrm{L}} / 2 \cong\left(\mathrm{I}_{\mathrm{o}} \pi \delta_{1} / \mathrm{D}\right)^{2} \mathrm{R}_{\mathrm{L}} / 2\). Por lo tanto

\[\mathrm{Q}_{\mathrm{I}}=\omega_{\mathrm{o}} \mathrm{W}_{\mathrm{T}} / \mathrm{P}_{\mathrm{DI}}=200= (\pi \mathrm{c} / \mathrm{D})\left(\mathrm{LI}_{\mathrm{o}}^{2} \mathrm{D} / 4\right) /\left[\left(\mathrm{I}_{\mathrm{o}} \pi \delta_{1} / \mathrm{D}\right)^{2} \mathrm{R}_{\mathrm{L}} / 2\right]=\left(\mathrm{D} / \delta_{1}\right)^{2}\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{o}} / \mathrm{R}_{\mathrm{L}}\right) / \pi,\nonumber\]

donde cL = Z _o = 100. Así\(\delta_{1}=\pi^{-0.5} \mathrm{D} / 10\) y\(\delta_{2}=\delta_{1} 2^{-0.5}=(2 \pi)^{-0.5} \mathrm{D} / 10\).

Transitorios en resonadores TEM

Los resonadores TEM y de cavidad tienen muchos modos resonantes, todos los cuales se pueden energizar simultáneamente, dependiendo de las condiciones iniciales. Debido a que las ecuaciones de Maxwell son lineales, los campos totales se pueden caracterizar como la superposición lineal de campos asociados con cada modo excitado. Esta sección ilustra cómo se puede determinar la excitación relativa de cada modo de resonador TEM a partir de cualquier conjunto dado de condiciones iniciales, por ejemplo, a partir de v (z, t = 0) e i (z, t = 0), y cómo evolucionan posteriormente el voltaje y la corriente. El mismo método general se aplica a la excitación modal de resonadores de cavidad. Mediante el uso de un método similar de ortogonalidad para hacer coincidir las condiciones de límite en el espacio más que en el tiempo, se puede encontrar la excitación modal de guías de onda y fibras ópticas, como se discute en la Sección 9.3.3.

El concepto central desarrollado a continuación es que cualquier condición inicial en un resonador TEM en el tiempo cero se puede replicar superponiendo algún conjunto ponderado de modos de voltaje y corriente. Una vez que se conocen la fase y las magnitudes de esos modos, el voltaje y la corriente se conocen para siempre. El paso de solución clave utiliza el hecho de que las funciones matemáticas que caracterizan dos modos diferentes a y b, por ejemplo, las distribuciones de voltaje\(\mathrm{\underline{V}_{a}(z)}\) y\(\mathrm{\underline{V}_{b}(z)}\), son espacialmente otogonales:\(\int \underline{V}_{\mathrm{a}}(\mathrm{z}) \underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{b}} *(\mathrm{z}) \mathrm{d} \mathrm{z}=0\).

Considere el resonador TEM de circuito abierto de la Figura 7.4.3 (c), para lo cual\(\underline{V}_{n-}=\underline{V}_{n+}\) para cualquier modo n debido a que el coeficiente de reflexión en el circuito abierto en z = 0 es +1. El voltaje y la corriente resultantes en el resonador para el modo n son: ³⁹

³⁹ Donde recordamos\(\cos \phi=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \phi}\right) / 2\) y\(\sin \phi=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \phi}\right) / 2 \mathrm{j}\).

\[\mathrm{\underline{V}_{n}(z)=\underline{V}_{n+} \mathrm{e}^{-j k_{n} z}+\underline{V}_{n-} e^{+j k_{n} z}=2 \underline{V}_{n+} \cos k_{n} z}\]

\[\mathrm{\underline{I}_{n}(z)=Y_{0}\left(\underline{V}_{n+} e^{-j k_{n} z}-\underline{V}_{n-} e^{+j k_{n} z}\right)=-2 j Y_{0} \underline{V}_{n+} \sin k_{n} z}\]

donde k _n = ω _n/c y (7.4.5) produce ω _n = n\(\pi\) c/d. Podemos restringir las expresiones generales para voltaje y corriente al momento t = 0 cuando las distribuciones de voltaje y corriente dadas son v _o (z) e i _o (z):

\[\left.\mathrm{v}(\mathrm{z}, \mathrm{t}=0)=\mathrm{v}_{0}(\mathrm{z})=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{\underline V}_{\mathrm{n}}(\mathrm{z}) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{\mathrm{n}} \mathrm{t}}\right\}_{\mathrm{t}=0}=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{2 \underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{n}+} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{n}}\mathrm{z}\right\}\right\}\]

\[\mathrm{i(z, t=0)=i_{0}(z)=\sum_{n=0}^{\infty} R_{e}\left\{\underline I_{n}(z) e^{j \omega_{n} t}\right\}_{t=0}=Y_{0} \sum_{n=0}^{\infty} I_{m}\left\{2 \underline{V}_{n+} \sin k_{n} z\right\}}\]

Observamos que estas dos ecuaciones nos permiten resolver tanto para la parte real como para la imaginaria de\(\mathrm {\underline{V}_{n+}}\), y por lo tanto para v (z, t) e i (z, t). Usando la ortogonalidad espacial de los modos, multiplicamos ambos lados de (7.4.49) por cos (m\(\pi\) z/D) e integramos sobre la longitud de línea TEM D, donde k _n = n\(\pi\) z/D:

\[\begin{align}&\int_{0}^{\mathrm{D}} \mathrm{v}_{\mathrm{o}}(\mathrm{z}) \cos (\mathrm{m} \pi \mathrm{z} / \mathrm{D}) \mathrm{d} \mathrm{z}=\int_{0}^{\mathrm{D}} \sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{2 \underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{n}+} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{n}} \mathrm{z}\right\} \cos (\mathrm{m} \pi \mathrm{z} / \mathrm{D}) \mathrm{d} \mathrm{z} \nonumber \\&\quad=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{2 \underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{n}+}\right\} \int_{0}^{\mathrm{D}} \cos (\mathrm{n} \pi \mathrm{z} / \mathrm{D}) \cos (\mathrm{m} \pi \mathrm{z} / \mathrm{D}) \mathrm{d} \mathrm{z}=2 \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{V}_{\mathrm{n}+}\right\}(\mathrm{D} / 2) \delta_{\mathrm{mn}}\end{align}\]

donde\(\delta_{\mathrm{mn}} \equiv 0 \) si m ≠ n, y\(\delta_{\mathrm{mn}} \equiv 1 \) si m = n. La ortogonalidad de los modos permite así que esta integral destaque la amplitud de cada modo por separado, rindiendo:

\[\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{\underline V}_{\mathrm{n}+}\right\}=\mathrm{D}^{-1} \int_{0}^{\mathrm{D}} \mathrm{v}_{\mathrm{o}}(\mathrm{z}) \cos (\mathrm{n} \pi \mathrm{z} / \mathrm{D}) \mathrm{d} \mathrm{z}\]

Del mismo modo, podemos multiplicar (7.4.50) por sin (m\(\pi\) z/D) e integrar sobre la longitud D para producir:

\[\operatorname{Im}\left\{\underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{n}+}\right\}=\mathrm{Z}_{\mathrm{o}} \mathrm{D}^{-1} \int_{0}^{\mathrm{D}} \mathrm{i}_{\mathrm{o}}(\mathrm{z}) \sin (\mathrm{n} \pi \mathrm{z} / \mathrm{D}) \mathrm{dz}\]

Una vez que\(\mathrm{\underline{V}_{n}}\) se conoce para todos n, siguen las expresiones completas de voltaje y corriente en la línea TEM, donde ω _n =\(\pi\) Nc/d:

\[\mathrm{v}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{n}}(\mathrm{z}) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{\mathrm{n}} \mathrm{t}}\right\} \]

\[ \mathrm{i(z, t)=\sum_{n=0}^{\infty} R_{e}\left\{\underline I_{n}(z) e^{j \omega_{n} t}\right\}=Y_{o} \sum_{n=0}^{\infty} I_{m}\left\{2_{-} V_{n+} \sin k_{n} z\right\}}\]

En general, cada modo resonador decae exponencialmente a su propio ritmo natural, hasta que solo queda el modo más longevo.

Como se analiza en la Sección 9.3.3, la excitación relativa de los modos de guía de ondas por corrientes puede determinarse de manera similar expresando los campos en una guía de ondas como la suma de modos, y luego haciendo coincidir las condiciones límite impuestas por las corrientes de excitación dadas en el origen espacial (no origen temporal). Las partes real e imaginaria de las amplitudes que caracterizan cada modo de propagación de guía de ondas se pueden determinar multiplicando ambos lados de esta ecuación límite por senos espaciales o cosenos correspondientes a los diversos modos, e integrando sobre la superficie definiendo el límite en z = 0. Las corrientes de excitación espacial arbitrarias generalmente excitan los modos propagador y evanescente en alguna combinación. Lejos del punto de excitación solo son evidentes los modos de propagación, mientras que los modos evanescentes son evidentes principalmente como una reactancia vista por la fuente de corriente.