7.3: Métodos para hacer coincidir líneas de transmisión

Comportamiento dependiente de la frecuencia

Esta sección se centra en el comportamiento dependiente de la frecuencia introducido por obstáculos y transiciones de impedancia en líneas de transmisión, incluyendo líneas TEM, guías de onda y sistemas ópticos. El comportamiento de la línea de transmisión dependiente de la frecuencia también se puede introducir por pérdida, como se discute en la Sección 8.3.1, y por la velocidad de propagación dependiente de la frecuencia de guías de onda y fibras ópticas, como se discute en las Secciones 9.3 y 12.2.

El tema básico se ilustra en la Figura 7.3.1 (a), donde un obstáculo refleja alguna fracción del poder incidente. Si queremos eliminar pérdidas por reflejos necesitamos cancelar la onda reflejada sumando otra que tenga la misma magnitud pero que esté 180° desfasada. Esto se puede hacer fácilmente agregando otro obstáculo delante o detrás del primero con las propiedades necesarias, como se sugiere en (b). Sin embargo, las reflexiones del obstáculo adicional pueden rebotar entre los dos obstáculos varias veces, y el resultado final debe considerar estos rayos adicionales también. Si los reflejos son pequeños los reflejos múltiples se vuelven despreciables. Esta estrategia funciona para cualquier tipo de línea de transmisión, incluyendo líneas TEM, guías de onda y sistemas ópticos.

Figura\(\PageIndex{1}\): Cancelación de reflexiones sobre líneas de transmisión.

La consecuencia más importante de cualquier estrategia de sintonización de este tipo para eliminar las reflexiones es que las dos fuentes reflectantes a menudo se desplazan espacialmente, por lo que la fase relativa entre ellas depende de la longitud de onda. Si las reflexiones múltiples son importantes, esta dependencia de la frecuencia puede aumentar sustancialmente. En lugar de considerar todas estas reflexiones de una manera tediosa, podemos resolver más directamente las ecuaciones extendiendo el análisis de la Sección 7.2.3, que se resume a continuación en el contexto de líneas TEM que tienen admitancia característica y _o y una terminación de impedancia compleja\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{L}}\):

\[\underline{V}(\mathrm{z})=\underline{\mathrm{V}}_{+} \mathrm{e}^{-\mathrm{jkz}}+\underline{\mathrm{V}}_{-} \mathrm{e}^{\mathrm{jkz}}\ [\mathrm{V}]\]

\[\underline{I}(\mathrm z)=Y_{0}\left(\underline{V}_{+} e^{-j k z}-\underline{V}_{-} e^{j k z}\right) \ [A]\]

\[\underline{\Gamma}(\mathrm{z}) \equiv\left(\underline{\mathrm{V}}_{-} \mathrm{e}^{\mathrm{jkz}}\right) /\left(\underline{\mathrm{V}}_{+} \mathrm{e}^{-\mathrm{jkz}}\right)=\left(\underline{\mathrm{V}}-\underline{\mathrm{V}}_{+}\right) \mathrm{e}^{2 \mathrm{jkz}}=\left(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}-1\right) /\left(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}+1\right)\]

La impedancia normalizada\(\underline{Z}_{\mathrm n}\) se define como:

\[\underline{Z}_{\mathrm n} \equiv \underline{Z} / Z_{o}=[1+\underline{\Gamma}(z)] /[1-\underline{\Gamma}(z)]\]

\( \underline{Z}_{\mathrm n}\)puede relacionarse\( \underline{\Gamma}(\mathrm{z})\) dividiendo (7.3.1) por (7.3.2) para encontrar\(\underline{\mathrm{Z}}(\mathrm{z}) \), y la relación inversa (7.3.3) sigue. Usando (7.3.3) y (7.3.4) en las siguientes secuencias, la impedancia\(\underline{Z}\left(\mathrm{z}_{2}\right)\) en cualquier punto de una línea no obstruida puede relacionarse con la impedancia en cualquier otro punto z ₁:

\[\underline{Z}\left(z_{1}\right) \Leftrightarrow \underline{Z}_{n}\left(z_{1}\right) \Leftrightarrow \underline{\Gamma}\left(z_{1}\right) \Leftrightarrow \underline{\Gamma}\left(z_{2}\right) \Leftrightarrow \underline{Z}_{n}\left(z_{2}\right) \Leftrightarrow \underline{Z}\left(z_{2}\right)\]

Las cinco flechas en (7.3.5) corresponden a la aplicación de las ecuaciones (7.3.3) y (7.3.4) en la siguiente secuencia de izquierda a derecha: (4), (3), (3), (4), (4), respectivamente.

Un problema estándar implica determinar\(\underline{Z}(\mathrm{z})\) (para z < 0) resultante de una impedancia de carga\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{L}}\) a z = 0. Un enfoque es reemplazar las operaciones en (7.3.5) por una sola ecuación, derivada en (7.2.24):

\[\underline{Z}(\mathrm{z})=\mathrm{Z}_{0}\left(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{L}}-\mathrm{j} \mathrm{Z}_{\mathrm{o}} \tan \mathrm{kz}\right) /\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}-\mathrm{j} \underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{L}} \text { tan } \mathrm{kz}\right) \qquad\qquad\qquad \text { (impedance transformation) }\]

Por ejemplo, si\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{L}}=0\), entonces\(\underline{\mathrm{Z}}(\mathrm{z})=-\mathrm{j} \mathrm{Z}_{\mathrm{o}} \tan \mathrm{kz}\), lo que significa que\(\underline{Z}(z)\) puede oscilar entre -j∞ y +j∞, dependiendo de z, imitando cualquier reactancia a una sola frecuencia. La impedancia se repite a distancias de Δz = λ, donde k (Δz) = (2π/λ) Δz = 2π. Si\(\underline{Z}_{L}=Z_{0}\), entonces\(\underline{Z}(z)=Z_{0}\) en todas partes.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

¿Cuál es la impedancia a 100 MHz de una línea TEM de 100 ohmios λ/4 de longitud y conectada a un: 1) cortocircuito? 2) ¿circuito abierto? 3) ¿Resistencia de 50 ohmios? 4) condensador C = 10 ^-10 F?

Solución

En los cuatro casos la relación entre\(\underline{\Gamma}(z=0)=\underline{\Gamma}_{L}\) a la carga, y\(\underline{\Gamma}(z=-\lambda / 4)\) es la misma [ver (7.3.3)]:

\[\underline{\Gamma}(z=-\lambda / 4)=\underline{\Gamma}_{\underline{L}} \mathrm{e}^{2 \overline{\mathrm{j}} \mathrm{k} z}=\underline{\Gamma}_{\underline{L}} \mathrm{e}^{2 \mathrm{j}(2 \pi / \lambda)(-\lambda / 4)}=-\underline{\Gamma}_{\underline{L}}.\nonumber\]

Por lo tanto, en los cuatro casos vemos de (7.3.4) que

\[\underline{Z}_{n}(\mathrm{z}=-\lambda / 4)=\left(1-\underline{\Gamma}_{\mathrm{L}}\right) /\left(1+\underline{\Gamma}_{\mathrm{\underline{L}}}\right)=1 / \underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}(0) \cdot \underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}(\mathrm{z}=0)\nonumber\]

para estos cuatro casos es: 0, ∞, 0.5 y\(1 / j \omega C Z_{0}=1 /\left(j 2 \pi 10^{8} 10^{-10} 100\right)=1 / j 2 \pi\), respectivamente. Por lo tanto\(\underline{Z}(z=-\lambda / 4)=100 \underline{Z}_{\mathrm{n}}^{-1} \text {ohms }\), respectivamente. Dado que la impedancia de un inductor es\(\underline{Z}=j \omega L\), se deduce que j200π es equivalente a 100 MHz a\(\mathrm{L}= 200 \pi / \omega=200 \pi / 200 \pi 10^{8}=10^{-8} \ [\mathrm{Hy}]\).

Transformadores de diagrama Smith, afinación de talón y cuarto de onda

Un problema común es cómo cancelar reflexiones sin pérdidas, forzando así toda la energía incidente a una carga. Esto requiere la adición de una o más impedancias reactivas en serie o en paralelo con la línea para convertir la impedancia en ese punto a Z _o, donde debe permanecer para todos los puntos más cercanos a la fuente o al siguiente obstáculo. Se han desarrollado herramientas de software para facilitar esto, pero una sencilla herramienta gráfica, el gráfico Smith, proporciona una visión útil de lo que se puede emparejar fácilmente y lo que no. Antes de las computadoras era ampliamente utilizado para diseñar y caracterizar sistemas de microondas.

Las operaciones clave en (7.3.5) son la rotación en el plano gamma\(\left[\underline{\Gamma}\left(z_{1}\right) \Leftrightarrow \underline{\Gamma}\left(z_{2}\right)\right]\) y las conversiones\(\underline{Z}_{n} \Leftrightarrow \underline{\Gamma}\), dadas por (7.3.3—4). Ambas operaciones pueden acomodarse en una sola gráfica que mapea la relación uno a uno\(\underline{Z}_{n} \Leftrightarrow \underline{\Gamma}\) en el plano gamma complejo, como se sugiere en la Figura 7.3.2 (a). Las conversiones\(\underline{\Gamma}\left(z_{1}\right) \Leftrightarrow \underline{\Gamma}\left(z_{2}\right)\) son simplemente rotaciones en el plano gamma. El plano gamma se introdujo en la Figura 7.2.3. El gráfico Smith simplemente superpone los valores de impedancia normalizados equivalentes\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}\) en el plano gamma; solo unos pocos valores clave se indican en la versión simplificada que se muestra en (a). Por ejemplo, los loci para los que el R _n real y las partes imaginarias X _n de\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}\) permanecen constantes se encuentran en segmentos de círculos\(\left(\underline{Z}_{n} \equiv R_{n}+j X_{n}\right)\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Relación entre el plano gamma y el gráfico Smith.

La rotación en el plano gamma relaciona los valores de\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}\) y\(\underline{\Gamma}\) en una z con sus valores en otra, como se sugiere en la Figura 7.3.2 (b). Dado que\(\underline{\Gamma}(\mathrm{z})=\left(\underline{\mathrm{V}}_{-}/\underline{\mathrm{V}}_{+}\right) \mathrm{e}^{2 \mathrm{jkz}}=\underline{\Gamma}_{\mathrm{L}} \mathrm{e}^{2 \mathrm{jkz}}=\underline{\Gamma}_{\mathrm{L}} \mathrm{e}^{-2 \mathrm{jk} \ell}\), y dado que e ^jφ corresponde a la rotación en sentido antihorario a medida que φ aumenta, el movimiento hacia el generador (dirección -z) corresponde a la rotación en sentido horario en el plano gamma. El exponente de\(\mathrm{e}^{-2 \mathrm{jk} \ell}\) es\(-\mathrm{j} 4 \pi \ell / \lambda\), por lo que una rotación completa en el plano gamma corresponde al movimiento\(\ell\) hacia abajo de la línea de solo λ/2.

Un ejemplo sencillo ilustra el uso de la gráfica Smith. Considere un inductor que tenga JΩL = j100 en una línea de 100 ohmios. Entonces\(\underline{Z}_{n}=j \), lo que corresponde a un punto en la parte superior de la tabla de Smith donde\(\underline{\Gamma}=+j \) (normalmente\(\left.\underline{Z}_{n} \neq \underline{\Gamma}\right)\). Si nos desplazamos hacia el generador λ/4, correspondiente a rotación de\(\underline{\Gamma}(\mathrm{z}) \) mitad de camino alrededor del gráfico Smith, entonces llegamos a la parte inferior donde\( \underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}=-\mathrm{j}\) y\(\underline{Z}=Z_{0} \underline{Z}_{n}=-\mathrm{j} 100=1 / \mathrm{j} \omega \mathrm{C}\). Por lo que la capacitancia equivalente C en la nueva ubicación es de 1/100ω faradios.

El gráfico de Smith tiene otras propiedades interesantes. Por ejemplo, la rotación a mitad del gráfico (cambiando\(\underline{\Gamma}\) y\(-\underline{\Gamma}\)) convierte cualquier impedancia normalizada en la admitancia normalizada correspondiente. Esto se demuestra fácilmente: ya que\(\underline{\Gamma}=\left(\underline{Z}_{n}-1\right) /\left(\underline{Z}_{n}+1\right)\), conversión de\(\underline{Z}_{n} \rightarrow \underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}^{-1}\) rendimientos\(\underline{\Gamma}^{\prime}=\left(\underline{Z}_{\mathrm{n}}^{-1}-1\right) /\left(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}^{-1}+1\right)=\left(1-\mathrm{Z}_{\mathrm{n}}\right) /\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{n}}+1\right)=-\underline{\Gamma} \ [\mathrm{Q} . \mathrm{E} . \mathrm{D} .]^{35}\) Pares de puntos con esta propiedad incluyen\( \underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}=\pm \mathrm{j}\) anuncio\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}}=(0, \infty)\).

³⁵ Q.E.D. es una abreviatura de la frase latina “quod erat demonstratum”, o “aquello que iba a demostrarse”.

Otra propiedad útil del gráfico Smith es que la relación voltaje-onda estacionaria (VSWR) es igual al valor real positivo máximo R _{n max} de\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}} \) acostarse en el locus circular ocupado por\(\underline{\Gamma}(\mathrm{z}) \). Esto se muestra fácilmente a partir de la definición de VSWR:

\ [\ begin {align}
\ mathrm {VSWR} &\ equiv|\ subrayado {\ mathrm {V}}\ max |\ izquierda|\ mathrm {V} _ {\ min}\ derecha|=\ izquierda (\ izquierda|\ mathrm {V} _ {+}\ mathrm {e} ^ {-\ mathrm {j}\ mathrm {kz}}\ rightrm |+\ izquierda|\ mathrm {V} _ {-}\ mathrm {e} ^ {+\ mathrm {jkz}}\ derecha|\ derecha)/\ izquierda (\ izquierda|\ mathrm {V} _ {+}\ mathrm {e} ^ {-\ mathrm {jkz}}\ derecha|- \ izquierda|\ mathrm {V} _ _ {-}\ mathrm {e} ^ {+\ mathrm {jkz}}\ derecha|\ derecha)\ nonumber\\
&\ equiv (1+|\ subrayado {\ mathrm {I}} |)/(1-|\ subrayado {\ mathrm {I}} |) =\ mathrm {R} _ {\ mathrm {n}\ max}
\ fin {alinear}\]

Un uso más importante del gráfico Smith se ilustra en la Figura 7.3.3, donde la carga 60 + j80 va a ser igualada a una línea TEM de 100 ohmios por lo que toda la potencia se disipa en la resistencia de 60 ohmios. En particular, la longitud\( \ell\) de la línea de transmisión en la Figura 7.3.3 (a) debe elegirse para transformarse de\( \underline{Z}_{L}=60+80 j\) manera que su parte real se convierta en Z _o. La nueva parte imaginaria puede ser cancelada por una carga reactiva (L o C) que se colocará ya sea en la posición M o N. El primer paso es ubicar\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{n}} \) en el gráfico de Smith en la intersección de los círculos R _n = 0.6 y X _n = 0.8, que pasan a caer en\(\underline{\Gamma} \). A continuación localizamos el círculo gamma\( \underline{\Gamma}(\mathrm{z})\) a lo largo del cual podemos movernos variando\( \ell\). Esto cruza el círculo R _n = 1 en el punto “a” después de girar hacia el generador “distancia A”. A continuación podemos agregar una reactancia negativa para cancelar la reactancia Jx _n = +1.18j en el punto “a” para rendir\(\underline{Z}_{n}(a)=1\) y\(\underline{Z}=Z_{0}\). Una reactancia negativa es un condensador C en serie en la ubicación M en el circuito. Por lo tanto 1/JΩC = -1.18Jz _o y C = (1.18Ωz _o) ^-1. La longitud de línea requerida\(\ell\) corresponde a ~0.05λ, escala para la cual se imprime en el perímetro de las cartas oficiales como se ilustra en la Figura 7.3.4.

Figura\(\PageIndex{3}\): Coincidencia de una carga reactiva usando el gráfico Smith.

Aquí se pueden utilizar más de tres esquemas de emparejamiento más. Por ejemplo, podríamos alargarnos\( \ell\) a la distancia “B” y al punto “b”, donde se podría agregar una reactancia positiva de X _n = 1.18 en serie en la posición M para proporcionar una coincidencia. Esto requiere un inductor L = _1.18Z o/ω.

Alternativamente, podríamos señalar que\(\underline{Z}_{\mathrm{Ln}}\) corresponde a\(\underline{Y}_{L n}=0.6-0.8 j\) en el lado opuesto del gráfico\((\underline{\Gamma} \rightarrow-\underline{\Gamma})\), donde el hecho de que ambos\(\underline{Z}_{\mathrm{Ln}}\) y\(\underline{Y}_{L n}\) tengan las mismas partes reales es una coincidencia limitada a casos donde\(\underline{\Gamma}_{L}\) es puro imaginario. Girar hacia la distancia del generador C nuevamente nos pone en el círculo G _n = 1\(\left(\underline{Y}_{n} \equiv G_{n}+j B_{n}\right)\), por lo que podemos sumar una admisión negativa B _n de -1.18j para producir Y _o. Sumando una admitancia negativa en paralelo en\(z=-\ell\) corresponde a sumar un inductor L en la posición N, donde\(-\mathrm{j} \mathrm{Z}_{\mathrm{o}} \mathrm{X}_{\mathrm{n}}=1 / \mathrm{j} \omega \mathrm{L}\), así\(\mathrm{L}=\left(1.18 \omega \mathrm{Z}_{\mathrm{o}}\right)^{-1}\). Al girar más hacia el punto “b”, se podría agregar un condensador en paralelo en lugar del inductor. Generalmente se utiliza la longitud de línea más corta posible y el elemento reactivo más pequeño, de menor costo y de menor pérdida.

© Electrónica. Todos los derechos reservados. Este contenido está excluido de nuestra licencia Creative Commons. Para obtener más información, consulte http://ocw.mit.edu/fairuse.

Figura\(\PageIndex{i}\): Gráfico de Smith.

A menudo, los circuitos impresos no agregan capacitores o inductores para sintonizar dispositivos, sino que simplemente imprimen una línea TEM adicional en la placa de circuito que está abierta o cortocircuitada en su extremo lejano y se corta a una longitud que produce el equivalente deseado L o C a la frecuencia dada ω.

Un enfoque útil para hacer coincidir las cargas resistivas es insertar una sección de cuarto de longitud de onda de la línea TEM de impedancia Z _A entre la carga _ZL y la impedancia de la línea de alimentación Z _o. _{Entonces Z Ln = Z L /Z A y un cuarto de longitud de onda por debajo de la línea TEM donde\(\underline{\Gamma}\) se convierte\(-\underline{\Gamma}\), la impedancia normalizada se convierte en la recíproca, Z' n = Z A/Z L y la impedancia total hay Z' = Z A} ² /Z _{L. Si esto coincide con la impedancia de la línea de transmisión de salida Z o de manera que Z o = Z A ² /Z L entonces no hay reflejos.} La sección de cuarto de longitud de onda se llama transformador de cuarto de onda y tiene la impedancia\(\mathrm{Z}_{\mathrm{A}}=\left(\mathrm{Z}_{\mathrm{L}} \mathrm{Z}_{0}\right)^{0.5}\). Se puede utilizar una técnica similar si la carga es parcialmente reactiva sin necesidad de L o C, pero se debe ajustar la longitud e impedancia del transformador. Por ejemplo, cualquier impedancia de línea Z _A dará lugar a una impedancia de carga normalizada que se puede girar en una gráfica de Smith para convertirse en una impedancia real; si Z _A y la longitud del transformador se eligen correctamente, esta impedancia real coincidirá con Z _o. El emparejamiento generalmente requiere iteración con un gráfico de Smith o una técnica numérica.