9.3: Olas guiadas dentro de los límites cartesianos
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Guías de onda de placa paralela
Hemos visto en la Sección 9.2 que las ondas pueden reflejarse en interfaces planas. Por ejemplo, (9.2.14) y (9.2.16) describen los campos eléctricos para una onda TE reflejada desde una interfaz plana en x = 0, y se repiten aquí:
\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{i}}=\hat{y} \underline{\mathrm{E}}_{0} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}} \ \left[\mathrm{V} \mathrm{m}^{-1}\right] \qquad \qquad \qquad \text{(incident TE wave)}\]
\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{r}}=\hat{y} \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{r}}-\mathrm{jk}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}-\mathrm{jk}_{\mathrm{z}} \mathrm{z} \qquad \qquad \qquad \text{(reflected TE wave) }\]
Obsérvese que los subíndices i y r denotan “incidente” y “reflejado”, no “imaginario” y “real”. Estas ecuaciones satisfacen la condición de límite de coincidencia de fase que\( \mathrm{k}_{\mathrm{z}}=\mathrm{k}_{\mathrm{zi}}=\mathrm{k}_{\mathrm{zr}}\). Por lo tanto\( \left|\mathrm{k}_{\mathrm{x}}\right|\) es lo mismo para el incidente y las ondas reflejadas porque para ambas olas\( \mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2}=\omega^{2} \mu \varepsilon\).
Si la interfaz plana en x = 0 es un conductor perfecto, entonces el campo eléctrico total allí paralelo al conductor debe ser cero, lo que implica\(\mathrm{\underline{E}_{r}=-\underline{E}_{0}} \). La superposición de estas dos ondas incidentes y reflejadas es:
\[\overline{\mathrm{\underline E}}(\mathrm{x}, \mathrm{z})=\hat{y} \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{o}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{jk}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}=\hat{y} 2 \mathrm{j} \mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}} \sin \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{xe}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}\]
Así,\( \overline{\mathrm{E}}=0\) en una serie de planos paralelos ubicados en x = d, donde:
\[\mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{d}=\mathrm{n} \pi \text { for } \mathrm{n}=0,1,2, \ldots \qquad \qquad \qquad \text{(guidance condition) }\]
Porque\( \mathrm{k}_{\mathrm{x}}=2 \pi / \lambda_{\mathrm{x}}\), estos planos de nulos de campo eléctrico se encuentran en\( \mathrm{x}_{\text {nulls }}=\mathrm{n} \lambda_{\mathrm{x}} / 2\). Un segundo conductor perfecto podría insertarse en cualquiera de estos planos x para que las ondas se reflejaran hacia adelante y hacia atrás y se propagaran juntas en la dirección +z, atrapadas entre los dos planos conductores.
Podemos confirmar fácilmente que se cumplen las condiciones de contorno para el campo magnético correspondiente\( \overline{\mathrm{H}}(\mathrm{x}, \mathrm{z})\) utilizando la ley de Faraday:
\[ \overline{\mathrm{\underline H}}(\mathrm{x}, \mathrm{z})=-(\nabla \times \overline{\mathrm{\underline E}}) / \mathrm{j} \omega \mu=-\left(2 \mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}} / \omega \mu\right)\left(\hat{x} \ \mathrm{jk}_{\mathrm{z}} \sin \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}+\hat{z} \ \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}\]
En\( \) encontramos\( \),, por lo que esta solución es válida.
La ecuación (9.3.4),\(\mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{d}=\mathrm{n} \pi \ (\mathrm{n}=1,2, \ldots) \), es la condición de guía para guías de onda de placa paralela que relaciona el número de modo con las dimensiones de la guía de ondas; d es la separación de las placas paralelas. Podemos usar esta condición de guía para hacer las expresiones (9.3.3) y (9.3.5) for\(\overline{\underline{\mathrm{E}}} \) y\(\overline{\underline{\mathrm{H}}} \) más explícitas reemplazando k x x con n\(\pi\) x/d, y k z con\(2 \pi / \lambda_{\mathrm{z}}\):
\[\overline{\mathrm{\underline E}}(\mathrm{x}, \mathrm{z})=\hat{y} 2 \mathrm{j} \mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}} \sin \left(\frac{\mathrm{n} \pi \mathrm{x}}{\mathrm{d}}\right) \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{j} 2 \pi \mathrm{z}}{\lambda_{\mathrm{z}}}} \qquad\qquad\qquad\left(\overline{\mathrm{E}} \text { for } \mathrm{TE}_{\mathrm{n}} \text { mode }\right)\]
\[\overline{\mathrm{\underline H}}(\mathrm{x}, \mathrm{z})=-\frac{2 \mathrm{E}_{\mathrm{o}}}{\omega \mu}\left[\hat{x} \mathrm{j} \frac{2 \pi}{\lambda_{\mathrm{z}}} \sin \left(\frac{\mathrm{n} \pi \mathrm{x}}{\mathrm{d}}\right)+\hat{z} \frac{\mathrm{n} \pi}{\mathrm{d}} \cos \left(\frac{\mathrm{n} \pi \mathrm{x}}{\mathrm{d}}\right)\right] \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{j} 2 \pi \mathrm{z}}{\lambda_{\mathrm{z}}}}\]
Estos campos eléctricos y magnéticos corresponden a un modo de guía de ondas que se propaga en la dirección +z, como se ilustra en la Figura 9.3.1 (a) para una guía de ondas con placas separadas por la distancia d.
La dirección de propagación se puede inferir a partir del vector Poynting\(\overline{\mathrm{\underline S}}=\overline{\mathrm{\underline E}} \times \overline{\mathrm{\underline H}}^{*} \). Debido a que esta es una onda TE y solo hay media longitud de onda entre las dos placas conductoras (n = 1), esto se designa como el modo TE 1 de una guía de ondas de placa paralela. Debido a que las ecuaciones de Maxwell son lineales, varios modos de propagación con diferentes valores de n pueden estar activos simultáneamente y superponerse.
Estos campos son periódicos tanto en la dirección x como en la z. La longitud de onda\( \lambda_{\mathrm{z}}\) a lo largo del eje z se llama longitud de onda de la guía de ondas y se encuentra fácilmente usando\(\mathrm{k}_{\mathrm{z}}=2 \pi / \lambda_{\mathrm{z}}\) donde\( \mathrm{k^{2}=k_{x}^{2}+k_{z}^{2}}=\omega^{2} \mu \varepsilon\):
\[\lambda_{\mathrm{z}}=2 \pi\left(\mathrm{k}^{2}-\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}\right)^{-0.5}=2 \pi\left[(\omega / \mathrm{c})^{2}-(\mathrm{n} \pi / \mathrm{d})^{2}\right]^{-0.5} \qquad\qquad\qquad \text { (waveguide wavelength) }\]
Solo aquellos modos TE n que\(\mathrm{n}<\omega \mathrm{d} / \mathrm{c} \pi=2 \mathrm{d} / \lambda\) tienen tienen longitudes de onda de guía de ondas no imaginarias\( \) y se propagan. La propagación cesa cuando el número de modo n aumenta hasta el punto donde\(\mathrm{n} \pi / \mathrm{d} \geq \mathrm{k} \equiv 2 \pi / \lambda \equiv \omega / \mathrm{c}\). Este requisito de propagación también se puede expresar en términos de una frecuencia mínima ω de propagación, o frecuencia de corte, para cualquier modo TE:
\[\omega_{\mathrm{TEn}}=\mathrm{n} \pi \mathrm{c} / \mathrm{d} \qquad \qquad \qquad \text{(cut-off frequency for } \mathrm{TE_n} \text{ mode) }\]
Así, cada modo TE n tiene una frecuencia mínima ω TEN para la cual puede propagarse, como se ilustra en la Figura 9.3.2.
El modo TE 0 tiene cero campos en todas partes y por lo tanto no existe. El modo TM 0 puede propagar incluso señales de CC, pero es idéntico al modo TEM. Esta misma relación también se puede expresar en términos de la longitud de onda máxima en el espacio libre\(\lambda_{\mathrm{TEn}}\) que puede propagarse:
\[\lambda_{\mathrm{TE}_{\mathrm{n}}}=2 \mathrm{d} / \mathrm{n} \qquad \qquad \qquad \text{(cut-off wavelength } \lambda_\mathrm{TE_n} \text{ for } \mathrm{TE_n} \text{ mode)}\]
Para una onda no TEM, la longitud de onda λ de espacio libre más larga que puede propagarse en una guía de ondas de placa paralela de ancho d es 2d/n.
Si ω < ω ten, entonces tenemos una onda evanescente; k z, (9.3.6), y (9.3.7) se convierten en:
\[\mathrm{k}_{\mathrm{Z}}^{2}=\omega^{2} \mu \varepsilon-\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}<0, \ \underline{\mathrm{k}}_{\mathrm{Z}}=\pm \mathrm{j} \alpha\]
\[\overline{\mathrm{\underline E}}(\mathrm{x}, \mathrm{z})=\hat{y} 2 \mathrm{j} \mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}} \sin (\mathrm{n} \pi \mathrm{x} / \mathrm{d}) \mathrm{e}^{-\alpha \mathrm{z}} \qquad\qquad\qquad\left(\overline{\mathrm{\underline E}} \text { for } \mathrm{TE}_{\mathrm{n}} \operatorname{mode}, \ \omega<\mathrm{T} \mathrm{En}\right)\]
\[\overline{\mathrm{\underline H}}(\mathrm{x}, \mathrm{z})=-(\nabla \times \overline{\mathrm{\underline E}}) / \mathrm{j} \omega \mu=-\left(2 \mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}} / \omega \mu\right)\left(\hat{x} \alpha \sin \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}+\hat{z} \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}\right) \mathrm{e}^{-\alpha \mathrm{z}}\]
Tales ondas evanescentes no propagan ninguna potencia promedio temporal, es decir\( \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\overline{\mathrm{S}}_{\mathrm{z}}\right\}=0\), porque los campos eléctrico y magnético están 90 grados desfasados en todas partes y decaen exponencialmente hacia cero a medida que z aumenta, como se ilustra en la Figura 9.3.3.
Si reflejamos una onda TM de un conductor perfecto, nuevamente habrá loci planos donde se podrían colocar placas adicionales perfectamente conductoras sin violar las condiciones límite, como se sugiere en la Figura 9.3.1 (b) para el modo TM 1. Obsérvese que la configuración de campo es la misma que para el modo TE 1, excepto que\(\overline{\mathrm{E}}\) y\(\overline{\mathrm{H}}\) han sido intercambiados (permitidos por la dualidad) y desplazados de fase en la dirección lateral para que coincidan con las condiciones de contorno. Entre las placas las soluciones de campo TE y TM son duales, como se discute en la Sección 9.2.6. También tenga en cuenta que TEM = TM 01.
La evaluación del vector de Poynting revela que las ondas de la Figura 9.3.1 se propagan hacia la derecha. Si este modo de guía de ondas se superpusiera con una onda de igual intensidad que viajara hacia la izquierda, el patrón de campo resultante sería similar, pero las distribuciones de campo magnético\(\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{t})\) y eléctrico y se\(\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{t})\) desplazarían entre sí a\(\lambda_{2} / 4\) lo largo del eje z, y serían 90o fuera de fase en el tiempo; el flujo de potencia promedio en el tiempo sería cero, y la potencia reactiva\(\mathrm{I}_{\mathrm{m}}\{\overline{\mathrm{S}}\}\) alternaría entre inductivo (+j) y capacitivo (-j) a intervalos de\(\lambda_{\mathrm z} / 2 \) bajada de la guía de ondas.
Debido a que k z/ω depende de la frecuencia, las formas de onda evolucionan a medida que se propagan. Si la señal es de banda estrecha, esta evolución puede caracterizarse simplemente por señalar que la envolvente de la forma de onda se propaga a la “velocidad de grupo” v g, y la onda sinusoidal modulada dentro de la envolvente se propaga a la “velocidad de fase” v p, como se discute más a fondo en la Sección 9.5 .2. Estas velocidades se encuentran fácilmente a partir de k (ω): v p = ω/k y\(\mathrm{v}_{\mathrm{g}}=(\partial \mathrm{k} / \partial \omega)^{-1}\).
Las velocidades de fase y grupo de las ondas en las guías de ondas de placa paralela no son iguales a c, como se puede deducir la relación de dispersión trazada en la Figura 9.3.4:
\[\mathrm{k}_{\mathrm{Z}}^{2}=\omega^{2} \mu \varepsilon-\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}=\omega^{2} / \mathrm{c}^{2}-(\mathrm{n} \pi / \mathrm{d})^{2} \qquad\qquad\qquad \text { (waveguide dispersion relation) }\]
La velocidad de fase v p de una onda, que es la velocidad a la que la distribución de campo que se muestra en la Figura 9.3.1 se mueve hacia la derecha, es igual a ω/k, que se acerca al infinito a medida que ω se acerca a la frecuencia de corte ω TEN desde arriba. La velocidad de grupo v g, que es la velocidad de propagación de la energía o información, es igual a dω/dk, que es la pendiente local de la relación de dispersión ω (k) y nunca puede superar c. Tanto v p como v g\(c=(\mu \varepsilon)^{-0.5}\) se aproximan como ω → ∞.
Un modo TM 2 se propaga en la dirección +z en una guía de ondas de placa paralela con separación de placas d y longitud de onda de espacio libre λ o. ¿Qué son\(\overline{\mathrm{\underline E}}\) y\(\overline{\mathrm{\underline H}}\)? ¿Qué es λ z? ¿Cuál es la longitud de decaimiento\(\alpha_{\mathrm{Z}}^{-1}\) cuando el modo es evanescente y\(\lambda_{\mathrm{o}}=2 \lambda_{\text {cut off }}\)?
Solución
Podemos superponer ondas TM incidentes y reflejadas o usar dualidad para ceder\(\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) =\hat{y} \mathrm{H}_{0} \operatorname{cosk}_{\mathrm{x}} \mathrm{x} \ \mathrm{e}^{-\mathrm{jk}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}\), análogo a (9.3.3), donde\(\mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{d}=2 \pi\) para el modo TM 2. Por lo tanto\(\mathrm{k}_{\mathrm{x}}=2 \pi / \mathrm{d}\) y\(\mathrm{k}_{\mathrm{z}}=2 \pi / \lambda_{\mathrm{z}}=\left(\mathrm{k}_{\mathrm{o}}^{2}-\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}\right)^{0.5}=\left[\left(2 \pi / \lambda_{\mathrm{o}}\right)^{2}-(2 \pi / \mathrm{d})^{2}\right]^{0.5}\). La ley de Ampere rinde:
\[\begin{aligned}\overline{\mathrm{E}} &=\nabla \times \overline{\mathrm{\underline H}} / \mathrm{j} \omega \varepsilon=\left(\hat{x} \partial \mathrm{H}_{\mathrm{y}} / \partial \mathrm{z}+\hat{z} \mathrm{H}_{\mathrm{y}} / \partial \mathrm{x}\right) / \mathrm{j} \omega \varepsilon \\&=\left(\hat{x} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}+\hat{z} \mathrm{jk}_{\mathrm{x}} \sin \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}\right)\left(\mathrm{H}_{\mathrm{o}} / \omega \varepsilon\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}\end{aligned}\]
Longitud de onda de la guía de ondas\(\lambda_{\mathrm{z}}=2 \pi / \mathrm{k}_{\mathrm{z}}=\left(\lambda_{\mathrm{o}}^{-2}-\mathrm{d}^{-2}\right)^{0.5}\). El corte ocurre cuando k z = 0, o\(\mathrm{k}_{\mathrm{o}}=\mathrm{k}_{\mathrm{x}}=2 \pi / \mathrm{d}=2 \pi / \lambda_{\mathrm{cut} \text { off }}\). Por lo tanto\(\lambda_{\mathrm{o}}=2 \lambda_{\text {cut off }} \Rightarrow \lambda_{\mathrm{o}}=2 \mathrm{d}\), y\(\alpha_{0}^{-1}=\mathrm{\left(-j k_{z}\right)=\left(k_{x}^{2}\right. \left.-k_{0}^{2}\right)^{0.5}=\left[d^{-2}-(2 d)^{-2}\right]^{-0.5} / 2 \pi=d /\left(3^{0.5} \pi\right) \ [m]}\).
Guías de onda rectangulares
Las ondas pueden quedar atrapadas dentro de cilindros conductores y propagarse a lo largo de su eje, siendo las guías de onda rectangulares y cilíndricas los ejemplos más comunes. Considere la guía de ondas rectangular ilustrada en la Figura 9.3.5. Los campos dentro de él deben satisfacer la ecuación de onda:
\[\left(\nabla^{2}+\omega^{2} \mu \varepsilon\right) \overline{\mathrm{\underline E}}=0 \qquad \qquad\left(\nabla^{2}+\omega^{2} \mu \varepsilon\right) \overline{\mathrm{\underline H}}=0\]
donde\(\nabla^{2} \equiv \partial^{2} / \partial x^{2}+\partial^{2} / \partial y^{2}+\partial^{2} / \partial z^{2}\).
Dado que la ecuación de onda requiere que la segunda derivada espacial de\(\overline{\mathrm{\underline E}}\) o\(\overline{\mathrm{\underline H}}\) igual\(\overline{\mathrm{\underline E}}\) o\(\overline{\mathrm{\underline H}}\) veces una constante, estos campos deben ser productos de sinusoides o exponenciales a lo largo de cada una de las tres coordenadas cartesianas, o sumas de dichos productos. Por ejemplo, la ecuación de onda y las condiciones de contorno (\(\overline{\mathrm{E}}_{/ /}=0\)a x = 0 e y = 0) se satisfacen mediante:
\[\mathrm{E}_{\mathrm{x}}=\sin \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y}\left(\mathrm{A} \sin \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}+\mathrm{B} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}\]
\[\mathrm{E}_{\mathrm{y}}=\sin \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}\left(\mathrm{C} \sin \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y}+\mathrm{D} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}\]
siempre que se satisfaga la relación de dispersión habitual para medios uniformes:
\[\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2}=\mathrm{k}_{\mathrm{o}}^{2}=\omega^{2} \mu \varepsilon \qquad \qquad \qquad \text{(dispersion relation) }\]
Estos componentes de campo también deben satisfacer la condición de contorno\(\overline{\mathrm{E}} _{/ /}=0 \) para x = b e y = a, lo que conduce a las condiciones de orientación:
\[ \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{b}=\mathrm{n} \pi\]
\[\mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{a}=\mathrm{m} \pi \qquad \qquad \qquad \text{(guidance conditions) }\]
Ya podemos calcular la frecuencia de corte de propagación ω mn para cada modo, asumiendo que nuestras soluciones conjeturadas son válidas, como se muestra a continuación. El corte ocurre cuando un modo se vuelve evanescente, es decir, cuando es\(\mathrm{k}_{\mathrm{o}}^{2}\) igual a cero o se vuelve negativo. En el corte para el modo m, n:
\[\omega_{\mathrm{mn}} \mu \varepsilon=\mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}=(\mathrm{m} \pi / \mathrm{a})^{2}+(\mathrm{n} \pi / \mathrm{b})^{2}\]
\[\omega_{\mathrm{mn}}=\left[(\mathrm{m} \pi \mathrm{c} / \mathrm{a})^{2}+(\mathrm{n} \pi \mathrm{c} / \mathrm{b})^{2}\right]^{0.5} \qquad \qquad \qquad \text { (cut-off frequencies) }\]
Dado que a ≥ b por definición, y el modo 0,0 no pueden tener campos distintos de cero, como se muestra más adelante, la frecuencia más baja que se puede propagar es:
\[\omega_{10}=\pi \mathrm{c} / \mathrm{a}\]
lo que implica que la longitud de onda más larga que puede propagarse en la guía de onda rectangular es\(\lambda_{\max }=2 \pi \mathrm{c} / \omega_{10}=2 \mathrm{a} \). Si a > 2b, la segunda frecuencia de corte más baja es ω 20 = 2ω 10, por lo que tales guías de onda pueden propagar solo un solo modo sobre no más de una octava (factor de 2 en frecuencia) antes de agregar otro modo de propagación. Las guías de onda de placa paralela de la Sección 9.3.1 exhibieron propiedades similares.
Volviendo al campo las soluciones, también\( \overline{\mathrm{\underline E}}\) deben satisfacer la ley de Gauss\( \nabla \bullet \varepsilon \overline{\mathrm{\underline E}}=0\),, dentro de la guía de ondas, donde ε es constante y E z ≡ 0 para ondas TE. Esto implica:
\[\begin{align}\nabla \bullet \overline{\underline{\mathrm E}}=0=& \mathrm{\partial E_{x} / \partial x+\partial E_{y} / \partial y+\partial E_{z} / \partial z}=\mathrm{\left[k_{x} \sin k_{y} y\left(A \cos k_{x} x\right.\right.} \nonumber\\&\mathrm{\left.\left.-B \sin k_{x} x\right)+k_{y} \sin k_{x} x\left(C \cos k_{y} y-D \sin k_{y} y\right)\right] e^{-j k_{z} z}}\end{align}\]
La única manera (9.3.24) puede ser cero para todas las combinaciones de x e y es para:
\[\mathrm{A=C=0}\]
\[\mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{D}=-\mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{B}\]
El campo eléctrico para los modos TE sigue de (9.3.17), (9.3.18), (9.3.25) y (9.3.26):
\[\underline{\mathrm{\overline E}}=\left(\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{o}} / \mathrm{k}_{\mathrm{o}}\right)\left(\hat{x} \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \sin \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}-\hat{y} \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \sin \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}\]
donde\(\mathrm{k}_{\mathrm{o}}^{-1} \) se introdujo el factor de para que\( \underline{\mathrm E}_{0}\) tuviera sus unidades habituales de voltios/metro. Tenga en cuenta que dado que k x = k y = 0 para el modo TE 00,\(\overline{\mathrm{\underline E}}=0 \) en todas partes y este modo no existe. El campo magnético correspondiente se desprende de\(\overline{\mathrm{\underline H}}=-(\nabla \times \underline{\mathrm{\overline E}}) / \mathrm{j} \omega \mu \):
\[\overline{\mathrm{\underline H}}=\left(\mathrm{E}_{\mathrm{o}} / \eta \mathrm{k}_{\mathrm{o}}^{2}\right)\left(\hat{x} \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \sin \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y}+\hat{y} \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x} \sin \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y}\right.\left.-j \hat{z} \mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}\]
Un procedimiento similar produce los campos para los modos TM; su forma es similar a los modos TE, pero con\(\overline{\mathrm{E}} \) e\( \overline{\mathrm{H}}\) intercambiados y luego desplazados espacialmente para que coincidan con las condiciones de contorno. La validez de las soluciones de campo donde\( \overline{\mathrm{E}}\) y\( \overline{\mathrm{H}}\) son intercambiadas también se desprende del principio de dualidad, discutido en la Sección 9.2.6.
El modo de guía de ondas rectangular más utilizado es TE 10, a menudo llamado el modo dominante, donde el primer dígito corresponde al número de medias longitudes de onda a lo largo del lado más ancho de la guía y el segundo dígito se aplica al lado más estrecho. Para este modo las condiciones de guía rinden k x = 0 y k y =\(\pi\) /a, donde a ≥ b por convención. Así los campos (9.3.27) y (9.3.28) se convierten en:
\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{TE} 10}=\underline{\mathrm{E}}_{0} \hat{x}\left(\sin \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}} \qquad \qquad \qquad \text{(dominant mode) }\]
\[\overline{\mathrm{\underline H}}_{\mathrm{TE} 10}=\left(\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{o}} / \omega \mu\right)\left[\hat{y} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \sin (\pi \mathrm{y} / \mathrm{a})-\mathrm{j} \hat{z}(\pi / \mathrm{a}) \cos (\pi \mathrm{y} / \mathrm{a})\right] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}\]
Los campos para este modo se esbozan aproximadamente en la Figura 9.3.5 para una onda que se propaga en la dirección plusz. El campo eléctrico varía como seno a través de la anchura a, y es uniforme a través de la altura b de la guía; en cualquier instante también varía sinusoidalmente a lo largo de z. H y varía como el seno de y a través del ancho b, mientras que H x varía como coseno; ambos son uniformes en x y varían sinusoidalmente a lo largo z.
Las formas de modos evanescentes se encuentran fácilmente. Por ejemplo, los campos eléctricos y magnéticos dados por (9.3.29) y (9.3.30) siguen aplicándose aunque\(\mathrm{k}_{\mathrm{z}}=\left(\mathrm{k}_{\mathrm{o}}^{2}-\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}-\mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}\right)^{0.5} \equiv-\mathrm{j} \alpha\) así\(\mathrm{e}^{-\mathrm{jkz}} \) se vuelva así\( e^{-\alpha z}\). Para frecuencias por debajo de corte, los campos para este modo se convierten en:
\[\overline{\mathrm{\underline E}}_{\mathrm{TE} 10}=\hat{x} \underline{\mathrm{E}}_{0}\left(\sin \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y}\right) \mathrm{e}^{-\alpha \mathrm{z}}\]
\[\overline{\mathrm{\underline H}}_{\mathrm{TE} 10}=-j\left(\pi \mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}} / \eta \mathrm{ak}_{\mathrm{o}}^{2}\right)[\hat{y} \alpha \sin (\pi \mathrm{y} / \mathrm{a})+\hat{z}(\pi / \mathrm{a}) \cos (\pi \mathrm{y} / \mathrm{a})] \mathrm{e}^{-\alpha \mathrm{z}}\]
Las principales diferencias son que para la onda evanescente: 1) la distribución del campo en el origen simplemente decae exponencialmente con la distancia z y los campos pierden su carácter de onda ya que se enceran y disminuyen en sincronía en todas las posiciones, 2) los campos eléctrico y magnético varían 90 grados desfasados de manera que el almacenamiento total de energía alterna dos veces por ciclo entre ser puramente eléctrico y puramente magnético, y 3) el flujo de energía se vuelve puramente reactivo ya que el flujo de potencia real (promedio en tiempo) es cero. Las mismas diferencias se aplican a cualquier modo TE mn o TM mn evancente.
¿Qué modos tienen las cuatro frecuencias de corte más bajas para una guía de ondas rectangular que tiene las dimensiones a = 1.2b? Para el modo TE 10, ¿dónde podemos cortar ranuras delgadas en las paredes de la guía de ondas de tal manera que no transecten corrientes y así no tengan efecto perjudicial?
Solución
Las frecuencias de corte (9.3.22) son:\(\omega_{\mathrm{mn}}=\left[(\mathrm{m} \pi \mathrm{c} / \mathrm{a})^{2}+(\mathrm{n} \pi \mathrm{c} / \mathrm{b})^{2}\right]^{0.5} \), por lo que el corte más bajo es para TE mn = TE 10, ya que TE 00, TM 00, TM 01 y TM 10 no existen. A continuación viene TE 11 y TM 11, seguidos de TE 20. Las corrientes de pared son perpendiculares a\( \overline{\mathrm{\underline H}}\), la cual no tiene componente x para el modo dominante (9.3.30); ver Figura 9.3.5. Por lo tanto, las ranuras delgadas cortadas en la dirección x en las paredes laterales (y = 0, a) nunca transectarán la corriente ni perturbarán el modo TE 10. Además, la figura y (9.3.30) muestran que las corrientes dirigidas por z en el centro de las paredes superior e inferior también son siempre cero, por lo que las ranuras delgadas zdirigidas en esas líneas medias tampoco perturban el modo TE 10. Las antenas pequeñas colocadas a través de ranuras delgadas u orificios en tales guías de onda a veces se utilizan para introducir o extraer señales.
Excitación de modos de guía de ondas
La energía se puede irradiar dentro de guías de onda y resonadores por antenas. Podemos calcular la energía radiada en cada modo de guía de onda o resonador usando expansiones modales para los campos y haciendo coincidir las condiciones límite impuestas por la distribución de corriente de fuente dada\(\overline{\mathrm{\underline J}}\).
Consideremos una guía de ondas de sección transversal a×b y uniforme en la dirección z, donde a ≥ b. Si asumimos que la corriente de origen\(\underline{\mathrm{\overline J}}_{\mathrm{S}} \) está confinada en z = 0 a un cable o lámina de corriente en el plano x, y, entonces los campos magnéticos asociados\(\underline{\mathrm{\overline H}}_{\mathrm{+}} \) y\(\underline{\mathrm{\overline H}}_{\mathrm{-}} \) a z = 0 ± δ, respectivamente (δ→0), deben satisfacer la condición de límite (2.1.11):
\[\overline{\mathrm{\underline H}}_{+}-\overline{\mathrm{\underline H}}_{-}=\overline{\mathrm{\underline J}}_{\mathrm{s}} \times \hat{z}\]
La simetría dicta\(\overline{\mathrm{\underline H}}_{-}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=-\overline{\mathrm{\underline H}}_{+}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \) para los componentes x-y de los campos en los dos lados del límite en z = 0, asumiendo que no hay otras fuentes presentes, por lo que:
\[\hat{z} \times\left(\overline{\mathrm{\underline H}}_{+}-\overline{\mathrm{\underline H}}_{-}\right)=\hat{z} \times\left(\overline{\mathrm{\underline J}}_{\mathrm{S}} \times \hat{z}\right)=\overline{\mathrm{\underline J}}_{\mathrm{S}}=2 \hat{z} \times \overline{\mathrm{\underline H}}_{+}(\mathrm{x}, \mathrm{y})\]
Para ilustrar el método nos limitamos al caso simple de los modos TE m,0, para los cuales\( \overline{\mathrm{E}}\) y\( \overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{s}}\) están en la dirección x. El campo magnético total (9.3.28) sumado en todos los modos TE m,0 y ortogonal a\(\hat{\mathrm{z}}\) para las ondas de propagación hacia adelante es:
\[\underline{\mathrm{\overline H}}_{+\text {total }}=\hat{y} \sum_{\mathrm{m}=0}^{\infty}\left[\mathrm{\underline E}_{\mathrm{m}, 0} \mathrm{m} \pi /\left(\eta \mathrm{ak}_{\mathrm{o}}^{2}\right)\right] \mathrm{k}_{\mathrm{zm}} \sin (\mathrm{m} \pi \mathrm{y} / \mathrm{a})=\left(\overline{\mathrm{\underline J}}_{\mathrm{s}} / 2\right) \times \hat{z}\]
donde\( \mathrm{\underline E_m}\) está la amplitud compleja del campo eléctrico para el modo TE m,0, y k y ha sido reemplazado por m\(\pi\) /a. Podemos multiplicar ambos lados de la derecha de (9.3.35) por sin (n\(\pi\) y/a) e integrar sobre el plano x-y para encontrar:
\[\begin{align}\mathrm{\sum_{m=0}^{\infty}}[& \mathrm{\left.\underline{E}_{m, 0} m \pi /\left(\eta a k_{o}^{2}\right)\right] k_{z m} \oiint_{A} \sin (m \pi y / a) \sin (n \pi y / a) d x d y} \nonumber \\&=\mathrm{0.5 \oiint_{A} \underline{J}_{S}(x, y) \sin (n \pi y / a) d x d y}\end{align}\]
Debido a que las ondas sinusoidales de diferentes frecuencias son ortogonales cuando se integran en un número integral de medias longitudes de onda en cada frecuencia, la integral en el lado izquierdo es cero a menos que m = n, por lo que tenemos una manera sencilla de evaluar la fase y magnitud de cada modo excitado:
\[\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{n}, 0}=\left[\eta \mathrm{k}_{\mathrm{o}}^{2} / \mathrm{nb} \pi \mathrm{k}_{\mathrm{zn}}\right] \int \int_{\mathrm{A}} \mathrm{\underline J}_{\mathrm{s}}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \sin (\mathrm{n} \pi \mathrm{y} / \mathrm{a}) \mathrm{dx} \mathrm{dy}\]
Sin embargo, no todos los modos excitados propagan el poder real. Los modos n con frecuencias de corte superiores a ω son evanescentes, por lo que\(\mathrm{k}_{\mathrm{zn}}=\left[\mathrm{k}_{\mathrm{o}}^{2}-(\mathrm{n} \pi / \mathrm{a})^{2}\right]^{0.5}\) es imaginario. El campo magnético asociado permanece en fase con\( \underline{\mathrm J}_{\mathrm{S}}\) y real, y por lo tanto la potencia en cada onda evanescente es imaginaria. Como todos los modos son ortogonales en el espacio, sus potencias se suman; para los modos evanescentes la potencia imaginaria corresponde a la energía magnética o eléctrica almacenada en la red. La reactancia en la entrada a los cables que accionan la corriente J s es, por lo tanto, capacitiva o inductiva, dependiendo de si la energía total almacenada en los modos reactivos es predominantemente eléctrica o magnética, respectivamente.
Una manera más intuitiva de entender la excitación modal es reconocer que la potencia P entregada a la guía de ondas por una distribución de corriente\( \overline{\underline{\mathrm J}}_{\mathrm{s}}\) es:
\[\mathrm{P}=\oiiint_{\mathrm{V}} \overline{\mathrm{\underline E}} \bullet \overline{\mathrm{\underline J}}_{\mathrm{S}}^{*} \mathrm{d} \mathrm{v}\ [\mathrm{V}]\]
y por lo tanto cualquier modo para el que la distribución de campo\(\overline{\mathrm{E}} \) sea ortogonal a no se\(\overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{s}} \) excitará, y viceversa. Por ejemplo, un cable recto en la dirección x a través de una guía de ondas que transporta corriente a alguna frecuencia ω excitará todos los modos TE n0 que tengan distinto de cero\( \overline{\mathrm{E}}\) en la posición del cable; los modos con frecuencias de corte por encima de ω contribuirán solo a la reactancia a la fuente de corriente, mientras que los modos de propagación aportarán una parte real. El diseño adecuado de la distribución de corriente\(\overline{\mathrm{\underline J}}_{\mathrm{S}} \) puede permitir que cualquier combinación de modos se excita, sin excitar al resto.