13.1: Ondas Acústicas

Introducción

Los fenómenos de onda son ubicuos, por lo que los conceptos de onda presentados en este texto son ampliamente relevantes. Las ondas acústicas ofrecen un excelente ejemplo por su similitud con las ondas electromagnéticas y por sus importantes aplicaciones. Además del papel obvio de la acústica en micrófonos y altavoces, los dispositivos de ondas acústicas superficiales (SAW) se utilizan como filtros de radiofrecuencia (RF), los moduladores de onda acústica difractan los haces ópticos para el análisis espectral en tiempo real de las señales de RF, y los osciladores de cristal mecánicos controlan actualmente la sincronización de la mayoría computadoras y relojes. Debido a la gran similitud entre los fenómenos acústicos y electromagnéticos, este capítulo también revisa gran parte de la electromagnetica desde una perspectiva diferente.

La Sección 13.1.2 comienza con una derivación simplificada de las dos ecuaciones diferenciales principales que caracterizan la acústica lineal. Este par de ecuaciones se pueden combinar para producir la ecuación de onda acústica. Aquí solo se consideran ondas acústicas longitudinales, no ondas transversales o “cortantes”. Estas ecuaciones producen rápidamente las velocidades de grupo y fase de las ondas sonoras, la impedancia acústica de los medios y un teorema de Poynting acústico. La Sección 13.2.1 desarrolla las condiciones de límite acústico y el comportamiento de las ondas acústicas en las interfaces planas, incluyendo una ley acústica de Snell, el ángulo de Brewster, el ángulo crítico y las ondas evanescentes. La sección 13.2.2 muestra cómo las ondas planas acústicas pueden viajar dentro de las tuberías y ser guiadas y manipuladas tanto como las ondas planas pueden manipularse dentro de las líneas de transmisión TEM.

Las ondas acústicas pueden reflejarse totalmente en límites firmes, y la Sección 13.2.3 explica cómo pueden ser atrapadas y guiadas en una variedad de modos de propagación que se asemejan mucho a los de las guías de ondas electromagnéticas, donde exhiben frecuencias de corte de propagación y evanescencia por debajo del corte. La sección 13.2.4 explica entonces cómo estas guías pueden terminarse en sus extremos con orificios abiertos o cerrados, formando así resonadores con Q's que se pueden controlar como en resonadores electromagnéticos para producir filtros de paso de banda o de paso de banda. Las frecuencias de las resonancias acústicas pueden perturbarse distorsionando la forma de la cavidad, según se rige por casi la misma ecuación utilizada para los resonadores electromagnéticos excepto que las densidades de energía electromagnética son reemplazadas por expresiones de densidad de energía acústica. La Sección 13.3 analiza la radiación acústica y las antenas, incluidas las matrices de antenas, y la Sección 13.4 concluye el capítulo con una breve introducción a los dispositivos electroacústicos representativos.

Ondas acústicas y potencia

La mayoría de las ondas distintas de las electromagnéticas implican perturbaciones. Por ejemplo, las ondas acústicas implican perturbaciones en los campos de presión y velocidad en gases, líquidos o sólidos. En los gases podemos expresar los\(\mathrm{\overline u}_{\mathrm{T}} \) campos de presión total p _T\(\rho_{\mathrm{T}} \), densidad y velocidad como la suma de un componente estático y una perturbación dinámica:

\[ \mathrm{p}_{\mathrm{T}}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t})=\mathrm{P}_{\mathrm{o}}+\mathrm{p}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t}) \ \left[\mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}\right] \label{13.1.1}\]

\[\rho_{\mathrm{T}}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t})=\rho_{\mathrm{o}}+\rho(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t}) \ \left[\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right] \label{13.1.2}\]

\[ \overline{\mathrm{u}}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t})=\overline{\mathrm{U}}_{\mathrm{o}}+\overline{\mathrm{u}}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t}) \ [\mathrm{m} / \mathrm{s}] \label{13.1.3}\]

Otra complejidad es que, a diferencia de las variables electromagnéticas referenciadas a una ubicación particular, los gases se mueven y comprimen, requiriendo una mayor linealización. ⁷³ Lo más importante es la aproximación que la velocidad media\( \overline{\mathrm{U}}_{\mathrm{o}}=0\). Después de estos pasos simplificadores nos quedan dos ecuaciones acústicas linealizadas, la ley de Newton (f = ma) y la c onservación de masa:

\[\nabla \mathrm{p} \cong-\rho_{\mathrm{o}} \partial \overline{\mathrm{u}} / \partial \mathrm{t} \ \left[\mathrm{N} / \mathrm{m}^{3}\right] \qquad \qquad \qquad \text{(Newton’s law)} \label{13.1.4}\]

\[\rho_{\mathrm{o}} \nabla \bullet \overline{\mathrm{u}}+\partial \rho / \partial \mathrm{t} \cong 0 \ \left[\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{s}\right] \qquad \qquad \qquad \text{(conservation of mass)} \label{13.1.5}\]

⁷³ La identidad de Liebnitz facilita tomar tiempo derivados de integrales sobre volúmenes deformándose en el tiempo.

La ley de Newton establece que el gradiente de presión inducirá la aceleración de masa, mientras que la conservación de la masa establece que la divergencia de velocidad\(\nabla \bullet \overline{\mathrm{u}} \) es proporcional a la derivada negativa del tiempo de la densidad de masa.

Estas dos ecuaciones básicas involucran tres variables clave: p,\(\overline{\mathrm{u}} \), y\( \rho\); necesitamos la relación constitutiva acústica para reducir este conjunto a dos variables. La mayoría de las ondas acústicas involucran frecuencias suficientemente altas como para que el calentamiento producido por la compresión de ondas no tenga tiempo para escapar por conducción o radiación, y así esta energía térmica regresa a la onda durante la expansión posterior sin pérdidas significativas. Dichos procesos adiabáticos no implican transferencia de calor a través de poblaciones de partículas. La relación constitutiva acústica adiabática resultante establece que el cambio fraccionario en la densidad equivale al cambio fraccionario en la presión, dividido por una constante\( \gamma\), llamada exponente adiabático:

\[\partial \rho / \partial p=\rho_{\mathrm{o}} / \gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}} \label{13.1.6}\]

La razón no\( \gamma\) es la unidad es que el gas se calienta cuando se comprime, lo que aumenta aún más la presión, por lo que el gas parece ser ligeramente “más rígido” o más resistente a la compresión que de otra manera. Este efecto disminuye para las partículas de gas que tienen grados internos de libertad rotacional o vibracional por lo que la temperatura sube menos al comprimirse. Las moléculas monoatómicas ideales sin tales grados de libertad exhiben\(\gamma\) = 5/3, y 1 <\(\gamma\) < 2, en general.

Sustituyendo esta relación constitutiva en la ecuación de masa (\ ref {13.1.5}) reemplaza la variable ρ por p, produciendo las ecuaciones diferenciales acústicas:

\[\nabla \mathrm{p} \cong-\rho_{\mathrm{o}} \partial \overline{\mathrm{u}} / \partial \mathrm{t} \ \left[\mathrm{N} / \mathrm{m}^{3}\right]\qquad\qquad\qquad \text{(Newton’s law) } \label{13.1.7}\]

\[\nabla \bullet \overline{\mathrm{u}}=-\left(1 / \gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}\right) \partial \mathrm{p} / \partial \mathrm{t} \label{13.1.8}\]

Estas dos ecuaciones diferenciales son aproximadamente análogas a las ecuaciones de Maxwell (2.1.5) y (2.1.6), y se pueden combinar. Para eliminar\( \mathrm{u}\) de la ley de Newton operamos sobre ella con (•), y luego sustituimos (\ ref {13.1.8})\( \nabla \bullet \overline{\mathrm{u}}\) para formar la ecuación de onda acústica, análoga a la ecuación de onda de Helmholtz (2.2.7):

\[\nabla^{2} \mathrm{p}-\left(\rho_{\mathrm{o}} / \gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}\right) \partial^{2} \mathrm{p} / \partial \mathrm{t}^{2}=0 \qquad \qquad \qquad \text{(acoustic wave equation)} \label{13.1.9}\]

Las ecuaciones de onda indican que la segunda derivada espacial es igual a la derivada de la segunda vez por una constante. Si la constante no depende de la frecuencia, entonces cualquier función arbitraria de un argumento que sea la suma o diferencia de términos linealmente proporcional al tiempo y al espacio satisfará esta ecuación; por ejemplo:

\[\mathrm{p}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t})=\mathrm{p}(\omega \mathrm{t}-\overline{\mathrm{k}} \bullet \overline{\mathrm{r}}) \ \left[\mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}\right] \label{13.1.10}\]

donde p (•) es una función arbitraria de su argumento (•), y\(\overline{\mathrm{k}}=\mathrm{k}_{\mathrm{x}} \hat{x}+\mathrm{k}_{\mathrm{y}} \hat{y}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}} \hat{z} \); esto es análogo a la solución de onda (9.2.4) usando la notación (9.2.5). Sustituir la solución (\ ref {13.1.10}) en la ecuación de onda produce:

\[\left(\partial^{2} / \partial \mathrm{x}^{2}+\partial^{2} / \partial \mathrm{y}^{2}+\partial^{2} / \partial \mathrm{z}^{2}\right) \mathrm{p}(\omega \mathrm{t}-\overline{\mathrm{k}} \bullet \mathrm{\overline r})-\left(\rho_{\mathrm{o}} / \gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}\right) \partial^{2} \mathrm{p}(\omega \mathrm{t}-\overline{\mathrm{k}} \bullet \mathrm{\overline r}) / \partial \mathrm{t}^{2}=0 \label{13.1.11}\]

\[-\left(\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2}\right) \mathrm{p}^{\prime \prime}(\omega \mathrm{t}-\overline{\mathrm{k}} \bullet \overline{\mathrm{r}})-\left(\rho_{\mathrm{o}} / \gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}\right) \omega^{2} \mathrm{p}^{\prime \prime}(\omega \mathrm{t}-\overline{\mathrm{k}} \bullet \overline{\mathrm{r}})=0 \label{13.1.12}\]

\[\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2}=\mathrm{k}^{2}=\omega^{2} \rho_{\mathrm{o}} / \gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}=\omega^{2} / \mathrm{v}_{\mathrm{p}}^{2} \label{13.1.13}\]

Esto es análogo a la relación de dispersión electromagnética (9.2.8).

Al igual que en el caso de las ondas electromagnéticas [ver (9.5.19) y (9.5.20)], la velocidad de fase acústica v _p y la velocidad del grupo acústico v _g se relacionan simplemente con k:

\[\mathrm{v}_{\mathrm{p}}=\omega / \mathrm{k}=\left(\gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}} / \rho_{\mathrm{o}}\right)^{0.5}=\mathrm{c}_{\mathrm{s}} \qquad \qquad \qquad \text{(acoustic phase velocity) } \label{13.1.14}\]

\[\mathrm{v}_{\mathrm{g}}=(\partial \mathrm{k} / \partial \omega)^{-1}=\left(\gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}} / \rho_{\mathrm{o}}\right)^{0.5}=\mathrm{c}_{\mathrm{s}} \qquad\qquad\qquad \text { (acoustic group velocity) } \label{13.1.15}\]

Ondas acústicas adiabáticas que se propagan en 0 ^o C aire cerca del nivel del mar experiencia\(\gamma\)\( \rho_{\mathrm{o}}\) = 1.4, = 1.29 [kg/m ³], y P _o = 1.01×10 ⁵ [N/m ²], produciendo c _s 330 [m/s].

En sólidos o líquidos la relación constitutiva es:

\[\partial \rho / \partial \mathrm{p}=\rho / \mathrm{K} \qquad \qquad \qquad \text{(constitutive relation for solids and liquids) } \label{13.1.16}\]

K [N m ^-2] es el módulo aparente del medio. El coeficiente 1/K luego reemplaza 1/\(\gamma\) P _o in (13.1.8—10), produciendo la velocidad acústica en sólidos y líquidos:

\[\mathrm{c}_{\mathrm{s}}=\left(\mathrm{K} / \rho_{\mathrm{o}}\right)^{0.5} \ \left[\mathrm{m} \ \mathrm{s}^{-1}\right] \qquad\qquad\qquad \text { (acoustic velocity in solids and liquids) } \label{13.1.17}\]

Las velocidades acústicas típicas son 900 - 2000 m s ^-1 en líquidos (~1500 m s ^-1 en agua) y 1500— 13,000 m s ^-1 en sólidos (~5900 m s ^-1 en acero).

Análogamente a (7.1.25) y (7.1.26), las ecuaciones diferenciales acústicas (\ ref {13.1.8}) y (\ ref {13.1.7}) pueden simplificarse para ondas planas sinusoidales que se propagan a lo largo del eje z:

\[\mathrm{\nabla \underline{p} \bullet \hat{z}=\frac{d \underline{p}(z)}{d z}=-j \omega \rho_{o} \underline{u}_{z}(z)} \label{13.1.18}\]

\[\nabla \bullet \underline{\mathrm{\overline u}}=\frac{\mathrm{d} \underline{\mathrm{u}}_{\mathrm{Z}}(\mathrm{z})}{\mathrm{d} \mathrm{z}}=\frac{-\mathrm{j} \omega}{\gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}} \mathrm{\underline p}(\mathrm{z}) \label{13.1.19}\]

Estos se pueden combinar para producir la ecuación de onda para ondas del eje z análoga a (7.1.27):

\[\frac{\mathrm{d}^{2} \underline{\mathrm{p}}(\mathrm{z})}{\mathrm{d} \mathrm{z}^{2}}=-\omega^{2} \frac{\rho_{\mathrm{o}}}{\gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}} \mathrm{\underline p}(\mathrm{z}) \label{13.1.20}\]

Análogamente a (7.1.28) y (7.1.29), la solución es una suma de exponenciales de la forma:

\[\underline{p}(z)=\underline{p}_{+} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{kz}}+\underline{\mathrm{p}}_{-} \mathrm{e}^{+\mathrm{jkz}} \ \left[\mathrm{N} \ \mathrm{m}^{-2}\right] \label{13.1.21}\]

\[\mathrm{\underline{u}_{z}(z)=-\frac{1}{j \omega \rho_{o}} \frac{d \underline{p}(z)}{d z}=\frac{k}{\omega \rho_{o}}\left[\underline{p}_{+} e^{-j k z}-\underline{p}_{-} e^{+j k z}\right] \ [m / s] } \label{13.1.22}\]

Obsérvese que, a diferencia de las ondas electromagnéticas, donde los campos clave son vectores transversales a la dirección de propagación, el vector de velocidad para las ondas acústicas está en la dirección de propagación y la presión es un escalar.

Análogamente a (7.1.31), la impedancia acústica característica de un gas es:

\[\eta_{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{\underline p}(\mathrm{z})}{\mathrm{u}_{\mathrm{L}}(\mathrm{z})}=\frac{\omega \rho_{\mathrm{o}}}{\mathrm{k}}=\rho_{\mathrm{o}} \mathrm{c}_{\mathrm{s}}=\sqrt{\gamma \rho_{\mathrm{o}} \mathrm{P}_{\mathrm{o}}} \ \left[\mathrm{N} \ \mathrm{s} / \mathrm{m}^{3}\right] \label{13.1.23}\]

La impedancia acústica del aire a temperatura ambiente es de ~425 [N s m ^-3]. La impedancia acústica para sólidos y líquidos es\( \eta_{\mathrm{s}}=\rho_{\mathrm{o}} \mathrm{c}_{\mathrm{s}}=\left(\rho_{\mathrm{o}} \mathrm{K}\right)^{0.5}\) [N s m ^-3]. Tenga en cuenta que las unidades no son ohmios.

La intensidad acústica instantánea [W m ^-2] de esta onda plana es p (t) u _z (t), la potencia compleja es\( \mathrm{\underline p} \underline{\mathrm{\overline u}}^* / 2\), y la potencia acústica promedio en el tiempo es\( \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\{\mathrm{p} \underline{\mathrm{\overline u}}^* / 2\} \ \left[\mathrm{W} \ \mathrm{m}^{-2}\right]\), análoga a (2.7.41).

Podemos derivar una ley de conservación de energía acústica similar al teorema de Poynting (2.7.22) calculando la divergencia de\( \underline{\mathrm{p}} \ \underline{\mathrm{\overline u}}^{*}\) [W m ^-2] y sustituyendo en (\ ref {13.1.18}) y (\ ref {13.1.19}): ⁷⁴

\ [\ begin {align}
\ nabla\ bullet (\ mathrm {p}\ subrayado {\ mathrm {u}} *&=\ overline {\ mathrm {u}} *\ bullet\ nabla\ mathrm {p} +\ mathrm {p}\ nabla\ bullet\ overline {\ mathrm {u}} ^ {*} =\ overline {\ mathrm {u}} *\ bala\ izquierda (-\ mathrm {j}\ omega\ rho_ {\ mathrm {o}}\ overline {\ mathrm {u}}\ derecha) +\ mathrm {j}\ omega\ mathrm {pp} ^ {*}/\ gamma\ mathrm {P} _ {\ mathrm {o}}\ label {13.1.24}\\
&=-4\ mathrm {j}\ omega\ izquierda (\ izquierda [\ rho_ {\ mathrm {o}} |\ subrayado {\ mathrm {u}} |^ {2}/4\ derecha] -\ izquierda [|\ mathrm {p} |^ {2}/4\ gamma\ mathrm {P} _ {\ mathrm {o}}\ derecha]\ derecha) =-4\ mathrm {j}\ omega\ izquierda (\ izquierda\ langle\ mathrm {W} _ _ {\ mathrm {k}}\ derecha\ rangle-\ izquierda\ langle\ mathrm {W} _ {\ mathrm {p}}\ derecha\ rangle\ derecha)\ etiqueta {13.1.25}
\ end {align}\]

⁷⁴ Aunque estas dos ecuaciones se aplican a las ondas que se propagan en la dirección z, sus lados derecho también se aplican a cualquier dirección si se omite el subíndice z.

La densidad de energía cinética acústica promedio en el tiempo de la onda es\(\mathrm{W}_{\mathrm{k}} \ \left[\mathrm{J} \ \mathrm{m}^{-3}\right]=\rho_{\mathrm{o}}|\overline{\mathrm{\underline u}}|^{2} \big/ 4\), y la densidad de energía potencial acústica promedio en el tiempo es\(\mathrm{W}_{\mathrm{p}}=|\mathrm{\underline p}|^{2} / 4 \gamma \mathrm{P}_{\mathrm{o}}\). Para líquidos o sólidos\(\gamma\) P _o → K, así\(\mathrm{W}_{\mathrm{p}}= | \mathrm{\underline p}|^{2} \big/ 4 \mathrm{K} \). Si no hay divergencia de la potencia acústica radiada\(\mathrm{\underline p} \underline{\mathrm{\overline u}}^{*} \), entonces se deduce de (13.1.25) que:

\[\left\langle\mathrm{W}_{\mathrm{k}}\right\rangle=\left\langle\mathrm{W}_{\mathrm{p}}\right\rangle \qquad \qquad \qquad \text { (energy balance in a lossless resonator) } \label{13.1.26}\]

La intensidad acústica I [W m ^-2] de una onda plana acústica, análoga a (2.7.41), es:

\[\mathrm{I}=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{\underline{pu}}^{*} \big/ 2\right\}=|\underline{\mathrm{p}}|^{2} \big/ 2 \eta_{\mathrm{s}}=\eta_{\mathrm{s}}|\underline{\mathrm u}|^{2} \big/ 2 \ \left[\mathrm{W} \mathrm{m}^{-2}\right] \qquad\qquad\qquad \text { (acoustic intensity) } \label{13.1.27}\]

donde la impedancia acústica\( \eta_{\mathrm{s}}=\rho_{\mathrm{o}} \mathrm{c}_{\mathrm{s}}\). La intensidad acústica instantánea es p (t) u _z (t), como se señaló anteriormente.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Una radio ruidosa irradia 100 watts acústicos a 1 kHz desde un altavoz cuadrado de 10 cm cerca del nivel del mar donde\( \rho_{0}=1.29\) [kg m ^-3] y cs 330 m s ^-1. ¿Cuáles son: 1) la longitud de onda, 2) la presión máxima, la velocidad de las partículas y el desplazamiento, y 3) la densidad de energía promedio de esta onda plana acústica uniforme en la apertura del altavoz?

Solución

_{λ = c s/f = 330/1000 = 33 cm. (13.1.22) rinde\(|\underline{\mathrm{u}}|=\left(2 \mathrm{I} / \eta_{\mathrm{s}}\right)^{0.5}\), y (13.1.18) dice\( \eta_{\mathrm{s}}=\rho_{\mathrm{o}} \mathrm{c}_{\mathrm{s}}\), así\(|\underline{\mathrm{u}}|=[200 /(1.29 \times 330)]^{0.5}=0.69 \ \left[\mathrm{m} \ \mathrm{s}^{-1}\right] \).} \(\mathrm{\underline p}=\eta_{\mathrm{s}} \underline{\mathrm{u}}=425.7 \times 0.69= 292\)[N m ^-2]. Obsérvese que esta presión acústica es mucho menor que la presión ambiente P _o 10 ⁵ N m ^-2, como se requiere para la linealización de las ecuaciones acústicas. El desplazamiento\(\underline{\mathrm d}\) es la integral de la velocidad\(\underline{\mathrm u}\), así\(\mathrm{\underline{d}=\underline{u} / j \omega}\) y el desplazamiento pico a pico es\(2|\underline{\mathrm u}| / \omega = 2×0.69/2\pi1000 = 0.22 \ \mathrm{mm}\). La densidad promedio de energía acústica almacenada es igual a\(2\left\langle\mathrm{W}_{\mathrm{k}}\right\rangle=2 \rho_{\mathrm{o}}|\underline{\mathrm{\overline u}}|^{2} \big/ 4=1.29(0.69)^{2} \big/ 2=0.31 \ \left[\mathrm{J} \ \mathrm{m}^{-3}\right]\).