14.2: Números complejos y representación sinusoidal

La mayoría de los sistemas lineales que almacenan energía exhiben dependencia de frecuencia y, por lo tanto, se caracterizan más fácilmente por su respuesta a sinusoides en lugar de a formas de onda arbitrarias. Las ecuaciones del sistema resultantes contienen muchas instancias de\(A\cos(ωt + \phi\))\(A\), donde\(ω\), y\(\phi\) son la amplitud, frecuencia y fase de la sinusoide, respectivamente. \(A\cos(ωt + \phi\)) puede ser reemplazado por el\( \underline{\mathrm{A}}\) uso de notación compleja, indicada aquí por la barra inferior y revisada a continuación; utiliza la definición arbitraria:

\[j \equiv(-1)^{0.5} \label{B.1} \tag{B.1}\]

Esta definición arbitraria no física es explotada por el teorema de De Moivre (\ ref {B.4}), que utiliza una propiedad única de e = 2.71828:

\[\mathrm{e}^{\phi}=1+\phi+\phi^{2} / 2 !+\phi^{3} / 3 !+\ldots \tag{B.2}\]

Por lo tanto:

\ [\ begin {align}
\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {j}\ phi} &=1+\ mathrm {j}\ phi-\ phi^ {2}/2! -\ mathrm {j}\ phi^ {3}/3! +\ phi^ {4}/4! +\ mathrm {j}\ phi^ {5}/5! -\ ldots\ nonumber\\
&=\ left [1-\ phi^ {2}/2! +\ phi^ {4}/4! -\ ldots\ derecha] +\ izquierda [\ mathrm {j}\ phi-\ mathrm {j}\ phi^ {3}/3! +\ mathrm {j}\ phi^ {5}/5! \ ldots\ derecha]\ tag {B.3}
\ end {align}\]

\[\mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi}=\cos \phi+\mathrm{j} \sin \phi \label{B.4} \tag{B.4}\]

Esta es una instancia especial de un número complejo general\(\underline{\mathrm{A}} \):

\[\underline{\mathrm{A}}=\mathrm{A}_{\mathrm{r}}+\mathrm{j} \mathrm{A}_{\mathrm{i}} \label{B.5} \tag{B.5}\]

donde está la parte real\( \mathrm{A_{r} \equiv R_{e}\{\underline A\}}\) y la parte imaginaria está\(\mathrm{A}_{\mathrm{i}} \equiv \mathrm{I}_{\mathrm{m}}\{\mathrm{\underline A}\} \).

Ahora es fácil de usar (\ ref {B.4}) y (\ ref {B.5}) para demostrar que ⁷⁶:

\[\operatorname{Acos}(\omega \mathrm{t}+\phi)=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{Ae}^{\mathrm{j}(\omega \mathrm{t}+\phi)}\right\}=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{Ae}^{\mathrm{j} \phi} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega \mathrm{t}}\right\}=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{Ae}^{\mathrm{j} \omega \mathrm{t}}\right\}=\mathrm{A}_{\mathrm{r}} \cos \omega \mathrm{t}-\mathrm{A}_{\mathrm{i}} \sin \omega \mathrm{t} \label{B.6} \tag{B.6}\]

donde:

\[\underline{\mathrm{A}}=\mathrm{Ae}^{\mathrm{j} \phi}=\mathrm{A} \cos \phi+\mathrm{j} \mathrm{A} \sin \phi=\mathrm{A}_{\mathrm{r}}+\mathrm{j} \mathrm{A}_{\mathrm{i}} \label{B.7} \tag{B.7}\]

\[\mathrm{A_{r} \equiv \operatorname{Acos} \phi, \quad A_{i} \equiv A \sin \phi} \label{B.8} \tag{B.8}\]

⁷⁶ La comunidad física difiere y comúnmente define\( \operatorname{Acos}(\omega \mathrm{t}+\phi)=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{Ae}^{-\mathrm{j}(\omega \mathrm t+\phi)}\right\}\) y\(\mathrm{A_{i} \equiv-A \sin \phi}\), donde la dirección rotacional de\(\phi\) se invierte en la Figura 14.2.1. Debido a que la fase se invierte en esta notación alternativa, la impedancia de un inductor L se convierte en -JΩL, y la de un condensador se convierte en J/ΩC. En esta notación j es comúnmente reemplazado por -i.

La definición de\(\underline{\mathrm{A}}\) dado en (\ ref {B.8}) tiene la útil interpretación geométrica mostrada en la Figura 14.2.1 (a), donde la magnitud del fasor\(\underline{\mathrm{A}}\) es simplemente la amplitud dada A de la sinusoide, y el ángulo\(\phi\) es su fase.

Figura\(\PageIndex{1}\): Representación de fasores en el plano complejo.

Cuando\(\phi\) = 0 tenemos\(\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{\underline{A}e}^{\mathrm{j} \omega \mathrm{t}}\right\}=\mathrm{A} \cos \omega \mathrm{t}\), y cuando\(\phi\) =\(\pi\) /2 tenemos -Asinωt. Los avances en el tiempo alteran el fasor\(\underline{\mathrm{A}}\) en el mismo sentido que los avances en\(\phi\); el fasor gira en sentido contrario a las agujas del reloj. La utilidad de este diagrama es en parte que la señal de interés\(\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\underline{\mathrm{A}} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega \mathrm{t}}\right\} \),, es simplemente la proyección del fasor\(\mathrm{\underline{A}e}^{\mathrm{j} \omega \mathrm{t}} \) sobre el eje real. También deja claro que:

\[\mathrm{A}=\left(\mathrm{A}_{\mathrm{r}}^{2}+\mathrm{A}_{\mathrm{i}}^{2}\right)^{0.5} \label{B.9} \tag{B.9}\]

\[\phi=\tan ^{-1}\left(\mathrm{A_{i} / A_{r}}\right) \tag{B.10} \label{B.10}\]

También es fácil ver, por ejemplo, eso\(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \pi}=-1 \), y eso\( \mathrm{\underline{A}=j A}\) corresponde a -Asinωt.

Ejemplos de representaciones equivalentes en los dominios de tiempo y complejos son:

\ [\ begin {aligned}
\ operatorname {Acos}\ omega t &\ leftrightarrow\ mathrm {A}\\
-\ mathrm {Asin}\ omega\ mathrm {t} &\ leftrightarrow\ mathrm {ja}\
\ mathrm {Acos} (\ omega t+\ phi) &\ leftrightarrow\ mathrm {Ae} ^ {\ mathrm {j}\ phi}\\
\ mathrm {ASIN} (\ omega\ mathrm {t} +\ phi) &\ leftrightarrow-\ mathrm {jaE} ^ {\ mathrm {j}\ phi} =\ mathrm {Ae} ^ {\ mathrm {j} (\ phi-\ pi/2)}
\ end {alineado}\]

Los números complejos se comportan como vectores en algunos aspectos, donde la suma y la multiplicación también se ilustran en la Figura 14.2.1 (b) y (c), respectivamente:

\[\underline{\mathrm{A}}+\underline{\mathrm{B}}=\underline{\mathrm{B}}+\underline{\mathrm{A}}=\mathrm{A}_{\mathrm{r}}+\mathrm{B}_{\mathrm{r}}+\mathrm j\left(\mathrm{A}_{\mathrm{i}}+\mathrm{B}_{\mathrm{i}}\right) \label{B.11} \tag{B.11}\]

\[\underline{\mathrm{AB}}=\underline{\mathrm{BA}}=\left(\mathrm{A}_{\mathrm{r}} \mathrm{B}_{\mathrm{r}}-\mathrm{A}_{\mathrm{i}} \mathrm{B}_{\mathrm{i}}\right)+j\left(\mathrm{A}_{\mathrm{r}} \mathrm{B}_{\mathrm{i}}+\mathrm{A}_{\mathrm{i}} \mathrm{B}_{\mathrm{r}}\right)=\mathrm{ABe}^{\mathrm{j}\left(\phi_{\mathrm{A}}+\phi_{\mathrm{B}}\right)} \label{B.12} \tag{B.12}\]

\[\underline{\mathrm{A}}^{*}=\mathrm{A}_{\mathrm{r}}-\mathrm{j} \mathrm{A}_{\mathrm{i}}=\mathrm{A} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \phi_{\mathrm{A}}} \label{B.13} \tag{B.13}\]

Podemos resolver fácilmente las partes reales e imaginarias de\( \underline{\mathrm{A}}\):

\[\mathrm{A_{r}=\left(\underline{A}+\underline{A}^{*}\right) / 2, \quad A_{i}=\left(\underline{A}-\underline{A}^{*}\right) / 2} \label{B.14} \tag{B.14}\]

Las proporciones de números complejos también se pueden calcular fácilmente:

\[\mathrm{\underline A} / \mathrm{\underline B}=(\mathrm{\underline A} / \mathrm{\underline B}) \mathrm{e}^{\mathrm{j}\left(\phi_{\mathrm{A}}-\phi_{\mathrm{B}}\right)}=\mathrm{\underline{A} \underline{B}}^{*} / \mathrm{\underline{BB}}^{*}=\mathrm{\underline{AB}}^{*} /|\mathrm{\underline{B}}|^{2} \tag{B.15} \label{B.15}\]

Incluso una raíz n ^th de se\(\underline{\mathrm{A}}=\mathrm{Ae}^{\mathrm{j} \phi}\) puede encontrar simplemente:

\[\underline{\mathrm{A}}^{1 / \mathrm{n}}=\mathrm{A}^{1 / \mathrm{n}} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi / \mathrm{n}} \label{B.16} \tag{B.16}\]

donde existen n raíces legítimas y son:

\[\underline{\mathrm{A}}^{1 / \mathrm{n}}=\mathrm{A}^{(1 / \mathrm{n})} \mathrm{e}^{(\mathrm{j} \phi / \mathrm{n})} \mathrm{e}^{(\mathrm{j} 2 \pi \mathrm{m} / \mathrm{n})} \label{B.17} \tag{B.17}\]

para m = 0, 1,..., n — 1.