1.3: Potencial escalar y energía de campo eléctrico

Una ayuda más para resolver problemas electrostáticos (y más complejos) se puede obtener de la noción del potencial electrostático, que es solo la energía potencial electrostática\(\ U\) de una carga puntual de sonda\(\ q\) colocada en el campo en cuestión, normalizada por su carga:

\[\ \phi \equiv \frac{U}{q}.\quad\quad\quad\text{Electrostatic potential}\tag{1.31}\]

Como sabemos por la mecánica clásica, ¹⁵ la noción de\(\ U\) (y por lo tanto\(\ \phi\)) tiene más sentido para el caso de las fuerzas potenciales, por ejemplo las que dependen solo de la posición de la partícula. Las ecuaciones (6) y (9) muestran que, en situaciones estacionarias, el campo eléctrico entra dentro de esta categoría. Para tal campo, la energía potencial puede definirse como una función escalar\(\ U(\mathbf{r})\) que permite calcular la fuerza como su gradiente (con el signo opuesto):

\[\ \mathbf{F}=-\nabla U.\tag{1.32}\]

Dividiendo ambos lados de esta ecuación por la carga de la sonda, y usando las ecuaciones (6) y (31), obtenemos ¹⁶

\[\ \mathbf{E}=-\nabla \phi.\quad\quad\quad\text{Electrostatic field as a greadient}\tag{1.33}\]

Para calcular el potencial escalar, partimos del caso más simple de una sola carga puntual\(\ q\) colocada en el origen. Para ello, la Ec. (7) toma la forma simple

\[\ \mathbf{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} q \frac{\mathbf{r}}{r^{3}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} q \frac{\mathbf{n}_{r}}{r^{2}}.\tag{1.34}\]

Es sencillo verificar que la última fracción en la última forma de la Ec. (34) es igual a\(\ -\nabla(1 / r)\). ¹⁷ De ahí que, según la definición (33), para este caso particular

\[\ \phi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r}.\quad\quad\quad\text{Potential of a point charge}\tag{1.35}\]

(En las unidades gaussianas, este resultado es espectacularmente simple:\(\ \phi=q / r\).) Obsérvese que podríamos agregar una constante arbitraria a este potencial (y de hecho a cualquier otra distribución que\(\ \phi\) se discuta a continuación) sin cambiar el campo, pero es conveniente definir la energía potencial para acercarse a cero en el infinito.

Para justificar la introducción y la próxima exploración de\(\ U\) y\(\ \phi\), permítanme demostrar (espero, innecesariamente :-) cuán útiles son las nociones, en un ejemplo muy sencillo. Deje que dos cargas similares\(\ q\) se lancen desde lejos, con la misma velocidad inicial\(\ \nu_{0}<<c\) cada una, recta una hacia la otra (es decir, con el parámetro de impacto cero) — ver Fig. 5. Ya que, según la ley de Coulomb, los cargos se repelen entre sí con fuerza creciente, se detendrán a cierta\(\ r_{\min }\) distancia mínima entre sí, para luego volar de regreso. Por supuesto, podríamos encontrar rmin directamente de la ley Coulomb. Sin embargo, para eso necesitaríamos escribir la ley\(\ 2^{\text {nd }}\) Newton para cada partícula (en realidad, debido a la simetría problemática, serían similares), luego integrarlas a lo largo del tiempo para encontrar la velocidad\(\ v\) de la partícula en función de la distancia, y luego recuperarnos\(\ r_{\min }\) del requerimiento\(\ \nu=0\).

Fig. 1.5. Un simple problema de movimiento de partículas cargadas.

La noción de potencial permite resolver este problema en una línea. En efecto, en el campo de las fuerzas potenciales,\(\ \mathscr{E}=T+U \equiv T+q \phi\) se conserva la energía total del sistema. En nuestro caso no relativista\(\ \nu<<c\), la energía cinética\(\ T\) es justa\(\ m \nu^{2} / 2\). De ahí que equiparando la energía total de dos partículas en los puntos\(\ r=\infty\) y\(\ r=r_{\min }\), y usando la Eq. (35) para\(\ \phi\), obtenemos

\[\ 2 \frac{m \nu_{0}^{2}}{2}+0=0+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{r_{\min }},\tag{1.36}\]

inmediatamente dándonos la respuesta final:\(\ r_{\min }=q^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} m \nu_{0}^{2}\). Entonces, la noción de potencial escalar es de hecho muy útil.

Con esta motivación, calculemos\(\ \phi\) para una configuración arbitraria de cargos. Para una sola carga en una posición arbitraria (digamos,\(\ \mathbf{r}_{k^{\prime}}\)),\(\ r \equiv|\mathbf{r}|\) en la Ec. (35) evidentemente debe reemplazarse por\(\ \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{k^{\prime}}\right|\). Ahora bien, el principio de superposición lineal (3) permite una fácil generalización de esta fórmula al caso de un conjunto arbitrario de cargas discretas,

\[\ \phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sum_{\mathbf{r}_{k^{\prime}} \neq \mathbf{r}} \frac{q_{k^{\prime}}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{k^{\prime}}\right|}.\tag{1.37}\]

Finalmente, utilizando los mismos argumentos que en la Sec. 1, podemos usar este resultado para argumentar que en el caso de una distribución de carga continua arbitraria

\[\ \text{Potential of a charge distribution}\quad\quad\quad\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \frac{\rho\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}d^{3} r^{\prime}.\tag{1.38}\]

Nuevamente, la función delta de Dirac permite usar la última ecuación para recuperar la ecuación (37) para cargas discretas también, de manera que la ecuación (38) puede considerarse como la expresión general para el potencial electrostático.

Para la mayoría de los cálculos prácticos, usar esta expresión y luego aplicar la Ec. (33) al resultado, es preferible a usar la Ec. (9), porque\(\ \phi\) es un escalar, mientras que E es un vector 3D, matemáticamente equivalente a tres escalares. Aún así, este enfoque puede dar lugar a problemas técnicos similares a los discutidos en la Sec. 2. Por ejemplo, aplicándolo a la distribución de carga esféricamente simétrica (Fig. 2), obtenemos la integral

\[\ \phi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} 2 \pi \int_{0}^{\pi} \sin \theta^{\prime} d \theta^{\prime} \int_{0}^{\infty} r^{\prime 2} d r^{\prime} \frac{\rho\left(r^{\prime}\right)}{R} \cos \theta,\tag{1.39}\]

que no es mucho más sencillo que la Ec. (11).

La situación puede mejorarse mucho refundiendo la Ec. (38) en una forma diferencial. Para ello, basta con enchufar la definición de\(\ \phi\), Ec. (33), en la Ec. (27):

\[\ \nabla \cdot(-\nabla \phi)=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}. \tag{1.40}\]

El lado izquierdo de esta ecuación no es otra cosa que el operador de Laplace de\(\ \phi\) (con el signo menos), de manera que obtenemos la famosa ecuación de Poisson ¹⁸ para el potencial electrostático:

\[\ \nabla^{2} \phi=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.\quad\quad\quad\text{Poisson equation for }\phi\tag{1.41}\]

(En las unidades gaussianas, la ecuación de Poisson es\(\ \nabla^{2} \phi=-4 \pi \rho\).) Esta ecuación diferencial es tan conveniente para aplicaciones que incluso su caso particular para\(\ \rho=0\),

\[\ \nabla^{2} \phi=0,\quad\quad\quad\text{Laplace equation for }\phi\tag{1.42}\]

se ha ganado un nombre especial: la ecuación de Laplace. ¹⁹

Para tener una idea del valor de la ecuación de Poisson como herramienta de resolución de problemas, volvamos a la distribución de carga esféricamente simétrica (Fig. 2) con una densidad de carga constante\(\ \rho\). Usando la simetría, podemos representar el potencial como\(\ \phi(r)\), y por lo tanto usar la siguiente expresión simple para su operador Laplace: ²⁰

\[\ \nabla^{2} \phi=\frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r}\left(r^{2} \frac{d \phi}{d r}\right),\tag{1.43}\]

para que para los puntos dentro de la esfera cargada\(\ (r \leq R)\) la ecuación de Poisson rinda

\[\ \frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r}\left(r^{2} \frac{d \phi}{d r}\right)=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}, \quad \text { i.e. } \frac{d}{d r}\left(r^{2} \frac{d \phi}{d r}\right)=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}} r^{2}.\tag{1.44}\]1.3: Potencial escalar y energía de campo eléctrico

Integrando la última forma de la ecuación sobre r una vez, con la condición de límite natural\(\ d \phi /\left.d r\right|_{r=0}=0\) (debido a la condición\(\ E(0)=0\), que se ha discutido anteriormente), obtenemos

\[\ \frac{d \phi}{d r}(r)=-\frac{\rho}{r^{2} \varepsilon_{0}} \int_{0}^{r} r^{\prime 2} d r^{\prime}=-\frac{\rho r}{3 \varepsilon_{0}} \equiv-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q r}{R^{3}}.\tag{1.45}\]

Dado que este derivado no es más que\(\ -E(r)\), en esta fórmula podemos reconocer fácilmente nuestro resultado anterior (22). Ahora nos puede interesar llevar a cabo la segunda integración para calcular el propio potencial:

\[\ \phi(r)=-\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} \int_{0}^{r} r^{\prime} d r^{\prime}+c_{1}=-\frac{Q r^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R^{3}}+c_{1}.\tag{1.46}\]

Antes de hacer cualquier juicio sobre la constante de integración\(\ c_{1}\), resolvamos la ecuación de Poisson (en este caso, solo la ecuación de Laplace) para el rango fuera de la esfera\(\ (r>R)\):

\[\ \frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r}\left(r^{2} \frac{d \phi}{d r}\right)=0.\tag{1.47}\]

Su primera integral,

\[\ \frac{d \phi}{d r}(r)=\frac{c_{2}}{r^{2}},\tag{1.48}\]

también da el campo eléctrico (con el signo menos). Ahora usando la Eq. (45) y requiriendo que el campo sea continuo en\(\ r=R\), obtenemos

\[\ \frac{c_{2}}{R^{2}}=-\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{2}}, \quad \text { i.e. } \frac{d \phi}{d r}(r)=-\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}},\tag{1.49}\]

en un evidente acuerdo con la Ec. (19). Integrando de nuevo este resultado,

\[\ \phi(r)=-\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \frac{d r}{r^{2}}=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r}+c_{3}, \quad \text { for } r>R,\tag{1.50}\]

podemos seleccionar\(\ c_{3}=0\), para que\(\ \phi(\infty)=0\), de acuerdo con la convención habitual (aunque no obligatoria). Ahora podemos finalmente determinar la constante\(\ c_{1}\) en la Ec. (46) requiriendo que esta ecuación y la ecuación (50) den el mismo valor de\(\ \phi\) en el límite\(\ r=R\). (Según la Ec. (33), si el potencial tuviera un salto, el campo eléctrico en ese punto sería infinito.) La respuesta final podrá representarse como

\[\ \phi(r)=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}\left(\frac{R^{2}-r^{2}}{2 R^{2}}+1\right), \quad \text { for } r \leq R\tag{1.51}\]

Este cálculo muestra que usar la ecuación de Poisson para encontrar la distribución del potencial electrostático para problemas altamente simétricos puede ser más engorroso que encontrar directamente el campo eléctrico —digamos, de la ley de Gauss. Sin embargo, veremos repetidamente a continuación que si la distribución de carga eléctrica no se fija de antemano, usar la ecuación (41) puede ser la única forma practicable de proceder.

Volviendo ahora a la teoría general de los fenómenos electrostáticos, calculemos la energía potencial\(\ U\) de un sistema arbitrario de cargas eléctricas puntuales\(\ q_{k}\). A pesar de la relación aparentemente simple (31) entre\(\ U\) y\(\ \phi\), el resultado no es tan sencillo. En efecto, supongamos que la distribución de carga tiene una extensión espacial finita, de manera que a grandes distancias de ella (formalmente, at\(\ \mathbf{r}=\infty\)) el campo eléctrico tiende a cero, de manera que el potencial electrostático tiende a una constante. Seleccionando esta constante, por conveniencia, para que sea igual a cero, podemos calcular\(\ U\) como una suma de los incrementos de energía\(\ \Delta U_{k}\) creados al llevar las cargas, una a una, desde el infinito hasta sus posiciones finales\(\ \mathbf{r}_{k}\) — ver Fig. 6. ²¹ De acuerdo con la forma integral de la Ec. (32), tal contribución es

\[\ \Delta U_{k}=-\int_{\infty}^{\mathbf{r}_{k}} \mathbf{F}(\mathbf{r}) \cdot d \mathbf{r}=-q_{k} \int_{\infty}^{\mathbf{r}_{k}} \mathbf{E}(\mathbf{r}) \cdot d \mathbf{r} \equiv q_{k} \phi\left(\mathbf{r}_{k}\right),\tag{1.52}\]

donde\(\ \mathbf{E}(\mathbf{r})\) está el campo eléctrico total, y\(\ \phi(\mathbf{r})\) es el potencial electrostático total durante este proceso, además del campo creado por la misma carga\(\ q_{k}\) que se está moviendo.

Fig. 1.6. Ecuaciones derivadas (55) y (60) para las energías potenciales de un sistema de varias cargas puntuales.

Esta expresión muestra que el incremento\(\ \Delta U_{k}\), y de ahí la energía potencial total\(\ U\), dependen de la fuente del campo eléctrico E. Si el campo está dominado por un campo externo\(\ \mathbf{E}_{\text {ext }}\), inducido por algunas cargas externas, no siendo parte de la configuración de carga bajo nuestro análisis (cuya energía estamos calculando, ver Fig. 6), entonces la distribución espacial\(\ \phi(\mathbf{r})\) está determinada por este campo, es decir, no depende de cuántos cargos que ya hemos traído, por lo que la Ec. (52) se reduce a

\[\ \Delta U_{k}=q_{k} \phi_{\mathrm{ext}}\left(\mathbf{r}_{k}\right), \quad \text { where } \phi_{\mathrm{ext}}(\mathbf{r}) \equiv-\int_{\infty}^{\mathbf{r}} E_{\mathrm{ext}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \cdot d \mathbf{r}^{\prime}.\tag{1.53}\]

Resumiendo estas contribuciones, obtenemos lo que se llama la energía del sistema de carga en el campo externo: ²²

\[\ U_{\mathrm{ext}} \equiv \sum_{k} \Delta U_{k}=\sum_{k} q_{k} \phi_{\mathrm{ext}}\left(\mathbf{r}_{k}\right).\tag{1.54}\]

Ahora repitiendo la argumentación que nos ha llevado a la ecuación (9), vemos que para una carga continuamente distribuida, esta suma se convierte en una integral:

\[\ U_{\mathrm{ext}}=\int \rho(\mathbf{r}) \phi_{\mathrm{ext}}(\mathbf{r}) d^{3} r.\quad\quad\quad\text{Energy: external field}\tag{1.55}\]

(Como se discutió anteriormente, utilizando la representación delta-funcional de los cargos puntuales, siempre podemos regresar de aquí a la Ec. (54), de manera que la Ec. (55) puede ser considerada como un resultado final, universal.)

El resultado es diferente en el límite opuesto, cuando el campo eléctrico E (r) es creado sólo por las mismas cargas cuya energía estamos calculando. En este caso,\(\ \phi\left(\mathbf{r}_{k}\right)\) en la Ec. (52) está el potencial creado solo por las cargas con números\(\ k^{\prime}=1,2, \ldots,(k-1)\) ya en su lugar cuando la\(\ k^{\text {th }}\) carga se mueve hacia adentro (en la Fig. 6, las cargas dentro del límite discontinuo), y podemos usar el principio de superposición lineal para escribir

\[\ \Delta U_{k}=q_{k} \sum_{k^{\prime}<k} \phi_{k^{\prime}}\left(\mathbf{r}_{k}\right), \quad \text { so that } U=\sum_{k} U_{k}=\sum_{k, k^{\prime} \atop\left(k^{\prime}<k\right)} q_{k} \phi_{k^{\prime}}\left(\mathbf{r}_{k}\right).\tag{1.56}\]

Este resultado es tan importante que es digno de reescribirlo en varias otras formas. Primero, podemos usar la ecuación (35) para representar la ecuación (56) en una forma más simétrica:

\[\ U=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sum_{k, k^{\prime} \atop\left(k^{\prime}<k\right)} \frac{q_{k} q_{k^{\prime}}}{\left|\mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{k^{\prime}}\right|}.\tag{1.57}\]

La expresión bajo esta suma es evidentemente simétrica con respecto al intercambio de índices, de manera que puede extenderse en una forma diferente,

\[\ U=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{2} \sum_{k^{\prime}, k \atop\left(k^{\prime} \neq k\right)} \frac{q_{k} q_{k^{\prime}}}{\left|\mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{k^{\prime}}\right|},\tag{1.58}\]

donde la interacción entre cada par de cargas se describe en dos términos iguales bajo la suma, y se utiliza el coeficiente frontal 1⁄2 para compensar este doble conteo. La conveniencia de la última forma es que puede generalizarse fácilmente al caso continuo:

\[\ U=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{2} \int d^{3} r \int d^{3} r^{\prime} \frac{\rho(\mathbf{r}) \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}.\tag{1.59}\]

(Como antes, en este caso la restricción expresada en el caso de carga discreta como no\(\ k \neq k^{\prime}\) es importante, ya que si la densidad de carga es una función continua, la integral (59) no diverge en el punto r = r'. )

Para representar este resultado en una forma más, notemos que de acuerdo con la Ec. (38), la integral interna sobre\(\ r^{\prime}\) en la ecuación (59), dividida por\(\ 4 \pi \varepsilon_{0}\), es solo el potencial electrostático completo en el punto r, y por lo tanto

\[\ \text{Energy: charge interation}\quad\quad\quad U=\frac{1}{2} \int \rho(\mathbf{r}) \phi(\mathbf{r}) d^{3} r.\tag{1.60}\]

Para el caso de carga discreta, este resultado es

\[\ U=\frac{1}{2} \sum_{k} q_{k} \phi\left(\mathbf{r}_{k}\right),\tag{1.61}\]

pero aquí es importante recordar que aquí el valor del potencial “completo”\(\ \phi\left(\mathbf{r}_{k}\right)\) debe excluir la contribución (infinita) de la\(\ k\) propia carga puntual. Comparando las dos últimas fórmulas con las ecuaciones (54) y (55), vemos que la energía electrostática de interacción de carga dentro del sistema, expresada a través del producto potencial de carga por, es dos veces menor que la de la interacción de energía de carga con un campo fijo (“externo”). Esto es evidentemente el resultado de que en el caso de interacción mutua de las cargas, el campo eléctrico E en la ecuación básica (52) es proporcional a la magnitud de la carga, más que constante. ²³

Ahora estamos listos para abordar una importante cuestión conceptual: ¿podemos ubicar esta energía de interacción en el espacio? Eqs. (58) - (61) parecen implicar que las contribuciones distintas de cero\(\ U\) provienen únicamente de las regiones donde se encuentran las cargas eléctricas. Sin embargo, una de las características más bellas de la física es que a veces son posibles interpretaciones completamente diferentes del mismo resultado matemático. Para obtener una visión alternativa de nuestro resultado actual, escribamos la ecuación (60) para un volumen\(\ V\) tan grande que el campo eléctrico en la superficie limitadora S sea insignificante, y conectemos en ella la densidad de carga expresada a partir de la ecuación de Poisson (41):

\[\ U=-\frac{\varepsilon_{0}}{2} \int_{V} \phi \nabla^{2} \phi d^{3} r.\tag{1.62}\]

Esta expresión puede estar integrada por partes como ²⁴

\[\ U=-\frac{\varepsilon_{0}}{2}\left[\oint_{S} \phi(\nabla \phi)_{n} d^{2} r-\int_{V}(\nabla \phi)^{2} d^{3} r\right].\tag{1.63}\]

De acuerdo con nuestra condición de campo insignificante\(\ \mathbf{E}=-\nabla \phi\) en la superficie, la primera integral se desvanece, y obtenemos una fórmula muy importante

\[\ U=\frac{\varepsilon_{0}}{2} \int(\nabla \phi)^{2} d^{3} r=\frac{\varepsilon_{0}}{2} \int E^{2} d^{3} r.\tag{1.64}\]

Este resultado, representado en la siguiente forma equivalente: ²⁵

\[\ U=\int u(\mathbf{r}) d^{3} r, \quad \text { with } u(\mathbf{r}) \equiv \frac{\varepsilon_{0}}{2} E^{2}(\mathbf{r}),\quad\quad\quad\text{Energy: electric field}\tag{1.65}\]

ciertamente invita a una interpretación muy diferente a la Ec. (60): es natural interpretar\(\ u(\mathbf{r})\) como la densidad espacial de la energía del campo eléctrico, que se distribuye continuamente por todo el espacio donde existe el campo — en lugar de solo su parte donde se encuentran las cargas.

Echemos un vistazo a cómo funcionan estas dos imágenes alternativas para nuestro problema del banco de pruebas, una esfera uniformemente cargada. Si empezamos con la Ec. (60), podemos limitar la integración por el volumen de la esfera\(\ (0 \leq r \leq R)\) donde\(\ \rho \neq 0\). Usando la Eq. (51), y la simetría esférica del problema\(\ \left(d^{3} r=4 \pi r^{2} d r\right)\), obtenemos

\[\ U=\frac{1}{2} 4 \pi \int_{0}^{R} \rho \phi r^{2} d r=\frac{1}{2} 4 \pi \rho \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \int_{0}^{R}\left(\frac{R^{2}-r^{2}}{2 R^{2}}+1\right) r^{2} d r=\frac{6}{5} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{2 R}.\tag{1.66}\]

Por otro lado, si usamos la Ec. (65), necesitamos integrar la densidad de energía en todas partes, es decir, tanto dentro como fuera de la esfera:

\[\ U=\frac{\varepsilon_{0}}{2} 4 \pi\left(\int_{0}^{R} E^{2} r^{2} d r+\int_{R}^{\infty} E^{2} r^{2} d r\right).\tag{1.67}\]

Usando las ecuaciones (19) y (22) para, respectivamente, las regiones externa e interna, obtenemos

\[\ U=\frac{\varepsilon_{0}}{2} 4 \pi\left[\int_{0}^{R}\left(\frac{Q r}{4 \pi \varepsilon_{0}}\right)^{2} r^{2} d r+\int_{R}^{\infty}\left(\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}\right)^{2} r^{2} d r\right]=\left(\frac{1}{5}+1\right) \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{2 R}.\tag{1.68}\]

Esta es (afortunadamente: -) la misma respuesta que da la ecuación (66), pero hasta cierto punto, la ecuación (68) es más informativa porque muestra cómo exactamente se distribuye la energía del campo eléctrico entre el interior y el exterior de la esfera cargada. ²⁶

Vemos que, como podríamos esperar, dentro del ámbito de la electrostática, las ecuaciones (60) y (65) son equivalentes. Sin embargo, cuando examinemos la electrodinámica (en el Capítulo 6 y más allá), veremos que esta última ecuación es más general y que es más adecuada asociar la energía eléctrica con el campo mismo que con sus fuentes —en nuestro caso actual, las cargas eléctricas.

Finalmente, calculemos la energía potencial de un sistema de cargas en el caso general cuando tanto la interacción interna de las cargas como su interacción con un campo externo son importantes. Uno podría imaginarse que tal cálculo debería ser muy difícil ya que, en ambos límites finales, cuando una de estas interacciones domina, tenemos resultados diferentes. Sin embargo, una vez más obtenemos ayuda del principio de superposición lineal todopoderosa: en el caso general, para el campo eléctrico total podemos escribir

\[\ \mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_{\mathrm{int}}(\mathbf{r})+\mathbf{E}_{\mathrm{ext}}(\mathbf{r}), \quad \phi(\mathbf{r})=\phi_{\mathrm{int}}(\mathbf{r})+\phi_{\mathrm{ext}}(\mathbf{r}),\tag{1.69}\]

donde el índice “int” marca ahora el campo inducido por el sistema de carga bajo análisis, es decir, las variables que participan (sin índices) en las ecuaciones (56) - (68). Ahora imaginemos que nuestro sistema se está construyendo de la siguiente manera: primero, las cargas se juntan en\(\ \mathbf{E}_{\text {ext }}=0\), dando la energía potencial\(\ U_{\text {int }}\) expresada por la ecuación (60), y luego\(\ \mathbf{E}_{\mathrm{ext}}\) se incrementa lentamente. Evidentemente, la contribución energética de este último proceso no puede depender de la interacción interna de las cargas, y por lo tanto puede expresarse en la forma (55). Como resultado, la energía potencial total ²⁷ es la suma de estos dos componentes:

\[\ U=U_{\mathrm{int}}+U_{\mathrm{ext}}=\frac{1}{2} \int \rho(\mathbf{r}) \phi_{\mathrm{int}}(\mathbf{r}) d^{3} r+\int \rho(\mathbf{r}) \phi_{\mathrm{ext}}(\mathbf{r}) d^{3} r.\tag{1.70}\]

Ahora haciendo la transición de los potenciales a los campos, absolutamente similar a la realizada en las ecuaciones (62) - (65), podemos reescribir esta expresión como

\[\ U=\int u(\mathbf{r}) d^{3} r, \quad \text { with } u(\mathbf{r}) \equiv \frac{\varepsilon_{0}}{2}\left[E_{\text {int }}^{2}(\mathbf{r})+2 \mathbf{E}_{\text {int }}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{E}_{\text {ext }}(\mathbf{r})\right].\tag{1.71}\]

Uno podría pensar que este resultado, más general que la ecuación (65) y quizás menos familiar para el lector, es algo completamente nuevo; sin embargo, no lo es. En efecto, sumemos y restemos\(\ E_{\mathrm{ext}}^{2}(\mathbf{r})\) de la suma entre paréntesis, y utilicemos la Eq. (69) para el campo eléctrico total\(\ \mathbf{E}(\mathbf{r})\); luego la Ec. (71) toma la forma

\[\ U=\frac{\varepsilon_{0}}{2} \int E^{2}(\mathbf{r}) d^{3} r-\frac{\varepsilon_{0}}{2} \int E_{\mathrm{ext}}^{2}(\mathbf{r}) d^{3} r.\tag{1.72}\]

Por lo tanto, en el caso más importante cuando estamos usando la energía potencial para analizar la estática y dinámica de un sistema de cargas en un campo externo fijo, es decir, cuando el segundo término en la Ec. (72) puede considerarse como una constante, aún podemos usar para U una expresión similar a la familiar Ec. (65), pero con la \(\ \mathbf{E}(\mathbf{r})\)siendo el campo la suma (69) de los campos interno y externo.

Veamos cómo funciona esto en un problema muy sencillo. Normalmente\(\ \mathbf{E}_{\mathrm{ext}}\) se aplica un campo eléctrico externo uniforme a una capa muy ancha y plana que contiene un número muy grande e igual de cargas eléctricas libres de ambos signos — ver Fig. 7. ¿Cuál es la distribución de equilibrio de las cargas sobre la capa?

Fig. 1.7. Un modelo sencillo de cribado de campo eléctrico en un conductor. Aquí (y en todas las figuras a continuación) se utilizan los colores rojo y azul para denotar los signos de carga opuestos.

Dado que la distribución de equilibrio debe minimizar la energía potencial total del sistema, la ecuación (72) da inmediatamente la respuesta: la distribución debe proporcionar\(\ \mathbf{E} \equiv \mathbf{E}_{\text {int }}+\mathbf{E}_{\text {ext }}=0\) dentro de toda la capa ²⁸, el efecto llamado cribado del campo eléctrico. La única manera de asegurar esta igualdad es tener suficientes cargas libres de signos opuestos que residen en las superficies de la capa para inducir un campo uniforme\(\ \mathbf{E}_{\text {int }}=-\mathbf{E}_\text{ext}\), compensando exactamente el campo externo en cada punto dentro de la capa — ver Fig. 7. De acuerdo con la Ec. (24), la densidad superficial de estas cargas superficiales debe ser igual\(\ \pm \sigma\), con\(\ \sigma=E_{\mathrm{ext}} / \varepsilon_{0}\). Se trata de un modelo rudimentario pero razonable de la polarización del conductor, que se discutirá en detalle en el siguiente capítulo.

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Referencia

¹⁵ Véase, e.g., CM Sec. 1.4.

¹⁶ Eq. (28) también podría derivarse de esta relación, ya que de acuerdo con el álgebra vectorial, cualquier campo de gradiente no tiene rizo — véase, por ejemplo, MA Eq. (11.1).

¹⁷ Esto se puede hacer ya sea por componentes cartesianos o usando la expresión bien conocida\(\ \nabla f=(d f / d r) \mathbf{n}_{r}\) válida para cualquier función escalar esféricamente simétrica\(\ f(r)\) — véase, por ejemplo, MA Eq. (10.8) para el caso particular\(\ \partial / \partial \theta=\partial / \partial \varphi=0\).

¹⁸ El nombre de Siméon Denis Poisson (1781-1840), también famoso por la distribución de Poisson —uno de los resultados centrales de la teoría de la probabilidad— véase, por ejemplo, SM Sec. 5.2.

¹⁹ Después del famoso matemático (y astrónomo) Pierre-Simon Laplace (1749-1827) a quien, junto con Alexis Clairault, se le atribuye el desarrollo del concepto mismo de potencial.

²⁰ Véase, por ejemplo, MA Ec. (10.8) para\(\ \partial / \partial \theta=\partial / \partial \varphi=0\).

²¹ En efecto, por la definición misma de la energía potencial de un sistema, no debe depender de la manera en que estemos llegando a su configuración final.

²² Un término alternativo, quizás más preciso,\(\ U_{\mathrm{ext}}\) es la energía de la interacción del sistema con el campo externo.

²³ La naturaleza de este factor adicional 1⁄2 es absolutamente la misma que en la conocida fórmula\(\ U=(1 / 2) \kappa x^{2}\) para la energía potencial de un resorte elástico que proporciona la fuerza de retorno\(\ F=-\kappa x\), proporcional a su desplazamiento\(\ x\) desde la posición de equilibrio.

²⁴ Esta transformación se desprende del teorema de divergencia MA (12.2) aplicado a la función vector\(\ \mathbf{f}=\phi \nabla \phi\), tomando en cuenta la regla de diferenciación MA Eq. (11.4a):\(\ \nabla \cdot(\phi \nabla \phi)=(\nabla \phi) \cdot(\nabla \phi)+\phi \nabla \cdot(\nabla \phi)=(\nabla \phi)^{2}+\phi \nabla^{2} \phi\).

²⁵ En las unidades gaussianas, el reemplazo estándar\(\ \varepsilon_{0} \rightarrow 1 / 4 \pi\) convierte el último de las ecuaciones (65) en\(\ u(\mathbf{r})=E^{2} / 8 \pi\).

²⁶ Obsérvese que\(\ U \rightarrow \infty\) al\(\ R \rightarrow 0\). Tal divergencia aparece en la aplicación de la Ec. (65) a cualquier carga puntual. Al no afectar la fuerza que actúa sobre la carga, la divergencia no crea ninguna dificultad técnica para el análisis de la estática de carga o dinámica no relativista, sino que apunta a un posible problema conceptual de la electrodinámica clásica como el todo al describir las cargas puntuales. Este tema se discutirá al final del curso (Sec. 10.6).

²⁷ Esta U total (o más bien su parte dependiente de nuestro sistema de cargas) a veces se llama la energía potencial Gibbs del sistema. (Voy a discutir esta noción en detalle en la Sec. 3.5.)

²⁸ Obsérvese que la distribución uniforme de área de la carga dentro de la capa no afecta el campo (y por lo tanto su energía) fuera de ella.