2.1: Funciones de Green

He pasado tanto tiempo/espacio discutiendo las distribuciones potenciales creadas por una carga de un solo punto en varias geometrías de conductores porque para cualquiera de las geometrías, la generalización de estos resultados a la distribución arbitraria\(\ \rho(\mathbf{r})\) de cargas libres es sencilla. Es decir, si una sola carga\(\ q\), ubicada en algún momento\(\ \mathbf{r}^{\prime}\), crea el potencial electrostático

\[\ \phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} q G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right),\tag{2.202}\]

entonces, debido al principio de superposición lineal, una distribución de carga arbitraria (ya sea discreta o continua) crea el potencial

Función Spatial Green

\[\ \phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sum_{j} q_{j} G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}_{j}\right)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right) d^{3} r^{\prime}.\tag{2.203}\]

La función\(\ G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)\) se llama la función (espacial) de Green, la noción muy fructífera y, por lo tanto, popular en todos los campos de la física. ⁶⁵ Evidentemente, como muestra la Ec. (1.35), en el espacio libre ilimitado

\[\ G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)=\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|},\tag{2.204}\]

es decir, la función de Green depende solo de un argumento escalar: la distancia entre el punto de observación de campo\(\ \mathbf{r}\) y el punto de fuente de campo (carga)\(\ \mathbf{r}^{\prime}\). No obstante, en cuanto hay conductores alrededor, la situación cambia. En este curso, solo discutiré las funciones del Green que desaparecen tan pronto como el radio-vector\(\ \mathbf{r}\) apunta a la superficie (S) de cualquier conductor: ⁶⁶

\[\ \left.G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)\right|_{\mathbf{r} \in S}=0.\tag{2.205}\]

Con esta definición, es sencillo deducir las funciones del Green para las soluciones de los problemas de la última sección en los que se conectaron a tierra los conductores\(\ (\phi=0)\). Por ejemplo, para un semiespacio\(\ z \geq 0\) limitado por un plano conductor\(\ z=0\) (Fig. 26), la ecuación (185) rinde

\[\ G=\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}-\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime \prime}\right|}, \quad \text { with } \rho^{\prime \prime}=\rho^{\prime} \text { and } z^{\prime \prime}=-z^{\prime}.\tag{2.206}\]

Vemos que ante la presencia de conductores (y, como veremos más adelante, de cualquier otro medio polarizable), la función del Verde puede depender no sólo de la diferencia\(\ \mathbf{r}-\mathbf{r}^{’}\), sino de cada uno de estos dos argumentos de una manera específica.

Hasta ahora, esto parece como renombrar nuestros viejos resultados. El resultado realmente no trivial de este formalismo para la electrostática es que, algo contraintuitivamente, el conocimiento de la función del Green para un sistema con conductores conectados a tierra (Fig. 30a) permite el cálculo del campo creado por conductores polarizados de voltaje (Fig. 30b), con la misma geometría. Para mostrar esto, usemos el llamado teorema de Green del cálculo vectorial. ⁶⁷ El teorema establece que para cualesquiera dos funciones escalares, diferenciables\(\ f(\mathbf{r})\) y\(\ g(\mathbf{r})\), y cualquier volumen\(\ V\),

\[\ \int_{V}\left(f \nabla^{2} g-g \nabla^{2} f\right) d^{3} r=\oint_{S}(f \nabla g-g \nabla f)_{n} d^{2} r,\tag{2.207}\]

donde\(\ S\) está la superficie limitando el volumen. Aplicando el teorema al potencial electrostático\(\ \phi(\mathbf{r})\) y a la función de Green\(\ G\) (también considerada como una función de\(\ \mathbf{r}\)), utilicemos la ecuación de Poisson (1.41) para reemplazar\(\ \nabla^{2} \phi\) con\(\ \left(-\rho / \varepsilon_{0}\right)\), y notemos que\(\ G\), considerado como una función de\(\ \mathbf{r}\), obedece al Ecuación de Poisson con la fuente\(\ \delta\) -funcional:

\[\ \nabla^{2} G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)=-4 \pi \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right).\tag{2.208}\]

(En efecto, según su definición (202), esta función puede considerarse formalmente como el campo de una carga puntual\(\ q=4 \pi \varepsilon_{0}\).) Ahora intercambiando la notación de los vectores de radio,\(\ \mathbf{r} \leftrightarrow \mathbf{r}’\), y usando la función de simetría de Green\(\ G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)=G\left(\mathbf{r}^{\prime}, \mathbf{r}\right)\),, ⁶⁸ obtenemos

\[\ -4 \pi \phi(\mathbf{r})-\int_{V}\left(-\frac{\rho\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\varepsilon_{0}}\right) G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right) d^{3} r^{\prime}=\oint_{S}\left[\phi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \frac{\partial G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)}{\partial n^{\prime}}-G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right) \frac{\partial \phi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\partial n^{\prime}}\right] d^{2} r^{\prime}.\tag{2.209}\]

Fig. 2.30. El método de función de Green permite que la solución de un problema de límite más simple (a) se utilice para encontrar la solución de un problema más complejo (b), para la misma geometría del conductor.

Apliquemos esta relación al volumen\(\ V\) de espacio libre entre los conductores, y el límite S dibujado inmediatamente fuera de sus superficies. En este caso, por su definición, la función de Green se\(\ G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)\) desvanece en la superficie del conductor\(\ (\mathbf{r} \in S)\) — ver Ec. (205). Ahora cambiando el signo de\(\ \partial n^{\prime}\) (para que sea la normal exterior para conductores, en lugar de volumen de espacio libre\(\ V\)), dividiendo todos los términos por\(\ 4 \pi\), y dividiendo la superficie total\(\ S\) en las partes (numeradas por el índice j) correspondientes a diferentes conductores (posiblemente, mantenidos en diferentes potenciales\(\ \phi_{k}\)), finalmente llegamos al famoso resultado: ⁶⁹

Potencial a través de la función de Green

\[\ \phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{V} \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right) d^{3} r^{\prime}+\frac{1}{4 \pi} \sum_{k} \phi_{k} \oint_{S_{k}} \frac{\partial G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)}{\partial n^{\prime}} d^{2} r^{\prime}.\tag{2.210}\]

Si bien el primer término en el lado derecho de esta relación es una expresión directa y evidente del principio de superposición, dado por la ecuación (203), el segundo término es altamente no trivial: describe el efecto de conductores con potenciales distintos de cero\(\ \phi_{k}\) (Fig. 30b), utilizando la función de Green calculada para el sistema
similar con conductores a tierra, es decir, con todos\(\ \phi_{k}=0\) (Fig. 30a). Permítanme enfatizar que dado que nuestro volumen\(\ V\) excluye a los conductores, el primer término en el lado derecho de la ecuación (210) incluye únicamente las cargas autónomas en el sistema (en la Fig. 30\(\ q_{1}\), marcadas\(\ q_{2}\),, etc.), pero no las cargas superficiales de los conductores —que se toman en cuenta, implícitamente, por el segundo término.

Para ilustrar lo que es una poderosa herramienta Eq. (210), utilicemos para calcular el campo electrostático en dos sistemas. En el primero de ellos, un disco plano, circular, conductor, separado con un corte muy delgado del plano conductor restante, es polarizado con potencial\(\ \phi=V\), mientras que el resto del plano está conectado a tierra — ver Fig. 31.

Fig. 2.31. Un disco conductor polarizado por voltaje separado del resto de un plano conductor.

Si el ancho del espacio entre el disco y el resto del plano es insignificante, podemos aplicar la Eq. (210) sin cargos independientes,\(\ \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)=0\), y la función de Green para el plano sin cortar — ver Ec. (206). ⁷⁰ En las coordenadas cilíndricas, con el origen en el centro del disco (Fig. 31), la función es

\ [\\ comenzar {alineado}
G\ izquierda (\ mathbf {r},\ mathbf {r} ^ {\ prime}\ derecha) &=\ frac {1} {\ izquierda [\ rho^ {2} +\ rho^ {\ prime 2} -2\ rho\ rho^ {\ prime}\ cos\ izquierda (\ varphi-\ varphi^ {\ prime}\ derecha) + izquierda\ (z-z^ {\ prime}\ derecha) ^ {2}\ derecha] ^ {1/2}}\\
&-\ frac {1} {\ izquierda [\ rho^ {2} +\ rho^ {\ prime 2} -2\ rho\ rho^ { \ prime}\ cos\ izquierda (\ varphi-\ varphi^ {\ prime}\ derecha) +\ izquierda (z+z^ {\ prime}\ derecha) ^ {2}\ derecha] ^ {1/2}}.
\ end {alineado}\ tag {2.211}\]

(La suma de los tres primeros términos bajo cada raíz cuadrada en la Ec. (211) es solo la distancia cuadrada entre las proyecciones horizontales\(\ \boldsymbol{\rho}\) y\(\ \boldsymbol{\rho^{\prime}}\) de los vectores\(\ \mathbf{r}\) y\(\ \mathbf{r}^{\prime}\) (o\(\ \mathbf{r}^{\prime \prime}\)) correspondientemente, mientras que los últimos términos son los cuadrados de sus desplazamientos verticales).

Ahora podemos calcular fácilmente la derivada que participa en la Ec. (210), para\(\ z \geq 0\):

\[\ \left.\frac{\partial G}{\partial n^{\prime}}\right|_{s}=\left.\frac{\partial G}{\partial z^{\prime}}\right|_{z^{\prime}=+0}=\frac{2 z}{\left(\rho^{2}+\rho^{\prime 2}-2 \rho \rho^{\prime} \cos \left(\varphi-\varphi^{\prime}\right)+z^{2}\right)^{3 / 2}}.\tag{2.212}\]

Debido a la simetría axial del sistema, podemos tomar\(\ \varphi\) por cero. Con esto, las ecuaciones (210) y (212) rinden

\[\ \phi=\frac{V}{4 \pi} \oint_{S} \frac{\partial G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)}{\partial n^{\prime}} d^{2} r^{\prime}=\frac{V z}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} d \varphi^{\prime} \int_{0}^{R} \frac{\rho^{\prime} d \rho^{\prime}}{\left(\rho^{2}+\rho^{\prime 2}-2 \rho \rho^{\prime} \cos \varphi^{\prime}+z^{2}\right)^{3 / 2}}.\tag{2.213}\]

Esta integral no es demasiado agradable, pero puede resolverse fácilmente al menos para puntos en el eje de simetría\(\ (\rho=0, z \geq 0)\): ⁷¹

\[\ \phi=V z \int_{0}^{R} \frac{\rho^{\prime} d \rho^{\prime}}{\left(\rho^{\prime 2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}=\frac{V}{2} \int_{0}^{R^{2} / z^{2}} \frac{d \xi}{(\xi+1)^{3 / 2}}=V\left[1-\frac{z}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{1 / 2}}\right]\tag{2.214}\]

Este resultado muestra que si\(\ z \rightarrow 0\), el potencial tiende a\(\ V\) (como debería), mientras que en\(\ z \gg R\),

\[\ \phi \rightarrow V \frac{R^{2}}{2 z^{2}}.\tag{2.215}\]

Ahora usemos la misma Eq. (210) para resolver el (in: -) famoso problema de la esfera cortada (Fig. 32). Nuevamente, si la brecha entre las dos semiesferas conductoras es muy delgada\(\ (t<<R)\), podemos usar la función de Green para la esfera conectada a tierra (y sin cortar). Para un caso particular\(\ \mathbf{r}^{\prime}=d \mathbf{n}_{z}\), esta función viene dada por las
ecuaciones (197) - (198); generalizando la relación anterior para una dirección arbitraria del vector\(\ \mathbf{r}’\), obtenemos

\[\ G=\frac{1}{\left[r^{2}+r^{\prime 2}-2 r r^{\prime} \cos \gamma\right]^{1 / 2}}-\frac{R / r^{\prime}}{\left[r^{2}+\left(R^{2} / r^{\prime}\right)^{2}-2 r\left(R^{2} / r^{\prime}\right) \cos \gamma\right]^{1 / 2}}, \quad \text { for } r, r^{\prime} \geq R,\tag{2.216}\]

donde\(\ \gamma\) está el ángulo entre los vectores\(\ \mathbf{r}\) y\(\ \mathbf{r}’\), y por lo tanto\(\ \mathbf{r}^{\prime \prime}\) — ver Fig. 32.

Fig. 2.32. Un sistema de dos semiesferas separadas, sesgadas opuestamente.

Ahora, calculando la derivada de la función de Green,

\[\ \left.\frac{\partial G}{\partial r^{\prime}}\right|_{r^{\prime}=R+0}=-\frac{\left(r^{2}-R^{2}\right)}{R\left[r^{2}+R^{2}-2 R r \cos \gamma\right]^{3 / 2}},\tag{2.217}\]

y conectándolo a la Eq. (210), vemos que la integración vuelve a ser fácil solo para el campo en el eje de simetría (\(\ \mathbf{r}=z \mathbf{n}_{z}, \gamma=\theta\)), dando:

\[\ \phi=\frac{V}{2}\left[1-\frac{z^{2}-R^{2}}{z\left(z^{2}+R^{2}\right)^{1 / 2}}\right].\tag{2.218}\]

Para\(\ z \rightarrow R\), esta relación rinde\(\ \phi \rightarrow V / 2\) (solo verificando :-), mientras que para\(\ z / R \rightarrow \infty\),

\[\ \phi \rightarrow \frac{3 R^{2}}{4 z^{2}} V.\tag{2.219}\]

Como se discutirá en el próximo capítulo, dicho campo es típico de un dipolo eléctrico.

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Referencia

⁶⁵ Véase, por ejemplo, CM Sec. 5.1, QM Secs. 2.2 y 7.4, y SM Sec. 5.5.

⁶⁶\(\ G\) así definido a veces se llama la función Dirichlet.

⁶⁷ Véase, por ejemplo, MA Ec. (12.3). En realidad, este teorema es un corolario listo del teorema de divergencia más conocido (“Gauss”), MA Eq. (12.2).

⁶⁸ Esta simetría, evidente para los casos particulares (204) y (206), puede demostrarse fácilmente para el caso general aplicando la Eq. (207) a las funciones\(\ f(\mathbf{r}) \equiv G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)\) y\(\ g(\mathbf{r}) \equiv G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime \prime}\right)\). Con esta sustitución, el lado izquierdo de esa igualdad se vuelve igual a\(\ -4 \pi\left[G\left(\mathbf{r}^{\prime \prime}, \mathbf{r}^{\prime}\right)-G\left(\mathbf{r}^{\prime}, \mathbf{r}^{\prime \prime}\right)\right]\), mientras que el lado derecho es cero, debido a la Ec. (205).

⁶⁹ En algunos libros de texto, el signo antes de la integral superficial es negativo, porque sus autores utilizan la normal exterior a la región V del espacio libre en lugar de la ocupada por conductores —como yo hago.

⁷⁰ En efecto, si todas las partes del plano de corte están conectadas a tierra, un corte estrecho no cambia la distribución del campo, y de ahí la función del Verde, significativamente.

⁷¹ No hay necesidad de repetir el cálculo para\(\ z \leq 0\): a partir de la simetría del problema,\(\ \phi(-z)=\phi(z)\).