2.2: Enfoque Numérico

A pesar de la riqueza de los métodos analíticos, para muchos problemas de límites (especialmente en geometrías sin un alto grado de simetría), el enfoque numérico es la única vía de solución. Aunque los paquetes de software que ofrecen su solución numérica automática son abundantes hoy en día, ⁷² es importante que cada físico educado entienda “lo que está bajo su capó”, al menos porque la mayoría de los programas universales exhiben un rendimiento mediocre en comparación con los códigos personalizados escrito para problemas particulares, y a veces no convergen en absoluto, especialmente para funciones que cambian rápidamente (digamos, exponenciales). La breve discusión que se presenta aquí ⁷³ es una mirada rápida (ojalá, útil) bajo el capó, aunque ciertamente es insuficiente para el trabajo de investigación numérica profesional.

El más simple de los enfoques numéricos para la solución de ecuaciones diferenciales parciales, como las ecuaciones de Poisson o de Laplace (1.41) - (1.42), es el método de diferencia finita, ⁷⁴ en el que la función escalar continua buscada\(\ f(\boldsymbol{r})\), como el potencial\(\ \phi(\mathbf{r})\), es representado por sus valores en puntos discretos
de una rejilla rectangular (frecuentemente llamada malla) de la dimensionalidad correspondiente — ver Fig. 33.

Fig. 2.33. La idea general del método de diferencia finita en (a) una, (b) dos y (c) tres dimensiones.

Cada segunda derivada parcial de la función se aproxima por la fórmula que se desprende fácilmente de las aproximaciones lineales de la función f y luego sus derivadas parciales — ver Fig. 33a:

\[\ \frac{\partial^{2} f}{\partial r_{j}^{2}} \equiv \frac{\partial}{\partial r_{j}}\left(\frac{\partial f}{\partial r_{j}}\right) \approx \frac{1}{h}\left(\left.\frac{\partial f}{\partial r_{j}}\right|_{r_{j}+h / 2}-\left.\frac{\partial f}{\partial r_{j}}\right|_{r_{j}-h / 2}\right) \approx \frac{1}{h}\left[\frac{f_{\rightarrow}-f}{h}-\frac{f-f_{\leftarrow}}{h}\right]=\frac{f_{\rightarrow}+f_{\leftarrow}-2 f}{h^{2}},\tag{2.220}\]

dónde\(\ f_{\rightarrow} \equiv f\left(r_{j}+h\right)\) y\(\ f_{\leftarrow} \equiv f\left(r_{j}-h\right)\). (El error relativo de esta aproximación es del orden de\(\ h^{4} \partial^{4} f / \partial r_{j}^{4}\).) Como resultado, la acción de un operador 2D Laplace sobre la función\(\ f\) puede aproximarse como

\[\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \approx \frac{f_{\rightarrow}+f_{\leftarrow}-2 f}{h^{2}}+\frac{f_{\uparrow}+f_{\downarrow}-2 f}{h^{2}}=\frac{f_{\rightarrow}+f_{\leftarrow}+f_{\uparrow}+f_{\downarrow}-4 f}{h^{2}},\tag{2.221}\]

y del operador 3D, como

\[\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} \approx \frac{f_{\rightarrow}+f_{\leftarrow}+f_{\uparrow}+f_{\downarrow}+f_{\otimes}+f_{\times}-6 f}{h^{2}}.\tag{2.222}\]

(La notación utilizada en las ecuaciones (221) - (222) debe quedar clara a partir de las Figs. 33b y 33c, respectivamente.)

Como ejemplo sencillo, apliquemos este esquema para encontrar la distribución del potencial electrostático dentro de una caja cilíndrica con paredes conductoras y sección transversal cuadrada\(\ a \times a\), utilizando una malla extremadamente gruesa con escalón\(\ h=a / 2\) (Fig. 34). En este caso, nuestra función, el potencial electrostático\(\ \phi(x, y)\), es igual a cero en las paredes laterales e inferiores, y\(\ V_{0}\) en la tapa superior, de manera que, según la ecuación (221), la ecuación 2D de Laplace puede aproximarse como

\[\ \frac{0+0+V_{0}+0-4 \phi}{(a / 2)^{2}}=0.\tag{2.223}\]

El valor resultante para el potencial en el centro de la caja es\(\ \phi=V_{0} / 4\).

Fig. 2.34. Resolviendo numéricamente un problema de límite 2D interno para una caja conductora cilíndrica de sección transversal cuadrada, utilizando una malla muy gruesa (con\(\ h=a / 2\)).

Sorprendentemente, ¡este es el valor exacto! Esto se puede probar resolviendo este problema mediante el método de separación variable, así como esto se ha hecho para un problema 3D similar en la Sec. 5. El resultado es

\ [\\ phi (x, y) =\ suma_ {n=1} ^ {\ infty} c_ {n}\ sin\ frac {\ pi n x} {a}\ sinh\ frac {\ pi n y} {a},\ quad c_ {n} =\ frac {4 V_ {0}} {\ pi n\ sinh (\ pi n)}\ veces\ left\ {\ begin {array} {l}
1,\ text {if} n\ text {es impar,}\\
0,\ text {si no.}
\ end {array}\ right. \ tag {2.224}\]

de manera que en el punto central\(\ (x=y=a / 2)\),

\[\ \phi=\frac{4 V_{0}}{\pi} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\sin [\pi(2 j+1) / 2] \sinh [\pi(2 j+1) / 2]}{(2 j+1) \sinh [\pi(2 j+1)]} \equiv \frac{2 V_{0}}{\pi} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j}}{(2 j+1) \cosh [\pi(2 j+1) / 2]}.\tag{2.225}\]

La última serie equivale exactamente a\(\ \pi / 8\), así que eso\(\ \phi=V_{0} / 4\). ⁷⁵

para que\(\ \phi=V_{0} / 6\). Increíblemente, ¡este resultado también es exacto! (Esto se desprende de nuestro resultado de separación de variables expresado por las ecuaciones (95) y (99) con\(\ a = b = c\).)

Aunque tales resultados exactos deben considerarse como una feliz coincidencia y no como la ley general, todavía muestran que los métodos numéricos, incluso con mallas relativamente crudas, pueden ser más eficientes computacionalmente que los enfoques “analíticos”, como el método de separación variable con sus resultados de suma infinita que, en la mayoría de los casos, requieren computadoras de todos modos —al menos para la comprensión y análisis del resultado.

Un enfoque más potente (pero también mucho más complejo) es el método de elementos finitos en el que la malla de puntos discretos, típicamente con celdas triangulares, se genera (automáticamente) de acuerdo con la geometría del sistema. ⁷⁶ Dichos generadores de malla proporcionan mayor concentración puntual cerca de partes convexas afiladas de superficies conductoras, donde el campo se concentra y, por lo tanto, el potencial cambia más rápido y, por lo tanto, aseguran una mejor compensación de precisión a velocidad que los métodos de diferencia finita en una rejilla uniforme. El precio a pagar por esta mejora es la complejidad del algoritmo que hace que los ajustes manuales sean mucho más difíciles. Desafortunadamente, en esta serie, no tengo tiempo para entrar en los detalles de ese método y tengo que referir al lector a la literatura especial sobre este tema. ⁷⁷

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Referencia

⁷² Véase, por ejemplo, MA Secs. 16, incisos iii) y iv).

⁷³ Es casi similar a la dada en CM Sec. 8.5 y se reproduce aquí para comodidad del lector, siendo ilustrada con ejemplos de este curso (EM).

⁷⁴ Para más detalles véase, p. ej., R. Leveque, Métodos de Diferencia Finita para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales, SIAM, 2007.

⁷⁵ Permítanme dejar que el lector derive este resultado de la ecuación (210) y de la simetría del sistema, sin ningún cálculo.

⁷⁶ Véase, por ejemplo, CM Fig. 8.14.

⁷⁷ Véase, por ejemplo, ya sea C. Johnson, Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales por el método de elementos finitos, Dover, 2009, o T. Hughes, The Finite Element Method, Dover, 2000.