2.11: Separación Variable — Coordenadas Esféricas

Las coordenadas esféricas son muy importantes en la física, debido a la simetría esférica (al menos aproximada) de muchos objetos físicos —desde núcleos y átomos, hasta gotas de agua en las nubes, planetas y estrellas. Requeramos nuevamente que cada componente\(\ \phi_{k}\) de la ecuación (84) satisfaga la ecuación de Laplace. Usando la expresión completa para el operador Laplace en coordenadas esféricas, ⁵¹ obtenemos

\[\ \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial \phi_{k}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial \phi_{k}}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} \phi_{k}}{\partial \varphi^{2}}=0.\tag{2.161}\]

Busquemos una solución de esta ecuación en la siguiente forma separada por variables:

\[\ \phi_{k}=\frac{\mathcal{R}(r)}{r} \mathcal{P}(\cos \theta) \mathcal{F}(\varphi),\tag{2.162}\]

Separando las variables una por una, partiendo de\(\ \varphi\), así como esto se ha hecho en coordenadas cilíndricas, obtenemos las siguientes ecuaciones para las funciones parciales que participan en esta solución:

\[\ \frac{d^{2} \mathcal{R}}{d r^{2}}-\frac{l(l+1)}{r^{2}} \mathcal{R}=0,\tag{2.163}\]

\[\ \frac{d}{d \xi}\left[\left(1-\xi^{2}\right) \frac{d \mathcal{P}}{d \xi}\right]+\left[l(l+1)-\frac{\nu^{2}}{1-\xi^{2}}\right] \mathcal{P}=0,\tag{2.164}\]

\[\ \frac{d^{2} \mathcal{F}}{d \varphi^{2}}+\nu^{2} \mathcal{F}=0,\tag{2.165}\]

donde\(\ \xi \equiv \cos \theta\) es una nueva variable utilizada en lugar de\(\ \theta\) (so that\(\ -1 \leq \xi \leq+1\)), while\(\ \nu^{2}\) y\(\ l(l+1)\) son las constantes de separación. (El motivo de selección de este último en esta forma quedará claro en un minuto.)

Se puede ver que la Eq. (165) es muy simple, y es absolutamente similar a la Eq. (107) que tenemos para las coordenadas cilíndricas. Además, la ecuación para las funciones radiales es más simple que en las coordenadas cilíndricas. En efecto, busquemos su solución parcial en la forma\(\ c r^{\alpha}\) —tal como lo hemos hecho con la Ec. (106). Al enchufar esta solución en la Ec. (163), inmediatamente obtenemos la siguiente condición en el parámetro\(\ \alpha\):

\[\ \alpha(\alpha-1)=l(l+1).\tag{2.166}\]

Esta ecuación cuadrática tiene dos raíces,\(\ \alpha=l+1\) y\(\ \alpha=-l\), de manera que la solución general a la Ec. (163) es

\[\ \mathcal{R}=a_{l} r^{l+1}+\frac{b_{l}}{r^{l}}.\tag{2.167}\]

Sin embargo, la solución general de la ecuación (164) (llamada ecuación general o asociada de Legendre) no puede expresarse a través de lo que generalmente se llama funciones elementales. ⁵² Empecemos su discusión desde el caso axialmente simétrico cuando\(\ \partial \phi / \partial \varphi=0\). Esto significa\(\ \mathcal{F}(\varphi)=\text { const }\), y así\(\ \nu=0\), de manera que la ecuación (164) se reduce a la llamada ecuación diferencial de Legendre:

Ecuación de Legendre

\[\ \frac{d}{d \xi}\left[\left(1-\xi^{2}\right) \frac{d \mathcal{P}}{d \xi}\right]+l(l+1) \mathcal{P}=0.\tag{2.168}\]

Se puede verificar fácilmente que las soluciones de esta ecuación para valores enteros de\(\ l\) polinomios ⁵³ específicos (Legendre) que pueden describirse mediante la siguiente fórmula de Rodríguez:

Polinomios de Legendre

\[\ \mathcal{P}_{l}(\xi)=\frac{1}{2^{l} l !} \frac{d^{l}}{d \xi^{l}}\left(\xi^{2}-1\right)^{l}, \quad l=0,1,2, \ldots.\tag{2.169}\]

Como muestra esta fórmula, los primeros polinomios de Legendre son bastante simples:

\ [\\ comenzar {alineado}
&\ mathcal {P} _ {0} (\ xi) =1,\\
&\ mathcal {P} _ {1} (\ xi) =\ xi,\\
&\ mathcal {P} _ _ {2} (\ xi) =\ frac {1} {2}\ izquierda (3\ xi^ {2} -1\ derecha),\\
&\ mathcal {P} _ {3} (\ xi) =\ frac {1} {2}\ izquierda (5\ xi^ {3} -3\ xi\ derecha),\\
&\ mathcal {P} _ {4} (\ xi) =\ frac {1} {8}\ izquierda (35\ xi^ {4} -30\ xi^ {2} +3\ derecha),. ,
\ end {alineado}\ tag {2.170}\]

aunque tales expresiones explícitas se vuelven cada vez más voluminosas a medida\(\ l\) que se incrementa. Como muestra la Fig. 23, todos estos polinomios, que se definen en el segmento [-1, +1], terminan en el mismo punto:\(\ \mathcal{P}_{l}(+1)=+1\), mientras que comienzan ya sea en el mismo punto o en el punto opuesto:\(\ P_{l}(-1)=(-1)^{l}\). Entre estos dos puntos finales, el\(\ l^{\text {th }}\) polinomio tiene\(\ l\) ceros. Es sencillo usar la ecuación (169) para probar que estos polinomios forman un conjunto completo de funciones ortogonales, con la siguiente regla de normalización:

\[\ \int_{-1}^{+1} \mathcal{P}_{l}(\xi) \mathcal{P}_{l^{\prime}}(\xi) d \xi=\frac{2}{2 l+1} \delta_{l l^{\prime}},\tag{2.171}\]

de manera que cualquier función\(\ f(\xi)\) definida en el segmento [-1, +1] puede representarse como una serie única sobre los polinomios. ⁵⁴

Así, teniendo en cuenta la división adicional por\(\ r\) en la Ec. (162), la solución general de cualquier problema de Laplace axialmente simétrico puede representarse como

Separación variable en coordenadas esféricas (para simetría axial)

\[\ \phi(r, \theta)=\sum_{l=0}^{\infty}\left(a_{l} r^{l}+\frac{b_{l}}{r^{l+1}}\right) \mathcal{P}_{l}(\cos \theta).\tag{2.172}\]

Obsérvese una fuerte similitud entre esta solución y la ecuación (112) para el problema 2D Laplace en las coordenadas polares. Sin embargo, además de la diferencia en las funciones angulares, también hay una diferencia (por una) en la potencia de la segunda función radial, y esta diferencia aparece inmediatamente en las soluciones de problemas.

Fig. 2.23. Unos polinomios de Legendre más bajos\(\ P_{l}(\xi)\).

En efecto, resolvamos un problema similar al que se muestra en la Fig. 15: encontrar el campo eléctrico alrededor de una esfera conductora de radio\(\ R\), colocada en un campo externo inicialmente uniforme\(\ \mathbf{E}_{0}\) (cuya dirección voy a tomar ahora para el eje z) — ver Fig. 24a.

Fig. 2.24. Esfera conductora en un campo eléctrico uniforme: (a) la geometría del problema, y (b) el patrón de superficie equipotencial dado por la ecuación (176). El patrón es cualitativamente similar pero cuantitativamente diferente al del cilindro conductor en un campo perpendicular — cf. Fig. 15.

Si seleccionamos la constante arbitraria en el potencial electrostático para que\(\ \left.\phi\right|_{z=0}=0\), entonces en la Ec. (172) deberíamos tomar\(\ a_{0}=b_{0}=0\). Ahora bien, tal como se ha argumentado para el caso cilíndrico, a\(\ r>>R\) su potencial debería acercarse al del campo uniforme:

\[\ \phi \rightarrow-E_{0} z=-E_{0} r \cos \theta,\tag{2.173}\]

de manera que en la Ec. (172), sólo\(\ a_{l}\) sobrevive uno de los coeficientes:\(\ a_{l}=-E_{0} \delta_{l, 1}\). Como resultado, a partir de la condición de contorno en la superficie\(\ \phi(R, \theta)=0\),, obtenemos la siguiente ecuación para los coeficientes\(\ b_{l}\):

\[\ \left(-E_{0} R+\frac{b_{1}}{R^{2}}\right) \cos \theta+\sum_{l \geq 2} \frac{b_{l}}{R^{l+1}} \mathcal{P}_{l}(\cos \theta)=0.\tag{2.174}\]

Ahora repitiendo la argumentación que condujo a la Ec. (117), podemos concluir que la ecuación (174) está satisfecha si

\[\ b_{l}=E_{0} R^{3} \delta_{l, 1},\tag{2.175}\]

para que, finalmente, la Eq. (172) se reduzca a

\[\ \phi=-E_{0}\left(r-\frac{R^{3}}{r^{2}}\right) \cos \theta.\tag{2.176}\]

Esta distribución, mostrada en la Fig. 24b, es muy similar a la Eq. (117) para la caja cilíndrica (cf. Fig. 15b, con la cuenta de una orientación de parcela diferente), pero con una potencia diferente del radio en el segundo término. Esta diferencia conduce a una distribución cuantitativamente diferente del campo eléctrico de superficie:

\[\ E_{n}=-\left.\frac{\partial \phi}{\partial r}\right|_{r=R}=3 E_{0} \cos \theta,\tag{2.177}\]

de manera que su valor máximo sea un factor de 3 (en lugar de 2) mayor que el campo externo.

Ahora permítanme brevemente (sobre todo solo para la referencia del lector) mencionar las soluciones de la ecuación de Laplace en el caso general —sin simetría axial—. Si el espacio libre rodea el origen desde todos los lados, las soluciones a la Eq. (165) tienen que ser\(\ 2 \pi\) -periódicas, y por lo tanto\(\ \nu=n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\) Matemáticas dice que la Eq. (164) con entero\(\ \nu=n\) y un entero fijo\(\ l\) tiene una solución solo para un rango limitado de\(\ n\): ⁵⁵

\[\ -l \leq n \leq+l.\tag{2.178}\]

Estas soluciones se llaman las funciones asociadas de Legendre (generalmente, ¡no son polinomios!) Para\(\ n \geq 0\), estas funciones pueden definirse a través de los polinomios de Legendre, usando la siguiente fórmula: ⁵⁶

\[\ \mathcal{P}_{l}^{n}(\xi)=(-1)^{n}\left(1-\xi^{2}\right)^{n / 2} \frac{d^{n}}{d \xi^{n}} \mathcal{P}_{l}(\xi).\tag{2.179}\]

En el segmento\(\ \xi \in[-1,+1]\), cada conjunto de las funciones de Legendre asociadas con un índice fijo\(\ n\) y valores no negativos de\(\ l\) forma un conjunto completo, ortogonal, con la relación de normalización,

\[\ \int_{-1}^{+1} \mathcal{P}_{l}^{n}(\xi) \mathcal{P}_{l^{\prime}}^{n}(\xi) d \xi=\frac{2}{2 l+1} \frac{(l+n) !}{(l-n) !} \delta_{l l^{\prime}},\tag{2.180}\]

eso es evidentemente una generalización de la Ec. (171).

Dado que estas relaciones pueden parecer un poco intimidantes, permítanme escribir expresiones explícitas para unos pocos\(\ \mathcal{P}_{l}^{n}(\cos \theta)\) con los valores más bajos de\(\ l\) y n\(\ \geq 0\), que son más importantes para las aplicaciones.

\[\ l=0: \quad \mathcal{P}_{0}^{0}(\cos \theta)=1 ;\tag{2.181}\]

\ [\ l=1:\ quad\ left\ {\ begin {array} {l}
\ mathcal {P} _ {1} ^ {0} (\ cos\ theta) =\ cos\ theta,\\
\ mathcal {P} _ _ {1} ^ {1} (\ cos\ theta) =-\ sin\ theta;
\ end {array}\ derecha. \ tag {2.182}\]

\ [\ l=2:\ left\ {\ begin {array} {l}
\ mathcal {P} _ {2} ^ {0} (\ cos\ theta) =\ left (3\ cos ^ {2}\ theta-1\ derecha)/2,\\
\ mathcal {P} _ {2} ^ {1} (\ cos\ theta) =-2\ sin\ theta\ cos\ theta,\\
\ mathcal {P} _ {2} ^ {2} (\ cos\ theta) =-3\ cos ^ {2}\ theta.
\ end {array}\ right. \ tag {2.183}\]

El lector debe estar de acuerdo en que no hay mucho que temer en estas funciones —son solo ciertas sumas de productos de funciones\(\ \cos \theta \equiv \xi\) y\(\ \sin \theta \equiv\left(1-\xi^{2}\right)^{1 / 2}\). La Fig. 25 a continuación muestra las gráficas de algunas funciones más bajas\(\ \mathcal{P}_{l}^{n}(\xi)\).

Fig. 2.25. Algunas funciones de Legendre asociadas más bajas. (Adaptado de un original de Geek3, disponible en https://en.Wikipedia.org/wiki/Associ...re_polynomials, bajo la Licencia de Documentación Libre de GNU.)

Usando las funciones asociadas de Legendre, la solución general (162) a la ecuación de Laplace en las coordenadas esféricas puede expresarse como

Separación variable en coordenadas esféricas (caso general)

\[\ \phi(r, \theta, \varphi)=\sum_{l=0}^{\infty}\left(a_{l} r^{l}+\frac{b_{l}}{r^{l+1}}\right) \sum_{n=0}^{l} \mathcal{P}_{l}^{n}(\cos \theta) \mathcal{F}_{n}(\varphi), \quad \mathcal{F}_{n}(\varphi)=c_{n} \cos n \varphi+s_{n} \sin n \varphi.\tag{2.184}\]

Dado que la diferencia entre los ángulos\(\ \theta\) y\(\ \varphi\) es algo artificial, los físicos prefieren pensar no en las funciones\(\ \mathcal{P}\) y\(\ \mathcal{F}\) en la separación, sino directamente en sus productos que participan en esta solución. ⁵⁷

Como rara excepción para mis cursos, para ahorrar tiempo, me saltaré dando un ejemplo del uso de las funciones asociadas de Legendre en electrostática, porque bastantes ejemplos de las aplicaciones de estas funciones se darán en la parte de mecánica cuántica de esta serie.

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Referencia

⁵¹ Véase, por ejemplo, MA Ec. (10.9).

⁵² En realidad, no existe una línea generalmente aceptada entre las funciones “elementales” y “especiales”.

⁵³ Solo para la referencia: si l no es un entero, la solución general de la Ec. (2.168) puede representarse como una combinación lineal de las llamadas funciones Legendre (¡no polinomios!) del primer y segundo tipo,\(\ \mathcal{P}_{1}(\xi)\) y\(\ Q_{l}(\xi)\).

⁵⁴ Es por ello que, al menos para los fines de este curso, no hay una buena razón para perseguir soluciones (más complejas) a la Ec. (168) para valores no enteros de\(\ l\), mencionados en la nota al pie de página anterior.

⁵⁵ En mecánica cuántica, la letra n se suele reservar para el “número cuántico principal”, mientras que las funciones acimutales están numeradas por índice\(\ m\). No obstante, aquí voy a seguir usando\(\ n\) como su índice porque para los fines de este curso, esto parece más lógico a la vista de la similitud de las funciones esférica y cilíndrica.

⁵⁶ Obsérvese que algunos textos utilizan diferentes opciones para el factor frontal (llamada fase Condon-Shortley) en las funciones\(\ \mathcal{P}_{l}^{m}\), que no afectan los resultados finales para los armónicos esféricos\(\ Y_{l}^{m}\).

⁵⁷ En mecánica cuántica, es más conveniente utilizar un conjunto alternativo ligeramente diferente de funciones básicas del mismo problema, a saber, las siguientes funciones complejas llamadas armónicos esféricos:

\(\ Y_{l}^{n}(\theta, \varphi) \equiv\left[\frac{2 l+1}{4 \pi} \frac{(l-n) !}{(l+n) !}\right]^{1 / 2} \mathcal{P}_{l}^{n}(\cos \theta) e^{i n \varphi},\)

que se definen tanto para positivo como negativo\(\ n\) (dentro de los límites\(\ -l \leq n \leq+l\)) — véase, por ejemplo, QM Secs. 3.6 y 5.6. (Obsérvese nuevamente que en ese campo, el índice\(\ n\) se denota tradicionalmente como\(\ m\), y se llama el número cuántico magnético).