2.12: Imágenes de carga

Hasta el momento, hemos discutido diversos métodos de solución del problema de límites de Laplace (35). Pasemos ahora a la discusión de su generalización, la ecuación de Poisson (1.41), que necesitamos cuando además de conductores, también tenemos cargas independientes con una distribución espacial conocida\(\ \rho(\mathbf{r})\). (Esto también nos permitirá, mejor equipados, volver a visitar el problema de Laplace en la siguiente sección.)

Empecemos con un método de imagen de carga algo limitado pero muy útil (o “carga de imagen”). Considera un problema muy simple: una carga de un solo punto cerca de un medio espacio conductor — ver Fig. 26.

Fig. 2.26. El problema más simple fácilmente solucionable por el método de imagen de carga. Los colores de los puntos se utilizan, como antes, para denotar las cargas del signo original (rojo) y opuesto (azul).

Demostremos que su solución, por encima de la superficie del conductor\(\ (z \geq 0)\), puede representarse como:

\[\ \phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{q}{r_{1}}-\frac{q}{r_{2}}\right) \equiv \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}-\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime \prime}\right|}\right),\tag{2.185}\]

o en una forma más explícita, utilizando las coordenadas cilíndricas que se muestran en la Fig. 26:

\[\ \phi(\mathbf{r})=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{\left[\rho^{2}+(z-d)^{2}\right]^{1 / 2}}-\frac{1}{\left[\rho^{2}+(z+d)^{2}\right]^{1 / 2}}\right),\tag{2.186}\]

donde\(\ \rho\) está la distancia del punto de observación desde la línea “vertical” en la que se encuentra la carga. De hecho, esta solución evidentemente satisface tanto la condición límite\(\ \phi=0\) en la superficie del conductor\(\ (z=0)\), como la ecuación de Poisson (1.41), con la fuente única\(\ \delta\) -funcional en el punto de su\(\ \mathbf{r}^{\prime}=\{0,0, d\}\) lado derecho, porque la segunda singularidad de la solución, en el punto \(\ \mathbf{r}”=\{0,0,-d\}\), está fuera de la región de validez de la solución\(\ (z \geq 0)\). Físicamente, esta solución puede interpretarse como la suma de los campos de la carga real\(\ (+q)\) en el punto\(\ \mathbf{r}^{\prime}\), y una carga igual pero opuesta\(\ (-q)\) en el punto de “imagen especular”\(\ \mathbf{r}^{\prime \prime}\) (Fig. 26). Esta es la idea básica del método de carga de imagen. Antes de pasar a problemas más complejos, discutamos la situación mostrada en la Fig. 26 con un poco más de detalle, debido a su importancia fundamental.

Primero, podemos usar las ecuaciones (3) y (186) para calcular la densidad de carga superficial:

\[\ \sigma=-\left.\varepsilon_{0} \frac{\partial \phi}{\partial z}\right|_{z=0}=-\frac{q}{4 \pi} \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{1}{\left[\rho^{2}+(z-d)^{2}\right]^{1 / 2}}-\frac{1}{\left[\rho^{2}+(z+d)^{2}\right]^{1 / 2}}\right)_{z=0}=-\frac{q}{4 \pi} \frac{2 d}{\left(\rho^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}}.\tag{2.187}\]

A partir de esto, la carga superficial total es

\[\ Q=\int_{S} \sigma d^{2} r=2 \pi \int_{0}^{\infty} \sigma(\rho) \rho d \rho=-\frac{q}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{2 d}{\left(\rho^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}} \rho d \rho.\tag{2.188}\]

Esta integral se puede elaborar fácilmente usando la sustitución\(\ \xi \equiv \rho^{2} / d^{2}\) (dando\(\ d \xi=2 \rho d \rho / d^{2}\)):

\[\ Q=-\frac{q}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{d \xi}{(\xi+1)^{3 / 2}}=-q\tag{2.189}\]

Este resultado es muy natural: el conductor trae la mayor carga superficial de su interior a la superficie como sea necesario para compensar completamente la carga inicial\(\ (+q)\) y, por lo tanto, para matar el campo eléctrico a grandes distancias de la manera más eficiente posible, reduciendo así la energía electrostática total (1.65) a la el valor más bajo posible.

Para una mejor sensación de esta carga de polarización de la superficie, llevemos nuestros cálculos al extremo —al\(\ q\) igual a un cambio elemental\(\ e\), y coloquemos una partícula con esta carga (por ejemplo, un protón) a una distancia macroscópica —digamos a 1 m— de la superficie del conductor. Entonces, según la Ec. (189), la carga de polarización total de la superficie es igual a la de un electrón, y según la Ec. (187), su extensión espacial es del orden de\(\ d^{2}=1 \mathrm{~m}^{2}\). Esto significa que si consideramos una parte mucho más pequeña de la superficie\(\ \Delta A<<d^{2}\), ¡su magnitud de carga de polarización\(\ \Delta Q=\sigma \Delta A\) es mucho menor que un electrón! Por ejemplo, la Ec. (187) muestra que la carga de polarización de un área bastante macroscópica\(\ \Delta A=1 \mathrm{~cm}^{2}\) justo debajo de la carga inicial\(\ (\rho=0)\) es\(\ e \Delta A / 2 \pi d^{2} \approx 1.6 \times 10^{-5} e\). ¿Puede ser esto cierto, o nuestra teoría se limita de alguna manera a los cargos\(\ q\) mucho más grandes que\(\ e\)? (Después de todo, la teoría se basa sustancialmente en el modelo macroscópico aproximado (1); ¿tal vez este es el culpable?)

Sorprendentemente, la respuesta a esta pregunta ha quedado clara (al menos para algunos físicos: -) solo tan tarde como a mediados de la década de 1980 cuando varios experimentos demostraron, y los teóricos aceptaron, algunos a regañadientes, que las fórmulas habituales de carga de polarización también son válidas para cargos elementales, es decir, tal la carga\(\ \Delta Q\) de polarización de una superficie macroscópica puede ser de hecho menor que\(\ e\). La razón subyacente de esta paradoja es la naturaleza física de la carga de polarización de la superficie de un conductor: como se discutió en la Sec. 1, no se debe a nuevas partículas cargadas traídas al conductor (tal carga de hecho se cuantificaría en las unidades de e), sino a un pequeño desplazamiento de las cargas libres de un conductor por una distancia muy pequeña de sus posiciones de equilibrio que tenían en ausencia del campo externo inducido por carga\(\ q\). Este cambio no se cuantifica, al menos en la escala relevante para nuestro problema, y por lo tanto tampoco lo es\(\ \Delta Q\).

Este entendimiento ha allanado el camino hacia la invención y demostración experimental de varios dispositivos nuevos incluyendo los llamados transistores de un solo electrón, ⁵⁸ que pueden ser utilizados, en particular, para la medición ultrasensible de cargas de polarización tan pequeñas como\(\ \sim 10^{-6} e\). Otra clase importante de dispositivos de un solo electrón son los estándares de corriente dc y ac basados en la relación fundamental\(\ I=-ef\), donde\(\ I\) es la corriente dc transportada por los electrones transferidos con la frecuencia\(\ f\). La precisión relativa alcanzada experimentalmente ⁵⁹ de tales estándares es del orden de\(\ 10^{-7}\), y no está muy lejos de la proporcionada por el enfoque competidor basado en una combinación del efecto Josephson y el efecto Hall cuántico. ⁶⁰

Segundo, encontremos la energía potencial\(\ U\) de la interacción de carga a superficie. Para eso, podemos usar el valor del potencial electrostático (185) en el punto de la carga misma\(\ \left(\mathbf{r}=\mathbf{r}^{\prime}\right)\), por supuesto ignorando el potencial infinito creado por la carga real, de modo que el potencial restante sea el de la carga de imagen

\[\ \phi_{\text {image }}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{2 d}.\tag{2.190}\]

Al observar la definición del potencial electrostático dada por la ecuación (1.31), puede ser tentador escribir inmediatamente\(\ U=q \phi_{\text {image }}=-\left(1 / 4 \pi \varepsilon_{0}\right)\left(q^{2} / 2 d\right)\) [¡INCORRECTO!] , pero esto sería incorrecto. La razón es que el potencial no\(\ \phi_{\text {image }}\) es independiente de\(\ q\), sino que en realidad es inducido por esta carga. Es por ello que el enfoque correcto es calcular a\(\ U\) partir de la Ec. (1.61), con un solo término:

\[\ U=\frac{1}{2} q \phi_{\text {image }}=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{4 d},\tag{2.191}\]

dando dos veces menor energía que en el resultado equivocado citado anteriormente. Para verificar dos veces la Ec. (191), y también tener una mejor sensación del factor\(\ 1/2\) que la distingue de la conjetura equivocada, podemos calcular\(\ U\) como la integral de la fuerza ejercida sobre la carga por la carga superficial del conductor (es decir, en nuestro formalismo, por la carga de imagen):

\[\ U=-\int_{\infty}^{d} F(z) d z=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{\infty}^{d} \frac{q^{2}}{(2 z)^{2}} d z=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{4 d}.\tag{2.192}\]

Este cálculo explica claramente la acumulación gradual de la fuerza\(\ F\), ya que la carga real se está llevando desde lejos (donde hemos optado\(\ U =0\)) hacia la superficie.

Este resultado tiene varias aplicaciones importantes. Por ejemplo, trazemos la energía electrostática\(\ U\) de un electrón, es decir, una partícula con carga\(\ q=-e\), cerca de una superficie metálica, en función de\(\ d\). Para eso, podemos usar la ecuación (191) hasta que nuestro modelo macroscópico (1) se vuelva inválido, y haga la\(\ U\) transición a algún valor constante negativo\(\ (-\psi)\) dentro del conductor — ver Fig. 27a. Dado que nuestro cálculo fue para un electrón con energía potencial cero al infinito, a temperaturas relativamente bajas,\(\ k_{\mathrm{B}} T<<\psi\), los electrones en los metales pueden ocupar solo los estados con energías por debajo\(\ -\psi\) (el llamado nivel Fermi ⁶¹). La constante positiva\(\ \psi\) se llama función de trabajo porque describe el trabajo más pequeño necesario para eliminar el electrón de un metal. Como se discutió en la Sec. 1, en los metales buenos el cribado del campo eléctrico se lleva a cabo a distancias interatómicas\(\ a_{0} \approx 10^{-10} \mathrm{~m}\). Conectando\(\ d=a_{0}\) y\(\ q=-e\) en la Eq. (191), obtenemos\(\ \psi \approx 6 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \approx 3.5 \mathrm{eV}\). Esta estimación bruta está sorprendentemente bien de acuerdo con los valores experimentales de la función de trabajo, que oscilan entre 4 y 5 eV para la mayoría de los metales. ⁶²

Fig. 2.27. (a) El origen de la función de trabajo, y (b) la emisión de campo de electrones (esquemáticamente).

A continuación, consideremos el efecto de un campo eléctrico externo uniforme adicional\(\ \mathbf{E}_{0}\) aplicado normalmente a una superficie metálica, sobre este perfil de potencial. Podemos sumar la energía potencial que el campo le da al electrón a\(\ d\) distancia de la superficie,\(\ U_{\mathrm{ext}}=-e E_{0} d\), a la creada por la carga de imagen. (Como sabemos por la Ec. (1.53), dado que el campo\(\ \mathbf{E}_{0}\) es independiente de la posición del electrón, su recálculo en la energía potencial no requiere el coeficiente 1⁄2.) Como resultado, la energía potencial de un electrón cerca de la superficie se convierte

\[\ U(d)=-e E_{0} d-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{4 d}, \quad \text { for } d>a_{0},\tag{2.193}\]

con un cruce similar al\(\ U=-\psi\) interior del conductor — ver Fig. 27b. Se puede ver que a la señal apropiada, y una magnitud suficiente del campo aplicado, baja la barrera potencial que impide que los electrones salgan del conductor. En\(\ E_{0} \sim \psi / a_{0}\) (para los metales,\(\ \sim 10^{10} \mathrm{~V} / \mathrm{m}\)), esta supresión se vuelve tan fuerte que los electrones con energías en, y justo por debajo del nivel de Fermi, inician un túnel cuántico-mecánico a través de la barrera delgada restante. Este es el efecto de emisión de electrones de campo (o simplemente “emisión de campo”), que se utiliza en la electrónica de vacío para proporcionar cátodos eficientes que no requieren calentamiento a altas temperaturas. ⁶³

Volviendo a la electrostática básica, vamos a encontrar algunas otras geometrías de conductores donde el método de imágenes de carga puede ser aplicado de manera efectiva. Primero, consideremos una esquina en ángulo recto (Fig. 28a). Reflejando la carga inicial en el plano vertical obtenemos la imagen que se muestra en la esquina superior izquierda de ese panel. Esta imagen hace que la condición de contorno se\(\ \phi=\text { const }\) satisfaga en la superficie vertical de la esquina. No obstante, para que lo mismo sea cierto en la superficie horizontal, tenemos que reflejar tanto la carga inicial como la carga de imagen en el plano horizontal, volteando sus signos. La configuración final de cuatro cargas, mostrada en la Fig. 28a, satisface evidentemente todas las condiciones límite. La distribución potencial resultante puede escribirse fácilmente como la generalización de la ecuación (185). A partir de él, el campo eléctrico y las distribuciones de carga eléctrica, y la energía potencial y las fuerzas que actúan sobre la carga pueden calcularse exactamente como arriba, un ejercicio fácil que queda para el lector.

A continuación, considere una esquina con ángulo\(\ \pi / 4\) (Fig. 28b). Aquí necesitamos repetir la operación de reflexión no dos sino cuatro veces antes de llegar al patrón final de ocho cargas positivas y negativas. (Cualquier intento de continuar con este proceso conduciría a superponerse con los cargos ya existentes). Este razonamiento puede extenderse fácilmente a las esquinas de los ángulos\(\ \beta=\pi / n\), con cualquier número entero\(\ n\), que requieran\(\ 2n\) cargas (incluyendo la inicial) para satisfacer todas las condiciones de contorno.

Fig. 2.28. Las imágenes de carga para (a, b) las esquinas con ángulos\(\ \pi\) y\(\ \pi / 2\), (c) un condensador plano, y (d) una caja rectangular; (e) las superficies equipotenciales típicas para el último sistema.

Algunas configuraciones requieren un número infinito de imágenes pero siguen siendo manejables. El más importante de ellos es un sistema de dos superficies conductoras paralelas, es decir, un condensador plano no polarizado de área infinita (Fig. 28c). Aquí la reflexión repetida conduce a un sistema infinito de cargas\(\ \pm q\) en puntos

\[\ x_{j}^{\pm}=2 a j \pm d,\tag{2.194}\]

donde\(\ d\) (con\(\ 0<d<a\)) es la posición de la carga inicial, y\(\ j\) un entero arbitrario. La suma infinita resultante para el potencial de la carga real\(\ q\), creada por el campo de sus imágenes,

\[\ \phi(d)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[-\frac{q}{2 d}+\sum_{j \neq 0} \sum_{\pm} \frac{\pm q}{\left|d-x_{j}^{\pm}\right|}\right] \equiv-\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left\{\frac{1}{2 d}+\frac{d^{2}}{a^{3}} \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j\left[j^{2}-(d / a)^{2}\right]}\right\},\tag{2.195}\]

está convergiendo (en su última forma) muy rápido. Por ejemplo, el valor exacto,\(\ \phi(a / 2)=-2 \ln 2\left(q / 4 \pi \varepsilon_{0} a\right)\), difiere en menos del 5% de la aproximación usando solo el primer término de la suma.

El mismo método se puede aplicar a cajas conductoras rectangulares 2D (cilíndricas) y 3D que requieran, respectivamente, celosías rectangulares infinitas 2D o 3D de imágenes; por ejemplo, en una caja 3D con lados\(\ a\)\(\ b\), y\(\ c\),\(\ \pm q\) las cargas se ubican en puntos (Fig. 28d)

\[\ \mathbf{r}_{j k l}^{\pm}=2 j a+2 k b+2 l c \pm \mathbf{r}^{\prime}\tag{2.196}\]

donde\(\ \mathbf{r’}\) es la ubicación de la carga inicial (real), y\(\ j\)\(\ k\), y\(\ l\) son enteros arbitrarios. La figura 28e muestra un resultado típico de la suma de los potenciales de dicho conjunto de carga, incluyendo el real, en una caja 2D (dentro del plano de la carga real). Se puede ver que las superficies equipotenciales, concéntricas cerca de la carga, se inclinan naturalmente a lo largo de las paredes conductoras de la caja, que tienen que ser equipotenciales.

Aún más sorprendente, el método de carga de imagen funciona de manera muy eficiente no sólo para geometrías rectilíneas, sino también para las esféricas. De hecho, consideremos una carga puntual\(\ q\) a\(\ d\) distancia del centro de una esfera conductora de radio R conectada a tierra (Fig. 29a), y tratemos de satisfacer la condición límite\(\ \phi=0\) para el potencial electrostático en la superficie de la esfera usando una carga imaginaria\(\ q^{\prime}\) ubicada en algunos punto más allá de la superficie, es decir, dentro de la esfera.

Fig. 2.29. Método de carga de imágenes para una esfera conductora: (a) la idea, y (b) la distribución potencial resultante en el plano central que contiene la carga, para el caso particular\(\ d=2 R\).

De la simetría del problema, es claro que el punto debe estar en la línea que pasa por la carga real y el centro de la esfera, a cierta\(\ d^{\prime}\) distancia del centro. Entonces el potencial total creado por las dos cargas en un punto arbitrario con\(\ r \geq R\) (Fig. 29a) es

\[\ \phi(r, \theta)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[\frac{q}{\left(r^{2}+d^{2}-2 r d \cos \theta\right)^{1 / 2}}+\frac{q^{\prime}}{\left(r^{2}+d^{\prime 2}-2 r d^{\prime} \cos \theta\right)^{1 / 2}}\right].\tag{2.197}\]

Esta expresión muestra que podemos hacer que las dos fracciones sean iguales y opuestas en todos los puntos de la superficie de la esfera (es decir, para cualquier\(\ \theta\) at\(\ r=R\)), si tomamos ⁶⁴

\[\ d^{\prime}=\frac{R^{2}}{d}, \quad q^{\prime}=-\frac{R}{d} q.\tag{2.198}\]

Dado que la solución a cualquier problema de límites de Poisson es única, las ecuaciones (197) y (198) nos dan la solución final para este problema. La Fig. 29b muestra un patrón equipotencial típico que sigue a partir de esta solución. Puede ser sorprendente cómo fórmulas tan simples pueden describir una distribución de campo tan elaborada.

Ahora podemos calcular la carga total\(\ Q\) en la superficie de la esfera puesta a tierra, inducida por la carga externa\(\ q\). Podríamos hacer esto, como lo hemos hecho para el plano conductor, por la integración de fuerza bruta de la densidad de carga superficial\(\ \sigma=-\varepsilon_{0} \partial \phi /\left.\partial r\right|_{r=R}\). Es más elegante, sin embargo, utilizar el siguiente argumento de la ley Gauss. La igualdad (197) es válida (at\(\ r \geq R\)) independientemente de que estemos lidiando con nuestro problema real (carga\(\ q\) y esfera conductora) o con la configuración de carga equivalente —con las cargas puntuales\(\ q\) y\(\ q^{\prime}\), pero ninguna esfera en absoluto. De ahí que de acuerdo con la Ec. (1.16), la
integral gaussiana sobre una superficie con radio\(\ r=R+0\), y la carga total dentro de la esfera también deberían ser las mismas. De ahí que inmediatamente obtengamos

\[\ Q=q^{\prime}=-\frac{R}{d} q.\tag{2.199}\]

Se puede usar una argumentación similar para calcular la fuerza de interacción de carga a esfera:

\[\ F=q E_{\text {image }}(d)=q \frac{q^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0}\left(d-d^{\prime}\right)^{2}}=-\frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{R}{d} \frac{1}{\left(d-R^{2} / d\right)^{2}}=-\frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{R d}{\left(d^{2}-R^{2}\right)^{2}}.\tag{2.200}\]

(Tenga en cuenta que esta expresión es legítima sólo en\(\ d>R\).) A grandes distancias,\(\ d >> R\), esta fuerza atractiva disminuye a medida que\(\ 1 / d^{3}\). Esta dependencia inusual surge porque, como especifica la Ec. (199), la carga inducida de la esfera, responsable de la fuerza, no es constante sino que disminuye a medida que\(\ 1 / d\). En el siguiente capítulo, veremos
que dicha fuerza también es típica para la interacción entre una carga puntual y un dipolo puntual.

Todas las fórmulas anteriores eran para una esfera que se encuentra a tierra para mantener su potencial igual a cero. Pero, ¿y si mantenemos la esfera aislada galvánicamente, para que su carga neta sea fija, por ejemplo, igual a cero? En lugar de resolver este problema desde cero, usemos (¡de nuevo!) el principio de superposición lineal todopoderoso. Para ello, podemos agregar al problema anterior una carga adicional, igual a\(\ -Q=-q \text {'}\), a la esfera, y argumentar que esta adición da, en todos los puntos, un potencial adicional, esféricamente simétrico que no depende del potencial inducido por la carga externa\(\ q\), y se calculó en la Sec. 1.2 — véase la Ec. (1.19). Para la fuerza de interacción, tales rendimientos de adición

\[\ F=\frac{q q^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0}\left(d-d^{\prime}\right)^{2}}+\frac{q q^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0} d^{2}}=-\frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[\frac{R d}{\left(d^{2}-R^{2}\right)^{2}}-\frac{R}{d^{3}}\right].\tag{2.201}\]

A grandes distancias, los dos términos proporcionales para\(\ 1 / d^{3}\) cancelarse entre sí, dando\(\ F \propto 1 / d^{5}\). Un decaimiento de fuerza tan rápido se debe a que el campo de la esfera sin carga es equivalente al de dos cargas inducidas (iguales y opuestas)\(\ +q^{\prime}\) y\(\ -q^{\prime}\), y la distancia entre ellas (\(\ d-d^{\prime}=d-R^{2} / d\)) tiende a cero en\(\ d \rightarrow \infty\). La energía potencial de dicha interacción se comporta como\(\ U \propto 1 / d^{6}\) at\(\ d \rightarrow \infty\); en el próximo capítulo veremos que esta es la ley general de la interacción dipolo inducida.

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Referencia

⁵⁸ En realidad, este término (por el que se puede culpar al autor de estas notas :-) es engañoso: el funcionamiento del “transistor de un solo electrón” se basa en la interacción de cargas discretas (múltiplos de e) transferidas entre conductores, y cargas de polarización de subelectrones simples — véase, por ejemplo, K. Likharev, Proc. IEEE 87, 606 (1999).

⁵⁹ Véase, por ejemplo, M. Keller et al., Appl. Phys. Lett. 69, 1804 (1996); F. Stein et al., Metrología 54, 1 (2017).

⁶⁰ J. Brun-Pickard et al., Phys. Rev. X 6, 041051 (2016).

⁶¹ Se puede encontrar más discusión sobre estos estados en SM Secs. 3.3 y 6.3.

⁶² Más discusión sobre la función de trabajo, y su efecto en la cinética de los electrones, se da en SM Sec. 6.3.

⁶³ El uso práctico de tales cátodos “fríos” se ve afectado por el hecho de que, como se desprende de nuestra discusión en la Sec. 4, cualquier irregularidad a nanoescala de una superficie conductora (una protuberancia, un cúmulo atómico, o incluso un solo “adátomo” pegado a ella) puede causar un fuerte aumento del campo local bien por encima del campo uniforme aplicado\(\ E_{0}\), haciendo que la reproducibilidad de emisión de electrones y la estabilidad en el tiempo sean desafíos significativos. Además, los efectos de ionización de impacto pueden conducir a una avería eléctrica de tipo avalancha ya en campos tan bajos como\(\ \sim 3 \times 10^{6} \mathrm{~V} / \mathrm{m}\).

⁶⁴ En geometría, tales puntos con\(\ d d^{\prime}=R^{2}\), son referidos como el resultado de la inversión mutua en una esfera de radio\(\ R\).