3.2: Medios de dipolo

Generalicemos la ecuación (7) al caso de varios (posiblemente, muchos) dipolos\(\ \mathbf{p}_{j}\) ubicados en puntos arbitrarios\(\ \mathbf{r}_{j}\). Usando el principio de superposición lineal, obtenemos

\[\ \phi_{\mathrm{d}}(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sum_{j} \mathbf{p}_{j} \cdot \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{j}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{j}\right|^{3}}.\tag{3.26}\]

Si nuestro sistema (medio) contiene muchos dipolos similares, distribuidos en el espacio con densidad\(\ n(\mathbf{r})\), podemos aproximar la última suma con un potencial macroscópico, que es el promedio del potencial “microscópico” (26) sobre un volumen local mucho mayor que la distancia entre los dipolos, y como resultado, es dado por la integral

\[\ \phi_{\mathrm{d}}(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \mathbf{P}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \cdot \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^{3}} d^{3} r^{\prime}, \quad \text { with } \mathbf{P}(\mathbf{r}) \equiv n(\mathbf{r}) \mathbf{p},\tag{3.27}\]

donde el vector\(\ \mathbf{P}(\mathbf{r})\), llamado polarización eléctrica, tiene el significado físico del momento dipolo neto por unidad de volumen. (Obsérvese que por su definición,\(\ \mathbf{P}(\mathbf{r})\) es también un campo “macroscópico”.)

Ahora viene un truco muy impresionante, que es la base de toda la teoría de la electrostática “macroscópica” (y eventualmente, la electrodinámica “macroscópica”). Así como se hizo en la derivación de la Ec. (5), la Ec. (27) puede ser reescrita en la forma equivalente

\[\ \phi_{\mathrm{d}}(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \mathbf{P}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \cdot \nabla^{\prime} \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} d^{3} r^{\prime},\tag{3.28}\]

donde\(\ \nabla^{\prime}\) significa el operador del (en este caso particular, el gradiente) que actúa en el “espacio fuente” de los vectores\(\ \mathbf{r}^{\prime}\). El lado derecho de la ecuación (28), aplicado a cualquier volumen\(\ V\) limitado por la superficie\(\ S\), puede integrarse por partes para dar ⁶

\[\ \phi_{\mathrm{d}}(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \oint_{S} \frac{P_{n}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} d^{2} r^{\prime}-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{V} \frac{\nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} d^{3} r^{\prime}.\tag{3.29}\]

Si la superficie no lleva una lámina infinitamente densa (\(\ \delta\)-funcional) de dipolos adicionales, o simplemente está muy distante, el primer término en el lado derecho es despreciable. ⁷ Ahora comparando el segundo término con la ecuación básica (1.38) para el potencial eléctrico, vemos que este término puede interpretarse como el campo de ciertas cargas eléctricas efectivas con densidad

Densidad de carga efectiva

\[\ \rho_{\mathrm{ef}}=-\nabla \cdot \mathbf{P}.\tag{3.30}\]

La Figura 4 ilustra la física de esta relación clave para un modelo de caricatura de un sistema multidipolo simple: una capa de unidades de carga de dos puntos uniformemente distribuidas orientadas perpendicularmente a la superficie de la capa. (En este caso\(\ \nabla \cdot \mathbf{P}=d P / d x\).) Se puede ver que lo\(\ \rho_{\mathrm{ef}}\) definido por la Ec. (30) puede interpretarse como la densidad de las cargas superficiales no compensadas de los dipolos elementales polarizados.

Fig. 3.4. Las distribuciones espaciales de la polarización y las cargas efectivas en una capa de dipolos elementales similares (esquemáticamente).

A continuación, a partir de la Sec. 1.2, ya sabemos que la Ec. (1.38) es equivalente a la ecuación de Maxwell no homogénea (1.27) para el campo eléctrico, de manera que el campo eléctrico macroscópico de los dipolos (definido como\(\ \mathbf{E}_{\mathrm{d}}=-\nabla \phi_{\mathrm{d}}\), donde\(\ \phi_{\mathrm{d}}\) viene dado por la Ec. (27)) obedece a una ecuación similar, con la densidad de carga efectiva (30).

Ahora consideremos un caso más general cuando un sistema, además de las cargas compensadas de los dipolos, también tiene ciertas cargas independientes (no partes de los dipolos ya tomadas en cuenta en la polarización\(\ \mathbf{P}\)). Como se discutió en la Sec. 1.1, si promediamos esta carga sobre las
distancias de carga entre puntos, es decir, la aproximamos con una densidad continua “macroscópica”\(\ \rho(\mathbf{r})\), entonces su campo eléctrico macroscópico también obedece a la Ec. (1.27), pero con la densidad de carga autónoma. Debido al principio de superposición lineal, para el campo macroscópico total\(\ \mathbf{E}\) de estas cargas y dipolos, podemos escribir

\[\ \nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\left(\rho+\rho_{\mathrm{ef}}\right)=\frac{1}{\varepsilon_{0}}(\rho-\nabla \cdot \mathbf{P})\tag{3.31}\]

Este ya es el principal resultado de la electrostática “macroscópica”. Sin embargo, es evidentemente tentador (y muy conveniente para las aplicaciones) reescribir la ecuación (31) en una forma diferente llevando el término relacionado con dipolo de esta igualdad a su lado izquierdo. La fórmula resultante se llama la ecuación macroscópica de Maxwell para D:

Ecuación de Maxwell para D

\[\ \nabla \cdot \mathbf{D}=\rho,\tag{3.32}\]

donde\(\ \mathbf{D}(\mathbf{r})\) se encuentra un nuevo campo “macroscópico”, denominado desplazamiento eléctrico, definido como ⁸

Desplazamiento eléctrico

\[\ \mathbf{D} \equiv \varepsilon_{0} \mathbf{E}+\mathbf{P}.\tag{3.33}\]

La comparación de las ecuaciones (32) y (1.27) muestra que\(\ \mathbf{D}\) (o más estrictamente, la fracción\(\ \left.\mathbf{D} / \varepsilon_{0}\right)\)) puede interpretarse como el campo eléctrico “aspirante” que sería creado por cargas independientes en ausencia de la polarización media dipolar. En contraste, el\(\ \mathbf{E}\) participante en las ecuaciones (31) y (33) es el campo eléctrico genuino (si macroscópico), exacto a distancias mucho mayores que las que existen entre las cargas elementales adyacentes y los dipolos.

Para obtener una mejor sensación intestinal de los campos\(\ \mathbf{E}\) y\(\ \mathbf{D}\), primero reescribamos la ecuación macroscópica de Maxwell (32) en la forma integral. Aplicando el teorema de divergencia a un volumen arbitrario\(\ V\) limitado por superficie\(\ S\), obtenemos la siguiente ley macroscópica de Gauss:

Ley de Gauss Macroscópica

\[\ \oint_{S} D_{n} d^{2} r=\int_{V} \rho d^{3} r \equiv Q,\tag{3.34}\]

donde\(\ Q\) está la carga independiente dentro del volumen\(\ V\).

Este resultado general se puede utilizar para encontrar las condiciones de límite para\(\ \mathbf { D }\) una interfaz nítida entre dos dieléctricos diferentes. (El análisis también es aplicable a un límite dieléctrico/espacio libre.) Para ello, apliquemos la ecuación (34) a un pastillero plano formado en la interfaz (véase el rectángulo sólido en la figura 5), que es suficientemente pequeño en las escalas espaciales de la no uniformidad del dieléctrico y la curvatura de la interfaz, pero que aún contiene muchos dipolos elementales. Suponiendo que la interfaz no tiene cargas de superficie independientes, inmediatamente obtenemos

Condición de límite para D

\[\ \left(D_{n}\right)_{1}=\left(D_{n}\right)_{2},\tag{3.35}\]

es decir, el componente normal del desplazamiento eléctrico tiene que ser continuo. Tenga en cuenta que una declaración similar para el campo eléctrico macroscópico generalmente no\(\ \mathbf{E}\) es válida, porque el vector de polarización\(\ \mathbf{ P }\) puede tener, y típicamente tiene un salto en una interfaz nítida (digamos, debido a la diferente polarizabilidad de los dos dieléctricos diferentes), proporcionando una capa superficial de las cargas efectivas (30) — ver de nuevo el ejemplo mostrado en la Fig. 4.

Fig. 3.5. Derivar las condiciones de contorno en una interfaz entre dos dieléctricos, utilizando un pastillero Gauss (mostrado como un rectángulo de línea continua) y un contorno de circulación (rectángulo de línea discontinua). \(\ \mathbf{n}\)y\(\ \boldsymbol{\tau}\) son los vectores unitarios, que son, respectivamente, normales y tangenciales a la interfaz.

Sin embargo, todavía podemos hacer una declaración importante sobre el comportamiento de\(\ \mathbf{E}\) en la interfaz. En efecto, los campos eléctricos macroscópicos definidos por las ecuaciones (29) y (31), son evidentemente todavía potenciales, y por lo tanto obedecen a la ecuación macroscópica de Maxwell, similar a la Ec. (1.28):

Ecuación Macroscópica de Maxwell para E

\[\ \nabla \times \mathbf{E}=0.\tag{3.36}\]

Integrando esta igualdad a lo largo de un contorno estrecho estirado a lo largo de la interfaz (ver el rectángulo discontinuo en la Fig. 5), obtenemos

Condición de límite para E

\[\ \left(E_{\tau}\right)_{1}=\left(E_{\tau}\right)_{2}.\tag{3.37}\]

Tenga en cuenta que esta condición es compatible con (y puede derivarse de) la continuidad del potencial electrostático macroscópico\(\ \phi\) (relacionado con el campo macroscópico\(\ \mathbf{E}\) por la relación similar a la Ec. (1.33),\(\ \mathbf{E}=-\nabla \phi\)), en cada punto de la interfaz:\(\ \phi_{1}=\phi_{2}\).

Para ver cómo funcionan estas condiciones de contorno, consideremos el problema simple que se muestra en la Fig. 6. Un condensador de plano muy amplio, con voltaje cero entre sus placas conductoras (como puede ser forzado, por ejemplo, por su conexión con un cable externo), está parcialmente lleno de un material con una polarización uniforme\(\ \mathbf{P}_{0}\), ⁹ orientado normal a las placas. Calculemos la distribución espacial de los campos\(\ \mathbf{E}\) y\(\ \mathbf { D }\), y también la densidad de carga superficial de cada placa conductora.

Fig. 3.6. Un sistema sencillo cuyo análisis requiere la Ec. (35).

Debido a la simetría del sistema, los vectores\(\ \mathbf{E}\) y ambos\(\ \mathbf { D }\) son normales a las placas y no dependen de la posición en el plano del condensador, de manera que podemos limitar el análisis de campo al cálculo de sus\(\ z\) -componentes\(\ E(z)\) y\(\ D(z)\). En este caso, la ecuación de Maxwell (32) se reduce al\(\ d D / d z=0\) interior de cada capa (¡pero no en su borde!) , de manera que dentro de cada uno de ellos,\(\ D\) es constante —digamos, algunos\(\ D_{1}\) en la capa con\(\ \mathbf{P}=\mathbf{P}_{0}\), y ciertos\(\ D_{2}\) en la capa de espacio libre, donde\(\ \mathbf{P}=0\). Como resultado, de acuerdo con la Ec. (33), el campo eléctrico (macroscópico) dentro de cada capa también es constante:

\[\ D_{1}=\varepsilon_{0} E_{1}+P_{0}, \quad D_{2}=\varepsilon_{0} E_{2}.\tag{3.38}\]

Dado que el voltaje entre las placas es cero, también podemos requerir que la integral de\(\ E\), tomada a lo largo de una trayectoria que conecta las placas, desaparezca. Esto nos da una relación más:

\[\ E_{1} d_{1}+E_{2} d_{2}=0.\tag{3.39}\]

Aún así, tres ecuaciones (38) - (39) son insuficientes para calcular los cuatro campos en el sistema (\(\ E_{1,2}\)y\(\ D_{1,2}\)). La ayuda decisiva proviene de la condición límite (35):

\[\ D_{1}=D_{2}.\tag{3.40}\]

(Tenga en cuenta que es válido porque la interfaz de capa no lleva cargas eléctricas autónomas, aunque tenga una carga superficial de polarización, cuya densidad de área puede calcularse integrando la Eq. (30) a través de la interfaz:\(\ \sigma_{\mathrm{ef}}=P_{0}\). Tenga en cuenta también que en nuestro sistema simple, la Ec. (37) se satisface de manera idéntica debido a
la simetría del sistema, y por lo tanto no da ninguna información adicional.)

Ahora resolviendo el sistema resultante de cuatro ecuaciones (38) - (40), obtenemos fácilmente

\[\ E_{1}=-\frac{P_{0}}{\varepsilon_{0}} \frac{d_{2}}{d_{1}+d_{2}}, \quad E_{2}=\frac{P_{0}}{\varepsilon_{0}} \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}}, \quad D_{1}=D_{2}=D=P_{0} \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}}.\tag{3.41}\]

Las densidades de área de las cargas superficiales del electrodo ahora pueden calcularse fácilmente mediante la integración de la ecuación (32) a través de cada superficie:

\[\ \sigma_{1}=-\sigma_{2}=D=P_{0} \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}}.\tag{3.42}\]

Tenga en cuenta que debido a la polarización espontánea del material de la capa inferior, las placas del condensador se cargan incluso en ausencia de voltaje entre ellas, y que esta carga es una función de la posición del segundo electrodo\(\ \left(d_{2}\right)\). ¹⁰ También notamos similitud sustancial entre este sistema (Fig. 6), y aquel
cuyo análisis fue objeto del Problema 2.6.

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Referencia

⁶ Para probar estrictamente esta fórmula (casi evidente), es suficiente aplicar el teorema de divergencia dado por MA Eq. (12.2), a la función vector\(\ \mathbf{f}=\mathbf{P}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) /\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|\), en el “espacio fuente” de radio-vectores\(\ \mathbf{r}^{\prime}\).

⁷ Al igual que en el caso de la Ec. (1.9), siempre podemos describir dicha lámina de dipolo usando el segundo término en la ecuación (29), al incluir una parte delta-funcional en la distribución de polarización\(\ \mathbf{P}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\).

⁸ Obsérvese que según su definición (33), la dimensionalidad de\(\ \mathbf { D }\) en las unidades SI es diferente a la de\(\ \mathbf{E}\). En contraste, en las unidades gaussianas el desplazamiento eléctrico se define como\(\ \mathbf{D}=\mathbf{E}+4 \pi \mathbf{P}\), de manera que\(\ \nabla \cdot \mathbf{D}=4 \pi \rho\) (la relación\(\ \rho_{\mathrm{ef}}=-\nabla \cdot \mathbf{P}\) sigue siendo la misma que en las unidades SI), y las dimensionalidades de\(\ \mathbf { D }\) y\(\ \mathbf{E}\) coinciden. Esta coincidencia es un cierto handicap percepcional porque frecuentemente es conveniente considerar los componentes escalares de\(\ \mathbf{E}\) como fuerzas generalizadas, y las de\(\ \mathbf { D }\) como coordenadas generalizadas (ver Sec. 5 más adelante), y es algo reconfortante tener sus dimensionalidades diferentes, ya que están en las unidades SI.

⁹ Como se discutirá en la siguiente sección, esta es una buena aproximación para los llamados electretos, y también para ferroeléctricos duros en campos eléctricos no muy altos.

¹⁰ Este efecto se utiliza en la mayoría de los micrófonos modernos. En dicho dispositivo, la presión de la onda sonora percibida dobla una membrana conductora delgada que juega el papel de una de las placas del condensador, y así modula el grosor (en la Fig. 6,\(\ d_{2}\)) del entrehierro adyacente a la capa electreto. Esta modulación produce variaciones proporcionales de las cargas (42), y de ahí algo de corriente eléctrica en el cable que conecta las placas, que es captada por la electrónica de lectura.