7.3: Reflexión

El nuevo efecto más importante que surge en los medios no uniformes es la reflexión de ondas. Comencemos su discusión a partir del caso más simple de una onda electromagnética plana que normalmente incide en una interfaz nítida entre dos medios uniformes, lineales e isotrópicos.

Comencemos con el caso más simple cuando uno de los dos medios (digamos, el que se encuentra en\(\ z>0\), ver Fig. 8) no puede sostener ningún campo eléctrico en absoluto —como implica, en particular, el modelo macroscópico de un buen conductor— véase la Ec. (2.1):

\[\ \left.E\right|_{z \geq 0}=0.\tag{7.57}\]

Esta condición es evidentemente incompatible con la onda viajera única (5). Sin embargo, esta solución puede corregirse fácilmente usando el hecho de que la ecuación de onda 1D libre de dispersión,

\[\ \left(\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}-\frac{1}{\nu^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) E=0,\tag{7.58}\]

soporta ondas que se propagan, con la misma velocidad, en direcciones opuestas. Como resultado, la siguiente superposición lineal de dos de esas ondas,

\[\ \left.E\right|_{z \leq 0}=f(z-\nu t)-f(-z-\nu t),\tag{7.59}\]

satisface tanto la ecuación como la condición de límite (57), para una función arbitraria\(\ f\). El segundo término en la Ec. (59) puede interpretarse como resultado de la reflexión total de la onda incidente (descrita por su primer término) —en este caso particular, con el cambio del signo del campo eléctrico. Esto significa, en particular, que dentro del modelo macroscópico, un conductor actúa como un espejo perfecto. Por cierto, dado que el vector n de la onda reflejada es opuesto al incidente (ver las flechas en la Fig. 8), la Ec. (6) muestra que el campo magnético de la onda no cambia su signo en la reflexión:

\[\ \left.H\right|_{z \leq 0}=\frac{1}{Z}[f(z-\nu t)+f(-z-\nu t)]\tag{7.60}\]

Fig. 7.8. Una instantánea del campo eléctrico al reflejo de una onda sinusoidal de un conductor perfecto: un patrón realista (líneas rojas) y su aproximación macroscópica, ideal-espejo (líneas azules). Las líneas discontinuas muestran las instantáneas después de un lapso de tiempo de medio período\(\ (\omega \Delta t=\pi)\).

Las líneas azules de la Fig. 8 muestran el patrón resultante (59) para la onda monocromática más simple:

\[\ \text{Wave’s total reflection}\quad\quad\quad\quad \left.E\right|_{z \leq 0}=\operatorname{Re}\left[E_{\omega} e^{i(k z-\omega t)}-E_{\omega} e^{i(-k z-\omega t)}\right].\tag{7.61a}\]

Dependiendo de la conveniencia en un contexto particular, este patrón puede representarse e interpretarse legítimamente ya sea como la superposición lineal (61a) de dos ondas viajeras o como una sola onda estacionaria:

\[\ \left.E\right|_{z \leq 0}=-2 \operatorname{Im}\left(E_{\omega} e^{-i \omega t}\right) \sin k z \equiv 2 \operatorname{Re}\left(i E_{\omega} e^{-i \omega t}\right) \sin k z \equiv 2 \operatorname{Re}\left[E_{\omega} e^{-i(\omega t-\pi / 2)}\right] \sin k z,\tag{7.61b}\]

en el que el campo eléctrico y magnético oscilan con los desplazamientos de fase\(\ \pi / 2\) tanto en el tiempo como en el espacio:

\[\ \left.H\right|_{z \leq 0}=\operatorname{Re}\left[\frac{E_{\omega}}{Z} e^{i(k z-\omega t)}+\frac{E_{\omega}}{Z} e^{i(-k z-\omega t)}\right] \equiv 2 \operatorname{Re}\left(\frac{E_{\omega}}{Z} e^{-i \omega t}\right) \cos k z.\tag{7.62}\]

Como resultado de este cambio, el promedio de tiempo de la magnitud del vector Poynting,

\[\ S(z, t)=E H=\frac{1}{Z} \operatorname{Re}\left[E_{\omega}^{2} e^{-2 i \omega t}\right] \sin 2 k z,\tag{7.63}\]

es igual a cero, mostrando que en la reflexión total no hay flujo de potencia promedio. (Esto es natural porque el espejo perfecto no puede transmitir la onda ni absorberla). Sin embargo, la Ec. (63) muestra que la onda estacionaria proporciona oscilaciones locales de energía, transfiriéndola periódicamente entre las concentraciones de los campos eléctrico y magnético, separados por la distancia\(\ \Delta z=\pi / 2 k=\lambda / 4\).

En el caso de las ondas sinusoidales, los efectos de reflexión pueden explorarse fácilmente incluso para el caso más general de medios dispersivos y/o con pérdidas (pero aún lineales) en los que\(\ \varepsilon(\omega)\) y\(\ \mu(\omega)\), y por lo tanto el vector de onda\(\ k(\omega)\) y la impedancia de onda\(\ Z(\omega)\), definidos por las ecuaciones (28), son ciertos funciones complejas de frecuencia. Los “únicos” nuevos factores que tenemos que dar cuenta es que en este caso, la reflexión puede no ser total, y que dentro del segundo medio tenemos que usar también la solución de onda viajera. Ambos factores pueden ser atendidos buscando la solución a nuestro problema de límites en la forma

\[\ \left.E\right|_{z \leq 0}=\operatorname{Re}\left[E_{\omega}\left(e^{i k_{-} z}+R e^{-i k_{-} z}\right) e^{-i \omega t}\right],\left.\quad E\right|_{z \geq 0}=\operatorname{Re}\left[E_{\omega} T e^{i k_{+} z} e^{-i \omega t}\right],\quad\quad\quad\quad \text{Wave’s partial reflection}\tag{7.64}\]

y por lo tanto, de acuerdo con la Ec. (6),

\[\ \left.H\right|_{z \leq 0}=\operatorname{Re}\left[\frac{E_{\omega}}{Z_{-}(\omega)}\left(e^{i k_{-} z}-R e^{-i k_{-} z}\right) e^{-i \omega t}\right],\left.\quad H\right|_{z \geq 0}=\operatorname{Re}\left[\frac{E_{\omega}}{Z_{+}(\omega)} T e^{i k_{+} z} e^{-i \omega t}\right].\tag{7.65}\]

(Los índices + y — corresponden a los medios ubicados en\(\ z>0\) y\(\ z<0\), respectivamente.) Tenga en cuenta las siguientes características importantes de estas soluciones:

(i) Debido a la linealidad del problema, pudimos (e hicimos: -) tomar las amplitudes complejas de la onda reflejada y transmitida proporcionales a la\(\ \left(E_{\omega}\right)\) de la onda incidente, al tiempo que las escalamos con coeficientes adimensionales, generalmente complejos\(\ R\) y\(\ T\). Como muestra la comparación de las ecuaciones (64) - (65) con las ecuaciones (61) - (62), la reflexión total de un espejo ideal que se discutió anteriormente, corresponde al caso particular\(\ R=-1\) y\(\ T=0\).

(ii) Dado que la ola incidente que estamos considerando, llega de un lado solamente (de\(\ z=-\infty\)), no hay necesidad de incluir un término proporcional a\(\ \exp \left\{-i k_{+} z\right\}\) en las ecuaciones (64) - (65) — en nuestro problema actual. Sin embargo, necesitaríamos tal término si el medio en\(\ z>0\) hubiera sido no uniforme (por ejemplo, tuviera al menos una interfaz más o cualquier otra falta de homogeneidad), porque la onda reflejada a partir de esa falta de homogeneidad adicional sería incidente en nuestra interfaz (ubicada en\(\ z=0\)) desde la derecha.

(iii) La solución (64) - (65) es suficiente incluso para la descripción de los casos en que las ondas no pueden propagarse a\(\ z \geq 0\), por ejemplo, un conductor o un plasma con\(\ \omega_{\mathrm{p}}>\omega\). De hecho, la caída exponencial de la amplitud de campo\(\ z>0\) en tales casos se describe automáticamente por la parte imaginaria del
número de onda\(\ k_{+}\) — véase la Ec. (29).

Para poder calcular los coeficientes\(\ R\) y\(\ T\), necesitamos usar condiciones de límite en\(\ z=0\). Dado que la reflexión no cambia el carácter transversal de las ondas parciales, en nuestro caso actual de la incidencia normal, ambos vectores E y H permanecen tangenciales al plano de interfaz (en nuestra notación,\(\ z = 0\)).

Revisando los argumentos que nos han llevado, en estática, a las condiciones límite (3.37) y (5.117) para estos componentes, vemos que siguen siendo válidos también para la situación dependiente del tiempo, ²⁷ para que para nuestro caso actual de incidencia normal podamos escribir:

\[\ \left.E\right|_{z=-0}=\left.E\right|_{z=+0},\left.\quad H\right|_{z=-0}=\left.H\right|_{z=+0}.\tag{7.66}\]

Al conectar las ecuaciones (64) - (65) en estas condiciones, obtenemos fácilmente dos ecuaciones para los coeficientes\(\ R\) y\(\ T\):

\[\ 1+R=T, \quad \frac{1}{Z_{-}}(1-R)=\frac{1}{Z_{+}} T.\tag{7.67}\]

Resolviendo este sencillo sistema de ecuaciones lineales, obtenemos ²⁸

\[\ \text{Reflection and transmission: sharp interface}\quad\quad\quad\quad R=\frac{Z_{+}-Z_{-}}{Z_{+}+Z_{-}}, \quad T=\frac{2 Z_{+}}{Z_{+}+Z_{-}}.\tag{7.68}\]

Estas fórmulas son muy importantes, y mucho más generales de lo que uno podría pensar porque son aplicables para prácticamente cualquier onda 1D —electromagnética o no, siempre que la impedancia\(\ Z\) se defina correctamente. ²⁹ Dado que en el caso general las impedancias de onda\(\ Z_{\pm}\) definidas por la Ec. (28) con los índices correspondientes, son funciones complejas de frecuencia, las ecuaciones (68) muestran eso\(\ R\) y\(\ T\) pueden tener partes imaginarias también. Este hecho tiene consecuencias importantes en\(\ z<0\), donde la onda reflejada,
proporcional a\(\ R\), combina (“interfiere”) con la onda incidente. En efecto, con\(\ R=|R| e^{i \varphi}\) (donde\(\ \varphi \equiv\) arg\(\ R\) es un desplazamiento de fase real), la expresión entre paréntesis en la primera de las Eq. (64) se convierte

\ [\\ comenzar {alineado}
e^ {i k_ {-} z} +R e^ {-i k_ {-} z} & =( 1-|R|+|R|) e^ {i k_ {-} z} +|R| e^ {i\ varphi} e^ {-i k_ {-} z}\\
&\ equiv (1-|R|) e^ {i k_ {-} z} +2|R| e^ {i\ varphi/2}\ sin\ izquierda [k_ {-}\ izquierda (z-\ delta_ {-}\ derecha)\ derecha],\ quad\ texto {donde}\ delta_ {-}\ equiv\ frac {\ varphi-\ pi} {2 k_ {-}}.
\ end {alineado}\ tag {7.69}\]

Esto significa que el campo puede representarse como una suma de una onda viajera y una onda estacionaria, con una amplitud proporcional a\(\ |R|\), desplazada por la distancia\(\ \delta_{-}\) hacia la interfaz, relativamente al patrón ideal-espejo (61b) — ver Fig. 8. Este efecto se utiliza frecuentemente para las mediciones experimentales de una impedancia desconocida\(\ Z_{+}\) de algún medio, siempre que lo que\(\ Z_{-}\) se conoce —la mayoría de las veces, el espacio libre, donde\(\ Z_{-}=Z_{0}\). Para ello, una pequeña antena (la sonda), que no perturbe demasiado la distribución de los campos, se coloca en el campo de onda, y la amplitud de la tensión de CA inducida en ella por la onda en la sonda se mide con un detector (por ejemplo, un diodo semiconductor con una curva I-V casi cuadrática), en función de \(\ z\)(Fig. 9). A partir de los resultados de tal medición, es sencillo encontrar ambos\(\ |R|\) y\(\ \delta\_\), y por lo tanto restaurar el complejo\(\ R\), y luego usar la ecuación (67) para calcular tanto el módulo como el argumento de\(\ Z_{+}\). (Antes de que las computadoras se volvieran ubicuas, un papel especialmente rayado llamado el gráfico Smith, se había utilizado frecuentemente para realizar este recálculo gráficamente; todavía se usa para la presentación de resultados).

Fig. 7.9. Medición de la impedancia compleja de un medio (esquemáticamente).

Ahora discutamos qué dan estos resultados para las olas que inciden desde el espacio libre\(\ \left(Z_{-}(\omega)=Z_{0}\right.=\text{const}\),\(\ k_{-}=k_{0}=\omega / c\)) sobre las superficies de dos medios particulares e importantes.

(i) Para un plasma libre de colisiones (con magnetización insignificante) podemos usar la ecuación (36) con\(\ \mu(\omega)=\mu_0\), para representar la impedancia (28) en cualquiera de dos formas equivalentes:

\[\ Z_{+}=Z_{0} \frac{\omega}{\left(\omega^{2}-\omega_{\mathrm{p}}^{2}\right)^{1 / 2}} \equiv-i Z_{0} \frac{\omega}{\left(\omega_{\mathrm{p}}^{2}-\omega^{2}\right)^{1 / 2}}.\tag{7.70}\]

La primera de estas formas es más conveniente en el caso\(\ \omega>\omega_{\mathrm{p}}\), cuando el vector de onda\(\ k_{+}\) y la impedancia\(\ Z_{+}\) de onda del plasma son reales, de manera que una parte de la onda incidente sí se propaga al plasma. Al enchufar esta expresión a la última de las ecuaciones (68), vemos que también\(\ T\) es real:

\[\ T=\frac{2 \omega}{\omega+\left(\omega^{2}-\omega_{\mathrm{p}}^{2}\right)^{1 / 2}}.\tag{7.71}\]

Obsérvese que de acuerdo con esta fórmula, y algo contra-intuitivamente,\(\ T>1\) para cualquier frecuencia (arriba\(\ \omega_{\mathrm{p}}\)), invitando a la pregunta: ¿cómo puede la onda transmitida ser más intensiva que la incidente que la ha inducido? Para responder a esta pregunta, necesitamos comparar las potencias (más que las amplitudes del campo eléctrico) de estas dos ondas, es decir, sus vectores promedio de Poynting (42):

\[\ \overline{S_{\text {incident }}}=\frac{\left|E_{\omega}\right|^{2}}{2 Z_{0}}, \quad \overline{S_{+}}=\frac{\left|T E_{\omega}\right|^{2}}{2 Z_{+}}=\frac{\left|E_{\omega}\right|^{2}}{2 Z_{0}} \frac{4 \omega\left(\omega^{2}-\omega_{\mathrm{p}}^{2}\right)^{1 / 2}}{\left[\omega+\left(\omega^{2}-\omega_{\mathrm{p}}^{2}\right)^{1 / 2}\right]^{2}}.\tag{7.72}\]

La relación de estos dos valores ³⁰ siempre está por debajo de 1 (y tiende a cero en\(\ \omega \rightarrow \omega_{\mathrm{p}}\)), de manera que solo se puede transmitir una fracción de la potencia de onda incidente. De ahí que el resultado\(\ T>1\) pueda interpretarse de la siguiente manera: una interfaz entre dos medios puede ser un transformador de impedancia: nunca puede transmitir más potencia de la que proporciona la onda incidente, es decir, solo puede disminuir el producto\(\ S=E H\), pero como la relación\(\ Z=E / H\) cambia en la interfaz, la amplitud de uno de los campos puede aumentar en la transmisión.

Ahora procedamos al caso\(\ \omega<\omega_{\mathrm{p}}\), cuando las ondas no pueden propagarse en el plasma. En este caso, la segunda de las expresiones (70) es más conveniente, porque inmediatamente muestra que\(\ Z_{+}\) es puramente imaginario, mientras que\(\ Z_{-}=Z_{0}\) es puramente real. Esto significa que\(\ \left(Z_{+-} Z_{-}\right)=\left(Z_{+}+Z_{-}\right)^{*}\), es decir, según la primera de las ecuaciones (68),\(\ |R|=1\), de manera que la reflexión es total, es decir, no se transfiere ninguna potencia incidente (en promedio)
al plasma —como ya se discutió en la Sec. 2. Sin embargo, el complejo\(\ R\) tiene un argumento finito,

\[\ \varphi \equiv \arg R=2 \arg \left(Z_{+}-Z_{0}\right)=-2 \tan ^{-1} \frac{\omega}{\left(\omega_{\mathrm{p}}^{2}-\omega^{2}\right)^{1 / 2}},\tag{7.73}\]

y por lo tanto proporciona un desplazamiento espacial finito (69) de la onda estacionaria hacia la superficie del plasma:

\[\ \delta_{-}=\frac{\varphi-\pi}{2 k_{0}}=\frac{c}{\omega} \tan ^{-1} \frac{\omega}{\left(\omega_{\mathrm{p}}^{2}-\omega^{2}\right)^{1 / 2}}.\tag{7.74}\]

Por otro lado, ya sabemos por la Ec. (40) que la solución at\(\ z>0\) es exponencial, con la longitud de decaimiento\(\ \delta\) que se describe por la Ec. (39). Calculando, a partir del coeficiente\(\ T\), el coeficiente exacto antes de este exponente, es sencillo verificar que los campos eléctrico y magnético son efectivamente continuos en la interfaz, completando el patrón mostrado con líneas rojas en la Fig. 8. Esta penetración de onda en un material totalmente reflectante se puede observar experimentalmente, por ejemplo, adelgazando su muestra. Incluso sin resolver este problema exactamente, es evidente que si el grosor de la muestra d se vuelve comparable a\(\ \delta\), una parte de la “cola” exponencial del campo alcanza la segunda interfaz, e induce una onda propagadora. Este es un análogo electromagnético clásico del túnel cuántico-mecánico a través de una barrera potencial. ³¹

Obsérvese que a bajas frecuencias, tanto\(\ \delta\_\) y\(\ \delta\) tienden al mismo valor independiente de la frecuencia,

\[\ \delta, \delta_{-} \rightarrow \frac{c}{\omega_{\mathrm{p}}}=\left(\frac{c^{2} \varepsilon_{0} m_{\mathrm{e}}}{n e^{2}}\right)^{1 / 2}=\left(\frac{m_{\mathrm{e}}}{\mu_{0} n e^{2}}\right)^{1 / 2}, \quad \text { at } \frac{\omega}{\omega_{\mathrm{p}}} \rightarrow 0,\tag{7.75}\]

que es solo la profundidad de penetración de campo (6.44) calculada para un modelo de conductor perfecto (asumiendo\(\ m=m_{\mathrm{e}}\) y\(\ \mu=\mu_{0}\)) en el límite cuasistático. Esto es natural, porque la condición\(\ \omega<<\omega_{\mathrm{p}}\) puede ser refundida como\(\ \lambda_0\equiv 2 \pi c / \omega>>2 \pi c / \omega_{\mathrm{p}} \equiv 2 \pi \delta\), es decir, como condición de validez de la aproximación cuasistática.

(ii) Consideremos ahora la reflexión de ondas electromagnéticas de un conductor óhmico no magnético. En el límite de baja frecuencia más simple\(\ \omega \tau\), cuando, es mucho menor que 1, el conductor puede describirse por una conductividad independiente de la frecuencia\(\ \sigma\). ³² De acuerdo con la Ec. (46), en este caso podemos tomar

\[\ Z_{+}=\left(\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{\mathrm{opt}}(\omega)+i \sigma / \omega}\right)^{1 / 2}.\tag{7.76}\]

Con esta sustitución, las ecuaciones (68) inmediatamente nos dan todos los resultados de interés. En particular, en el límite cuasistático más importante (cuando\(\ \delta_{\mathrm{s}} \equiv\left(2 / \mu_{0} \sigma \omega\right)^{1 / 2}<<\lambda_{0} \equiv 2 \pi c / \omega\), es decir\(\ \sigma / \omega>>\varepsilon_{0} \sim \varepsilon_{\mathrm{opt}}\), la impedancia del conductor es baja:

\[\ Z_{+} \approx\left(\frac{\mu_{0} \omega}{i \sigma}\right)^{1 / 2} \equiv \pi\left(\frac{2}{i}\right)^{1 / 2} \frac{\delta_{s}}{\lambda_{0}} Z_{0}, \quad \text { i.e. }\left|\frac{Z_{+}}{Z_{0}}\right|<<1.\tag{7.77}\]

Esta impedancia es compleja, y por lo tanto alguna fracción\(\ \mathscr{F}\) de la onda incidente es absorbida por el conductor. La fracción se puede encontrar como la relación de la potencia disipada (ya sea calculada, como se hizo anteriormente, a partir de las ecuaciones (68), o simplemente tomada de la ecuación (6.36), con la amplitud del campo magnético\(\ \left|H_{\omega}\right|=2\left|E_{\omega}\right| / Z_{0}\) - ver Ec. (62)) a la potencia de la onda incidente dada por la primera de las ecuaciones (72). El resultado,

\[\ \mathscr{F}=\frac{2 \omega \delta_{s}}{c} \equiv 4 \pi \frac{\delta_{\mathrm{s}}}{\lambda_{0}}<<1.\tag{7.78}\]

es ampliamente utilizado para estimaciones brutas de la disipación de energía en guías de onda de pared metálica y resonadores. Muestra que para mantener bajas las pérdidas de energía, el tamaño característico de dichos sistemas (lo que da una escala de las longitudes de onda del espacio libre\(\ \lambda_{0}\) a las que se utilizan) debe ser mucho mayor que\(\ \delta_{\mathrm{s}}\). Una teoría más detallada de estas estructuras, y los efectos de la pérdida de energía en ellas, se discutirá más adelante en este capítulo.

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Referencia

²⁷ Por ejemplo, la primera de las condiciones (66) puede obtenerse integrando la ecuación de Maxwell completa (dependiente del tiempo)\(\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}+\partial \mathbf{B} / \partial t=0\) sobre un contorno rectangular estrecho y largo con dimensiones\(\ l\) y\(\ d(d<<l)\) estirado a lo largo de la interfaz. En la aplicación del teorema de Stokes a esta integral, el primer término da\(\ \Delta E_{\tau} l\), mientras que la contribución del segundo término es proporcional al producto\(\ dl\), por lo que su contribución a\(\ d / l \rightarrow 0\) es despreciable. La prueba de la segunda condición límite es similar —como ya se discutió en la Sec. 6.2.

²⁸ ¡Tenga en cuenta que solo las impedancias de los medios (en lugar de las velocidades de onda) son importantes para la reflexión en este caso! Desafortunadamente, este hecho no se enfatiza claramente en algunos libros de texto que discuten solo el caso\(\ \mu_{\pm}=\mu_{0}\), cuándo\(\ Z=\left(\mu_{0} / \varepsilon\right)^{1 / 2}\) y\(\ \nu=1 /\left(\mu_{0} \varepsilon\right)^{1 / 2}\) son proporcionales entre sí.

²⁹ Véase, por ejemplo, la discusión de ondas elásticas de deformación mecánica en CM Secs. 6.3, 6.4, 7.7 y 7.8.

³⁰ Esta relación a veces también se llama el “coeficiente de transmisión”, pero para evitar su confusión con la T definida por la Ec. (64), es mejor llamarlo el coeficiente de transmisión de potencia.

³¹ Véase, e.g., QM Sec. 2.3.

³² En un metal típico,\(\ \tau \sim 10^{-13} \mathrm{~s}\), de manera que esta aproximación funciona bien hasta\(\ \omega \sim 10^{13} \mathrm{~s}^{-1}\), es decir, hasta las frecuencias del infrarrojo lejano.