7.9: Efectos de pérdida de energía

Las inevitables pérdidas de energía (“disipación”) en los medios pasivos conducen, en dos situaciones diferentes, a dos efectos diferentes. En una línea de transmisión larga alimentada por una fuente de onda constante, las pérdidas conducen a una atenuación gradual de la onda, es decir, a una disminución de su amplitud, y por lo tanto de su potencia\(\ \mathscr{P}\), con la distancia\(\ z\) desde la fuente. En materiales lineales, las pérdidas de potencia\(\ \mathscr{P}_{\text {loss }}\) son proporcionales a la potencia promediada en el tiempo\(\ \mathscr{P}\) transportada por la ola, de manera que el balance de energía en un segmento pequeño\(\ dz\) toma la forma

\[\ d \mathscr{P}=-\frac{d \mathscr{P}_{\text {loss }}}{d z} d z \equiv-\alpha \mathscr{P} d z.\tag{7.213}\]

El coeficiente\(\ \alpha\) que participa en la última forma de la Ec. (213), y por lo tanto definido como

\[\ \alpha \equiv \frac{d \mathscr{P}_{\text {loss }} / d z}{\mathscr{P}},\tag{7.214}\]

se llama la constante de atenuación. ⁸⁵ Comparando la solución de la Ec. (213),

\[\ \mathscr{P}(z)=\mathscr{P}(0) e^{-\alpha z}\quad\quad\quad\quad\text{Wave’s attenuation}\tag{7.215}\]

con la Ec. (29), donde\(\ k\) se sustituye por\(\ k_{z}\), vemos que\(\ \alpha\) puede expresarse como

\[\ \alpha=2 \operatorname{Im} k_{z},\tag{7.216}\]

donde\(\ k_{z}\) es el componente del vector de onda a lo largo de la línea de transmisión. En el límite más importante cuando las pérdidas son bajas en el sentido\(\ \alpha<<\left|k_{z}\right| \approx \operatorname{Re} k_{z}\), sus efectos sobre la distribución del campo a lo largo de la sección transversal de la línea son insignificantes, lo que hace que el cálculo sea\(\ \alpha\) bastante sencillo. En particular, en este límite las contribuciones a la atenuación de dos fuentes principales, las pérdidas de energía en el dieléctrico de relleno, y las pérdidas de efecto piel en las paredes conductoras, son independientes y aditivas.

Las pérdidas dieléctricas son especialmente sencillas de describir. En efecto, una revisión de nuestros cálculos en Secs. 5-7 muestra que todos ellos siguen siendo válidos si alguno\(\ \varepsilon(\omega)\), o, o ambos\(\ \mu(\omega)\), y por lo tanto\(\ k(\omega)\), tienen pequeñas partes imaginarias:

\[\ k^{\prime \prime}=\omega \operatorname{Im}\left[\varepsilon^{1 / 2}(\omega) \mu^{1 / 2}(\omega)\right]<<k^{\prime}.\quad\quad\quad\quad \text{Attenuation due to filling}\tag{7.218}\]

Para las guías de onda dieléctricas, en particular las fibras ópticas, estas pérdidas son el principal mecanismo de atenuación. Como se discutió en la Sec. 7, en las fibras ópticas prácticas\(\ \kappa_{t} R >>1\), es decir, la mayor parte del campo se propaga (como una onda evanescente) en el revestimiento, con una distribución de campo muy cercana a la onda TEM. Es por ello que la ecuación (218) es aproximadamente válida si se aplica solo al material de revestimiento. En guías de onda con ondas no TEM, podemos usar las relaciones entre\(\ k_{z}\) y\(\ k\), derivadas en las secciones anteriores, para volver a calcular\(\ k^{\prime \prime}\) en Im\(\ k_{z}\). (Obsérvese que en este recálculo, los valores de\(\ k_{t}\) tienen que mantenerse reales, porque son solo los valores propios de la ecuación de Helmholtz (101), que no incluye los parámetros de los medios de relleno).

En líneas de transmisión y guías de onda y con paredes metálicas, mayores pérdidas de energía pueden provenir del efecto piel. Si la longitud de onda\(\ \lambda\) es mucho mayor que\(\ \delta_{\mathrm{s}}\), como suele ser, ⁸⁶ las pérdidas pueden evaluarse fácilmente usando la Ec. (6.36):

\[\ \frac{d \mathscr{P}_{\text {loss }}}{d A}=H_{\text {wall }}^{2} \frac{\mu \omega \delta_{\mathrm{s}}}{4},\tag{7.219}\]

donde\(\ H_{\text {wall }}\) está la amplitud real de la componente tangencial del campo magnético en la superficie de la pared. La pérdida de potencia total\(\ \mathscr{P}_{\text {loss }} / d z\) por unidad de longitud de una guía de ondas, es decir, el lado derecho de la ecuación (213), ahora puede calcularse mediante la integración de esta\(\ d \mathscr{P}_{\text {loss }} / d A\) a lo largo del contorno o contornos que limitan la sección transversal de todas las paredes conductoras. Dado que nuestro cálculo sólo es válido para bajas pérdidas, podemos ignorar su efecto sobre la distribución de campo, de manera que las distribuciones no perturbadas pueden ser utilizadas tanto en la ecuación (219), es decir, en el numerador de la ecuación (214), como para el cálculo de la potencia propagadora promedio, es decir, el denominador de la ecuación (214) — como la integral del vector Poynting sobre la sección transversal de la guía de ondas.

Veamos cómo funciona este enfoque para el modo TEM en una de las líneas de transmisión más simples, el cable coaxial (Fig. 20). Como ya sabemos por la Sec. 5, en la aproximación de grano grueso, que implica una pérdida de potencia insignificante, la distribución de campo de modo TEM entre los dos conductores es la misma que en la estática, a saber:

\[\ H_{z}=0, \quad H_{\rho}=0, \quad H_{\varphi}(\rho)=H_{0} \frac{a}{\rho},\tag{7.220}\]

donde\(\ H_{0}\) está la amplitud del campo en la superficie del conductor interno, y

\[\ E_{z}=0, \quad E_{\rho}(\rho)=Z H_{\varphi}(\rho)=Z H_{0} \frac{a}{\rho}, \quad E_{\varphi}=0, \quad \text { where } Z \equiv\left(\frac{\mu}{\varepsilon}\right)^{1 / 2}.\tag{7.221}\]

Despreciando las pérdidas de potencia por ahora, podemos conectar estas expresiones en la ecuación (42) para calcular el vector de Poynting promediado en el tiempo:

\[\ \bar{S}=\frac{Z\left|H_{\varphi}(\rho)\right|^{2}}{2}=\frac{Z\left|H_{0}\right|^{2}}{2}\left(\frac{a}{\rho}\right)^{2},\tag{7.222}\]

y de ella, el flujo total de energía de las olas a través de la sección transversal:

\[\ \mathscr{P}=\int_{A} \bar{S} d^{2} r=\frac{Z\left|H_{0}\right|^{2} a^{2}}{2} 2 \pi \int_{a}^{b} \frac{\rho d \rho}{\rho^{2}}=\pi Z\left|H_{0}\right|^{2} a^{2} \ln \frac{b}{a}.\tag{7.223}\]

A continuación, para el caso particular del cable coaxial (Fig. 20), los contornos que limitan la sección transversal de la pared son círculos de radios\(\ \rho=a\) (donde la amplitud del campo de superficie\(\ H_{\text {walls }}\) es igual, en nuestra notación,\(\ \mathrm{H}_{0}\)), y\(\ \rho=b\) (donde, según la Ec. (214), el campo es un factor de\(\ b / a\) inferior). Como resultado, para la pérdida de potencia por unidad de longitud, la Ec. (219) rinde

\[\ \frac{d \mathscr{P}_{\text {loss }}}{d z}=\oint_{C_{a}+C_{b}} \frac{d \mathscr{P}_{\text {loss }}}{d A} d l=\left(2 \pi a\left|H_{0}\right|^{2}+2 \pi b\left|H_{0} \frac{a}{b}\right|^{2}\right) \frac{\mu_{0} \omega \delta_{\mathrm{s}}}{4}=\frac{\pi}{2} a\left(1+\frac{a}{b}\right) \mu \omega \delta_{\mathrm{s}}\left|H_{0}\right|^{2}.\tag{7.224}\]

Tenga en cuenta que en\(\ a<<b\), las pérdidas en el conductor interno dominan, a pesar de su menor superficie, debido al mayor campo superficial.

Ahora podemos enchufar las ecuaciones (223) y (224) en la definición (214) de\(\ \alpha\), para calcular la contribución del efecto piel a la constante de atenuación:

\[\ \alpha_{\text {skin }} \equiv \frac{d \mathscr{P}_{\text {loss }} / d z}{\mathscr{P}}=\frac{1}{2 \ln (b / a)}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \frac{\mu \omega \delta_{\mathrm{s}}}{Z} \equiv \frac{k \delta_{\mathrm{s}}}{2 \ln (b / a)}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right).\tag{7.225}\]

Este resultado muestra que la atenuación relativa (adimensional)\(\ \alpha / k\), escala aproximadamente como la relación\(\ \delta_{\mathrm{s}} / \min [a, b]\), en un acuerdo semicuantitativo con la Ec. (78).

Usemos este resultado para evaluar\(\ \alpha\) para el cable de TV estándar RG-6/U, con conductores de cobre de diámetros\(\ 2 a=1 \mathrm{~mm}\)\(\ 2 b=4.7 \mathrm{~mm}\), y\(\ \varepsilon \approx 2.2 \varepsilon_{0}\) y\(\ \mu \approx \mu_{0}\). De acuerdo con la Ec. (6.33), para\(\ f=100 \mathrm{MHz}\) (es decir\(\ \omega \approx 6.3 \times 10^{8} \mathrm{~s}^{-1}\)) la profundidad de la piel del cobre puro a temperatura ambiente (con\(\ \sigma \approx 6.0 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}\)) es cercana a\(\ 6.5 \times 10^{-6} \mathrm{~m}\), mientras que\(\ k=\omega(\varepsilon \mu)^{1 / 2}=\left(\varepsilon / \varepsilon_{0}\right)^{1 / 2}(\omega / c) \approx 3.1 \mathrm{~m}^{-1}\). Como resultado, la atenuación es bastante baja:\(\ \alpha_{\text {skin }}\approx 0.016\mathrm{~m}^{-1}\), por lo que la escala de longitud de atenuación\(\ l_{\mathrm{d}} \equiv 1 / \alpha\) es de aproximadamente 60 m. De ahí que la atenuación en un cable que conecta una antena de TV de techo a un televisor en la misma casa no es un gran problema, aunque usar un conductor peor, por ejemplo, acero, haría que las pérdidas fueran más bien notable. (De ahí la actual escasez mundial de cobre.) Sin embargo, el uso de dicho cable en la banda X\(\ (f \sim 10 \mathrm{GHz})\) es más problemático. De hecho, aunque la profundidad de la piel\(\ \delta_{\mathrm{s}} \propto \omega^{-1 / 2}\) disminuye con la frecuencia, la longitud de onda disminuye, es decir,\(\ k\) aumenta, incluso más rápido (\(\ k\propto \omega\)), de manera que la atenuación\(\ \alpha_{\text {skin }} \propto \omega^{1 / 2}\) se aproxima\(\ l_{\mathrm{d}}\) a\(\ 0.16 \mathrm{~m}^{-1}\), es decir, a ~6 m. Es por ello que a tales frecuencias, puede ser necesario usar rectangular guías de onda, con sus dimensiones internas más grandes\(\ a\)\(\ b \sim 1 / k\), y por lo tanto menor atenuación. Permítanme dejar el cálculo de esta atenuación, utilizando la Ec. (219) y los resultados derivados en la Sec. 7, para el ejercicio del lector.

El efecto de la disipación sobre las oscilaciones libres en resonadores es diferente: aquí conduce a una disminución gradual de la energía de los campos oscilantes\(\ U\) en el tiempo. Una medida adimensional útil de esta decadencia, llamada el factor Q, se define comúnmente escribiendo el siguiente análogo temporal de la Ec. (213): ⁸⁷

\[\ d U=-\mathscr{P}_{\text {loss }} d t \equiv-\frac{\omega}{Q} U d t,\tag{7.226}\]

donde\(\ \omega\) en la frecuencia propia en el límite libre de pérdidas, y

\[\ \frac{\omega}{Q} \equiv \frac{\mathscr{P}_{\text {loss }}}{U}\quad\quad\quad\quad\text{Q-factor}\tag{7.227}\]

La solución de la Ec. (226),

\[\ U(t)=U(0) e^{-t / \tau}, \quad \text { with } \tau \equiv \frac{Q}{\omega} \equiv \frac{Q / 2 \pi}{\omega / 2 \pi}=\frac{Q^{\mathcal{T}}}{2 \pi},\tag{7.228}\]

que es el análogo temporal de la ecuación (215), muestra el significado físico del factor Q: el tiempo característico de la decadencia\(\ \tau\) de la energía de oscilación es\(\ (Q / 2 \pi)\) veces más largo que el período de oscilación\(\ \mathcal{T}=2 \pi / \omega\). (Otra interpretación útil de\(\ Q\) proviene de la relación universal ⁸⁸

\[\ Q=\frac{\omega}{\Delta \omega},\tag{7.229}\]

donde\(\ \Delta \omega\) está el llamado ancho de banda FWHM ⁸⁹ de la resonancia, es decir, la diferencia entre los dos valores de la frecuencia de la señal externa, uno por encima y otro por debajo\(\ \omega\), en el que la energía de las oscilaciones inducidas en el resonador por una señal de entrada es dos veces menor que su valor de resonancia.)

En el importante caso particular de resonadores formados por la inserción de paredes metálicas en una línea de transmisión TEM de sección transversal pequeña (con la escala de tamaño lineal\(\ a\) mucho menor que la longitud de onda\(\ \lambda\)), no hay necesidad de calcular el\(\ Q\) factor -directamente, siempre que la línea ya\(\ \alpha\) se conoce el coeficiente de atenuación. De hecho, como se discutió en la Sec. 8 anterior, las ondas estacionarias en dicho resonador, de la longitud dada por la ecuación (196):\(\ l=p(\lambda / 2)\) con\(\ p=1,2, \ldots\), pueden entenderse como una superposición de dos ondas TEM que corren en direcciones opuestas, o en otras palabras, una onda viajera más su reflexión desde uno de los extremos, la todo el viaje de ida y vuelta tomando tiempo\(\ \Delta t=2 l / \nu=p \lambda / \nu=2 \pi p / \omega=p \mathcal{T}\). De acuerdo con la Ec. (215), a esta distancia, la potencia de la ola cae en un factor de\(\ \exp \{-2 \alpha l\}=\exp \{-p \alpha \lambda\}\). Por otro lado, la misma decadencia puede verse como ocurriendo en el tiempo, y de acuerdo con la Ec. (228), da como resultado la caída por un factor de\(\ \exp \{-\Delta t / \tau\}=\exp \{-(p \mathcal{T}) /(Q / \omega)\}=\exp \{-2 \pi p / Q\}\). Comparando estos dos exponentes, obtenemos

\[\ Q \text{ vs.}\alpha\quad\quad\quad\quad Q=\frac{2 \pi}{\alpha \lambda}=\frac{k}{\alpha}.\tag{7.230}\]

Esta relación simple descuida las pérdidas en la reflexión de onda de las paredes limitando la longitud del resonador. Tal aproximación es efectivamente legítima en\(\ a<<\lambda\); si se viola esta relación, o si estamos tratando con modos resonadores más complejos (como los basados en la reflexión de\(\ E\) u\(\ H\) ondas), el\(\ Q\) factor -puede ser diferente al dado por la Ec. (230), y necesita ser calculado directamente de la Ec. (227). Un alivio sustancial para tal cálculo directo es que, justo en el cálculo de la pequeña atenuación en guías de onda, en el límite de bajas pérdidas\(\ (Q >> 1)\), tanto el numerador como el denominador del lado derecho de esa fórmula pueden calcularse descuidando los efectos de la pérdida de potencia en la distribución de campo en el resonador. Estoy dejando tal cálculo, para los resonadores más simples (rectangulares y circulares), para el ejercicio del lector.

Para concluir este capítulo, el último comentario: en algunos resonadores (incluidos ciertos resonadores dieléctricos y resonadores metálicos con agujeros en sus paredes), también son posibles pérdidas adicionales por la radiación de onda hacia el ambiente. En algunos casos simples (digamos, el interferómetro Fabry-Pérot mostrado en la Fig. 31) el cálculo de estas pérdidas radiativas es sencillo, pero a veces requiere enfoques más elaborados que se discutirán en el próximo capítulo.

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Referencia

⁸⁵ En ingeniería, la atenuación se mide frecuentemente en decibelios por metro, abreviado como db/m (el término que no debe confundirse con dBm que significa decibelio-milivatio):

\(\ \left.\alpha\right|_{\mathrm{db} / \mathrm{m}} \equiv 10 \log _{10} \frac{\mathscr{P}(z)}{\mathscr{P}(z+1 \mathrm{~m})}=10 \log _{10} e^{\alpha[1 / \mathrm{m}]} \equiv \frac{10}{\ln 10} \alpha\left[\mathrm{m}^{-1}\right] \approx 4.34 \alpha\left[\mathrm{m}^{-1}\right].\)

⁸⁶ Como se desprende de la Ec. (78), que puede ser utilizada para estimaciones brutas incluso en casos de incidencia arbitraria de onda, esta condición es necesaria para una baja atenuación:\(\ \alpha<<k\) sólo si\(\ \mathscr{F}<<1\).

⁸⁷ A medida que crecen las pérdidas, la forma de onda de oscilación se desvía de la sinusoidal, y la noción misma de “frecuencia de oscilación” se vuelve vaga. Como resultado, el parámetro Q está bien definido sólo si es muy superior a 1.

⁸⁸ Véase, e.g., CM Sec. 5.1.

⁸⁹ Este es el acrónimo de “Full Width at Half-Maximum”.