7.10: Problemas de ejercicio

7.1. ^* Encuentra la función de Green temporal de un medio cuya constante dieléctrica compleja obedece al modelo del oscilador Lorentz dado por la Ec. (32), usando:

(i) la transformada de Fourier, y

(ii) la solución directa de la Ec. (30).

Pista: Para el enfoque de transformación de Fourier, es posible que desee usar la integral de Cauchy. ⁹⁰

7.2. La polarización eléctrica de algún material responde de la siguiente manera a un paso de campo eléctrico: ⁹¹

\[\ P(t)=\varepsilon_{1} E_{0}\left(1-e^{-t / \tau}\right), \quad \text { if } E(t)=E_{0} \times \begin{cases}0, & \text { for } t<0, \\ 1, & \text { for } 0<t,\end{cases}\]

donde\(\ \tau\) es una constante positiva. Calcular la permitividad compleja\(\ \varepsilon(\omega)\) de este material, y discutir un posible modelo físico simple que dé tal respuesta dieléctrica.

7.3. Calcular la constante dieléctrica compleja\(\ \varepsilon(\omega)\) para un material cuya función de Green de respuesta dieléctrica, definida por la ecuación (23), es

\[\ G(\theta)=G_{0}\left(1-e^{-\theta / \tau}\right),\]

con algunas constantes positivas\(\ G_{0}\) y\(\ \tau\). ¿Cuál es la diferencia entre esta respuesta dieléctrica y la aparentemente similar considerada en el problema anterior?

7.4. Utilizar el modelo de oscilador Lorentz de un átomo, dado por la Ec. (30), para calcular la energía potencial promedio del átomo en un campo eléctrico de CA sinusoidal uniforme, y usar el resultado para calcular el perfil de potencial creado para el átomo por una onda electromagnética estacionaria con la amplitud del campo eléctrico \(\ E_{\omega}(\mathbf{r})\).

7.5. La solución del problema anterior muestra que una onda electromagnética plana estacionaria ejerce una fuerza promediada en el tiempo sobre una partícula cargada no relativista. Revelar la física de esta fuerza escribiendo y resolviendo las ecuaciones de movimiento de una partícula libre y cargada en:

(i) una onda lineal polarizada, monocromática, que viaja en avión, y

(ii) una onda similar pero estacionaria.

7.6. Calcular, bosquejar y discutir la relación de dispersión para ondas electromagnéticas que se propagan en un medio descrito por la Ec. (32), para el caso de amortiguación insignificante.

7.7. Como se discutió brevemente en la Sec. 2, ⁹² un pulso de onda de una extensión espacial finita pero relativamente grande\(\ \Delta z>>\lambda \equiv 2 \pi / k\) puede formarse como un paquete de ondas, una suma de ondas sinusoidales con vectores de onda k dentro de un intervalo relativamente estrecho. Considerar un paquete de ondas planas electromagnéticas de este tipo, con la distribución de campo eléctrico

\(\ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)=\operatorname{Re} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathbf{E}_{k} e^{i\left(k z-\omega_{k} t\right)} d k, \quad \text { with } \omega_{k}\left[\varepsilon\left(\omega_{k}\right) \mu\left(\omega_{k}\right)\right]^{1 / 2} \equiv|k|,\)

propagándose a lo largo del eje z en un medio isotrópico, lineal y libre de pérdidas (pero no necesariamente libre de dispersión). Exprese toda la energía del paquete (por unidad de área del frente de la onda) a través de las amplitudes complejas\(\ \mathbf{E}_{k}\), y discuta su dependencia del tiempo.

7.8. ^* Analizar el efecto de un campo magnético constante y uniforme\(\ \mathbf{B}_{0}\), paralelo a la dirección n de propagación de la onda electromagnética, sobre la dispersión de la onda en plasma, dentro del mismo modelo simple que se utilizó en la Sec. 2 para la derivación de la Ec. (38). (Limite su análisis a ondas relativamente débiles, cuyo campo magnético es insignificante en comparación con\(\ \mathbf{B}_{0}\).)

Pista: Es posible que desee representar la onda incidente como una superposición lineal de dos ondas polarizadas circularmente, con direcciones de polarización opuestas.

7.9. Una onda electromagnética plana monocromática es normalmente incidente, desde el espacio libre, sobre una losa uniforme de un material con permitividad eléctrica\(\ \varepsilon\) y permeabilidad magnética\(\ \mu\), con el espesor de la losa\(\ d\) comparable con la longitud de onda.

(i) Calcular el coeficiente de transmisión de potencia\(\ \mathcal{T}\), es decir, la fracción de la potencia de la onda incidente, que se transmite a través de la losa.

(ii) Suponiendo que\(\ \varepsilon\) y\(\ \mu\) sean independientes de la frecuencia y positivos, analizar en detalle la dependencia de frecuencia de\(\ \mathcal{T}\). En particular, ¿cómo\(\ \mathcal{T}(\omega)\) depende la función del grosor de la losa\(\ d\) y de la impedancia\(\ Z=(\mu / \varepsilon)^{1 / 2}\) de onda de su material?

7.10. Una onda electromagnética monocromática, plana, con número de onda de espacio libre\(\ k_{0}\), es normalmente incidente en un plano, conduciendo película de espesor\(\ d \sim \delta_{\mathrm{s}}<1 / k_{0}\). Calcular el coeficiente de transmisión de potencia del sistema, es decir, la fracción de la potencia de la onda incidente que se propaga más allá de la película. Analizar el resultado en los límites de la proporción pequeña y grande\(\ d / \delta_{\mathrm{s}}\).

7.11. Una onda plana de frecuencia\(\ \omega\) es normalmente incidente, desde el espacio libre, sobre una superficie plana de un material con permitividad eléctrica real\(\ \varepsilon^{\prime}\) y permeabilidad magnética\(\ \mu^{\prime}\). Para minimizar el reflejo de la onda desde la superficie, puedes cubrirla con una capa, de grosor\(\ d\), de otro material transparente — ver la figura de la derecha. Calcular los valores óptimos de\(\ \varepsilon\),\(\ \mu\), y\(\ d\).

7.12. Una onda plana monocromática es incidente desde el interior de un medio con\(\ \varepsilon \mu>\varepsilon_{0} \mu_{0}\) sobre su superficie plana, en un ángulo de incidencia\(\ \theta\) mayor que el ángulo crítico\(\ \theta_{\mathrm{c}}=\sin ^{-1}\left(\varepsilon_{0} \mu_{0} / \varepsilon \mu\right)^{1 / 2}\). Calcular la profundidad\(\ \delta\) de la penetración de la onda evanescente en el espacio libre, y analizar su dependencia de\(\ \theta\). ¿El resultado depende de la polarización de la onda?

7.13. Analizar la posibilidad de propagación de ondas electromagnéticas superficiales a lo largo de un límite plano entre el plasma y el espacio libre. En particular, calcular y analizar la relación de dispersión de las ondas.

Pista: Supongamos que el campo magnético de la onda es paralelo al límite y perpendicular a la dirección de propagación de la onda. (Después de resolver el problema, justifique esta elección de modo.)

7.14. La luz de una fuente muy distante llega a un observador a través de una capa plana de medio no uniforme con una cierta distribución del índice de refracción\(\ n(z)\),, en ángulo\(\ \theta_{0}\) — ver la figura a la derecha. ¿Cuál es la dirección genuina\(\ \theta_{i}\) hacia la fuente, si\(\ n(z) \rightarrow 1\) en\(\ z \rightarrow \infty\)? (Este problema es evidentemente importante para las mediciones astronómicas de alta precisión de la superficie terrestre).

7.15. Calcule la impedancia\(\ Z_{W}\) de las líneas de transmisión TEM largas y rectas formadas por electrodos metálicos con las secciones transversales que se muestran en la siguiente figura:

i) dos alambres redondos y paralelos separados por distancia\(\ d >>R\),

ii) una línea de microcinta de anchura\(\ w >> d\),

iii) una línea de franja con\(\ w >> d_{1} \sim d_{2}\),

en todos los casos usando las condiciones de contorno de grano grueso en superficies metálicas. Supongamos que los conductores están incrustados en un dieléctrico lineal con constante\(\ \varepsilon\) y\(\ \mu\).

7.16. Modificar la solución de la Tarea (ii) del problema anterior para una línea de microcinta superconductora, tomando en cuenta la penetración del campo magnético tanto en la tira como en el plano de tierra.

7.17. ^* ¿Qué circuito de CA agrupado sería equivalente al sistema de línea TEM-Line que se muestra en la Fig. 19, con una potencia de onda incidente\(\ \mathscr{P}_{\mathrm{i}}\)? Supongamos que la onda reflejada desde el circuito de carga agrupada no regresa a él.

7.18. Encuentre el circuito de CA agrupado equivalente a una línea de transmisión TEM sin pérdidas de longitud\(\ l \sim \lambda\), con un área de sección transversal pequeña\(\ A<<\lambda^{2}\), como “visto” (medido) desde un extremo, si los conductores de la línea están conectados galvánicamente (“acortados”) en el otro extremo; vea la figura a la derecha. Discutir la dependencia del resultado de la frecuencia de la señal.

7.19. Representar la\(\ H_{10}\) onda fundamental en una guía de ondas rectangular (Fig. 22) con una suma de dos ondas planas, y discutir la física detrás de dicha representación.

7.20. ^* Para un cable coaxial metálico con la sección transversal circular (Fig. 20), encuentre el modo no TEM más bajo y calcule su frecuencia de corte.

7.21. Dos secciones de cable coaxial están conectadas coaxialmente; vea la figura a la derecha, que muestra el corte a lo largo del eje de simetría del sistema. Las relaciones (118) y (120) parecen implicar que si las relaciones\(\ b / a\) de estas secciones son iguales, su adaptación de impedancia es perfecta, es decir, una onda TEM incidente desde un lado en la conexión la pasaría sin ningún reflejo en absoluto:\(\ R = 0\). ¿Es correcta esta afirmación?

7.22. Demostrar que las ondas similares a Temp pueden propagarse, en la dirección radial, en el espacio libre entre dos conos metálicos coaxiales, redondos, — vea la figura a la derecha. ¿Se puede caracterizar este sistema por una cierta impedancia de línea de transmisión\(\ Z_{W}\), tal como se define en la ecuación (7.115)?

7.23. ^* Utilice la receta esbozada en la Sec. 7 para probar la ecuación característica (161) para los\(\ EH\) modos\(\ HE\) y en fibra óptica de índice escalonado con una sección transversal redonda.

7.24. Despreciando la profundidad del efecto de la piel\(\ \delta_{\mathrm{s}}\), encuentre las frecuencias propias más bajas, y las distribuciones de campo correspondientes, de ondas electromagnéticas estacionarias dentro de una cavidad resonante cilíndrica redonda; vea la figura a la derecha.

7.25. Una onda plana y monocromática se propaga a través de un medio con conductividad\(\ \sigma\) óhmica y efectos insignificantes de polarización eléctrica y magnética. Calcular la atenuación de la onda, y relacionar el resultado con un determinado cálculo realizado en el Capítulo 6.

7.26. Generalizar las ecuaciones del telégrafo (110) - (111) contabilizando pequeñas pérdidas de energía:

(i) en los conductores de la línea de transmisión, y

ii) en el medio que separa los conductores,

utilizando sus modelos más simples (óhmicos). Formular las condiciones de validez de las ecuaciones resultantes.

7.27. Calcular la contribución del efecto piel al coeficiente de atenuación\(\ \alpha\), definido por la Ec. (214), para el\(\ \left(H_{10}\right)\) modo fundamental que se propaga en una guía de ondas de pared metálica con sección transversal rectangular — ver Fig. 22. Utilice los resultados para evaluar la longitud\(\ l_{\mathrm{d}} \equiv 1 / \alpha\) de decaimiento de onda de una onda de 10 GHz en la guía de ondas estándar de banda X WR-90 (con paredes de cobre\(\ a=23 \mathrm{~mm}, b=10 \mathrm{~mm}\), y sin relleno dieléctrico), a temperatura ambiente. Compare el resultado con el (obtenido en la Sec. 9) para el cable coaxial estándar de TV, a la misma frecuencia.

7.28. ^* Calcular la contribución del efecto de la piel al coeficiente\(\ \alpha\) de atenuación de

(i) la\(\ \left(H_{11}\right)\) onda fundamental, y

ii) la\(\ H_{01}\) ola,

en una guía de ondas de pared metálica con la sección transversal circular (ver Fig. 23a), y analizar los\(\ \left(\omega>>\omega_{\mathrm{c}}\right)\) comportamientos de baja frecuencia\(\ \left(\omega \rightarrow \omega_{\mathrm{c}}\right)\) y alta frecuencia de\(\ \alpha\) para cada uno de estos modos.

7.29. Para un resonador rectangular de pared metálica con dimensiones\(\ a \times b \times l(b \leq a, l)\), calcule el\(\ Q\) factor -en el modo de oscilación fundamental, debido a las pérdidas de efecto piel en las paredes. Evaluar el factor para un\(\ 23 \times 23 \times 10 \mathrm{~mm}^{3}\) resonador con paredes de cobre, a temperatura ambiente.

7.30. ^* Calcular la frecuencia propia más baja y el\(\ Q\) factor -factor (debido a las pérdidas por efecto piel) del resonador toroidal (axialmente simétrico) con paredes metálicas, y la sección transversal interior mostrada en la figura de la derecha, en el caso cuando\(\ d<<r, R\).

7.31. Expresar la contribución al coeficiente de amortiguación (el\(\ Q\) factor recíproco) de un resonador, a partir de pequeñas pérdidas de energía en el dieléctrico que lo llena, a través de las funciones complejas\(\ \varepsilon(\omega)\) y\(\ \mu(\omega)\) del material.

7.32. Para el resonador dieléctrico Fabry-Pérot (Fig. 31) con la incidencia de onda normal, calcule el\(\ Q\) factor -debido a las pérdidas de radiación, en el límite de un fuerte desajuste de impedancia\(\ \left(Z>>Z_{0}\right)\), utilizando dos enfoques:

(i) del balance energético, utilizando la Ec. (227), y

(ii) de la dependencia de frecuencia del coeficiente de transmisión de potencia, utilizando la Ec. (229).

Compara los resultados.

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Referencia

⁹⁰ Véase, por ejemplo, MA Ec. (15.2).

⁹¹ Esta función E (t) es, por supuesto, proporcional a la conocida función de paso\(\ \theta(t)\); véase, por ejemplo, MA Eq. (14.3). No estoy usando esta noción solo para evitar posibles confusiones entre dos usos diferentes de la letra griega\(\ \theta\).

⁹² Y con más detalle en CM Sec. 5.3, y sobre todo en QM Sec. 2.2.