8.1: Potenciales retardados

Comencemos por encontrar la solución general de las ecuaciones macroscópicas de Maxwell (6.99) en un medio libre de dispersión, lineal, uniforme, isotrópico, caracterizado por la frecuencia independiente, real\(\ \varepsilon\) y\(\ \mu\). ¹ La forma más fácil de realizar este cálculo es utilizar los potenciales escalares\(\ (\phi)\) y vectoriales (\(\ \mathbf{A}\)) definidos por las ecuaciones (6.7):

\[\ \mathbf{E}=-\nabla \phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \quad \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}.\tag{8.1}\]

Como se discutió en la Sec. 6.8, al imponer a los potenciales la condición de calibre Lorenz (6.117),

\[\ \nabla \cdot \mathbf{A}+\frac{1}{\nu^{2}} \frac{\partial \phi}{\partial t}=0, \quad \text { with } \nu^{2} \equiv \frac{1}{\varepsilon \mu},\tag{8.2}\]

que no afecta a los campos E y B, las ecuaciones de Maxwell se reducen a un par de ecuaciones simples muy similares (6.118) para los potenciales:

\[\ \nabla^{2} \phi-\frac{1}{\nu^{2}} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial t^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon},\tag{8.3a}\]

\[\ \nabla^{2} \mathbf{A}-\frac{1}{\nu^{2}} \frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}}=-\mu \mathbf{j}.\tag{8.3b}\]

Encontremos la solución general de estas ecuaciones, por ahora pensando en las densidades\(\ \rho(\mathbf{r}, t)\) y en\(\ \mathbf{j}(\mathbf{r}, t)\) las cargas y corrientes autónomas como de funciones conocidas. (Esto no impedirá que los resultados sean válidos para los casos en los que\(\ \rho(\mathbf{r}, t)\) y\(\ \mathbf{j}(\mathbf{r}, t)\) deben calcularse de manera autoconsistente). La idea de tal solución puede ser prestada de electro- y magnetostáticos. En efecto, para el caso estacionario\(\ (\partial / \partial t=0)\), las soluciones de las ecuaciones (8.3) se dan, por una generalización fácil de, respectivamente, las ecuaciones (1.38) y (5.28) a un medio uniforme y lineal:

\[\ \phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon} \int \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \frac{d^{3} r^{\prime}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|},\tag{8.4a}\]

\[\ \mathbf{A}(\mathbf{r}) \equiv \frac{\mu}{4 \pi} \int \mathbf{j}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \frac{d^{3} r^{\prime}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}\tag{8.4b}\]

Como sabemos, estas expresiones pueden derivarse, primero, calculando el potencial de una fuente puntual, y luego usando el principio de superposición lineal para un sistema de tales fuentes.

Hagamos lo mismo para el caso dependiente del tiempo, partiendo del campo inducido por una carga puntual dependiente del tiempo en el origen: ²

\[\ \rho(\mathbf{r}, t)=q(t) \delta(\mathbf{r}),\tag{8.5}\]

En este caso, la Ec. (3a) es homogénea en todas partes pero el origen:

\[\ \nabla^{2} \phi-\frac{1}{\nu^{2}} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial t^{2}}=0, \quad \text { for } r \neq 0.\tag{8.6}\]

Debido a la simetría esférica del problema, es natural buscar una solución esféricamente simétrica a esta ecuación. ³ Por lo tanto, podemos simplificar el operador de Laplace correspondientemente (como se hizo repetidamente anteriormente en este curso), de modo que la Ec. (6) se convierte

\[\ \left[\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial}{\partial r}\right)-\frac{1}{\nu^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right] \phi=0, \quad \text { for } r \neq 0.\tag{8.7}\]

Si ahora introducimos una nueva variable\(\ \chi \equiv r \phi\), la ecuación (7) se reduce a una ecuación de onda 1D

\[\ \left(\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}-\frac{1}{\nu^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) \chi=0, \quad \text { for } r \neq 0.\tag{8.8}\]

De las discusiones del Capítulo 7, ⁴ sabemos que su solución general puede ser representada como

\[\ \chi(r, t)=\chi_{\text {out }}\left(t-\frac{r}{\nu}\right)+\chi_{\text {in }}\left(t+\frac{r}{\nu}\right),\tag{8.9}\]

donde\(\ \chi_{\text {in }}\) y\(\ \chi_{\text {out }}\) son (hasta ahora) funciones arbitrarias de una variable. El sentido físico de\(\ \phi_{\text {out }}=\chi_{\text {out }} / r\) es una onda esférica que se propaga desde nuestra fuente (ubicada en\(\ r = 0\)) al espacio exterior, es decir, exactamente la solución que estamos buscando. Por otro lado,\(\ \phi_{\mathrm{in}}=\chi_{\mathrm{in}} / r\) describe una onda esférica que podría ser creada por alguna fuente distante esféricamente simétrica, que converge exactamente en nuestra carga ubicada en el origen —evidentemente no el efecto que queremos considerar aquí. Descartando este término, y volviendo a\(\ \phi=\chi / r\), obtenemos

\[\ \phi(r, t)=\frac{1}{r} \chi_{\text {out }}\left(t-\frac{r}{\nu}\right), \quad \text { for } r \neq 0.\tag{8.10}\]

Para calcular la función\(\ \chi_{\text {out }}\), consideremos la solución (10) a distancias\(\ r\) tan pequeñas\(\ (r<<\nu t)\) que el término derivado del tiempo en la Ec. (3a), con el lado derecho (5),

\[\ \nabla^{2} \phi-\frac{1}{\nu^{2}} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial t^{2}}=-\frac{q(t)}{\varepsilon} \delta(\mathbf{r}),\tag{8.11}\]

es mucho más pequeño que el término derivado espacial (que diverge en\(\ r \rightarrow 0\)). Luego la Ec. (11) se reduce a la ecuación electrostática, cuya solución (4a), para la fuente (5), es

\[\ \phi(r \rightarrow 0, t)=\frac{q(t)}{4 \pi \varepsilon r}.\tag{8.12}\]

Ahora requiriendo las dos soluciones, las ecuaciones (10) y (12), para que coincidan en\(\ r<<\nu t\), obtenemos\(\ \chi_{\text {out }}(t)=q(t) / 4 \pi \varepsilon r\), de manera que la Eq. (10) se convierte

\[\ \phi(r, t)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon r} q\left(t-\frac{r}{\nu}\right).\tag{8.13}\]

Tal como se hizo repetidamente en la estática, este resultado puede generalizarse fácilmente para la posición arbitraria\(\ \mathbf{r^{\prime}}\) de la carga puntual:

\[\ \rho(\mathbf{r}, t)=q(t) \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) \equiv q(t) \delta(\mathbf{R}),\tag{8.14}\]

donde\(\ R\) es la distancia entre el punto de observación de campo\(\ \mathbf{r}\) y el punto de posición de origen\(\ \mathbf{r}^{\prime}\), es decir, la longitud del vector,

\[\ \mathbf{R} \equiv \mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime},\tag{8.15}\]

conectando estos puntos — ver Fig. 1.

Fig. 8.1. Calcular los potenciales retardados de una fuente localizada.

Obviamente, ahora la Ec. (13) se convierte

\[\ \phi(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon R} q\left(t-\frac{R}{\nu}\right).\tag{8.16}\]

Finalmente, podemos usar el principio de superposición lineal para escribir, para la distribución arbitraria de carga,

\[\ \text{Retarded scalar potential}\quad\quad\quad\quad \phi(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon} \int \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}, t-\frac{R}{\nu}\right) \frac{d^{3} r^{\prime}}{R},\tag{8.17a}\]

donde la integración se extiende sobre todas las cargas del sistema analizado. Actuando de manera absolutamente similar, para el potencial vectorial obtenemos ⁵

\[\ \text{Retarded vector potential}\quad\quad\quad\quad \mathbf{A}(\mathbf{r}, t)=\frac{\mu}{4 \pi} \int \mathbf{j}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t-\frac{R}{\nu}\right) \frac{d^{3} r^{\prime}}{R}.\tag{8.17b}\]

(Ahora nada impide que las funciones\(\ \rho(\mathbf{r}, t)\) y\(\ {\boldsymbol{j}}(\mathbf{r}, t)\) satisfagan la ecuación de continuidad.)

Las soluciones expresadas por las ecuaciones (17) se llaman tradicionalmente los potenciales retardados, significando el nombre el hecho de que los campos observados son “retardados” (en el sentido “retardados”) en el tiempo por las variaciones\(\ \Delta t=R / \nu\) relativas a la fuente —físicamente, debido a la velocidad finita\(\ \nu\) del propagación de ondas electromagnéticas. Estas soluciones son tan importantes que merecen al menos un par de observaciones generales.

En primer lugar, de manera muy notable, estas expresiones simples son soluciones exactas de las ecuaciones macroscópicas de Maxwell (en un medio uniforme, lineal, libre de dispersión) para una distribución arbitraria de cargas y corrientes independientes. También pueden considerarse como las soluciones generales de estas ecuaciones, siempre que la integración se extienda sobre todas las fuentes de campo en el Universo —o al menos en su parte que afecte a nuestras observaciones.

En segundo lugar, debido a la similitud matemática de las ecuaciones microscópicas y macroscópicas de Maxwell, las ecuaciones (17) son válidas, con el reemplazo de coeficientes\(\ \varepsilon \rightarrow \varepsilon_{0}\) y\(\ \mu \rightarrow \mu_{0}\), para lo exacto, más que los campos macroscópicos, siempre que las funciones\(\ \rho(\mathbf{r}, t)\) y\(\ \mathbf{j}(\mathbf{r}, t)\) describan no solo el soporte- solo pero todas las cargas y corrientes en el sistema. (Alternativamente, esta afirmación puede formularse como la validez de las ecuaciones (17), con el mismo coeficiente de sustitución, en espacio libre.)

Finalmente, las ecuaciones (17) pueden ser enchufadas a las ecuaciones (1), dando (después de una diferenciación explícita) las llamadas ecuaciones Jefimenko para los campos E y B —similares en estructura a las ecuaciones (17), pero más engorrosas. Conceptualmente, la existencia de tales ecuaciones es una buena noticia, porque están libres de la ambigüedad del calibre pertinente a los potenciales\(\ \phi\) y A. Sin embargo, el valor práctico de estas expresiones explícitas para los campos no es demasiado alto: para todas las aplicaciones que conozco, es más fácil usar las ecuaciones (17) para calcular primero las expresiones particulares para los potenciales, y sólo entonces calcular los campos a partir de las ecuaciones (1). Permítanme ahora presentar un ejemplo (aparentemente, el más importante) de este enfoque.

---

Referencia

¹ Cuando sea necesario (e.g., en la discusión de la radiación Cherenkov en la Sec. 10.5), no será demasiado difícil generalizar estos resultados a un medio dispersivo.

² Es cierto que esta expresión no satisface la ecuación de continuidad (4.5), pero esta deficiencia se corregirá de manera inminente, en la etapa de superposición lineal — véase la Ec. (17) a continuación.

³ Permítanme confesar que esta no es la solución general a la Ec. (6). Por ejemplo, no describe las posibles ondas creadas por otras fuentes, que pasan por la carga considerada\(\ q(t)\). Sin embargo, dichos campos son irrelevantes para nuestra tarea actual: calcular el campo creado por el cargo\(\ q(t)\). La solución se vuelve general cuando se integra (como será) sobre todos los cargos de interés.

⁴ Véase también CM Sec. 6.3.

⁵ Como debe quedar claro a partir de la analogía de las ecuaciones (17) con sus formas estacionarias (4), las cuales fueron discutidas, respectivamente, en los Capítulos 1 y 5, en las unidades gaussianas las fórmulas de potencial retardado son válidas con el coeficiente\(\ 1 / 4 \pi\) bajado en la Ec. (17a), y reemplazadas por\(\ 1 / c\) en la Ec. (17) b).