8.2: Radiación de dipolo eléctrico

Consideremos nuevamente el problema que se discutió en la electrostática (Sec. 3.1), es decir, el campo de una fuente localizada con dimensiones lineales\(\ a<<r\) (ver nuevamente la Fig. 1), pero ahora con distribuciones de carga y/o corriente dependientes del tiempo. Utilizando los argumentos de esa discusión, en particular la condición expresada por la ecuación (3.1)\(\ r^{\prime}<<r\), podemos aplicar la expansión Taylor (3.3), truncada a dos términos principales,

\[\ f(\mathbf{R})=f(\mathbf{r})-\mathbf{r}^{\prime} \cdot \nabla f(\mathbf{r})+\ldots,\tag{8.18}\]

a la función escalar\(\ f(\mathbf{R}) \equiv R\) (para lo cual\(\ \nabla f(\mathbf{r})=\nabla R=\mathbf{n}\), donde\(\ \mathbf{n} \equiv \mathbf{r} / r\) está el vector unitario dirigido hacia el punto de observación — ver Fig. 1) para aproximar la distancia\(\ R\) como

\[\ R \approx r-\mathbf{r}^{\prime} \cdot \mathbf{n}.\tag{8.19}\]

En cada una de las fórmulas de potencial retardado (17),\(\ R\) participa en dos lugares: en el denominador y en el argumento de tiempo de la fuente. Si\(\ \rho\) y\(\ \mathbf{j}\) cambio en el tiempo en la escala\(\ \sim 1 / \omega\), donde\(\ \omega\) hay alguna frecuencia característica, entonces cualquier cambio del argumento\(\ (t-R / \nu)\) en esa escala de tiempo, por ejemplo debido a un cambio de\(\ R\) en la escala espacial\(\ \sim \nu / \omega=1 / k\), puede cambiar sustancialmente estas funciones. Así, la expansión (19) se puede aplicar\(\ R\) en el argumento\(\ (t-R / \nu)\) solo si\(\ k a<<1\), es decir, si el tamaño del sistema\(\ a\) es mucho menor que la longitud de onda de radiación\(\ \lambda=2 \pi / k\). Por otro lado, la función\(\ 1/R\) cambia relativamente lentamente, y para ello incluso el primer término de la expansión (19) da una buena aproximación en cuanto\(\ a<<r\),\(\ R\). En esta aproximación, la Ec. (17a) rinde

\[\ \phi(\mathbf{r}, t) \approx \frac{1}{4 \pi \varepsilon r} \int \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}, t-\frac{R}{\nu}\right) d^{3} r^{\prime} \equiv \frac{1}{4 \pi \varepsilon r} Q\left(t-\frac{R}{\nu}\right),\tag{8.20}\]

donde\(\ Q(t)\) está la carga eléctrica neta del sistema localizado. Debido a la conservación de la carga, esta carga no puede cambiar con el tiempo, por lo que la aproximación (20) describe solo un campo de Coulomb estático de nuestra fuente localizada, en lugar de una onda radiada.

Sin embargo, apliquemos una aproximación similar al potencial vectorial (17b):

\[\ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) \approx \frac{\mu}{4 \pi r} \int \mathbf{j}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t-\frac{R}{\nu}\right) d^{3} r^{\prime}.\tag{8.21}\]

De acuerdo con la Ec. (5.87), el lado derecho de esta expresión se desvanece en la estática, pero en la dinámica, esto ya no es cierto. Por ejemplo, si la corriente se debe a un movimiento no relativista ⁶ de un sistema de cargas\(\ q_{k}\) puntuales, podemos escribir

\[\ \int \mathbf{j}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right) d^{3} r^{\prime}=\sum_{k} q_{k} \dot{\mathbf{r}}_{k}(t)=\frac{d}{d t} \sum_{k} q_{k} \mathbf{r}_{k}(t) \equiv \dot{\mathbf{p}}(t),\tag{8.22}\]

donde\(\ \mathbf{p}(t)\) es el momento dipolar del sistema localizado, definido por la Ec. (3.6). Ahora, después de la integración, podemos mantener solo el primer término de la aproximación (19) en el argumento\(\ (t-R / \nu)\) también, obteniendo

\[\ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) \approx \frac{\mu}{4 \pi r} \dot{\mathbf{p}}\left(t-\frac{r}{\nu}\right), \quad \text { for } a<<R, \frac{1}{k}.\tag{8.23}\]

Analicemos qué describe exactamente este resultado. El segundo de las ecuaciones (1) nos permite calcular el campo magnético mediante la diferenciación espacial de A. A grandes distancias\(\ r >> \lambda\) (es decir, en la llamada zona de campo lejano), donde la Ec. (23) describe una onda prácticamente plana, la contribución principal a esta derivada viene dada por el factor de momento dipolar:

\[\ \text{Far-field wave}\quad\quad\quad\quad \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)=\frac{\mu}{4 \pi r} \nabla \times \dot{\mathbf{p}}\left(t-\frac{r}{\nu}\right)=-\frac{\mu}{4 \pi r \nu} \mathbf{n} \times \ddot{\mathbf{p}}\left(t-\frac{r}{\nu}\right).\tag{8.24}\]

Esta expresión significa que el campo magnético, en el punto de observación, es perpendicular a los vectores n y (el valor retardado de)\(\ \ddot{\mathbf{p}}\), y su magnitud es

\[\ B=\frac{\mu}{4 \pi r \nu} \ddot{p}\left(t-\frac{r}{\nu}\right) \sin \Theta, \quad \text { i.e. } H=\frac{1}{4 \pi r \nu} \ddot{p}\left(t-\frac{r}{\nu}\right) \sin \Theta,\tag{8.25}\]

donde\(\ \Theta\) está el ángulo entre esos dos vectores — ver Fig. 2. ⁷

Fig. 8.2. Campos lejanos de una fuente localizada, contribuyendo a su radiación dipolo eléctrico.

La característica más importante de este resultado es que el campo dependiente del tiempo disminuye muy lentamente (solo como\(\ 1 / r\)) con la distancia desde la fuente, de manera que la componente radial del vector Poynting correspondiente (7.9b), ⁸

\[\ S_{r}=Z H^{2}=\frac{Z}{(4 \pi \nu r)^{2}}\left[\ddot{p}\left(t-\frac{r}{\nu}\right)\right]^{2} \sin ^{2} \Theta,\quad\quad\quad\quad \text{Instant power density}\tag{8.26}\]

cae como\(\ 1 / r^{2}\), es decir, la potencia instantánea completa\(\ \mathscr{P}\) de la onda emitida,

\[\ \mathscr{P} \equiv \oint_{4 \pi} S_{r} r^{2} d \Omega=\frac{Z}{(4 \pi \nu)^{2}} \ddot{p}^{2} 2 \pi \int_{0}^{\pi} \sin ^{3} \Theta d \Theta=\frac{Z}{6 \pi \nu^{2}} \ddot{p}^{2}.\quad\quad\quad\quad\text{Larmor formula}\tag{8.27}\]

no depende de la distancia desde la fuente —como debería ser para la radiación. ⁹

Esta es la famosa fórmula ¹⁰ de Larmor para la radiación dipolar eléctrica; es el componente dominante de la radiación por un sistema localizado de cargas —a menos que\(\ \ddot{\mathbf{p}}=0\). Tenga en cuenta su dependencia angular: la radiación desaparece en el eje del vector retardado\(\ \ddot{\mathbf{p}}\) (dónde\(\ \Theta=0\)), y alcanza su máximo en el plano perpendicular a ese eje.

Para encontrar la potencia promedio, la Ec. (27) tiene que ser promediada en un tiempo suficientemente largo. En particular, si la fuente es monocromática\(\ \mathbf{p}(t)=\operatorname{Re}\left[\mathbf{p}_{\omega} \exp \{-i \omega t\}\right]\), con un vector independiente del tiempo\(\ \mathbf{p}_{\omega}\), dicho promedio puede llevarse a cabo poco más de un periodo, dando un factor extra 2 en el denominador:

\[\ \overline{\mathscr{P}}=\frac{Z \omega^{4}}{12 \pi \nu^{2}}\left|p_{\omega}\right|^{2}.\quad\quad\quad\quad \text{Average radiation power}\tag{8.28}\]

La aplicación más sencilla de esta fórmula es a una carga puntual que oscila, con frecuencia\(\ \omega\), a lo largo de una línea recta (que podemos tomar para el eje z), con amplitud\(\ a\). En este caso,\(\ \mathbf{p}=q z(t) \mathbf{n}_{z}=q a \operatorname{Re}[\exp \{-i\omega t\}]\mathbf{n}_z\), y si la amplitud de la velocidad de carga\(\ a \omega\),, es mucho menor que la velocidad de onda\(\ \nu\), podemos usar la Eq. (28) con\(\ p_{\omega}=q a\), dando

\[\ \overline{\mathscr{P}}=\frac{Z q^{2} a^{2} \omega^{4}}{12 \pi \nu^{2}}.\tag{8.29}\]

Aplicada a un electrón\(\ \left(q=-e \approx-1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}\right)\), inicialmente girando alrededor de un núcleo a una distancia atómica\(\ a\sim 10^{-10} \mathrm{~m}\), la fórmula de Larmor muestra ¹¹ que la pérdida de energía debida a la radiación dipolar es tan grande que provocaría que el electrón colapsara sobre el núcleo del átomo en solo\(\ \sim 10^{-10} \mathrm{~s}\). A principios de la década de 1900, este resultado clásico fue uno de los principales argumentos para el desarrollo de la mecánica cuántica, que impide tal colapso de electrones en su estado cuántico de menor energía (tierra).

Otra aplicación útil de la Ec. (28) es la radiación de ondas de radio por una antena corta, recta y simétrica la cual es alimentada, por ejemplo, por una línea de transmisión TEM como un cable coaxial — ver Fig. 3.

Fig. 8.3. La antena dipolo.

La solución exacta de este problema es bastante complicada, ya que la ley\(\ I_{\omega}(z)\) de la variación de corriente a lo largo de la longitud de la antena debe calcularse de manera autoconsistente con la distribución del campo electromagnético inducido por la corriente en el espacio circundante. (Este hecho es desgraciadamente ignorado en algunos libros de texto.) Sin embargo, se puede argumentar que at\(\ l<<\lambda\), la corriente debe ser mayor en el punto de alimentación (en la Fig. 3, tomada para\(\ z = 0\)), desaparecer en los extremos de la antena\(\ (z=\pm l / 2)\), de modo que la función lineal,

\[\ I_{\omega}(z)=I_{\omega}(0)\left(1-\frac{2}{l}|z|\right),\tag{8.30}\]

debería dar una buena aproximación de la distribución real —como en efecto lo hace. Ahora podemos usar la ecuación de continuidad\(\ \partial Q / \partial t=I\), es decir\(\ -i \omega Q_{\omega}=I_{\omega}\), para calcular la amplitud compleja\(\ Q \omega(z)=i I_{\omega}(z) \operatorname{sgn}(z) / \omega\) de la carga eléctrica\(\ Q(z, t)=\operatorname{Re}\left[Q_{\omega} \exp \{-i \omega t\}\right]\) de la parte del cable más allá del punto\(\ z\), y a partir de ella, la amplitud de la densidad lineal de carga

\[\ \lambda_{\omega}(z) \equiv \frac{d Q_{\omega}(z)}{d|z|}=-i \frac{2 I_{\omega}(0)}{\omega l} \operatorname{sgn} z.\tag{8.31}\]

A partir de aquí, la amplitud del momento dipolo es

\[\ p_{\omega}=2 \int_{0}^{l / 2} \lambda_{\omega}(z) z d z=-i \frac{I_{\omega}(0)}{2 \omega} l,\tag{8.32}\]

para que la Eq. (28) rinda

\[\ \overline{\mathscr{P}}=Z \frac{\omega^{4}}{12 \pi \nu^{2}} \frac{\left|I_{\omega}(0)\right|^{2}}{4 \omega^{2}} l^{2}=\frac{Z(k l)^{2}}{24 \pi} \frac{\left|I_{\omega}(0)\right|^{2}}{2},\tag{8.33}\]

donde\(\ k=\omega / \nu\). La analogía entre este resultado y la potencia de disipación\(\ \mathscr{P}=\operatorname{Re} Z\left|I_{\omega}\right|^{2} / 2\), en un elemento de circuito
lineal agrupado, permite la interpretación de la primera fracción en la última forma de la ecuación (33) como la parte real de la impedancia de la antena:

\[\ \operatorname{Re} Z_{A}=Z \frac{(k l)^{2}}{24 \pi},\tag{8.34}\]

como se siente por la línea de transmisión.

Según la Ec. (7.118), la onda que viaja a lo largo de la línea hacia la antena se irradia completamente, es decir, no se refleja hacia atrás, solo si\(\ Z_{A}\) es igual a de la línea. Como sabemos por la Sec. 7.5 (y la solución de los problemas relacionados), para líneas típicas de TEM\(\ Z_{W} \sim Z_{0}\), mientras que la Ec. (34), que sólo es válida en el límite\(\ kl << 1\), muestra que para la radiación al espacio libre\(\ \left(Z=Z_{0}\right)\),\(\ \operatorname{Re} Z_{A}\) es mucho menor que\(\ \mathrm{Z}_{0}\). De ahí que para alcanzar la condición de coincidencia de impedancia\(\ Z_{W}=Z_{A}\), se debe aumentar la longitud de la antena, como muestra una teoría más involucrada, a\(\ l \approx \lambda / 2\). Sin embargo, en muchos casos, consideraciones prácticas hacen necesarias antenas cortas. El ejemplo más conocido hoy en día son las antenas de telefonía celular, que utilizan frecuencias cercanas a 1 o 2 GHz, con longitudes de onda de espacio libre\(\ \lambda\) entre 15 y 30 cm, es decir, mucho más grandes que el tamaño del teléfono. ¹² La dependencia cuadrática de la eficiencia de la antena\(\ l\), a partir de la ecuación (34), explica por qué cada milímetro cuenta en el diseño de dichas antenas, y por qué sus diseños se optimizan cuidadosamente utilizando paquetes de software para la solución numérica (prácticamente exacta) de las ecuaciones Maxwell para la forma específica de la antena y otras partes del teléfono. ¹³

Para concluir esta sección, permítanme señalar que si la fuente de onda no es monocromática, por lo que\(\ \mathbf{p}(t)\) debería representarse como una serie de Fourier,

\[\ \mathbf{p}(t)=\operatorname{Re} \sum_{\omega} \mathbf{p}_{\omega} e^{-i \omega t},\tag{8.35}\]

los términos correspondientes a la interferencia de componentes espectrales con diferentes frecuencias\(\ \omega\) se promedian en el tiempo promediando el vector Poynting, y la potencia radiada promedio es solo una suma de contribuciones (28) de todas las componentes de frecuencia sustanciales.

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Referencia

⁶ Para las partículas relativistas, que se mueven con velocidades del orden de la velocidad de la luz, hay que tener más cuidado. Como resultado, aplazaré la discusión de su radiación hasta el Capítulo 10, es decir, hasta después de la discusión detallada de la relatividad especial en el Capítulo 9.

⁷ A partir de la primera de las ecuaciones (1), para el campo eléctrico, en la primera aproximación (23), obtendríamos\(\ -\partial \mathbf{A} / \partial t=-(1 / 4 \pi \varepsilon \nu r)\ddot{\mathbf{p}}(t-r / \nu)=-(Z / 4 \pi r) \ddot{\mathbf{p}}(t-r / \nu)\). El componente transversal de este vector (ver Fig. 2) es el campo eléctrico adecuado\(\ \mathbf{E}=Z \mathbf{H} \times \mathbf{n}\) de la onda radiada, mientras que su componente longitudinal se compensa exactamente por\(\ (-\nabla \phi)\) en el siguiente término de la expansión Taylor de la Ec. (17a) en pequeño parámetro\(\ k a \sim a / \lambda<<1\).

⁸ Obsérvese la\(\ S_{r}\) dependencia del “donut” de la dirección n, frecuentemente utilizada para visualizar la radiación dipolar.

⁹ En las unidades gaussianas, para el espacio libre\(\ (\nu=c)\), se lee la ecuación (27)\(\ \mathscr{P}=\left(2 / 3 c^{3}\right) \ddot{p}^{2}\).

¹⁰ El nombre de Joseph Larmor, quien fue el primero en derivarlo (en 1897) para el caso particular de una carga de un solo punto que se\(\ q\) mueve con aceleración\(\ \ddot{\mathbf{r}}\), cuando\(\ \ddot{\mathbf{p}}=q \ddot{\mathbf{r}}\).

¹¹ En realidad, la fórmula necesita un ajuste de coeficiente numérico para tener en cuenta el movimiento orbital (en lugar de lineal) del electrón, tarea que queda para el ejercicio del lector. Sin embargo, este ajuste no afecta la estimación del orden de magnitud dada anteriormente.

¹² La situación se remediará en parte por la transferencia continua de la tecnología móvil inalámbrica a su próxima generación (5G), con las frecuencias movidas hasta las bandas de 28 GHz, 37-39 GHz, y posiblemente incluso las de 64-71 GHz.

¹³ Una lista parcial de paquetes de software populares de este tipo incluye tanto códigos disponibles públicamente como Nec2 (cuyas diversas versiones están disponibles en línea, por ejemplo, en http://www.qsl.net/4nec2/) como paquetes propietarios, como Momentum de Agilent Technologies (ahora propiedad de Hewlett -Packard), FEKO de EM Software & Systems y xFdtd de Remcom.